Признак сравнения рядов онлайн – Сходимость ряда — исследование онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Выбор признака сходимости числовых рядов.

В данной теме рассмотрим некие критерии, с помощью которых можно сделать выбор между необходимым признаком сходимости ряда, признаками Д’Аламбера и Коши, а также признаками сравнения. Напомню, что признаки сравнения, а также интегральный и радикальный признаки Коши применяются лишь для положительных числовых рядов (т.е. рядов, общий член которых не меньше нуля, $u_n≥ 0$). Признак Д’Аламбера применяется для строго положительных рядов ($u_n > 0$).

Выбор признака, с помощью которого можно проверить сходимость числового ряда, – в общем случае задача непростая. Однако для тех рядов, которые используются в стандартных типовых расчётах и контрольных работах, можно дать некие общие рекомендации. Эти рекомендации я запишу в таблицу.

Пару слов насчёт самой таблицы. Второй столбец описывает сферу применения того или иного признака сходимости в большинстве стандартных контрольных работ. Третий столбец иллюстрирует информацию второго столбца наглядными примерами (все эти примеры решены в соответствующих темах). Четвёртый столбец содержит примеры рядов, которые несколько выбиваются из общей схемы или же встречаются в стандартных контрольных работах не так уж часто.

Название Основное применение Примеры рядов Дополнительное применение
Необходимый признак сходимости Общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Или же могут присутствовать корни от многочленов. С помощью необходимого условия сходимости можно доказать расходимость произвольного числового ряда (не обязательно положительного). $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt[3]{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+7}{2n+3}\right)^{9n+1}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{17n^5+4\cos(n!)}{6n^5+2n^2-1}$.
Признаки сравнения Общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Или же вместо многочленов (или вместе с ними) могут присутствовать корни от многочленов. Для рядов такого вида приходится выбирать между необходимым признаком сходимости и признаками сравнения. Общий член ряда может содержать не только многочлен, но и некий «отвлекающий элемент», который не влияет на сходимость. Иногда, чтобы увидеть ряд для сравнения, приходится использовать эвивалентные бесконечно малые функции. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt[3]{7n^{10}+2n^3-4}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\arcsin\frac{7n-1}{9n}}{\sqrt[6]{4n^2-3}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\arctg^2\sqrt{2n^3-1}}{\sqrt[4]{3n^5-2}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\left(\frac{2+(-1)^n}{6}\cdot\pi\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{3n}+\cos n!}{5^{2n+1}-n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{7^n\cdot n!}$.
Признак Д’Аламбера В выражении общего члена ряда присутствуют многочлен (многочлен может быть и под корнем) и степень вида $a^n$ или $n!$. Или же общий член ряда содержит произведение такого вида: $3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)$. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{3^n\cdot n!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{6^{2n+5}\left(3n^2-1\right)}{(n+3)!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)}{(2n-1)!!}$. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{n}\sin\frac{2}{3^n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2n+1}-4}{2^{5n}(n+1)!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(n!\right)^2}{2^{n^2}}$.
Радикальный признак Коши В выражении общего члена ряда все элементы возведены в степень, которую можно сократить на $n$. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3n^2-1}{5n^2+7n}\right)^{2n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+3}{7n-5}\right)^{n^2}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{n(3n+4)}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(5n+4)^n}{7^{2n}\cdot n^n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sin\frac{4}{n^2+2n}\right)^{\frac{n}{2}}$. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(3n^2+7\right)\cdot 5^{2n-1}}{4^n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{7^n\cdot n!}$.
Интегральный признак Коши-Маклорена Выражение под знаком суммы имеет такую структуру: $\frac{1}{n\cdot\ln^p n}$. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)\sqrt[4]{\ln(2n+1)}}$, $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(3n-2)\ln^2 (5n+7)}$. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\arctg n}{1+n^2}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{(5n+6)^3}}$.

math1.ru

Признаки сравнения числовых рядов. Третья часть.

В первой и второй частях этой темы мы начали разбирать примеры применения признаков сравнения для исследования вопроса сходимости положительных рядов. На этой странице мы станем использовать сугубо второй признак сравнения (кроме последнего примера), или как его ещё именуют, признак сравнения в предельной форме. Напомню его формулировку:

Второй признак сравнения

Пусть заданы два положительных ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$. Если при условии $v_n\neq 0$ существует предел $$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=K,$$ где $0 < K < \infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ сходятся либо расходятся одновременно.

Ряды, с которыми станем сравнивать, всё те же, что и в предыдущих частях. Это обобщённый гармонический ряд

\begin{equation}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha}\end{equation}

который сходится если $\alpha > 1$ и расходится при $\alpha ≤ 1$, и сумма геометрической прогрессии

\begin{equation}\sum\limits_{n=1}^{\infty}aq^n\end{equation}

Ряд (2) сходится если $|q| < 1$ и расходится если $|q|≥ 1$.

На этой странице поговорим о рядах, для исследования которых приходится привлекать эквивалентные бесконечно малые функции. В конце этого документа указана таблица, где составлен список основных эквивалентных бесконечно малых функций.

Для всех рядов на этой странице $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, т.е. проверка необходимого условия сходимости не даст ответа на вопрос о сходимости рассматриваемых рядов.

В последнем примере №13 рассмотрим применение признака сравнения в несколько нестандартном случае.

Для вычисления пределов будем использовать методы, изложенные в теме «Пределы с иррациональностями», а также «Предел отношения двух многочленов».

Пример №9

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$. Для начала определим, является ли этот ряд положительным, т.е. верно ли неравенство $u_n≥ 0$. Сомножитель $\frac{1}{\sqrt{n}}> 0$, это ясно, а вот что насчёт арктангенса? С арктангесом ничего сложного: так как $\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}} >0$, то и $\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}>0$. Вывод: наш ряд является положительным. Применим признак сравнения для исследования вопроса сходимости этого ряда.

Для начала выберем ряд, с которым станем сравнивать. Если $n\to\infty$, то $\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\to 0$. Следовательно, $\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\sim\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$. Почему так? Если посмотреть таблицу в конце этого документа, то мы увидим формулу $\arctg x\sim x$ при $x\to 0$. Мы эту формулу и использовали, только в нашем случае $x=\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$.

Заменим в выражении $\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$ арктангенс на дробь $\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$. Получим мы следующее: $\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$. С такими дробями мы уже работали ранее. Отбрасывая «лишние» элементы, придём к дроби $\frac{1}{\sqrt{n}\cdot\sqrt[3]{n}}=\frac{1}{n^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}}=\frac{1}{n^{\frac{5}{6}}}$. Именно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Так как $\frac{5}{6}≤ 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится.

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}}{\frac{1}{n^\frac{5}{6}}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\to 0;\\&\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\sim\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}.\end{aligned}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}}{\frac{1}{n^\frac{5}{6}}} =\\=\pi\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{2n-1}} =\pi\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{2-\frac{1}{n}}}=\pi\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{2-0}}=\frac{\pi}{\sqrt[3]{2}}. $$

Так как $0<\frac{\pi}{\sqrt[3]{2}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\frac{5}{6}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$.

Отмечу, что в данном случае вместо арктангенса в выражении общего члена ряда мог быть синус, арксинус или тангенс. Решение осталось бы тем же самым.

Ответ: ряд расходится.

Пример №10

Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ на сходимость.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=1-\cos\frac{7}{n}$. Так как для любого значения $x$ имеем $-1≤\cos x≤ 1$, то $\cos\frac{7}{n}≤ 1$. Следовательно, $1-\cos\frac{7}{n}≥ 0$, т.е. $u_n≥ 0$. Мы имеем дело с положительным рядом.

Если $n\to\infty$, то $\frac{7}{n}\to 0$. Следовательно, $1-\cos\frac{7}{n}\sim \frac{\left(\frac{7}{n}\right)^2}{2}=\frac{49}{2n^2}$. Почему так? Если посмотреть таблицу в конце этого документа, то мы увидим формулу $1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$ при $x\to 0$. Мы эту формулу и использовали, только в нашем случае $x=\frac{7}{n}$.

Заменим выражение $1-\cos\frac{7}{n}$ на $\frac{49}{2n^2}$. Отбрасывая «лишние» элементы, придём к дроби $\frac{1}{n^2}$. Именно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Так как $2 > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится.

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1-\cos\frac{7}{n}}{\frac{1}{n^2}}=\left|\frac{0}{0}\right|= \left|\begin{aligned}&\frac{7}{n}\to 0;\\&1-\cos\frac{7}{n}\sim\frac{49}{2n^2}.\end{aligned}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{49}{2n^2}}{\frac{1}{n^2}}=\frac{49}{2}. $$

Так как $0<\frac{49}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$.

Ответ: ряд сходится.

Пример №11

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$. Так как оба сомножителя положительны, то $u_n >0$, т.е. мы имеем дело с положительным рядом.

Если $n\to\infty$, то $\frac{3}{n}\to 0$. Следовательно, $e^\frac{3}{n}-1\sim\frac{3}{n}$. Использованная нами формула размещена в таблице в конце этого документа: $e^x-1 \sim x$ при $x\to 0$. В нашем случае $x=\frac{3}{n}$.

Заменим выражение $e^\frac{3}{n}-1$ на $\frac{3}{n}$, получив при этом $n\cdot\left(\frac{3}{n}\right)^2=\frac{9}{n}$. Отбрасывая число, придём к дроби $\frac{1}{n}$. Именно с гармоническим рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Напомню, что гармонический ряд расходится.

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2}{\frac{1}{n^2}} =\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&\frac{3}{n}\to 0;\\&e^\frac{3}{n}-1\sim\frac{3}{n}.\end{aligned}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{9}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}=9. $$

Так как $0<9<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$.

Ответ: ряд расходится.

Пример №12

Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$. Так как для любого значения $n$ имеем $n^3+7 > n^3+5$, то $\frac{n^3+7}{n^3+5} > 1$. Следовательно, $\ln\frac{n^3+7}{n^3+5} > 0$, т.е. $u_n > 0$. Мы имеем дело с положительным рядом.

Заметить эквивалентность, которая нужна в этом случае, несколько тяжеловато. Запишем выражение под логарифмом немного в иной форме:

$$ \ln\frac{n^3+7}{n^3+5}=\ln\frac{n^3+5+2}{n^3+5}=\ln\left(\frac{n^3+5}{n^3+5}+\frac{2}{n^3+5}\right)=\ln\left(1+\frac{2}{n^3+5}\right). $$

Вот теперь формула видна: $\ln(1+x)\sim x$ при $x\to 0$. Так как при $n\to\infty$ имеем $\frac{2}{n^3+5}\to 0$, то $\ln\left(1+\frac{2}{n^3+5}\right)\sim\frac{2}{n^3+5}$.

Заменим выражение $\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$ на $\frac{2}{n^3+5}$. Отбрасывая «лишние» элементы, придём к дроби $\frac{1}{n^3}$. Именно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ мы и станем сравнивать заданный ряд, используя второй признак сравнения. Так как $3 > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится.

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}}{\frac{1}{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\left(1+\frac{2}{n^3+5}\right)}{\frac{1}{n^3}}=\left|\frac{0}{0}\right|= \left|\begin{aligned}&\frac{2}{n^3+5}\to 0;\\&\ln\left(1+\frac{2}{n^3+5}\right)\sim\frac{2}{n^3+5}.\end{aligned}\right|=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2}{n^3+5}}{\frac{1}{n^3}} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n^3}{n^3+5}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{1+\frac{5}{n^3}}=\frac{2}{1+0}=2. $$

Так как $0<2<\infty$, то одновременно с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$.

Ответ: ряд сходится.

Пример №13

Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{7^n\cdot n!}$ на сходимость.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{n^n}{7^n\cdot n!}$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.

Общий член ряда содержит произведение элементов в степени $n$. Кроме того, есть $n!$. В этом случае удобно применить признак Д’Аламбера. Однако при желании можно использовать и признак сравнения. Так как $\left(\frac{n}{e}\right)^n < n! < e\cdot\left(\frac{n}{2}\right)^n$, то можем записать такое неравенство для общего члена ряда:

$$ \frac{n^n}{7^n\cdot e\cdot\left(\frac{n}{2}\right)^n}

Так как $\left|\frac{e}{7}\right| < 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e}{7}\right)^n$ (это ряд вида (2)) сходится. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e}{7}\right)^n$ сходится и $\frac{n^n}{7^n\cdot n!} < \left(\frac{e}{7}\right)^n$, то согласно первому признаку сравнения (пункт 2) будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{7^n\cdot n!}$.

Ответ: ряд сходится.

math1.ru

3Признаки сравнения рядов

   Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признаки сравнения рядов

Даны два ряда и− такие, чтодля всехn. Тогда справедливы следующие признаки:

 Если сходится, тотакже сходится;

 Если расходится, тотакже расходится.

Предельные признаки сравнения рядов

Пусть даны два ряда и, у которых членыan и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:

Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится приp > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1.

   Пример 1

Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.

Легко видеть, что дляn > 1. Применяя далее признак сравнения, находим

     

Поскольку ряд сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степениp = 2, то исходный ряд также сходится.

   Пример 2

Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.

Воспользуемся признаком сравнения. Заметим, что для всех натуральныхn. Ряд является обобщенным гармоническим рядом сp = 2 > 1 и, следовательно, сходится. Таким образом, исходный ряд сходится по признаку сравнения.

   Пример 3

Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Можно заметить, что для всех натуральных

n. Тогда

     

Поскольку − гармонический ряд, то он расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится по признаку сравнения.

   Пример 4

Определить, сходится или расходится ряд .

Решение.

Воспользуемся предельным признаком сравнения. Будем сравнивать заданный ряд со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Тогда

     

Разделим числитель и знаменатель на n3:

     

Следовательно, данный ряд сходится в соответствии с предельным признаком сравнения.

   Пример 5

Исследовать ряд на сходимость.

Решение.

Будем сравнивать наш ряд со сходящимся рядом . Получаем

     

Следовательно данный ряд сходится согласно предельному признаку сравнения.

   Пример 6

Исследовать ряд на сходимость.

Решение.

Применяем предельный признак сравнения. Сравним с расходящимся гармоническим рядом. Вычислим предел отношения соответствующих членов обоих рядов:

     

Таким образом, исходный ряд расходится.

   Пример 7

Определить, сходится или расходится ряд

Решение.

Используем предельный признак сравнения. Будем сравнивать со сходящимся обобщенным гармоническим рядом . Находим значение предела:

     

Следовательно, ряд сходится.

studfiles.net

Признак сравнения — ПриМат

Иногда на практике удобнее использовать следствие из данной теоремы.

Лимит времени: 0

Информация

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

Поделиться ссылкой:

Похожее

ib.mazurok.com

Исследовать сходимость ряда, применяя признаки сравнения

Поиск Лекций

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Методические указания и индивидуальные задания для студентов

технических специальностей

 

МОДУЛЬ – 11

 


Курск 2001

Составители: А.В.Бойков, А.Н.Фадеева

УДК 519

ББК В 161.3

Ч 67

 

Числовые ряды: Методические указания и индивидуальные задания для студентов технических специальностей / Курск. гос. техн. ун-т; Сост.: А.В. Бойков, А.Н. Фадеева. Курск, 2001. 48с.

Методические указания отражают требования образовательного стандарта уровня подготовки специалистов по техническим специальностям. Работа содержит теоретические индивидуальные упражнения (25), практические индивидуальные задания (800), контрольные вопросы, указания к использованию ЭВМ, указания к выполнению заданий, рекомендуемую литературу по теме “Числовые ряды”.

 

Предназначены для студентов технических специальностей.

 

Табл. 8. Библиогр.: 12 назв.

 

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики

В.И. Дмитриев

 

 

Текст печатается в авторской редакции

 

 

ЛР №020280 от 09. 12. 96. ПЛД № 50-25 от 1. 04.97.

Подписано в печать ________. Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.

Усл. печ. л…… Уч.-изд. л…… Тираж 100 экз. Заказ …………

Бесплатно.

Курский государственный технический университет.

Подразделение оперативной полиграфии Курского Государственного

технического университета.

Адрес университета и подразделения оперативной полиграфии:

305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Введение………………………….…………………………….…………………….4

1. Индивидуальные задания……………………………….….…………………….5

1.1. Теоретические упражнения….…………………………………….………5

1.2. Практические задания.…………………………………………………….8

1.2.1. Задание 1…………………………………………………………………8

1.2.2. Задание 2…..…….………………………………………………………12

1.2.3. Задание 3…………………………………………………………………18

1.2.4. Задание 4…………………………………………………………………22

1.2.5. Задание 5……..….………………………………………………………26

1.2.6. Задание 6……………………………………..…………………………30

1.2.7. Задание 7…………………………………………………………..……34

1.2.8. Задание 8…………………………………………………………….….38

2. Использование ЭВМ…………………………………………………………….42

3. Образцы выполнения некоторых заданий…………….………………………45

4. Контрольные вопросы………………………………………………………….47

Список рекомендуемой литературы………………………………………………48

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Цель преподавания математики в вузе – ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.

Важным фактором усвоения математики и овладения ее методами является самостоятельная работа студента.

Одной из форм организации самостоятельной работы студентов является система РИТМО – система рейтинговой интенсивной технологии модульного обучения. Как показывает опыт ряда вузов нашей страны эта система активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса математики.

Предлагаемые методические указания являются пособием к одному из модулей системы РИТМО, используемой в течении десяти лет в преподавании математики в Курском Государственном техническом университете. Методические указания посвящены теме “Числовые ряды” и содержат индивидуальные задания (теоретическое упражнение и практические задания), контрольные вопросы, рекомендуемую литературу, указания к использованию ЭВМ (Маthcad) при выполнении заданий модуля, образцы выполнения некоторых (наиболее трудных) заданий.

Предусмотрены три уровня сложности заданий модуля. Студент должен выполнить одно теоретическое упражнение и некоторое количество практических заданий, в зависимости от выбранного им (или преподавателем) уровня сложности:

первый уровень — №№ 1-6;

второй уровень — №№ 1-7;

третий уровень — №№ 1-8.

 

1. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

 

 

Выбор индивидуального задания к модулю 11 осуществляется по номеру варианта студента n.

При выполнении индивидуальных заданий модуля рекомендуется использовать следующую литературу:

[1, гл. 9, §§ 9.1- 9.7; 2, гл. IV, §§ 1-3; 3, гл. ХVI, §§ 1-8; 4, гл. 4, § 35; 5, гл.5, § 1; 6, гл. 12, §1; 7, гл. III, § 1; 8, гл. IX, §§ 1-2; 9 -12].

 

 

1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

 

Выполнить теоретическое упражнение номер m, где m = P25 , если Р25 ≠ 0 или m = 25, если Р25 = 0. Здесь Р25 остаток от деления n на 25. (Например, если n = 37, то Р25 = 12 и m = 12; если n = 50, то Р25 = 0 и m = 25.)

 

 

1. Исследовать сходимость геометрической прогрессии как ряда.

2. Сформулировать определения операций над рядами (сумма и разность рядов, умножение ряда на число) и соответствующие теоремы о сходимости рядов. Доказать сходимость и найти сумму ряда .

3. Что называется остатком ряда? Доказать сходимость ряда и найти остаток R5 этого ряда.

4. Что называется остатком ряда? Доказать сходимость ряда и найти остаток R3 этого ряда.

5. Доказать расходимость гармонического ряда.

6. Доказать, что отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на

сходимость этого ряда (но влияет на его сумму).

7. Сформулировать и доказать необходимый признак сходимости ряда.

Привести примеры трёх расходящихся рядов, для которых выполняется необходимый признак сходимости.

8. Сформулировать и доказать признак сравнения рядов с неотрицательными членами. Привести пример его использования.

9. Сформулировать и доказать предельный признак сравнения рядов с положительными членами. Привести пример его использования.

10. Сформулировать и доказать признак Даламбера. Привести пример его использования.

11.Доказать, что . Указание: исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера, и затем воспользоваться необходимым признаком сходимости ряда.

12. Доказать, что . Указание: исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера, и затем воспользоваться необходимым признаком сходимости ряда.

13. Сформулировать и доказать признак Коши (с радикалом). Привести пример его использования.

14. Сформулировать и доказать интегральный признак Коши — Маклорена. Привести пример его использования.

15. Исследовать сходимость ряда Дирихле (обобщенного гармонического ряда) , относительно параметра р .

16. Исследовать сходимость ряда , относительно параметра q.

17. Исследовать сходимость ряда , относительно параметра r.

18. Доказать, что если функция f(x) определена, непрерывна, неотрицательна и не возрастает на промежутке [a; +∞), a > 0, то для остатка R n ряда , n ≥ a , имеет место оценка R n ≤ .

19. Доказать сходимость ряда . Какое минимльное число членов этого ряда достаточно учесть, чтобы посчитать его сумму с точностью 0,001? Указание: использовать оценку остатка ряда из задания 18.

20. Доказать сходимость ряда . Какое минимльное число членов этого ряда достаточно учесть, чтобы посчитать его сумму с точностью 0,001? Указание: использовать оценку остатка ряда из задания 18.

21. Сформулировать определения абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда. Привести примеры рядов, сходящихся абсолютно и условно. Доказать теорему об абсолютной сходимости.

22. Доказать, что ряд сходится абсолютно, если ряды и сходятся. Указание: использовать неравенство .

23. Сформулировать и доказать признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Привести пример его использования.

24. Доказать оценку |R n| < | a n+1 | остатка Rn знакочередующегося ряда , удовлетворяющего условиям признака Лейбница. Какое минимальное число членов ряда нужно учесть, чтобы посчитать его сумму с точностью 0,01?

25. Доказать сходимость ряда и определить минимальное число членов этого ряда, учёта которых достаточно, чтобы посчитать сумму ряда с точностью 0,01.

 

 

1.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

 

 

1.2.1. Задание 1

 

Записать ряд в развернутой форме если задан общий член а n ряда. Выражение для общего члена взять в табл. 1.1.

 

Таблица 1.1

 

 

Продолжение табл. 1.1

Продолжение табл. 1.1

 

 

Продолжение табл. 1.1

 

1.2.2. Задание 2

 

Для ряда определить его общий член и записать ряд в виде

Таблица 1.2

Продолжение табл.1.2

Продолжение табл.1.2

Продолжение табл.1.2

Продолжение табл.1.2

Продолжение табл.1.2

 

 

1.2.3. Задание 3

 

Найти сумму ряда

 

Таблица 1.3

 

Продолжение табл. 1.3

Продолжение табл. 1.3

 

Продолжение табл. 1.3

 

 

1.2.4. Задание 4

 

Исследовать сходимость ряда, применяя признаки сравнения

 

Таблица 1.4

 

Продолжение табл. 1.4


Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

poisk-ru.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.