В этой статье приведены две задачи, которые помогут вам научиться определять радиус кривизны траектории при движении тела под углом к горизонту. Каждая из задач представляет собой целый набор, поэтому неясностей не должно остаться.
Задача 1.
Тело брошено со скоростью 10 м/с под углом к горизонту. Найти радиусы кривизны траектории тела в начальный момент его движения, спустя время 0,5 с и в точке наивысшего подъема тела над поверхностью земли. Как известно, радиус кривизны траектории связан с нормальным ускорением и скоростью формулой:
Откуда :
То есть, чтобы найти радиус кривизны траектории в любой точке, необходимо лишь знать скорость и нормальное ускорение, то есть ускорение, перпендикулярное вектору скорости. Рассмотрим все заданные точки и определим в них скорости и нужные составляющие ускорения.
К задаче 1
Самое простое – это определение этих величин в точке наивысшего подъема. Действительно, вертикальная составляющая скорости здесь равна нулю, поэтому скорость тела в данной точке равна горизонтальной составляющей, а ускорение, нормальное к вектору этой скорости – это ускорение свободного падения, поэтому
Вторая по простоте расчета – точка начала движения. Скорость в ней нам уже известна, осталось с ускорением разобраться. Ускорение свободного падения разложим на две составляющие: и . Первая – перпендикулярна скорости, она-то нам и нужна. Определяем радиус:
Наконец, точка, в которой тело окажется через пол-секунды. Наше тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью, равной . По вертикали тело будет двигаться равнозамедленно до середины траектории (наивысшей точки), а затем равноускоренно. Определим, успеет ли тело добраться до апогея:
Простой прикидочный расчет показывает, что нужная нам точка находится на первой половине траектории, где тело еще двигается вверх. Тогда его скорость по оси :
Определим полную скорость тела в момент времени :
Угол наклона вектора скорости к горизонту в этот момент равен:
А можно было сразу и косинус найти:
Тогда искомый радиус кривизны траектории равен:
Ответ: м, м, м.
Задача 2.
Под каким углом к горизонту нужно бросить шарик, чтобы а) радиус кривизны траектории в начальный момент времени был в 8 раз больше, чем в вершине; б) центр кривизны вершины траектории находился бы на поверхности земли? Запишем условие задачи так: а) , б). а)Как и в предыдущей задаче, определяем радиус кривизны траектории в точке броска. Скорость нам известна, а нормальным ускорением будет проекция ускорения свободного падения: Определим теперь радиус кривизны в вершине:
По условию :
б) Мы уже определили , осталась максимальная высота подъема.
Время определяем из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости так же, как мы это делали в предыдущей задаче:
Приравниваем и :
Откуда .
Ответ: а) , б) .
Движение по окружности-Теория.Скорость в физике
На главную
Теория
Задачи
Учёные
Интересные статьи
Шкала скоростей
При движении по окружности с
постоянной по величине линейной
скоростью v тело испытывает
направленное к центру окружности
постоянное центростремительное
ускорение
aц = v2/R,
где R — радиус окружности.
Вывод формулы для
центростремительного ускорения
По определению
На рисунке треугольники,
образованные векторами перемещений
и скоростей, подобны. Учитывая, что
|r1| = |r2| = R и |v1| = |v2| = v, из
подобия треугольников находим:
откуда
Поместим начало координат в
центр окружности и выберем
плоскость, в которой лежит
окружность, за плоскость (x, y).
Положение точки на окружности в
любой момент времени однозначно
определяется полярным углом j,
измеряемым в радианах (рад), причем
x = R cos(j + j0), y = R sin(j + j0),
где j0 определяет начальную фазу
(начальное положение точки на
окружности в нулевой момент времени).
В случае равномерного вращения
угол j, измеряемый в радианах,
линейно растет со временем:
j = wt,
где w называется циклической
(круговой) частотой. Размерность
циклической частоты: [w] = c-1 = Гц.
Циклическая частота равна
величине угла поворота (измеренном в
рад) за единицу времени, так что
иначе ее называют угловой скоростью.
Зависимость координат точки на
окружности от времени в случае
равномерного вращения с заданной
частотой можно записать в виде:
x = R cos(wt + j0),
y = R sin(wt + j0).
Время, за которое совершается
один оборот, называется периодом T.
Частота
n = 1/T.
Размерность частоты:
[n] = с-1 = Гц.
Связь циклической частоты с
периодом и частотой: 2p = wT, откуда
w = 2p/T = 2pn.
Связь линейной скорости и угловой
скорости находится из равенства:
2pR = vT, откуда
v = 2pR/T = wR.
Выражение для
центростремительного ускорения
можно записать разными способами,
используя связи между скоростью,
частотой и периодом:
aц = v2/R = w2R = 4p2n2R = 4p2R/T2.
Связь поступательного и вращательного
движений
Основные кинематические
характеристики движения по прямой с
постоянным ускорением: перемещение
s, скорость v и ускорение a.
Соответствующие характеристики при
движении по окружности радиусом R:
угловое перемещение j, угловая
скорость w и угловое ускорение a (в
случае, если тело вращается с
переменной скоростью). Из
геометрических соображений
вытекают следующие связи между
этими характеристиками:
перемещение sугловое
перемещение j = s/R;
скорость vугловая скорость
w = v/R;
ускорение aугловое ускорение
a = a/R.
Все формулы кинематики
равноускоренного движения по прямой
могут быть превращены в формулы
кинематики вращения по окружности,
если сделать указанные замены.
Например:
s = vtj = wt,
v = v0 + atw = w0 + at.
Связь между линейной и угловой
скоростями точки при вращении по
окружности можно записать в
векторной форме. Действительно,
пусть окружность с центром в начале
координат расположена в плоскости
(x, y). В любой момент времени вектор
R, проведенный из начала координат в
точку на окружности, где находится
тело, перпендикулярен вектору
скорости тела v, направленному по
касательной к окружности в этой
точке. Определим вектор w, который
по модулю равен угловой скорости w и
направлен вдоль оси вращения в
сторону, которая определяется
правилом правого винта: если
завинчивать винт так, чтобы
направление его вращения совпадало с
направлением вращения точки по
окружности, то направление движения
винта показывает направление
вектора w.
Тогда связь трех взаимно
перпендикулярных векторов R, v и w
можно записать с помощью векторного
произведения векторов:
v = wR.
Задачи на эту тему
Формула радиуса кривизны — Выучить формулу радиуса кривизны
Радиусом кривизны кривой называется любой примерный радиус окружности в любой заданной точке. По мере движения по кривой радиус кривизны изменяется. Формула радиуса кривизны обозначается как «R». Величина, на которую кривая превращается из плоской в кривую и из кривой обратно в прямую, называется кривизной. Это скалярная величина. Радиус кривизны обратно пропорционален кривизне. Радиус кривизны — это не реальная форма или фигура, а воображаемый круг. Давайте подробно разберем формулу радиуса кривизны, используя решенные примеры в следующем разделе.
Что такое радиус формулы кривизны?
Расстояние от вершины до центра кривизны известно как радиус кривизны (обозначается R). {2}} |}\) 9{2}} |}\)
, где K — кривизна кривой, K = dT/ds, (функция тангенса-вектора)
R — радиус кривизны
Разбор сложных понятий с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Закажите бесплатный пробный урок
Давайте быстро рассмотрим пару примеров, чтобы лучше понять формулу радиуса кривизны. 9{2}} |}\).
Центростремительная сила
Центростремительная сила
Любое движение по криволинейной траектории представляет собой ускоренное движение и требует приложения силы, направленной к центру кривизны траектории. Эта сила называется центростремительной силой, что означает «сила поиска центра». Сила имеет величину
.
Для раскачивания груза на струне требуется натяжение струны, и груз будет перемещаться по касательной прямой, если струна порвется.
Центростремительное ускорение
можно вывести для случая
круговое движение с момента
криволинейный путь в любой точке может
быть расширена до круга.
Обратите внимание, что центростремительная сила пропорциональна квадрату скорости, а это означает, что удвоение скорости потребует четырехкратной центростремительной силы, чтобы поддерживать движение по кругу. Если центростремительная сила должна обеспечиваться только трением на кривой, увеличение скорости может привести к неожиданному заносу, если трение недостаточно.
Расчет
Центростремительная сила на кривой автомагистрали с уклоном
Индекс
Пример с массой на струне
Гиперфизика***** Механика ***** Вращение
R Ступица
0
Назад
Обратите внимание, что условия здесь предполагают отсутствие дополнительных сил, как горизонтальный круг на поверхности без трения. Для вертикального круга скорость и натяжение должны различаться.
Любое из значений данных может быть изменено. Закончив ввод данных, нажмите на количество, которое вы хотите рассчитать в приведенной выше формуле. Преобразование единиц будет выполняться по мере ввода данных, но значения не будут принудительно согласованы до тех пор, пока вы не нажмете на нужное количество.
Расчет для: Радиус r = м = фут Масса = м = кг = снарядов Вес = Вт = Н = фунты Скорость = v = м/с =
ft/s или в обычных единицах скорости на шоссе, скорость = км/ч = мили/ч
Центростремительная сила = F = Н = фунты
Обсуждение концепции
Индекс
Гиперфизика***** Механика ***** Вращение
R Ступица
Назад
Выражение центростремительного ускорения получено из анализа кругового движения с постоянной скоростью с использованием подобных треугольников.
Действительно, вертикальная составляющая скорости здесь равна нулю, поэтому скорость тела в данной точке равна горизонтальной составляющей, а ускорение, нормальное к вектору этой скорости – это ускорение свободного падения, поэтому