Дифференциальные уравнения в физике: Как научиться составлять ДУ и определять физ. смысл? : Физика

Содержание

Откуда берутся дифференциальные уравнения? // Владимир Побережный

Главная ≫ Инфотека ≫ Математика ≫ Видео ≫ Откуда берутся дифференциальные уравнения? // Владимир Побережный

Математик Владимир Побережный об экспонентах, источниках дифференциальных уравнений и векторном пространстве функций.

Что такое дифференциальные уравнения? Это уравнения на какую-то неизвестную функцию или соотношения, которым должна удовлетворять эта функция и какие-то ее производные (если функция одной переменной, то просто производные, если функция многих переменных, то частные производные). Это обобщение наших обычных уравнений, например алгебраических. Мы сначала учим в школе линейные уравнения, их графики дают прямые на плоскости — бывают квадратичные, кубические и так далее.

Это все алгебраические уравнения. Можно брать более сложные функции и более сложные уравнения, они дают какие-то более сложные графики. Объекты, которые они описывают, становятся более сложными, то есть линейные уравнения рисуют прямые, квадратичные — параболы, это все какие-то графики на плоскости или в более общем случае в большой размерности, какие-то поверхности в пространстве той или другой размерности. Поверхности или более сложные объекты, сделанные из поверхностей, — так называемые многообразия и так далее.

Дифференциальные уравнения — это следующий шаг. Уравнения, которые мы сейчас перечислили, задают в пространстве какие-то точки, подмножества точек. Уравнение задает множество точек на плоскости, и мы знаем, что эти точки выглядят как прямая. Это и есть график. Дифференциальные уравнения тоже задают какие-то подмножества, но они заданы уже в пространстве функций, то есть это соотношения, которым удовлетворяют функции. Решение дифференциального уравнения — это какой-то набор подмножества точек в пространстве функций.

Пространство функций является бесконечномерным.

Возникает нужда в анализе: как это все устроено и почему мы вообще на это так смотрим? Такой взгляд действительно имеет вполне разумное содержание и смысл. Если мы рассматриваем линейные дифференциальные уравнения, то у нас возникает аналогия с обычными линейными уравнениями. Например, мы знаем, что линейные уравнения на плоскости — это прямая, в пространстве — какая-то гиперплоскость. То есть это какой-то плоский объект. Оказывается, что множество функций, удовлетворяющих линейному дифференциальному уравнению, устроено примерно так же, это в каком-то смысле плоскость, или прямая, или плоскость какой-то размерности, но уже в бесконечномерном пространстве функций (официально это называется векторным пространством). Множество решений линейного дифференциального уравнения образует векторное пространство во множестве всех функций.

Откуда берутся дифференциальные уравнения? Конечно, основной поставщик дифференциальных уравнений (это мы тоже со школы знаем) — это физика и механика. Законы Ньютона, например, ускорение материальной точки (силе, которая на нее действует). Но ускорение — это вторая производная. Вот у вас получилось дифференциальное уравнение (вторая производная координаты) равна какой-то силе . Свойство классической механики состоит в том, что, как правило, уравнения там второго порядка. Видимо, оттуда это возникло, причем, как принято у физиков (это не редкость), дифференциальные уравнения возникли чуть ли не раньше дифференциального исчисления, и решать их тоже (конечно, без построения общей теории) люди начали раньше, чем все эти понятия вообще были определены, и добивались каких-то успехов. Мы знаем, что введение основ дифференциального исчисления произошло как раз во времена Ньютона и Лейбница, то есть практически одновременно с законом Ньютона, в котором уже есть дифференцирование.

Физика не единственный источник этих уравнений. Практически любая околоестественная наука является таким источником. Например, в химии происходят какие-то реакции, скорость реакций зависит от количества и пропорций компонентов. Два вещества смешиваются и как-то превращаются в третье с какой-то скоростью, пропорциональной чему-то. Это дифференциальные уравнения. В биологии тоже есть дифференциальные уравнения.

Конечно, это не биология, а какой-то детский пример. Есть стандартная задача о размножении кроликов. У вас есть парочка кроликов, они с какой-то периодичностью рожают еще пару. У вас была пара кроликов, она родила — стало две пары. Каждая пара еще родила — стало четыре и так далее. Как устроен закон? Видно, что число растет очень быстро, это экспоненциальный рост. Здесь возникает очень интересный, но уже не совсем математический вопрос моделестроительства или адекватного построения модели. Вот мы хотим описать размножение кроликов. Если мы его описываем таким образом, то легко подсчитать, что если уравнение устроено так, что (это из физики идет такое стандартное обозначение; вообще производные функций обычно обозначаются , но если производная по времени, то ее удобно обозначать ) равняется , то есть скорость роста равна числу уже имеющихся пар.

Такие уравнения мы умеем решать, это экспонента.

Эта модель, очевидно, не дает нам правильного приближения к жизни, на маленьких порядках немножко дает. С другой стороны, если бы все было в жизни устроено так, то кролики очень быстро бы захватили всю землю во много слоев, некуда было бы между ними наступить. Значит, надо как-то менять наше уравнение, подстраивать свойства модели под картинку, которую мы наблюдаем в жизни, и то, чему хотим быть адекватными. Например, чем больше кроликов, чем чаще они встречаются, тем больше вероятность, что у них возникнет какая-нибудь болезнь, которая будет заразной и будет передаваться от одного к другому, то есть надо вычесть какое-то слагаемое, пропорциональное частоте встреч. А как устроена частота встреч? Если кролики живут в каком-то лесу, каждый кролик занимает какое-то место, надо поделить площадь леса на площадь кроликов и так далее.

Стандартное, вполне обозримое и разумное приближение. Например, добавление в модель волков. У нас есть волки, есть кролики. Кролики как-то размножаются, и волки как-то размножаются. Кроликам для размножения нужен только лес и другие кролики, а волкам нужно что-то есть, им нужны, собственно, кролики. Поэтому скорость роста кроликов (), с одной стороны, равна числу пар (какому-то слагаемому ). С другой стороны, вычитается какое-то неудобство из-за перенаселенности, из-за ограниченности площади. С третьей стороны, вычитается какая-то пропорциональность числу волков, каждый волк кого-то съедает. А волки, в свою очередь, размножаются пропорционально своему имеющемуся числу (не как кролики, но все-таки), к тому же им надо что-то кушать, к тому же они тоже болеют. У нас получается набор, система уравнений. — это наши кролики, а , допустим, волки. Эти два уравнения должны выполняться одновременно, так модель усложняется и усложняется.

Даже в классической механике мы знаем, что если бросаем камень, то вблизи Земли у него ускорение постоянно . Но мы можем, например, добавлять сопротивление воздуха, оно уже зависит от скорости камня, то есть вторая производная будет не , а минус еще какое-то слагаемое, пропорциональное скорости .

Например, падает дождевая капля. Во-первых, она падает из-за силы тяжести, во-вторых, тормозится воздухом, в-третьих, если воздух влажный, то она еще и конденсируется, растет, вбирает влажность из окружающего воздуха, то есть у нее меняется масса.

Можно строить разные модели, как-то их усложнять, исследовать те интересные вопросы, которые возникают почти в любом приложении, где как-то используется математика. Но математика ради математики здесь тоже имеется: дифференциальные уравнения — это очень большой отдельный разнообразный раздел со множеством вариаций. Он настолько большой, что даже практически не бывает конференций по дифференциальным уравнениям, потому что нужно более тонкое деление: качественная теория, асимптотические методы, интегрируемые системы, уравнения в частных производных и так далее. Это вполне большая развитая наука, продолжающая развиваться.

Какие основные свойства и характеристики есть у дифференциальных уравнений? Что можно о них сказать? Во-первых, краеугольный камень для обыкновенных дифференциальных уравнений для одной переменной (неважно, вещественной или комплексной, комплексной даже лучше, как всегда это устроено в анализе) — это теорема существования и единственности.

Если у вас есть дифференциальное уравнение с достаточно разумными коэффициентами (эти слова формализуются разными способами, например гладкие) и есть начальные данные, то всегда есть локальное решение. Например, вы знаете, что ваш камень как-то падает, знаете, где он был в начальный момент времени и какая у него была в начальный момент времени скорость. После этого у него траектория считается по крайней мере локально, в окрестности этого положения.

Это очень сильный результат, опять-таки похожий на то, что у нас было с обычными уравнениями: мы знаем, что алгебраическое уравнение -того порядка имеет корней. В школе, конечно, учат, что бывает меньше, а потом если кто доучивается дальше, то учит, что нет, на самом деле столько же. Здесь есть аналогия: если уравнение -того порядка, то у него не решений, конечно, их бесконечно много, но множество решений параметризуется параметрами . Если есть уравнение второго порядка (наш камень), надо задать начальное положение и начальную скорость.

И вообще, для уравнения -того порядка надо задать начальных данных, и тогда будет всегда существовать решение. Если уравнение линейное, то эти начальных данных — это просто его координаты в -мерном конечномерном векторном пространстве решений.

Это специфика обыкновенных уравнений от одной переменной, но при этом все-таки уравнение локально решается, то есть мы знаем, что решение существует, а вот найти его мы в явном виде можем не всегда. Мы можем использовать какие-то приближенные методы, как-то бороться, но гарантий, что мы напишем какое-то конечное выражение и оно будет решать наше уравнение, нет.

Это была деятельность XIX века, когда люди активно занимались этой областью и изучали уравнения математической физики, из этого возникла целая наука про классические многочленные специальные функции Лежандра, Лагерра, Чебышева. Это была попытка как-то решать уравнения, которые возникали при тогдашнем развитии науки. В явном и конечном виде решения не выписывались, но это совершенно не мешало заниматься их анализом: исследовать свойства, связи, асимптотики. Современная наука занимается более сложными уравнениями. Сейчас, например, вполне популярная деятельность — исследование уравнений Пенлеве. Это такие новые специальные функции — решения уравнений Пенлеве, сейчас занимаются их исследованиями, асимптотикой, связями, геометрическим смыслом, содержанием и так далее по аналогии с физикой XIX века.

Владимир Побережный, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник международной лаборатории теории представлений и математической физики, доцент факультета математики НИУ ВШЭ
ПостНаука

Похожее

О стратегии Петровского–Ландиса, амплитуде колебаний маятника и движении по предельному циклу

Илья Щуров

Представим себе заведенные часы, в которых маятник находится в положении равновесия. Возможно, вы знаете, что для того, чтобы такие часы запустить, маятник нужно немного качнуть в сторону. Но после того, как вы его качнете, вы можете его качнуть совсем слабенько или вы можете его качнуть достаточно сильно, вне зависимости от того, как сильно вы это сделаете, маятник достаточно быстро начнет колебаться с той частотой и с той амплитудой, с которой он должен это делать. Именно это позволяет ему аккуратно отмерять время. С точки зрения математика, маятник переходит в режим, который называется движением по предельному циклу. Что это означает?
Изомонодромные деформации

Владимир Побережный

Математик Владимир Побережный об уравнениях Шлезингера, интегрируемости и полиномиальных функциях.
Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем

Дмитрий Аносов

В книге рассказывается о дифференциальных уравнениях. В одних случаях автор объясняет, как решаются дифференциальные уравнения, а в других—как геометрические соображения помогают понять свойства их решений. (С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии книги.) Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов. Книга рассчитана на интересующихся математикой школьников старших классов. От них требуется лишь понимание смысла производной как мгновенной скорости.
Дифференциальные уравнения

Валерий Опойцев

Тематику дифференциальных уравнений, безусловно, надо расширять, иначе «молодые побеги» — хаос, аттракторы, солитоны — будут расти сквозь асфальт. С другой стороны, базовые курсы нуждаются в резком сокращении, поскольку для самих дифуров не так много места остается в этой жизни. Из-за информационного переполнения. При этом стандартных мер недостает. Единственное средство — тривиализация дисциплины. Математика, как и человек, — иногда надувает щеки, наряжается и творит мифы. Поэтому в дифурах немало лишнего, вычурного, случайного — и одно лишь наведение порядка высвобождает массу свободного места. Данный мини-курс адресован «всем», поскольку преподносит некую общую часть. Не простую и не сложную, но дающую представление об основах и позволяющую при необходимости быстро войти в предмет и двигаться дальше.
Дифференциальные уравнения: не решаем, а рисуем

Дмитрий Аносов

Как геометрические соображения помогают понять свойства решений дифференциальных уравнений. С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии лекции. Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов.
Эволюционные процессы и философия общности положения

Юлий Ильяшенко

Эволюционные процессы происходят повсюду вокруг нас — от движения атомов до движения планет. Ньютон понял, что эти процессы описываются дифференциальными уравнениями, и что эти уравнения полезно решать. В последующие полтора столетия стало ясно, что большинство дифференциальных уравнений решить нельзя. Пуанкаре создал новую ветвь математики — качественную или геометрическую теорию дифференциальных уравнений, которая изучает свойства решений непосредственно по уравнению, минуя попытки это уравнение решить. Оказалось, что даже на качественном уровне поведение решений может быть очень сложным. Ситуация резко упрощается, если «все» уравнения заменить на «типичные». С физической точки зрения интересны именно типичные дифференциальные уравнения. В лекциях будет рассказано об эволюции этих концепций и сформулированы некоторые нерешенные проблемы.
Проблема Римана — Гильберта

Владимир Побережный

Математик Владимир Побережный о том, из чего состоят комплексные дифференциальные уравнения, об обратных задачах монодромии, понятии горизонтальности и топологическом характере препятствий.
Математики нашли проблему в знаменитых уравнениях Навье-Стокса для описания жидкостей

Уравнения Навье-Стокса при помощи нескольких лаконичных членов описывают одно из самых распространённых явлений физического мира: течение жидкостей. Эти уравнения используются для описания всего, от океанских течений и турбулентности, следующей за самолётом до потока крови в сердце. Хотя физики считают эти уравнения надёжными, как молоток, математики относятся к ним с недоверием. Для математика то, что эти уравнения вроде бы работают, мало что значит. Им нужны доказательства того, что уравнения безошибочны: что для любой жидкости и для долгосрочного прогноза, распространённого сколь угодно далеко в будущее, математика уравнений не подведёт.
Бифуркации векторных полей на плоскости

Наталия Гончарук

В каждой точке плоскости нарисуем вектор. Получилось векторное поле. Будем считать, что по плоскости течёт вода, а векторы — её скорости течения в разных точках. Теперь бросим в воду несколько щепок и нарисуем траектории их движения. Получится фазовый портрет векторного поля. По картинке стало видно, что происходит со щепками: некоторые приближаются к внешнему предельному циклу, от другого цикла все щепки отдаляются. Куда ещё могут накапливаться траектории щепок (теорема Пуанкаре-Бендиксона). Как ещё могут быть устроены фазовые портреты. Также мы обсудим бифуркации: перестройки фазовых портретов, когда векторное поле слегка меняется. Будут свежие результаты и открытые вопросы.
Комплексные дифференциальные уравнения

Владимир Побережный

Что такое монодромия? Как продолжаются функции в комплексном мире? Каково пространство решений в комплексной плоскости? Как построить линейное дифференциальное уравнение? На эти и другие вопросы ответил кандидат физико-математических наук Владимир Побережный.

Далее >>>

«Почему не решаются некоторые дифференциальные уравнения? » — Яндекс Кью

myPhysicsLab Что такое дифференциальное уравнение?

Дифференциальное уравнение может выглядеть довольно устрашающе, с большим количеством причудливых математических символов. Но идея на самом деле довольно проста:

Дифференциальное уравнение показывает, как скорость изменения («дифференциал») одной переменной связана с другими переменными.

Например, симуляция с одной пружиной имеет две переменные: положение блока, х , и его скорость, против . Каждая из этих переменных имеет дифференциальное уравнение, показывающее, как эта переменная изменяется с течением времени. Дифференциальное уравнение для положения х

х ‘ = v

где х ‘ указывает производную от х по времени (скорость изменения х ). Это уравнение говорит

скорость изменения положения равна скорости

Это очевидное утверждение. Подождите, следующее уравнение интереснее:

Величина растяжения пружины напрямую связана с положением блока, х . Вы можете увидеть подробности на странице моделирования с одной пружиной, но с использованием закона Ньютона. F = м a мы можем написать дифференциальное уравнение для скорости против как

v ‘ = — к х

где к — постоянная пружины (насколько жесткой является пружина). Это уравнение говорит

скорость изменения скорости обратно пропорциональна положению

Например, когда положение равно нулю (т. е. пружина не растянута и не сжата), скорость не меняется. Это имеет смысл, потому что в этот момент пружина не действует.

С другой стороны, когда положение большое (т. е. струна очень сильно растянута или сжата), скорость изменения скорости велика, потому что пружина оказывает большое усилие.

Что такое решение дифференциального уравнения?

Когда вы начинаете изучать математику, вы работаете над решением уравнений типа

х ² + 2 х + 1 = 0

, у которого есть решение х = -1 Для дифференциального уравнения решением является не одно значение, а функция . Задача состоит в том, чтобы найти функцию, различные производные которой соответствуют дифференциальному уравнению за большой промежуток времени. Например,

х » + 2 х ‘ + х = 0

(1)

— дифференциальное уравнение, цель которого — найти функцию х ( т ) что, когда вы подставляете функцию и ее производные в дифференциальное уравнение, уравнение сохраняет для любого времени т .

Общее решение для предыдущего уравнения оказывается равным

x ( t ) = a e ^{− t} + b t e ^{− t}

(2)

where е = 2,71828… а также а , б являются неопределенными константами. Легко убедиться, что у вас есть решение: просто подставьте решение к дифференциальному уравнению! В нашем примере мы находим первую и вторую производные (см. статью о том, как найти эти производные… это довольно просто!):

x ‘( T ) = ( B — A ) E ^{— T} — B T E ^{— T}7791111111111111119966 — T 77992

1911111111111111111111111111111911111111111111111111111111111111111111111111111111110 г.

x »( t ) = ( a − 2 b ) e ^{− t} + b t e ^{− t}

(4)

Теперь подставьте эти уравнения (2), (3) и (4) в левую часть дифференциального уравнения (1) и выполните алгебраические действия:

х » + 2 х ‘ + х =

= (( a − 2 b ) e ^{− t} + b t e 0 1 1 1 ^{− + 2(( b − a ) e ^{− t} − б т д ^{− т} )
+ ( a e ^{− t} + b t e ^{− t} )}

= ( a − 2 b + 2 b − 2 a + a ) e ^{− t} + ( б — 2 б + б ) т д ^{— т}

= 0

Следовательно, решение (2) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) при любых значениях а , б .

Решение называется общим решением , потому что мы еще не применили конкретный набор начальных условий .

Начальные условия

В приведенном выше примере у нас остались неопределенные константы а , б . Как мы узнаем, что они из себя представляют? Они устанавливаются в соответствии с начальные условия , которые являются конкретными начальными значениями переменных. Например, при моделировании одиночной пружины начальными условиями являются начальное положение и скорость блока во времени. т = 0 .

Для приведенного выше примера проблемы у нас могут быть начальные условия, определяющие положение х и скорость х ‘ вовремя т = 0 следующим образом

х (0) = 1
х ‘(0) = 0

Тогда мы можем подключить т = 0 в уравнения (2) и (3) выше, чтобы найти значения констант а , б

х (0) = a + 0 = 1

x ‘(0) = ( b — a ) — 0 = 0

и поэтому мы находим, что а = б = 1 а конкретное решение равно

х ( t ) = e ^{— т} + т е ^{− т}

Это решение называется частным решением , потому что оно применимо только к выбранным нами конкретным начальным условиям.

Дополнительная информация о дифференциальных уравнениях:

Классификация типов дифференциальных уравнений

Эта веб-страница была впервые опубликована в июне 2001 года.

несколько простых примеров из Physclips

Дифференциальные уравнения включают в себя дифференциал количества: как быстро это количество изменяется по отношению к изменению другого. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение относительно x(t) может включать x, t, dx/dt, d ², x/dt ² и, возможно, другие производные. Ниже мы рассмотрим два простых примера обыкновенных дифференциальных уравнений, решим их двумя разными способами и покажем, что в них нет ничего страшного — ну, по крайней мере, не в тех простых, с которыми вы встретитесь во вводном курсе физики.

(И к тому времени, когда вы столкнетесь со сложными уравнениями на курсах физики второго года и старше, вы уже более формально изучите дифференциальное исчисление по своим предметам математики.)

Методы решения дифференциальных уравнений
Экспоненциальный рост и затухание
Простое гармоническое движение
Затухающие и вынужденные колебания
Уравнения в частных производных: волновое уравнение

Мы предполагаем, что вы уже немного знакомы с вычислениями. Если нет, сначала см. это введение.

Методы решения дифференциальных уравнений

Существует несколько различных способов решения дифференциальных уравнений, которые я перечислю в приблизительном порядке популярности. Я также классифицирую их способом, который отличается от того, что можно найти в учебниках.

Знай или ищи . Конечно! Уже решено очень много дифференциальных уравнений. Некоторые из них вы узнаете, а другие вы можете найти. Это , безусловно, наиболее распространенный способ, которым ученые или математики «решают» дифференциальные уравнения. Это также то, как некоторые (нечисловые) компьютерные программы решают дифференциальные уравнения.

Замена . Часто дифференциальное уравнение можно упростить, заменив одну или другую переменную. Это может сделать ее уже решенной (см. выше) или решаемой одним из других методов. (Программные пакеты тоже делают это.) Эта категория решений включает в себя ряд методов, которые вы изучите на курсе математики второго года обучения.

Угадай и попробуй . Другой очень распространенный метод решения дифференциальных уравнений: угадать, каким может быть решение, подставить его и, если это не решение или не полное решение, изменить предположение, пока не будет получено полное решение. Это используется часто — чаще, чем можно было бы предположить, читая книги и статьи, где процесс обычно кажется довольно элегантным. Во многих случаях вы знаете что-то об изучаемой системе, что дает вам подсказку. Опыт, конечно, тоже помогает. Однако ниже мы увидим, что угадывать иногда несложно.

Изменить более простое решение . Если вы знаете решение уравнения, которое является упрощенной версией того, с которым вы столкнулись, попробуйте изменить решение более простого уравнения, чтобы сделать его решением более сложного.

Трансформация . Некоторые дифференциальные уравнения легче решать при математическом преобразовании. Это основное применение преобразований Лапласа.

Численное решение. Если все вышеперечисленное не помогло, то алгоритм, обычно реализуемый на компьютере, может решить ее явно, вычислив производные как отношения. Обычно это крайний метод по двум причинам. Во-первых, это дает вам решение только для одного конкретного набора граничных условий и параметров, тогда как все вышеперечисленное дает вам общие решения. Во-вторых, он имеет ограниченную точность: числовые производные по своей природе зашумлены.

Интеграция . Эта техника элегантна, но часто трудна (или невозможна). Иногда можно умножить уравнение на интегрирующий коэффициент, чтобы сделать интегрирование возможным.

Специальные типы . Это расплывчатое название должно включать в себя специальные методы, которые работают для определенных типов уравнений. Это тоже для изучения на курсах математики в старших классах.

Аналоговое решение. Некоторые дифференциальные уравнения легко решаются на аналоговых компьютерах. Они очень быстрые и поэтому подходят для задач управления в реальном времени. Их недостатками являются ограниченная точность и то, что аналоговые компьютеры сейчас редкость.

Ниже приведены два примера решения общих уравнений. Они простые, потому что имеют только постоянные коэффициенты, но именно с ними вы столкнетесь на первом курсе физики. Эти уравнения могут быть решены несколькими способами, указанными выше, но мы проиллюстрируем только два метода.

Пример 1: экспоненциальный рост и затухание

Прежде чем идти дальше, , что мы уже знаем? Подумайте, что означает эта ситуация: если число удваивается за один день (скажем), то на второй день их становится вдвое больше, поэтому на второй день популяция снова удвоится и так далее. Это говорит нам, какое решение мы ищем: геометрическое или экспоненциальное увеличение (пример нарисован справа: больше об экспоненциальной функции по этой ссылке).

Поскольку это простое уравнение, давайте решим его интегрированием.

Для этого уравнения можно разделить переменные , т. е. перестроить уравнение так, чтобы в одну часть входили только х, а в другую — только t. Здесь мы получаем

где C — постоянная интегрирования. (Подробнее о логарифмической функции и константах интегрирования в исчислении Physclips.) Константа (константы) интегрирования обычно находится из граничных условий: что в данном случае означает знание x при некотором значении t. Для этого примера предположим, что мы знаем, что в момент времени t = 0 x = x ₀ . Замена дает

Разница между двумя логарифмами является логарифмом отношения, поэтому

и, взяв антилогарифмы (или возведя каждую сторону в степень e):

Проверим размеры.

e ^αt — это число, поэтому x имеет те же размеры и единицы измерения, что и x ₀ : это хорошо! Аргумент экспоненциальной функции должен быть числом, а это означает, что a имеет размеры обратного времени. α — пропорциональная скорость прироста населения, так что это доля за время, так что да, размеры верны. Из-за этих размерностей обычно определяют τ = 1/α , что дает решение

В примере справа τ (или 1/α) называется постоянной времени или характеристическим временем. Его смысл теперь ясен: когда t = τ, x/x ₀ равно e ¹ = 2,72. По истечении двух постоянных времени (когда t = 2τ) мы имеем x/x ₀ = e ² = 7,39 и т. д. x растет в e раз за каждый временной интервал τ. (Подробнее об экспоненциальной функции по этой ссылке.)

Кстати, здесь стоит остановиться и отметить, что дифференциальные уравнения почти всегда являются лишь приближениями. Невозможно иметь систему, описываемую этим уравнением. Например, популяция любого вида не может расти экспоненциально. Приведу лишь одно ограничение: когда организмы занимают твердую сферу, радиус которой увеличивается со скоростью света, дальнейший рост не может быть экспоненциальным. (Об этом стоит помнить, когда политики становятся одержимыми достижением роста чего-либо, но особенно населения.)

Экспоненциальное уменьшение

В приведенном выше примере α был положительным. Рассмотрим теперь случай, когда коэффициент при t отрицателен, например радиоактивный распад. Если имеется N(t) радиоактивных ядер в момент времени t и N ₀ в момент t = 0, и если скорость их распада (-dN/dt) пропорциональна числу нераспавшихся ядер с константой пропорциональности α, то

Делая то же интегрирование, что и выше, мы имеем

где в этом случае τ — время, необходимое для изменения популяции в e ⁻¹ = 0,37 и т. д.

Пример 2: Простое гармоническое движение

В направлении x второй закон Ньютона говорит нам, что F = ma = m.d ² x/dt ² , и здесь сила равна − kx. Это дает нам дифференциальное уравнение:

где x — отклонение массы m от равновесия в момент времени t, а k — жесткость пружины, к которой прикреплена масса.

Что мы уже знаем?

Поведение. Если мы сместим груз и отпустим его, пружина разгонит его до положения равновесия (x = 0). Когда он достигает этого места, сила на нем равна нулю, но он движется с ненулевой скоростью. Таким образом, из-за своей инерции он промахивается: он продолжает двигаться за пределами x = 0. Однако по эту сторону от x = 0 пружина замедляет его, в конечном итоге останавливая. Но сила пружины теперь велика, поэтому она ускоряется в противоположном направлении, возвращаясь к точке x = 0. Когда она достигает этой точки, она промахивается… Хорошо, она колеблется. Итак, мы будем искать решение, которое колеблется .

Другое дело, что мы пренебрегли трением, чтобы получить это уравнение. Так что нечему преобразовывать механическую энергию, поэтому система будет колебаться вечно. Это важно и в нашем решении.

Размеры тоже помогают. Левая часть представляет собой ускорение, поэтому к/м должно иметь размерность (время) ⁻² . Таким образом, характерное время τ в этом уравнении равно τ ⁻² = к/м или τ = (м/к) ^½ . Обратная величина времени — это частота, поэтому 1/τ может быть частотой или, возможно, угловой частотой, или, по крайней мере, связана с ними. Мы узнаем.

Сейчас самое время использовать метод решения «Угадай и попробуй ». Нам нужно решение, которое колеблется вечно и обладает тем свойством, что его вторая производная пропорциональна самой себе, но отрицательна. Функция синуса делает все это. Теперь мы не можем написать x = sin t по причинам размерности: аргумент функции синуса не может иметь размерности: он дается в радианах (что является отношением или числом). Мы можем написать

sin (2πft) или, что то же самое, sin (ωt),

Однако sin (ωt) — это число, и нам нужно, чтобы длина имела те же размеры, что и x, поэтому возможное решение:

Однако с этим предлагаемым решением есть проблема: оно имеет x = 0, когда t = 0. Было бы нормально, если бы я дал ему толчок, чтобы запустить его из состояния покоя, но что, если я выпущу массу из состояния покоя в точке, удаленной от равновесия? В последнем случае мне понадобится x = A cos (ωt). Общее решение должно учитывать эти и любые другие начальные условия. Поэтому вместо этого мы пишем:

x = A sin (ωt + φ)

Может ли это быть решением? Берем производные и получаем

Итак, это решение при условии, что ω ² = k/m. Или, если хотите, мы можем записать общее решение в виде

Итак, вернемся к рассмотрению φ. Если мы начнем движение (t = 0) с v = 0 при x = A, то φ должно быть равно 90°: вместо синуса мы имеем косос-функцию. В качестве альтернативы, если мы начнем с максимальной (положительной) скорости при x = 0, тогда нам нужно φ = 0. Мы приводим примеры этих случаев на странице фона для колебаний. Однако мы могли бы начать с любой комбинации начального перемещения x = x ₀ и v = v ₀ . Итак, для общего случая (x ₀ ≠ 0, v ₀ ≠ 0) мы можем подставить, чтобы получить

Мы можем решить их через A и φ, сначала разделив два уравнения, затем возведя их в квадрат и сложив. Итак, для этих заданных начальных условий мы можем найти комбинацию констант A и φ, так что это общее решение.

Сколько граничных условий? В нашем первом примере нам нужно было найти только одну константу интегрирования, поэтому нужно было найти только одно начальное условие (или другое граничное условие). Второй пример представлял собой уравнение второго порядка, требующее двух интегрирований или двух граничных условий. Здесь мы можем указать два из начальных перемещений, скорость и ускорение, или какие-то другие два параметра.

Затухающие и вынужденные колебания

Физически этот термин соответствует силе, пропорциональной скорости. Что мы можем предположить о решении и как нам изменить решение, которое мы получили выше, чтобы оно удовлетворяло нашему новому дифференциальному уравнению? Опять же, мы можем использовать наши знания о физической системе: когда мы прикладываем силу, направление которой противоположно скорости, мы замедляем ее. Таким образом, мы можем ожидать одного из двух возможных ответов: либо он должен колебаться, причем амплитуда колебаний постепенно уменьшается с течением времени, либо (если затухание достаточно велико) он может замедлиться до полной остановки, даже не колеблясь.

Это навело бы нас на мысль о возможности решения вида Мы можем попробовать это уже. Но это не совсем решение. Ну, а если демпфирующая сила замедляет вибрацию? Почему бы не попробовать (ω + δω) вместо ω = k/m и посмотреть, даст ли это решение для подходящего значения δω?

Добавим еще одно усложнение: давайте начнем трясти частицу с дополнительной колебательной силой, скажем, F = F ₀ sin Ωt. Это дает нам новое дифференциальное уравнение:

₀

Уравнения в частных производных: волновое уравнение

∂y/∂x. Подумайте об этом как dy/dx в заданное постоянное время, t. Представьте, что вы фотографируете (время постоянно): на изображении в момент времени t это наклон формы y(x) в момент фотографирования.

∂y/∂t. Подумайте об этом как dy/dt в данной позиции, x. Это просто скорость в направлении y в конкретной точке x на струне. (Кстати, не скорость волны).

y  =  A sin(kx − ωt),    так что
∂y/∂x  =  kA cos(kx − ωt), который представляет собой наклон строки в позиции x и момент времени t, и
∂y/∂t  =  − ωA cos(kx − ωt), которая является скоростью точки струны в точках x и t.

Два нижних графика представляют собой вторые производные по тем же переменным:

Они имеют важное физическое значение: первое определяет кривизну струны. Если ∂y ² /∂x ² = 0, то наклон постоянный, поэтому он прямой. Это означает, что натяжение T действует в противоположных направлениях на противоположных концах, не создавая результирующей силы. Однако если сегмент изогнут (∂y ² /∂x ² ≠ 0), на него действует сила. При постоянной кривизне на малой длине L результирующая сила пропорциональна L.

Нам известно ускорение, поэтому мы можем применить второй закон Ньютона. Масса сегмента равна µL, где µ – масса единицы длины µ. Запись закона Ньютона в виде a = F/m дает:

Оглядываясь назад на наши выражения для двух вторых производных, мы видим, что они являются нашими простыми константами, умноженными на нашу исходную функцию y = A sin(kx − ωt). Это означает, что y = A sin(kx − ωt) является решением волнового уравнения при условии, что T /µ = ω ² /к ² .