По координатам треугольника найти высоту – Нахождение координат оснований высот треугольника по координатам его вершин

Высота треугольника | Онлайн калькулятор

В произвольном треугольнике (у которого все стороны разной длины), высоты, проведенные к сторонам , медианы и биссектрисы представляют собой совершенно разные линии. Чтобы найти длину высоты в треугольнике, нельзя будет использовать свойства медианы или биссектрисы, как для равнобедренных или равносторонних треугольников, поэтому придется использовать другие методы.

Один из подобных методов заключается в использовании общего параметра треугольника — площади. Алгоритм вычислений строится на том, что площадь разностороннего треугольника можно найти несколькими способами, в том числе и через высоту. Зная три стороны треугольника, можно найти его площадь по формуле Герона, а затем используя другую формулу площади, выразить через нее высоту.

Чтобы вычислить площадь треугольника по формуле Герона, нужно сначала рассчитать полупериметр треугольника. Как следует из названия, полупериметр — это периметр, то есть сумма длин всех трех сторон, деленный на два.

Сама формула площади представляет собой произведение полупериметра на его разности с каждой стороной, все это выражение будучи заключенным под квадратным корнем.

С другой стороны та же площадь треугольника через высоту равна половине произведения стороны треугольника на высоту, на нее опущенную. Отсюда высота будет равна отношению удвоенной площади к стороне треугольника. Из предыдущей формулы можно выразить площадь через три стороны треугольника и заменить ее в формуле высоты.

Данная формула высоты через стороны треугольника применима для любых треугольников, произвольных, равнобедренных или равносторонних за отсутствием других.

Вычисляя высоту треугольника, зная три стороны, приходится идти длинным путем, используя формулы площади. Высота треугольника, выраженная через площадь, связана только с той стороной, на которую она опущена, поэтому чрезвычайно важно правильно указать для калькулятора порядок сторон и в ручном расчете подставить соответствующую сторону в

формулу высоты.

Формула высоты произвольного треугольника через площадь

allcalc.ru

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника

Чтобы найти ортоцентр треугольника, можно воспользоваться калькулятором, где следует внести координаты. В автоматическом режиме с помощью формул произведется расчет. Можно также все расчеты произвести самостоятельно.

Например, имеются следующие данные точек:
А – 4,3;
В – 0,5;
С – 3,-6.
Первое , что необходимо найти наклон сторон, который обозначается — m , используется формула :

Из этого следует:

Далее необходимо найти наклон перпендикулярных сторон, для этого используется формула:

Имеем:
Когда найден наклон перпендикуляров, можно использовать уравнение линий, например, для линии AD, где точка

4,3, а наклон равен 3/11:

y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)

С помощью упрощения, имеем: 3х — 11у=-21
Для линии ВЕ, где точка 0,5, а наклон -1/9, имеем

Упрощение дает: х+9у=45.
И последние линии CF, где точка 3, -6, а наклон 2, имеем уравнение y+6 = 2(x-3).
И упрощение, 2x — y = 12.
Если решить два из трех уравнений будут найдены значения х и у. Для данного примера:
Значение х = 8,05263;
Значение у = 4,10526.
Которые в данном случае являются координатами искомого Ортоцентра.

allcalc.ru

Высота треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Высота, проведенная в любом треугольнике, делит его на два прямоугольных треугольника, становясь смежным катетом. Сторона, на которую опущена высота, оказывается также разделенной на две пропорциональных части. Зная все три стороны, можно собрать их по теореме Пифагора, и приравняв высоту в качестве катета в двух вышеуказанных треугольниках, получить ее формулу для любого произвольного треугольника:

---

С другой стороны, можно использовать сторону, прилежащую к высоте и угол α, чтобы вычислить высоту треугольника.

Известная его сторона будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике, а сама высота – катетом, противолежащим углу α. Два этих измерения связывает синус угла, поэтому высота равна его произведению на сторону a: h=a sin⁡α

---

Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная из прямого угла (остальные две совпадают с катетами), получает особые свойства. Так как все три получившихся прямоугольных треугольника подобны друг другу, их стороны составляют пропорцию, которая раскладывается как квадрат высоты, равный произведению проекцию катетов на гипотенузу, или проще говоря, частей гипотенузы, на которые ее делит высота.

Из этого следует, что высота равна квадратному корню из данного произведения, а это есть не что иное как среднее пропорциональное приведенного выражения.

---

В равностороннем треугольнике, высота делит угол, из которого она исходит, на два одинаковых угла по 30°. Высота, оказываясь катетом, прилежащим к этому углу, внутри прямоугольного треугольника, подчиняется отношению косинуса угла α, а так как , а гипотенуза a, то формула высоты в равностороннем треугольнике будет выглядеть так:

geleot.ru

Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек

Содержание Инструкция Высотой в треугольнике называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту. Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон. Инструкция Исходите в расчетах из того, что площадь треугольника равна половине произведения длины любой из его сторон на длину высоты, опущенной на эту сторону. Из этого определения вытекает, что для нахождения высоты нужно знать площадь фигуры и длину стороны. Начните с вычисления длин сторон треугольника. Обозначьте координаты вершин фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти формулы будут выглядеть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7. Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, после подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника-образца из предыдущего шага, эта формула даст такое значение: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815. Исходя из площади треугольника, рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, высота к стороне ВС будет иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.

completerepair.ru