Математические Законы
Переместительный закон сложения
Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.
Переместительный закон сложения От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так: m + n = n + m |
Переместительный закон сложения работает для любых чисел.
Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.
- 6 + 2 = 8
- 2 + 6 = 8
Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.
Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции.
При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке. Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.
Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:
- 8 + 2 = 2 + 8
- 10 = 10
Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:
Чтобы сложить две дроби с одинаковым знаменателем, нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:
Демо урок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Сочетательный закон сложения
Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.
Сочетательный закон сложения: два способа
|
Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.
Рассмотрим сумму из трех слагаемых:
Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:
- 1 + 3 + 4 = (1 + 3) + 4 = 4 + 4 = 8
Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:
- 1 + 3 + 4 = 1 + (3 + 4) = 1 + 7 = 8
В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.
Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:
- (1 + 3) + 4 = 1 + (3 + 4)
- 8 = 8
Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:
(a + b) + c = a + (b + c)
Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:
Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.
Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.
Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Переместительный закон умножения
С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.
Переместительный закон умножения От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится. |
Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:
- 5 * 2 = 10
- 2 * 5 = 10
В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.
- 5 * 2 = 2 * 5
- 10 = 10
Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:
a * b = b * a
Сочетательный закон умножения
Рассмотрим еще один полезный закон в математике.
Сочетательный закон умножения Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий. Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится. |
Рассмотрим пример:
- 2 * 3 * 4
Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:
- 2 * 3 = 6
- 6 * 4 = 24
- 2 * 3 * 4 = 24
А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:
- 3 * 4 = 12
- 2 * 12 = 24
- 2 * 3 * 4 = 24
Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.
- (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
- 6 * 4 = 2 * 12
- 24 = 24
Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:
a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)
Пример
Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.
Как решаем:
Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:
5 * 6 = 3030 * 7 = 210
210 * 8 = 1680
5 * 6 * 7 * 8 = 1680
Ответ: 1680
Распределительный закон умножения
Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:
Распределительный закон умножения
|
То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:
- (3 + 5) * 2
Сначала выполним действие в скобках:
- (3 + 5) = 8
В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:
- 8 * 2 = 16
Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:
- (3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2
- 3 * 2 = 6
- 5 * 2 = 10
- 6 + 10 = 16
Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:
(a + b) * c = a * c + b * c
Выражение в скобках (a + b) — это множимое.
Тогда переменная с — множитель, так как они соединены знаком умножения.
Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.
Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:
c * (a + b) = c * a + c * b
Пример 1
Решить: 5 * (3 + 2).
Как решаем:
Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25
Ответ: 25
Пример 2
Найти значение выражения 2 * (5 + 2).
Как решаем:
Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14
Ответ: 4.
Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.
Пример 3
Решить: 4 * (6 − 2).
Как решаем:
Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:
4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16
Ответ: 16
Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:
Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:
Проверим справедливость этого закона:
Посчитаем, чему равна левая часть равенства.
Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.
Так мы доказали справедливость распределительного закона.
Задания для самопроверки
Давайте потренируемся! Решите примеры и сравните с ответами — только чур, не подглядывать 🙂
Задание 1. Найти значение выражения: 8 * (1 + 6).
Задание 2. Применить распределительный закон умножения: 2 * (9 + 5).
Задание 3. Решить в порядке выполнения действий: 3 * (6 + 4) + 7 * (8 + 2).
Задание 4. Решить выражение: 4 * (5 + 4) + 9 * (3 + 2).
Задание 5. Применить распределительный закон умножения: 13 * (3 + 8) + 5 * (4 + 2)
Ответы
- 56;
- 28;
- 100;
- 81;
- 173.
неклассические арифметики и разнообразия / Хабр
Каким может быть график, скажем, линейной функции вещественного аргумента f(x) = x + c, c – константа, если операцию сложения определить иначе, нежели обычно? А каким будет множество решений уравнения x + c = d с неизвестным x в таком случае?
(Оговоримся: на протяжении всей заметки, автор будет опускать подробности строгих математических определений, чтобы не заслонять ими простой смысл материала.)
Не знаю, как с вами обошлись бы века тому назад, предложи вы, чтобы в «особых целях было 2 + 2 = 5», но в наше время n-арная алгебраическая операция определяется на множестве М как отображение, ставящее в соответствие упорядоченной n-ке элементов из М элемент того же М, и эта свобода сохраняет вас от тяжелых последствий.
Ради удобства, групповые операции могут называться умножением или сложением. Обе не обязаны совпадать с известными со школы действиями.
Скажем, умножением для свободной группы с двумя образующими будет соединение двух слов определенного типа в одно и следующее за ним сокращение пар некоторого типа. Сейчас не нужно силиться понимать предыдущее предложение. Важно уловить: уже давно математика позволяет вам называть сложением (умножением) что-то другое. Таким образом, + в выражении 2 + 2 = 5 можно назвать сложением и оно будет алгебраической операцией.
Мы не даем здесь определения неклассической арифметики. На самом деле, сделать это не просто. Некоторые вещи иногда вообще целесообразнее не определять, по крайней мере, на каких-то этапах: Б. Мандельброт в одной из своих книг явно указывал полезность воздержания от определения фрактала. В рамках нашей заметки, операцию +i в выражении a +i b = c будем называть сложением неклассической арифметики, если оно хотя бы для одной пары чисел a, b дает результат c, отличный от результата школьной арифметики.
Модульная арифметика соответствует критерию, но мы не будем ее называть неклассической. Это же применимо и к другим арифметикам, которые уже давно «классичны». Кроме сложения, неклассическая арифметика может содержать вычитание, умножение, деление и т. д., понимаемые в указанном смысле.
Приступим к разнообразиям. Это слово очень похоже на «многообразие». Из веера математических объетов, называемых им, нам нужно остановиться только на алгебраических многообразиях как множествах решений системы алгебраических уравнений над действительными или комплексными числами. Если в этих системах уравнения снабжены неклассической арифметикой, быть может, не одной и, быть может, в ней присутствует классическая арифметика, то это система уравнений разнообразия, а множество ее решений – разнообразие. Но таковым мы будем называть еще множество значений функции f разнообразия и последовательность значений f, поскольку и уравнения, и функции имеют общее – графики.
Теперь повторим вопрос начала заметки: «Какими могут быть графики функций разнообразия?» И отвечаем: «Например, такими как здесь: https://youtu.
be/Bu8CYo7D_Yg». Неклассической арифметикой функций является DR+ (от англ. «diversities of reals»), арифметика неотрицательных вещественных чисел.
Уже набор графиков всего лишь двадцати одной функции демонстрирует сильное отличие от функций классической арифметики. Может случиться, что элементарные средства неклассических арифметик (не только их элементарные функции и уравнения) позволят просто решать задачи, доступные лишь изощренным инструментам классической арифметики. Собственно, только что мы сформулировали обоснование разработки неклассических арифметик и теории разнообразий.
Отмечаем: некоторые графики отличаются друг от друга как один вид кошек отличается от другого; вторые разнятся как кошки от рыб; третьи как птицы от кошек и рыб; и т. д. Это косвенно свидетельствует о богатстве разнообразий в пределах уже одной арифметики, богатство форм – о богатстве возможных функциональных зависимостей, математических моделей и приложений вообще.
Назовем арифметику богатой, если она позволяет строить либо бесконечное семейство попарно неэквивалентных функций, либо очень крупную конечную их совокупность.
Такое требование проистекает из предыдущего абзаца. Оно разумно. Существуют ли богатые арифметики? Определение алгебраической операции и функции представляет запрет существования маловероятным. Поэтому бесполезность неклассических арифметик и разнообразий скорее сказка, чем быль.
— Что означает «∈»?
спросил
Изменено 1 год, 6 месяцев назад
Просмотрено 332 тысячи раз
$\begingroup$
Я начал видеть символ «∈» в математике. Что именно это означает?
Я пытался погуглить, но гугл убирает символ из поиска.
- обозначение
$\endgroup$
8
$\begingroup$
$\in$ означает ‘(является) элементом’
Например, ‘Пусть $a\in A$’ означает ‘Пусть $a$ будет элементом $A$’
http://en .
wikipedia.org/wiki/Element_(математика) тоже может вам помочь
$\endgroup$
4
$\begingroup$
∈ (математика) означает, что это элемент множества… Например, … x ∈ ℕ означает, что x находится в пределах множества натуральных чисел.
Отношение «является элементом», также называемое принадлежностью к множеству, обозначается символом «∈». Пишу {\ Displaystyle х \ в А} х \ в А означает, что «x является элементом A». Эквивалентными выражениями являются «x является членом A», «x принадлежит A», «x находится в A» и «x лежит в A». Выражения «A включает x» и «A содержит x» также используются для обозначения членства в наборе, однако некоторые авторы используют их для обозначения вместо этого «x является подмножеством A».
Другое возможное обозначение того же отношения:
{\ Displaystyle А \ ни х,} А \ ни х,
что означает «A содержит x», хотя используется реже.
Отрицание принадлежности к множеству обозначается символом «∉». Пишу
{\ Displaystyle х \ нетин А} х \ нетин А
означает, что «x не является элементом A».
$\endgroup$
1
$\begingroup$
$\in$ означает «Элемент».
Например, $a \in A$ означает Элемент: $a$ находится в $A$.
Числовой пример: $\color{red}3 \in \{1, 2, \color{red}3, 4, 5\}$.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
404: Страница не найдена
Страница, которую вы пытались открыть по этому адресу, похоже, не существует. Обычно это результат плохой или устаревшей ссылки. Мы приносим свои извинения за доставленные неудобства.
Что я могу сделать сейчас?
Если вы впервые посещаете TechTarget, добро пожаловать! Извините за обстоятельства, при которых мы встречаемся. Вот куда вы можете пойти отсюда:
Поиск- Ознакомьтесь с последними новостями.
- Наша домашняя страница содержит самую свежую информацию о центре обработки данных.
- Наша страница «О нас» содержит дополнительную информацию о сайте, на котором вы находитесь, SearchDataCenter.
- Если вам нужно, пожалуйста, свяжитесь с нами, мы будем рады услышать от вас.
Поиск по категории
SearchWindowsServer
- Как выполнить резервное копирование и восстановление членства в группе AD
Вы можете решить некоторые проблемы с Active Directory несколькими щелчками мыши, но все становится сложнее, когда они включают много уровней .
.. - Как избежать распространенных проблем с резервным копированием и восстановлением GPO
Объекты групповой политики помогают администраторам контролировать корпоративную среду, но требуется некоторое планирование, чтобы понять, как …
- Освещение конференции Microsoft Ignite 2022
Новости, связанные с постоянно расширяющимся портфелем облачных предложений технологической компании, как ожидается, займут центральное место на …
..SearchCloudComputing
- С помощью этого руководства настройте базовый рабочий процесс AWS Batch
AWS Batch позволяет разработчикам запускать тысячи пакетов в AWS. Следуйте этому руководству, чтобы настроить этот сервис, создать свой собственный…
- Партнеры Oracle теперь могут продавать Oracle Cloud как свои собственные
Alloy, новая инфраструктурная платформа, позволяет партнерам и аффилированным с Oracle предприятиям перепродавать OCI клиентам в регулируемых .
