|
Оглавление: Понятие логарифма Понятие логарифмаРассмотрим уравнение , которое задаёт нам вопрос: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? На этот вопрос отвечает
логарифм , который равен трём: . …замысловато? Ну не зря же это проходят в старших классах J. Логарифмом числа по основанию : …тождество – это такое железобетонное равенство 🙂 Сама запись читается как « логарифм «бэ» по основанию «а» », и очевидно, что логарифм определён лишь для положительных «бэ»: – по той причине, что любое положительное «а» в любой действительной степени «пэ»: – положительно. Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом, и для краткости обозначают значком , например: . Логарифм по основанию «е» называют натуральным логарифмом и обозначают значком , например: . В высшей математике в ходу именно натуральные логарифмы, и в дальнейшем мы уделим им самое пристальное внимание. Свойства логарифмовКак и в случае со степенями / корнями, я не буду разбирать все свойства, а остановлюсь лишь на тех,
которые имеют большое значение для практики. .  Но гораздо чаще встречается частный случай формулы: , например: . Разумеется, формула работает и в обратном направлении, что бывает удобным, когда нужно избавиться от
знаменателя: .Если то справедливо следующее (и слева направо и справа налево): Например: . Обращаю внимание, что эти действия выполнимы только для логарифмов с одинаковыми основаниями, не путайте с «похожими» ситуациями: , или . Однако в последнем случае можно сделать так: . Далее. Для и любого действительного числа : Например: – и это просто волшебство! Ведь это здОрово избавиться от 50-й степени! Популярно и обратное действие, особенно, когда нужно выполнить другие упрощения: , если чётное.  Например: – и
равносильность соблюдена, поскольку полученный логарифм тоже определён для отрицательных «икс».А вот такое преобразование неравносильно: , и поэтому здесь следует обязательно указать, что . В случае иных значений модуль не нужен: – по той причине, что и исходные и полученные логарифмы определены только для положительных значений «икс». Логарифмирование и потенцированиеЛогарифмирование – это перевод чисел или уравнений в логарифмический масштаб или, попросту говоря, «навешивание» логарифмов. А вот у функции обе части могут быть меньше нуля, и поэтому здесь нужно добавить модули: , квадратному корню модуль не нужен: . Однако это действие всё равно неравносильно т.к. мы потеряли значение (почему?). Но это не помеха для решения некоторых задач, например, для нахождения производной, где можно пренебречь даже модулями.  Да, а зачем логарифмировать? Чтобы упростить правую часть: .
Потенцирование – это обратная операция, «избавление» от логарифмов. Потенцирование используют для того, чтобы выразить функцию в явном виде, например: – «упаковываем» логарифмы в правой части: , после чего просто убираем логарифмы и модули заодно: Такие действия выполняют при решении некоторых дифференциальных уравнений Логарифмическая функция и её графикВ логарифмической функции фиксируется основание «а», а значение «бэ» является независимой
переменной: Удобные опорные точки: Принципиально так же выглядит график любого логарифма с основанием , в частности, десятичный логарифм Если , то графики оказываются «развёрнутыми наоборот» относительно оси , например, . Но такие логарифмы в высшей математике встречаются довольно редко. Однако и в том и в другом случае логарифмическая функция проходит
через точку , а ось является вертикальной асимптотой графика.  В наших трёх примерах под логарифмом оказались линейная и квадратичные функции.
Уравнения и неравенства с логарифмамиВ параграфе о логарифмировании и потенцировании мы искусственно «навешивали» логарифмы на обе
части уравнения либо избавлялись от них. А сейчас речь пойдёт об уравнениях и неравенствах, где логарифм присутствует
изначально. С геометрической точки зрения это означает, что график функции пересекает график (ось ) в точке . И, конечно, проверка – подставим в левую часть исходного уравнения: – в результате получена правая часть, ОК. Уравнение вида тоже разрешимо из естественных соображений: логарифмы с одинаковыми основаниями равны, если , при этом корни должны быть ТАКИМИ, чтобы для них выполнялись условия .  Так, для
решения уравнения потенцируем обе части:, откуда получаем корень , после чего обязательно подставляем его в исходное уравнение: – верное равенство. А теперь рассмотрим такое уравнение: , где после избавления от логарифмов всё вроде бы хорошо: , однако корнями эти значения не являются Неравенства. Простейшие из них удобно решать графически, причём мысленно.
Рассмотрим неравенство . Это неравенство предлагает нам определить участок,
где график натурального логарифма выше оси . Вспомнили, взглянули? .
Аналогично, неравенству соответствует интервал , где график логарифма ниже оси абсцисс. В случае нестрогих неравенств в
решения следует добавить единичку. Задание 8 а) Решить графически: Решения и ответы в конце книги. 4.1. Геометрия. Элементарные геометрические фигуры 3.6. Показательная функция | Оглавление | |
Это удобно сделать по следующей
схеме: сначала из уравнения находим вертикальную асимптоту (оранжевый пунктир на чертеже). Теперь нужно выяснить область определения функции. Логарифм определён только в том случае, если его «начинка» строго больше нуля: , и преобразуя это простое
неравенство, получаем, что: . Найдём затем несколько опорных точек:
Дорешаем неравенство , которое мы начали в параграфе Метод интервалов. Там была найдена область
определения логарифма :
Натуральный логарифм х 4 9. Логарифмы: примеры и решения
Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       
Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.
Основное логарифмическое тождествоa log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)
Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются.
Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического «тождества» при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.
log
a
a = 1
(a > 0, a ≠ 1)
(3)
log
a
1 = 0
(a > 0, a ≠ 1)
(4)
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень — единицу.
Логарифм произведения и логарифм частногоlog a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)
Log
a
b
c
=
log
a
b −
log
a
c
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
(6)
Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании «слева направо» происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного — расширение ОДЗ.
Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.
Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).
Степень можно выносить за знак логарифмаlog a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)
И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений.
Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)
Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.
Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Несколько простых примеров с логарифмамиПример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.
Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
нередко берут цифру е = 2,718281828 .
Логарифмы по данному основанию именуют натуральным . При проведении вычислений с натуральными логарифмами общепринято оперировать знаком l n , а не log ; при этом число 2,718281828 , определяющие основание, не указывают.
Другими словами формулировка будет иметь вид: натуральный логарифм числа х — это показатель степени , в которую нужно возвести число e , чтобы получить x .
Так, ln(7,389…) = 2, так как e 2 =7,389… . Натуральный логарифм самого числа e = 1, потому что e 1 =e , а натуральный логарифм единицы равен нулю, так как e 0 = 1.
Само число е определяет предел монотонной ограниченной последовательности
вычислено, что е = 2,7182818284… .
Весьма часто для фиксации в памяти какого либо числа, цифры необходимого числа ассоциируют с какой-нибудь выдающейся датой. Скорость запоминания первых девяти знаков числа е после запятой возрастет, если заметить, что 1828 — это год рождения Льва Толстого!
На сегодняшний день существуют достаточно полные таблицы натуральных логарифмов.
График натурального логарифма (функции y = ln x ) является следствием графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой у = х и имеет вид:
Натуральный логарифм может быть найден для каждого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1/x от 1 до a .
Элементарность этой формулировку, которая состыковывается со многими другими формулами, в которых задействован натуральный логарифм, явилось причиной образования названия «натуральный».
Если анализировать натуральный логарифм , как вещественную функцию действительной переменной, то она выступает обратной функцией к экспоненциальной функции, что сводится к тождествам:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
По аналогии со всеми логарифмами, натуральный логарифм преобразует умножение в сложение, деление в вычитание:
ln (xy ) = ln (x ) + ln (y )
ln (х/у)= lnx — lny
Логарифм может быть найден для каждого положительного основания, которое не равно единице, а не только для e , но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем, и, обычно, определяются в терминах натурального логарифма.
Проанализировав график натурального логарифма, получаем, что он существует при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x → 0 пределом натурального логарифма выступает минус бесконечность ( -∞ ).При x → +∞ пределом натурального логарифма выступает плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a возрастает быстрее логарифма. Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумы у него отсутствуют.
Использование натуральных логарифмов весьма рационально при прохождении высшей математики. Так, использование логарифма удобно для нахождения ответа уравнений, в которых неизвестные фигурируют в качестве показателя степени. Применение в расчетах натуральных логарифмом дает возможность изрядно облегчить большое количество математических формул.
Логарифмы по основанию е присутствуют при решении значительного числа физических задач и естественным образом входят в математическое описание отдельных химических, биологических и прочих процессов. Так, логарифмы употребляются для расчета постоянной распада для известного периода полураспада, или для вычисления времени распада в решении проблем радиоактивности. Они выступают в главной роли во многих разделах математики и практических наук, к ним прибегают в сфере финансов для решения большого числа задач, в том числе и в расчете сложных процентов.
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.
Если , то .
Логарифм — крайне важная математическая величина , поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.
Вконтакте
Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что означает, что:
Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.
Приведем некоторые тождества:
Приведем основные алгебраические выражения:
;
.
Внимание! может существовать только при x>0, x≠1, y>0.
Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.
Обозначения:
- lg x — десятичный;
- ln x — натуральный.
Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.
График натурального логарифмаПостроим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам.
При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.
Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:
Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:
Для удобства мы можем взять пять опорных точек:
;
;
.
;
.
Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.
Построив по точкам график, получаем приблизительный график:
Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.
Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0.
Это невозможно исходя из условий существования логарифма .
Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале .
Предел натурального logИзучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y
Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х
Предел натурального log можно записать таким образом:
Формула замены основания логарифмаИметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.
Начнем с логарифмического тождества:
Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:
где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).
Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон.
Произведем это при помощи произвольного основания z:
Воспользуемся свойством (только вместо «с» у нас выражение):
Отсюда получаем универсальную формулу:
.
В частности, если z=e, то тогда:
.
Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.
Решаем задачиДля того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.
Задача 1 . Необходимо решить уравнение ln x = 3.
Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
Задача 2 . Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.
Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:
.
Еще раз применим определение логарифма:
.
Таким образом:
.
Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.
Задача 3. Решите уравнение .
Решение: Произведем подстановку: t = ln x.
Тогда уравнение примет следующий вид:
.
Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:
Первый корень уравнения:
.
Второй корень уравнения:
.
Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:
В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.
В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти N понадобится битов.
В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.
В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.
В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.
Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.
Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства
Доказательство основного свойства натурального логарифма
Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.
Определение в математике
Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b».
Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.
Разновидности логарифмов
Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:
- Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
- Десятичный a, где основанием служит число 10.
- Логарифм любого числа b по основанию a>1.
Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.
Правила и некоторые ограничения
В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:
- основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
- если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.
Как решать логарифмы?
К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.
А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического.
Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.
Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:
Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!
Уравнения и неравенства
Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм.
Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.
Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.
Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции.
Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.
Основные теоремы о логарифмах
При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.
- Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
- Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2.
Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать. - Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
- Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.
Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.
Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;
но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.
Примеры задач и неравенств
Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике.
Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.
К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.
При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.
Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства.
Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.
Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями
Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.
- Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.
Задания из ЕГЭ
Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания).
Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».
Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.
Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.
- Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
- Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.
Это может быть, например, калькулятор из базового набора программ операционной системы Windows. Ссылка на его запуск упрятана довольно в главное меню ОС — раскройте его щелчком по кнопке «Пуск», затем откройте его раздел «Программы», перейдите в подраздел «Стандартные», а затем в секцию «Служебные» и, наконец, щелкните пункт «Калькулятор».
Можно вместо мыши и перемещений по меню использовать клавиатуру и диалог запуска программ — нажмите сочетание клавиш WIN + R, наберите calc (это имя исполняемого файла калькулятора) и нажмите клавишу Enter.
Переключите интерфейс калькулятора в расширенный режим, позволяющий осуществлять . По умолчанию он открывается в «обычном» виде, а вам нужен «инженерный» или « » (в зависимости от версии используемой ОС). Раскройте в меню раздел «Вид» и выберите соответствующую строку.
Введите аргумент, натуральный которого нужно вычислить. Это можно сделать как с клавиатуры, так и щелкая мышкой соответствующие кнопки в интерфейсе калькулятора на экране.
Кликните кнопку с надписью ln — программа рассчитает логарифма по основанию e и покажет результат.
Воспользуйтесь каким-либо из -калькуляторов в качестве альтернативного вычисления значения натурального логарифма. Например, тем, который размещен по адресу http://calc.org.ua . Его интерфейс предельно прост — есть единственное поле ввода, куда вам надо впечатать значение числа, логарифм от которого надо вычислить.
Среди кнопок найдите и щелкните ту, на которой написано ln. Скрипт этого калькулятора не требует отправки данных на сервер и ответа, поэтому результат вычисления вы получите практически мгновенно. Единственная особенность, которую следует учитывать — разделителем между дробной и целой частью вводимого числа здесь обязательно должна быть точка, а не .
Термин «логарифм » произошел от двух греческих слов, одно из которых обозначает «число», а другое — «отношение». Им обозначают математическую операцию вычисления переменной величины (показателя степени), в которую надо возвести постоянное значение (основание), чтобы получить число, указанное под знаком логарифм а. Если основание равно математической константе, называемое числом «e», то логарифм называют «натуральным».
Вам понадобится
- Доступ в интернет, Microsoft Office Excel или калькулятор.
Инструкция
Воспользуйтесь во множестве представленными в интернете -калькуляторами — это, пожалуй, и простой способ вычисления натурального а.
Поиском соответствующего сервиса вам заниматься не придется, так как многие поисковые системы и сами имеют встроенные калькуляторы, вполне пригодные для работы с логарифм ами. Например, перейдите на главную страницу самого крупного сетевого поисковика — Google. Никаких кнопок для ввода значений и выбора функций здесь не потребуется, просто наберите в поле ввода запроса нужное математическое действие. Скажем, для вычисления логарифм а числа 457 по основанию «e» введите ln 457 — этого будет вполне достаточно, чтобы Google отобразил с точностью до восьми знаков после запятой (6,12468339) даже без нажатия кнопки отправки запроса на сервер.
Используйте соответствующую встроенную функцию, если необходимость вычисления значения натурального логарифм а возникает при работе с данными в популярном табличном редакторе Microsoft Office Excel. Эта функция здесь вызывается с использованием общепринятого обозначения такого логарифм а в верхнем регистре — LN. Выделите ячейку, в которой должен быть отображен результат вычисления, и введите знак равенства — так в этом табличном редакторе должны начинаться записи в ячейках, содержащих в подразделе «Стандартные» раздела «Все программы» главного меню.
Переключите калькулятор в более функциональный режим, нажав сочетание клавиш Alt + 2. Затем введите значение, натуральный логарифм которого требуется вычислить, и кликните в интерфейсе программы кнопку, обозначенную символами ln. Приложение произведет вычисление и отобразит результат.
Видео по теме
Наиболее часто используемые правила журнала
Алгебра Учебники
Логарифмическая функция — одна из самых важных функций в математике, а правила логирования просты и удобны, что упрощает работу с логарифмами.
Давайте сначала вспомним, что означает \(\log_b a\).
В этом контексте значение \(b\) является база логарифма, а \(a\) — это аргумент
9у = 25\)? Что ж, это число хорошо определено, и логарифмическая функция \(f(x) = \log_{10} x\) позаботится о нем. Эта функция не является элементарной функцией, и для ее представления необходим ряд Тейлора (бесконечный ряд).
Или вы можете использовать калькулятор (что, вероятно, проще, не так ли?).
Лог-правила: свойства логарифмов
Это основные правила журнала:
Правило №1 : \(\large \log_a (b\cdot c) = \log_a (b)+ \log_a (c) \)
Правило №2 : \(\large \displaystyle \log_a \frac{b}{c} = \log_a (b) — \log_a (c) \)
Правило №3 9в) = с \cdot \log_a (б) \)
Правило №4 : \(\large \log_a (a) = 1 \)
Правило № 5 : \(\большой \log_a (1) = 0 \)
ПРИМЕР 1Упростите \(\log_2 8 + \log_2 4\) с помощью правил журнала:
ОТВЕЧАТЬ:
Используя Правило №1, получаем, что:
\[ \log_2 8 + \log_2 4 = \log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32 = 5\] Итак, первый шаг — это простое применение Правила № 1, но как нам получить это \(\log_2 32 = 5\)? Это потому, что \(2^5 = 32\), поэтому в этом случае мы напрямую находим, какое число нужно увеличить \(2\), чтобы получить \(32\).
92 = 100\).
Но можете ли вы вычислить \(\log_{10} 102\) напрямую? Не совсем так, для этого нужен калькулятор.
ПРИМЕР 2Выразите сумму и вычитание логарифмов: \( \displaystyle \log_{10} \sqrt[3]{\frac{a}{6bc}} \).
ОТВЕЧАТЬ:
Прежде всего, мы должны помнить, что извлечение кубического корня равносильно возведению в степень \(1/3\).
{1/3}\).
9{1/3} \] \[= \displaystyle \frac{1}{3} \log_{10} \frac{a}{6bc} \] \[= \displaystyle \frac{1}{3} \left( \log_{10} a — \log_{10} (6bc) \right) \] \[= \displaystyle \frac{1}{3} \left( \log_{10} a — \log_{10} 6 — \log_{10} b — \log_{10} c \right) \]
что и требовалось: суммирование и вычитание простых логарифмов.
Формула замены основания для логарифмов
Одной из наиболее полезных формул, относящихся к логарифмам, является формула замены основания. Эта формула выглядит следующим образом:
\[ \large \displaystyle \log_c a = \frac{\log_b a}{\log_b c}\] Эта формула просто говорит о том, что если вы хотите изменить основание с \(b\) на \(c\), результаты будут практически такими же, но вам нужно разделить на логарифм нового основания.
Теперь, если вы художественно ориентированы, вам может понравиться альтернативная форма изменения базовой формулы, представленная ниже:
ПРИМЕР 3Выразите натуральный журнал \(\ln\) через \(\log\) (по основанию 10).
ОТВЕЧАТЬ:
Используя формулу замены основания, получаем, что:
\[ \large \displaystyle \ln a = \log_e a = \frac{\log_{10} a}{\log_{10} e} =\frac{\log a}{\log e} \] Итак, вы говорите, что \(\ln a\) получается путем деления \(\log a\) на \(\log e\).
Насколько удобно? Кто сказал, что математика была сложной, а?
Подробнее о правилах журнала
Логарифмы очень важны в математике. Исторически сложилось так, что логарифмы играют очень важную роль в астрономии как способ предсказания движения Луны и планет.
Логарифмические функции лежат в основе всего в математике, они переплетаются с экспонентами, показателями степени и почти всем. Вот почему они просят вас выучить логарифмы наизусть, потому что они важны.
Кроме того, эти правила регистрации, представленные здесь, играют решающую роль в облегчении
решение логарифмических уравнений
.
Условные обозначения
Есть несколько условных обозначений, о которых вам нужно знать. Обычно мы пишем \(\log_b a\) и говорим, что это «логарифмическая база b числа a». Когда основание равно \(b = 10\), по соглашению мы просто пишем \(\log a\). Поэтому, когда вы видите \(\log\) без базы, предполагается, что база равна \(10\).
Есть еще один примечательный случай. Для \(\log_b a\), когда основание равно \(b = e\) (константа Эйлера), мы пишем \(\ln a\) вместо \(\log_e a\). Таким образом, когда \(\ln\) используется вместо \(\log\), это происходит потому, что основание логарифма равно \(e\).
Обратите внимание, что \(\ln a\) обычно называют натуральное бревно .
И да, в естественных журналах действуют те же правила, что и в обычном журнале.
Если у вас есть логарифмическая функция, которую вы хотите изобразить в виде графика, вы можете попробовать наш Создатель графика логарифмических функций , который предоставит вам аккуратно представленный график.
Учебники по алгебре Изменение базовой формулы Правила журнала Логарифмическая функция Логарифмические правила
Наименее понятая часть математики
Опубликовано автором John
Логарифмы могут быть наименее понятной темой в базовой математике.
По моему опыту, если человек, хорошо разбирающийся в математике, упускает что-то элементарное, то обычно это логарифмы.
Например, у меня были беседы с людьми с высшим техническим образованием, где мне приходилось объяснять, что логи во всех базах пропорциональны друг другу. Например, если одна вещь пропорциональна натуральному логарифму другой, первая также пропорциональна логарифмической основе 10 или логарифмической основе любой другой последней [1].
Я также заметил, что довольно часто на главной странице math.stackexchange появляется вопрос в форме «Как решить…», а решение неизменно «прологарифмируем обе части». Кажется, это секретная техника.
Я подозреваю, что больше людей понимали логарифмы, когда им приходилось использовать логарифмические линейки. Логарифмическая линейка — это, по сути, две палочки с отметками в виде логарифмической шкалы. Перемещая одно относительно другого, вы добавляете длины, что означает добавление бревен, что делает умножение. Если вы делаете это какое-то время, кажется, вам нужно почувствовать логи.
Таблицы журналов также делают журналы более осязаемыми. Сначала кажется, что для работы с таблицей не требуется никаких навыков, но часто приходится немного разбираться. Из-за нехватки места таблицы не могут быть достаточно большими, чтобы вы могли напрямую искать все. Вы должны научиться обрабатывать порядки величины и интерполировать.
Если вы впервые видите бревна, когда пришло время научиться различать их, вы должны изучить две вещи одновременно. И это слишком много для многих студентов. Они делают ошибки, например, предполагая, что журналы являются линейными функциями, которых они бы не сделали, если бы имели интуитивное представление о том, с чем они работают.
Может быть, в школах можно было бы каждый год проводить неделю ретро-математики, когда учащиеся не могут пользоваться калькуляторами и вынуждены пользоваться таблицами журналов и логарифмическими линейками. Я не думаю, что будет так же хорошо, если просто сделать таблицы или логарифмические линейки темой в учебной программе.