Элементы по математике: Элемент (математика) | это… Что такое Элемент (математика)?

Таким образом, предложение Мандерса, по-видимому, хорошо работает в нескольких случаях присоединения идеальных элементов, но не во всех. ⁸ Хотя это не подрывает его предложение экзистенциальной замкнутости как одного из достаточных условий для того, чтобы считать расширение предметной области хорошим или успешным, оно, похоже, предполагает, что его объяснение традиционных теоретических достоинств через теоретико-модельные более ограничено, чем может показаться с первого взгляда. Если присоединение бесконечно малых не является случаем экзистенциальной замкнутости, «плодотворность» и «упрощение», обеспечиваемые бесконечно малыми, остаются необъясненными в рамках Мандерса.

В следующем разделе я представлю альтернативную концептуализацию расширений предметной области и рассмотрю, может ли она объяснить статус бесконечно малых как идеальных элементов.

5. РАСШИРЕНИЕ ОБЛАСТИ В СООТВЕТСТВИИ С ДЕДЕКИНДОМ

В примечании к своей статье Мандерс мимоходом ссылается на альтернативный способ представления расширений домена для числовых доменов, называемый законом постоянства форм [Мандерс, 1989, с. 555]. Там он резюмирует содержание закона постоянства как требование, чтобы определенные универсальные свойства основных арифметических операций сохранялись в расширении математической области. Мандерс, кажется, быстро отвергает закон постоянства как недостаточно конкретный в определении того, какие свойства стоит сохранять в расширении домена. Чтобы оценить пределы закона постоянства как альтернативы мандерсовскому понятию успешного расширения домена, в этом разделе я (i) кратко обсужу происхождение этого закона, а затем (ii) представлю то, что, по-видимому, является точкой зрения Дедекинда. по закону постоянства. Затем это сформирует основу для альтернативного (полу)формального критерия хорошего расширения домена, с которым я сравню критерий Мандерса.

5.1. Закон постоянства форм

Закон постоянства, впервые введенный британским алгебраистом Джорджем Пикоком (1791–1858), гласит, что единственными алгебраическими законами, которые математик должен принимать, являются те, которые — в современных терминах — являются консервативными по отношению к определенным ⁹ результата элементарной арифметики. Пикок вводит упомянутый «закон» или «принцип» в контексте обоснования формальной алгебры как обобщения арифметики, где «формальная» алгебра обозначает часть алгебры, изучающую формы (уравнений). Гораздо более подробное обсуждение взглядов Пикока на математику и точную роль этого принципа в его философии математики можно найти в Detlefsen [2005, стр. 271–277]. Здесь я просто объясняю принцип в той мере, в какой это необходимо, чтобы дать некоторый контекст взглядам Дедекинда (которые будут рассмотрены в следующем подразделе).

Сначала рассмотрим одну из собственных формулировок закона постоянства Пикока:

Вернемся снова к этому принципу или закону постоянства эквивалентных форм [|$\dots$|]. «Любая форма, алгебраически эквивалентная другой, выраженная в общих символах, должна быть истинной, что бы ни обозначали эти символы». Наоборот, если мы находим эквивалентную форму в арифметической алгебре или какой-либо другой второстепенной науке, когда символы являются общими по форме, хотя и специфичны по своей природе, то та же самая форма должна быть эквивалентной формой, когда символы являются общими по своей природе, а также по своей природе. их форма. [Павлин, 1830, § 132, с. 104]

«Арифметическая алгебра» в приведенном выше отрывке — это просто арифметика, а «Символическая алгебра» — это алгебра. Пикок утверждает, что выражения элементарной арифметики, такие как |$5=5$|⁠ или |$5+5= 2\cdot 5$|⁠, которые действительны только для арифметических величин, становятся законами символической алгебры, когда они выражены через символы, которые являются «общими по своей форме» (, т. Как поясняет приведенная ниже цитата, Пикок рассматривает арифметику и алгебру как связанные между собой более конкретную и более общую формулировки одной и той же науки, причем разница заключается в семантическом значении символов, используемых каждым из них в формулировке своих утверждений:0004

Но хотя наука арифметика или арифметическая алгебра не дает адекватного основания для науки символической алгебры, она неизбежно предлагает ее принципы или, скорее, ее закон комбинации; ибо, поскольку символическая алгебра, хотя и произвольна в авторитетности своих принципов, не произвольна в своем применении, будучи обязана включать в себя арифметическую алгебру, как и другие науки, очевидно, что их правила должны быть идентичны друг другу, поскольку насколько эти науки развиваются совместно: действительное различие между ними будет возникать из предположение или допущение, что символы в символической алгебре являются совершенно общими и неограниченными как по значению, так и по представлению, и что операции, которым они подлежат, также являются одинаково общими . [Павлин, 1834, с. 195, курсив оригинала]

Этот принцип грубо предписывает, что «символическая алгебра» по большей части представляет собой преобразование в переменных уже хорошо известных истин «арифметической алгебры». Так, например, если в арифметике (алгебре) обнаруживается, что |$+1-1=0, +2-2=0, +3-3=0, \cdots$|⁠, то в символической алгебре можно просто утверждают общий символический принцип |$+a-a=0$|⁠.

Пикок, однако, признает, что некоторые законы (утверждения) его символической алгебры не могут быть таким образом «выведены» (или, используя собственную терминологию Пикока, «предложены») из арифметики. Поэтому необходимо предложить принципиальный способ руководства формированием новых принципов символической алгебры, и то, что предлагает Пикок, является более или менее критерием консервативности. Если некоторое утверждение в арифметике истинно, то в символическую алгебру нельзя принять другое утверждение, которое противоречило бы арифметическому.

Закон Павлина, как Детлефсен [2005, с. 272], уже было как-то предвосхищено другими авторами, а также почти дословно цитируется в немецкоязычном контексте Ганкелем [1867, с. 11, 15]. ¹⁰ Таким образом, хотя мне не удалось найти прямых доказательств того, что Дедекинд читал труды Пикока, в идеях математиков об обобщении арифметики через алгебру и расширении функций и областей в математике, похоже, есть сходство. Дедекинд [1854] можно рассматривать как предложение критерия плодотворного расширения домена, сильно напоминающего принцип Пикока. Это также отмечает Феррейрос [Ferreirós, 2007, с. 219], который пишет:

Этот принцип [Dedekind’s, примечание автора ] аналогичен идеям Ома о том, как обобщить арифметические операции, и знаменитому «принципу постоянства», сформулированному Пикоком около 1830 г. , 1867]).

Таким образом, в следующем подразделе я представляю аналогичные идеи Дедекинда о расширении домена, выраженные в [Dedekind, 1854].

2″> 5.2. Ранний Дедекинд о расширении домена

Дедекинд Habilitationsrede [1854] главное утверждение состоит в том, что, как и в других науках,

и в математике определения неизбежно выступают вначале в ограниченной форме, а их обобщение возникает только в ходе дальнейшего развития.

Затем он сразу же делает замечание, которое озадачивает современного читателя и знакомо любому, кто знаком с принципом Пикока: ; напротив, они с неотвратимой необходимостью вытекают из прежних ограниченных определений, если применить следующий принцип: законы, вытекающие из исходных определений и характерные для обозначаемых ими понятий, следует рассматривать как общего действия .

Обратите внимание, как Пикок спешит защищать алгебру как непроизвольное обобщение арифметики, так и Дедекинд защищает не только алгебру, но и любое расширенное математическое определение (или функцию). Однако расширение происходит несколько иначе: для Пикока расширение касается области действия определенных алгебраических утверждений; для Дедекинда расширение, по-видимому, состоит в расширении области объектов, подпадающих под определенное понятие (например, число). Однако понимание протяженности Дедекиндом можно рассматривать как эквивалентное пониманию Пикока; ибо понятия определяются «характеристическими» законами, которые «вытекают из исходных определений» названных понятий. Так что, в конце концов, расширять понятие в дедекиндовском смысле (по крайней мере, в арифметическом) — это то же самое, что интерпретировать определенные специальные арифметические утверждения не только как относящиеся к ограниченной области, но как к более широкой и богатой. Это закон Пикока о постоянстве форм — закон, управляющий обобщением арифметических результатов на алгебру.

Существует также разница в области применения критерия Дедекинда и закона Пикока; поскольку Дедекинд, по-видимому, предлагает критерий (как предписывающий, так и описательный) для всех концептуальных расширений в математике, в то время как Пикок, по-видимому, сосредоточен на обобщении (где обобщение состоит в расширении области применения утверждения) арифметических Только. Утверждение о сходстве между Дедекиндом и Павлином подтверждается, есть еще один аспект размышлений Дедекинда, о котором стоит упомянуть, а именно его сосредоточенность на функциях, т. е. ., операций. То есть критерий Дедекинда, по-видимому, применим не только к расширенному домену и кодовому домену функций. Его интерес особенно очевиден в следующем отрывке, касающемся чисел и основных арифметических операций:

[7] Элементарная арифметика основана на образовании порядковых и количественных чисел; последовательный переход от одного члена последовательности положительных целых чисел к другому — первая и простейшая арифметическая операция; все остальные операции опираются на него. Если собрать в одно действие многократно повторяющееся выполнение этой элементарной операции, то придут к понятию сложения. Из этого понятия таким же образом образуется понятие умножения, а из умножения — понятие возведения в степень. Но определения, которые мы таким образом получаем для этих основных операций, уже недостаточны для дальнейшего развития арифметики, и это потому, что она предполагает, что числа, с которыми она учит нас оперировать, ограничены очень узкой областью. То есть арифметика требует от нас при введении каждой из этих операций заново создавать всю существующую область чисел; или, точнее, она требует, чтобы косвенные, обратные операции вычитания, деления и т. п. были безусловно применимы. И это требование заставляет создавать новые классы чисел, так как при исходной последовательности натуральных чисел требование не может быть удовлетворено. Таким образом получают отрицательные, рациональные, иррациональные и, наконец, так называемые мнимые числа. Теперь, после того как числовая область была расширена таким образом, возникает необходимость заново определить операции [|$\dots$|]. [Дедекинд, 1854, § 7]

Этот отрывок показывает, как для Дедекинда соотносятся расширение домена и расширение операции, по крайней мере, в случае чисел: данный домен — это домен натуральных чисел, а данная операция — просто последующая. Из функции-преемника получаются другие прямые операции сложения и умножения, каждая из которых определяется как итерация ранее определенной функции. Когда все «прямые» операции определены, можно ввести обратные. Для сложения это вычитание. Однако для определения вычитания между двумя произвольными элементами области область должна быть расширена ( т. е. , понятие числа расширено) за счет включения и отрицательных чисел. Точно так же введение обратной операции умножения, а именно деления, вместе с требованием замыкания области определения новой операцией приводит к введению рациональных чисел. Эта итеративная конструкция (ввести новую операцию, затем новые числа, чтобы область была закрыта при указанной операции) доходит до мнимых чисел. Но с каждым раундом расширения числовой области старые операции также необходимо определять заново. ¹¹ Дедекинд не говорит об этом эксплицитно, но кажется, что то, что позволяет остановить процесс, — это достижение достаточно богатой (числовой) области, которая также закрыта для всех определенных операций, взятых в их наиболее общем виде. Чтобы увидеть, как можно адаптировать «определение» операции к расширенной области, рассмотрим пример умножения Дедекинда:

У нас уже есть определенный пример умножения. Эта операция возникла из-за того, что многократное выполнение операции следующего более низкого ранга [Ordnung], а именно прибавление фиксированного положительного или отрицательного слагаемого (так называемого множимого), было собрано вместе в одно действие. Множитель, т. е. число, указывающее, как часто прибавление множимого следует рассматривать как повторяющееся, — следовательно, с самого начала обязательно является положительным целым числом; отрицательный множитель, согласно этому первому определению умножения, не имел бы абсолютно никакого смысла. Поэтому необходимо специальное определение, чтобы допустить и отрицательные множители и тем самым освободить операцию от начального ограничения; но такое определение предполагает a priori полный произвол, и только позже будет решено, принесет ли тогда это произвольно выбранное определение какую-либо реальную пользу арифметике; и даже если бы определение сбылось, это можно было бы назвать лишь удачной догадкой, счастливым совпадением — чего следует избегать научному методу. Поэтому давайте вместо этого применим наш общий принцип. Мы должны исследовать, какие законы управляют произведением, если множитель последовательно претерпевает те же самые общие изменения, которые привели к созданию последовательности отрицательных целых чисел из последовательности положительных целых чисел. Для этого достаточно определить изменение, которое претерпевает произведение, если произвести простейшую числовую операцию с множителем, а именно позволить ему перейти в следующее за ним число. Последовательным повторением этой операции мы получаем известную теорему сложения для множителя: чтобы умножить число на сумму, нужно умножить его на каждое слагаемое, а затем сложить эти частичные произведения вместе. Из этой теоремы немедленно следует теорема о вычитании для случая, когда уменьшаемое больше вычитаемого. Если теперь объявить этот закон справедливым вообще (то есть справедливым и тогда, когда разность, которую представляет множитель, отрицательна), то получится определение умножения с отрицательными множителями; и тогда, конечно, не случайно, что общий закон, которому подчиняется умножение, совершенно одинаков для обоих случаев. [Дедекинд, 1854, § 8]

«Исходное определение» умножения как повторяющегося сложения должно быть изменено, чтобы его можно было определить и для отрицательных факторов, потому что нельзя повторять действие отрицательное число раз. Вместо этого левая дистрибутивность рассматривается как «общий закон», который должен сохраняться даже в расширенной области.

Здесь важно отметить элемент неточности в рассуждениях Дедекинда, а именно то, что он, кажется, рассматривает одновременно два типа того, что можно назвать концептуальными расширениями в математике. С одной стороны, это введение новых операций (или функций, по названию его лекции) наряду с «цепочкой предыдущих». Это сродни расширению языка, который используется, чтобы «говорить» о предметной области, и вот пример того, как это должно работать. Если мы сохраним домен структуры |$\mathcal{A}$| фиксировано, мы можем добавить, скажем, символы отношения к языку, чтобы получить новую структуру |$\mathcal{A}’$| который также интерпретирует эти новые символы так же, как и старые. Если мы позволим |$N$| — множество всех натуральных чисел, то мы можем рассматривать как структуру |$\mathbb{N}$| натуральных чисел языка |$L=\{0, +\}$| и структура |$\mathbb{N}’$| натуральных чисел в языке |$L’=\{0, 1, +, \cdot\}$|⁠. Домен, лежащий в основе обоих |$\mathbb{N}$| и |$\mathbb{N}’$| то же самое; в |$N$|⁠ не было добавлено никаких новых элементов. Тем не менее, между ними происходит расширение, которое включает только операции и константы. Второй тип расширения состоит в добавлении элементов к области функций или введении новых объектов в рамках старой концепции. Например, хотя первоначально определенное умножение может быть выполнено только между двумя положительными целыми числами, позже его можно переопределить, чтобы допустить также отрицательные целые числа в его области определения (и диапазоне). Это расширение можно проиллюстрировать следующим образом. |$\mathcal{L}$|-структура, с которой мы начинаем, это |$\mathbb{N}$|⁠, где областью является просто |$N$|⁠, а язык |$\mathcal{L}$ | содержит символ добавления «+», что |$\mathbb{N}$| интерпретируется как функция |$\{((m,n),m+n) : m,n\in N\}$|⁠. Затем к |$N$|⁠ добавляют отрицательные целые числа, таким образом используя |$Z$| поскольку домен новой |$\mathcal{L}$|-структуры |$\mathbb{Z}$|⁠, и, кроме того, |$`+$|’ теперь интерпретируется как |$\{((m,n ),m+n) : m,n\in Z\}\supseteq \{((m,n),m+n) : m,n\in N\}$|⁠. Это второе изменение представляет собой более прямолинейный случай добавления элементов к общей области модели, а также к областям отдельных функций. Эти два (расширение языка по сравнению с расширением предметной области) в принципе представляют собой два различных вида расширения, однако Дедекинд, похоже, этого не замечает. Я полагаю, что причина, по которой Дедекинд не исследует два случая расширения по отдельности, заключается в том, что он не верит, что один может иметь место в отсутствие другого: если математик вводит новые элементы в рассматриваемую область, то он должен иметь возможность определить, как старые операции или функции применяются к новым объектам.

3″> 5.3. Формализация предложения Дедекинда

Как видно из цитаты, в тексте Дедекинда многое происходит. Следовательно, чтобы выявить точки сравнения с понятием расширения домена Мандерса, может быть полезно дать теоретико-модельную характеристику взглядов Дедекинда. Я предлагаю следующее:

Условие (i) определения требует, чтобы |$\mathcal{A}$| быть вложенным в |$\mathcal{B}$|⁠. Это обеспечивает сохранение функций среди особей исходной модели |$A$|⁠, если языки |$\mathcal{L}$|⁠, |$\mathcal{L}’$| включают функциональные символы, интерпретируемые в |$\mathcal{A}$| и |$\mathcal{B}$|⁠.

Условие (ii) направлено на то, чтобы зафиксировать правило Дедекинда о некоторых законах, которые следует рассматривать как «общедействительные». Ограничение положительности на |$\varphi$| мотивирован техническими проблемами, с которыми можно было бы столкнуться в противном случае, ¹² , а также тем фактом, что уравнения, по-видимому, имеют привилегированный статус по сравнению с неравенствами. Сохранение уравнений — важная тема результатов универсальной алгебры, о чем свидетельствует поток исследований универсальной алгебры, состоящий в обобщениях и приложениях теоремы Биркгофа. ¹³ Более того, другие математики девятнадцатого века, такие как Ганкель [1867, стр. 26, 40–41] и Пикок [1834], неявно признают важность сохранения уравнений при расширении области значений и арифметических операций. Таким образом, ограничения на |$\varphi$| в формализации не должны рассматриваться как произвольные.

Для ясности, определение расширения Дедекинда само по себе не отвечает на вопрос, является ли данная математическая область хорошим расширением области другой области, согласно точке зрения, которую я приписываю Дедекинду. Выбор языков |$\mathcal{L},\,\mathcal{L}’$| также играет нетривиальную роль в этом смысле. Рассмотрим, например, следующий пример: пусть |$\mathbb{N},\,\mathbb{Z}$| — рассматриваемые модели с |$<\,\,\in\mathcal{L}$|⁠. Тогда |$\mathbb{Z}$| не может быть расширением Дедекинда |$\mathbb{N}$|⁠, потому что |$\mathbb{N}\vDash \forall x (x>0)$|⁠, что неверно в |$\mathbb{Z }$|⁠. Если исключить |$<$| из нашего языка, однако, проблемы не возникает и |$\mathbb{Z}$| можно считать расширением Дедекинда |$\mathbb{N}$|⁠. Это означает, что понятие расширения Дедекинда все еще в некоторой степени зависит от контекста. Однако это также верно и для понятия Мандерса, поскольку экзистенциальное закрытие и завершение модели также чувствительны к языку.

6. РАСШИРЕНИЕ КОНЦЕПЦИИ ЧИСЛА

В предыдущем разделе я представил размышления Дедекинда 1854 года как предлагающие концепцию расширения домена, родственную той, что лежит в основе принципа постоянства эквивалентных форм, и я предложил теоретико-модельную полуформализацию критерия. Это было сделано в попытке добиться прогресса в решении нормативного вопроса о том, что делает определенные доменные расширения «хорошими». В то же время работа в предыдущем разделе может оставить читателя в недоумении относительно исторический вопрос о том, действительно ли формализованный таким образом критерий соответствует отношению Дедекинда к новым системам счисления, разрабатываемым в середине 1850-х годов. Чтобы ответить на этот вопрос, я кратко напомню в этом разделе два таких теоретико-числовых развития и утверждаю, что в обоих случаях маловероятно, чтобы Дедекинд рассматривал их как расширения в смысле его [1854].

6.1. Кватернионы, октонионы и другие гиперкомплексные числа

Первый рассматриваемый случай — это случай кватернионов, или, в более общем смысле, так называемых гиперкомплексных чисел.

Гиперкомплексное число традиционно представляет собой любое число, принадлежащее (унитальной) алгебре, построенной поверх действительных чисел. Существует несколько различных гиперкомплексных систем счисления, которые можно определить как векторные пространства над действительными числами; кватернионы и октонионы — системы счисления размерностей |$4$| и |$8$|⁠ соответственно, как следует из их названий. Это означает, что каждый кватернион может быть представлен четверкой действительных чисел, а каждый октонион может быть представлен восьмеркой (или восьмеркой). Проблема в том, что умножение в кватернионах некоммутативно, а в октонионах оно даже не может быть ассоциативным. Но коммутативность и ассоциативность умножения выражаются как универсальные позитивные высказывания того вида, который дедекиндовское расширение должно сохранять по определению. Отсюда ясно, что данное предложение, хотя и вдохновленное Дедекиндом, не может объяснить эти расширения как хорошие расширения.

Дедекинд пишет о гиперкомплексных числах в двух статьях [1885; 1887]), и в обеих статьях его изложение состоит в том, что гиперкомплексные числа представляются в виде конечных сумм вида |$\Sigma\, \xi_{\iota}e_{\iota}$|⁠, где |$e_{ \йота}$| является «главной единицей» ( Haupteinheit ) гиперкомплексных чисел (подумайте о |$i,j,k$| для кватернионов). Тогда операции между любыми двумя гиперкомплексными числами можно определить как операции над единицами, которые вместе образуют основа . Эти операции могут быть выражены в виде линейных преобразований, т. {(s)}$| выведенные нами. Так что если мы хотим говорить о таких сложных величинах как о новых числах (что для меня нецелесообразно, так как в нашей высшей алгебре всегда возникают многозначные системы величин описанным здесь образом), то это можно сделать только, хотя и в совершенно иной форме. , и в самом деле бесконечно более слабый смысл, чем при введении мнимых чисел путем значительного обогащения поля действительных чисел, или также при введении гамильтоновых кватернионов, которые, хотя их полезность, по-видимому, ограничена очень малым полем, делают безусловным претензия на новизну по отношению к другим номерам. ([Дедекинд, 1885], в [Дедекинд, 1931, с. 16])

Если, с одной стороны, это поддерживает мою интерпретацию, согласно которой гиперкомплексные числа не являются настоящими новыми числами, то это также подрывает идею о том, что кватернионы считаются частным случаем гиперкомплексных чисел в этом отношении. Дедекинд считает их «достаточно новыми», чтобы считать их подлинными новыми числами. Таким образом, у нас остается следующее: теория, вдохновленная Дедекиндом, правильно согласуется с различием между двумя случаями расширения — а именно, расширением области за счет расширения самого понятия числа (такими могут быть кватернионы) — и числовыми областями, полученными как уникальные расширения (с точностью до изоморфизма) натуральных чисел. Мое определение расширения Дедекинда адекватно описывает последний тип расширения домена как хорошее, но не включает гиперкомплексные числа, включая кватернионы, несмотря на то, что Дедекинд пишет в отрывке выше.

Итак, когда дело доходит до чисел, полученных путем присоединения новых мнимых единиц, кажется, что Дедекинд проводит линию в кватернионах с точки зрения того, что считается подлинными новыми числами. Ибо, если, с одной стороны, в его [1854] казалось, что и мнимые числа, и кватернионы являются числами, только еще не снабженными удовлетворительным объяснением того, как они получены, с другой стороны, эти системы счисления могут быть получены в грубой форме. так же, как гиперкомплексные числа; так что можно было бы ожидать, что Дедекинд расценит все это либо как входящие, либо выходящие из категории «подлинных доменных расширений» (само собой разумеется, что-то должно быть подлинным доменным расширением, чтобы быть хорошим). При внимательном рассмотрении [Dedekind, 1854] можно сделать одно правдоподобное предположение, что, хотя и комплексные числа, и кватернионы являются подлинными расширениями области (поскольку в обоих случаях вводятся действительно новые числа), только комплексные числа получаются как замыкание уже принятой системы. числовая область (действительные числа) при некоторой обратной операции, а именно при возведении в степень. Поскольку определение расширения Дедекинда стремится уловить идею хорошего расширения домена, выраженную в [Dedekind, 1854], и эта идея состоит в том, что домены расширяются, чтобы закрыть их при операциях, это положительная черта определения расширения Дедекинда. что ему удовлетворяют комплексные числа как расширение действительных чисел, но не кватернионы, поскольку только комплексные числа вводятся как замыкание действительных чисел под квадратными корнями.

6.2. Идеалы Дедекинда и идеальные элементы

Вторым случаем того, что можно было бы хотеть и ожидать от случая «хорошего расширения» для Дедекинда, являются собственные идеалы Дедекинда, или идеальные числа в более общем смысле. Впервые идеальные числа были введены Куммером в 1846 г. [Бордонья, 1996, с. 6; Эдвардс, 1980, с. 322] для решения конкретной проблемы уникальности факторизации для определенных числовых областей. Уникальная факторизация в случае натуральных (или даже целых) чисел довольно проста: для любого непростого натурального числа |$n$|⁠ существует однозначное разложение |$n$| в его простые множители, то есть в числа, которые сами по себе не могут быть записаны как произведение чего-либо, кроме самих себя и единицы. Хотя Куммер впервые заговорил об «идеальных числах» или «идеальных делителях» как о числах, существующих за пределами (вне) области действительных (, т. е. ., существующих в действительности) чисел, и как бы рассматривал их как дополнительные числа, подлежащие добавлению к уже существующим, позиция Дедекинда относительно статуса его идеалов (и соответствующих им идеальных чисел) не столь однозначна. В следующем подразделе я набросаю вторую версию дедекиндовской теории идеалов. На основе этого наброска я смогу затем решить вопрос о том, что это за расширение домена, если оно вообще такое. Для заинтересованных читателей [White, 2004] содержит подробное обсуждение различий между этими двумя версиями.

6.2.1. Класс идеалов и «Строгое определение идеальных чисел» Дедекинда

Дедекинд представил свою теорию идеалов впервые в своих приложениях к Дирихле «Лекции по теории чисел» [1877; 1999], а затем в серии статей в Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques [Dedekind, 1876; 1877]. В своей формулировке теории Дедекинд приходит к «точному» определению идеального числа следующим образом.

Отправной точкой является расширение конечной степени (в техническом смысле поля, которое можно рассматривать как одно- или двумерное векторное пространство над |$\mathbb{Q}$|⁠) |$\Omega$ | |$\mathbb{Q}$|⁠. В этом поле идентифицируется подкольцо элементов, которые с точки зрения делимости ведут себя аналогично целым числам. Это кольцо целых чисел |$\mathfrak{o}$| поля |$\Omega$|⁠. Проблема в том, что, как правило, уникальная факторизация не работает в |$\mathfrak{o}$|⁠. Смысл введения идеальных делителей состоит в том, чтобы частично восстановить некоторые преимущества однозначной факторизации даже в тех случаях, когда она, строго говоря, не работает. В виде набора |$\mathfrak{o}$| не просто подкольцо |$\Omega$|⁠; это тоже 9ч$| в |$\mathfrak{a}$| имеет вид |$b\alpha_1$| для некоторого |$b$|⁠, и поэтому |$\alpha$| делится на |$\mu = \sqrt[h]{\alpha_1}$|⁠ и |$\mu$| — это «целое алгебраическое число», не принадлежащее к полю, с которого мы начали, |$\Omega$|⁠. Таким образом, Дедекинд пишет:

Таким образом, идеал |$\mathfrak{a}$| состоит из всех целых чисел, содержащихся в |$\Omega$| и делится на целое число |$\mu$|⁠; по этой причине мы будем говорить, что число |$\mu$|⁠, хотя и не содержится в |$\Omega$|⁠, равно идеальное число поля |$\Omega$| и соответствует идеалу |$\mathfrak{a}$|⁠. ¹⁴ [1877, с. 246]

Дедекинд останавливается перед тем, чтобы отождествить идеал, содержащий все числа, делящиеся на некоторый идеальный делитель, с самим идеальным делителем. Это различие может показаться аналогичным тому, которое Дедекинд проводит в случае действительных чисел и разрезов, где Дедекинд говорит, что каждому разрезу, не порожденному рациональным числом, соответствует иррациональное число, не говоря при этом, что разрез и число равны 9.0433 один и тот же . ¹⁵ Тогда можно считать это поверхностным различием, которое не следует принимать за чистую монету. Однако существует существенная разница между тем, как Дедекинд затем обрабатывает действительные числа, и числовой областью, в которой он определяет идеалы после того, как идеалы были определены. В первом случае Дедекинд пытается установить, что разрезы , взятые вместе как одна область , удовлетворяют определенным арифметическим и порядковым свойствам. Таким образом, он устанавливает некоторую преемственность между разрезами и определяемыми ими иррациональными числами и арифметикой натуральных чисел. Если посмотреть, как Дедекинд трактует целые и рациональные числа ¹⁶ видно, что эти шаги имеют общее то, что новые числа определяются как (упорядоченные) пары старых чисел, а арифметические операции над новыми числами определяются в терминах операций над старыми числами. Более того, Дедекинд, по-видимому, понимает вновь определенные числа как образующие новое целое, новую структуру (систему), обладающую определенными арифметическими свойствами (например, в случае целых чисел коммутативность сложения и законы дистрибутивности для сложения и дистрибутивности). умножение), которые справедливы и для натуральных чисел. Мне кажется, что в работе Дедекинда об идеалах не обнаруживается аналогичного интереса. Он не пытается показать, что существует какая-то глубокая преемственность между арифметическими свойствами натуральных чисел и арифметическими свойствами этих предполагаемых новых чисел (даже если можно сказать, что они порождены исследованием делимости и фундаментальной теоремой теории чисел). арифметика, и, следовательно, это то, что получается при попытке определить «делимость» в ее самой общей форме 9 .0433 т. е. ., расширяют делимость, в некотором смысле).

6.3. Являются ли идеалы и гиперкомплексы хорошими расширениями Дедекинда?

В изложении рассматриваемых идеалов Дедекинд явно дистанцируется от подхода Куммера к идеалам, который представляет их как несуществующие числа, индивидуализируемые только правилами делимости, заданными через громоздкие уравнения [Bordogna, 1996; Эдвардс, 1983].

Дедекинд, напротив, определяет идеалы как классы (комплексных) чисел. Он утверждает, что этих классов эквивалентности , а не , следует рассматривать как дополнение к числовому домену. Другими словами, он не считает себя расширителем домена.

Это соответствует тому, как расширения концепции числа представлены в Habilitation . Чтобы идеалы Дедекинда считались новыми числами, следует ожидать, что Дедекинд попытается доказать, что числовая область, расширенная за счет включения идеалов, по-прежнему сохраняет определенные «законы», которые были верны для той же области без идеалов. Но Дедекинд этого не делает. В частности, он не пытается доказать, что основные арифметические операции сохраняются в расширении.

Аналогичным образом, такая забота, по-видимому, отсутствует в его трактовке гиперкомплексных чисел. Учитывая, что до сих пор в своих [1872] и [1888] Дедекинд гордо ссылается на [Dedekind, 1854] как на сценарий, цель которого одобряла сам Гаусс, маловероятно, что он не обратил бы внимания на расширение понятия числа, а именно, гиперкомплексные числа, что не согласуется с его описанием того, что ограничивает такие расширения.

Поэтому я придерживаюсь иной позиции, когда речь идет об идеалах и гиперкомплексных числах, а именно, что они не должны быть расширениями в смысле [Dedekind, 1854]. Есть две причины такой позиции. Во-первых, как уже упоминалось, оба случая ставят перед нами загадку: (предполагаемый) случай расширения, который, по-видимому, не удовлетворяет критерию Дедекинда для хорошего расширения. Во-вторых, я полагаю, что имеется достаточно текстовых свидетельств, чтобы предположить, что Дедекинд рассматривает эти два случая иначе, чем то, как он рассматривает целые числа (как расширение |$\mathbb{N}$|⁠), рациональные и действительные числа. (Случай комплексных чисел не является проблемой, поскольку он является хорошим расширением предметной области в моем полуформальном представлении критерия Дедекинда 1854 года, а сам Дедекинд действительно рассматривает их как расширение действительных чисел). Я полагаю, что последние (целые числа, рациональные числа, действительные числа, комплексы) являются подлинными расширениями понятия числа для Дедекинда, в отличие от идеалов и гиперкомплексных чисел, и это также то, что предполагает моя полуформализация критерия Дедекинда.

7. СРАВНЕНИЕ

Если рассмотреть критерий расширения Дедекинда, то интересующие Дедекинда случаи числовой области (расширения от |$\mathbb{N}$| до |$\mathbb{Z}$| все вплоть до |$\mathbb{C}$|⁠) являются хорошими случаями расширения домена — если ограничить подписи, чтобы исключить порядок; в противном случае уже |$\mathbb{Z}$| как расширение |$\mathbb{N}$| не удовлетворяло бы условию (ii) в определении Дедекинда.

|$\mathbb{R}(i)$|⁠, например, будет структурой, полученной как дополнение другой, а именно |$\mathbb{R}$|⁠. Начинают с домена |$\mathbb{R}$|⁠, добавляют один новый элемент, |$i$|⁠, а затем добавляют также все подходящие алгебраические комбинации |$i$| со всеми элементами |$\mathbb{R}$|⁠. Также кажется, что в процессе мы были консервативны в отношении |$\mathbb{R}$| как поле (но не как упорядоченное поле, учитывая, что |$\mathbb{R}$| линейно упорядочено, а |$\mathbb{R}(i)$| – нет). Таким образом, этот конкретный пример является расширением «хорошего случая» как для Мандерса, так и для Дедекинда. 9*\mathbb{R}$| также считается хорошим доменным расширением в рамках Дедекинда, в отличие от Мандерса. Это существенное различие, которое можно объяснить с точки зрения того, что пытаются зафиксировать две разные структуры. Использование Мандерсом экзистенциального замыкания предназначено для захвата случаев расширения предметной области, направленного на упрощение с точки зрения уменьшения сложности кванторов теории. Расширение Дедекинда, с другой стороны, предназначено для охвата случаев расширения предметной области, направленных на расширение данной концепции (9).0433 например ., сложения или числа) настолько, насколько позволяет сущность понятия. ¹⁷

В предыдущем разделе я затронул два известных случая предполагаемого расширения домена и пришел к выводу, что они, похоже, не подпадают под мою интерпретацию Дедекинда. Теперь мы кратко обратимся к вопросу о том, хорошо ли кватернионы и идеалы обрабатываются понятием Мандерса. Кватернионы (⁠|$\mathbb{H}$|⁠) не получаются как экзистенциальное замыкание |$\mathbb{C}$|⁠, учитывая, что |$\mathbb{C}$| уже экзистенциально замкнуто и не изоморфно |$\mathbb{H}$|⁠. В то же время не очевидно, что должен быть какой-то класс структур |$K$| над которым |$\mathbb{H}$| экзистенциально замкнут. Аналогично для идеалов, определенных над некоторым полем. Таким образом, без таких результатов нельзя окончательно решить, считаются ли кватернионы и идеалы хорошими расширениями предметной области для Мандерса. ¹⁸

В разделе 3 я объяснил, как Мандерс утверждает, что для любой теории, в которой каждое условие разрешимости имеет одно слабое дополнение, экзистенциальное замыкание приводит к упрощению и концептуальной унификации [Мандерс, 1989, стр. 554–556]. Мандерс разъясняет упрощение и унификацию с точки зрения формальных свойств теорий получаемых экзистенциально замкнутых моделей. Другими словами, Мандерс предполагает, что экзистенциальная замкнутость является достаточным условием для того, чтобы расширение домена считалось хорошим и плодотворным9.0801 19 , и он указывает, что несколько исторически важных случаев (комплексные числа, точки и линии в бесконечности) действительно являются случаями экзистенциальной замкнутости. Как таковые, они действительно являются средством частичного достижения цели (⁠|$G»$|⁠): с помощью таких результатов, как Nullstellensatz , они позволяют «вводить двойные преобразования между моделями», и в силу того, что Мандерс вызывает свойство «выжимание среднего регистра», они удаляют исключения.

Понятие Дедекинда, тем временем, фокусируется на сохранении определенных особенностей (теорем) теории, которые считаются существенными для задействованных понятий (например, сложения). Из-за этого расширение Дедекинда преследует цель (⁠|$G»$|⁠), позволяя прямым и обратным операциям удовлетворять свойствам замыкания. Это разделение цели (⁠|$G»$|⁠) предполагает возможность использования предложения Дедекинда и Мандерса для разработки дизъюнктивной характеристики исторических случаев идеальных элементов.

Тем не менее, существует принципиальное концептуальное различие между Дедекиндом, с одной стороны, и Мандерсом, с другой. Мандерс настаивает на том, что после факта расширения мы можем оказаться в состоянии отвергнуть свойства или факты, которые до расширения считались существенными для концепции, которую рассматриваемая структура должна представлять или моделировать (в некотором смысле). свободный смысл терминов). Как уже отмечалось в разделе 5, он даже ссылается на принцип постоянства эквивалентных форм Пикока, отмечая, что, несмотря на его prima facie правдоподобие, оно не может всегда оставаться верным. Это кажется непримиримым различием в том, как два противоположных лагеря — Мандерс, с одной стороны, Дедекинд, с другой — понимают цели и преимущества доменных расширений. Сохранение сущности функции является для Дедекинда критерием, который побуждает математика расширять свои функции и понятия так, а не иначе.

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой статье я начал с обзора идеальных элементов в математике, рассматриваемых как пример хороших расширений математических областей. Я считал [Мандерс, 1989] в качестве кандидата на теоретико-модельное объяснение гильбертовского метода идеальных элементов и его роли в развитии чистой математики.

Концепция расширения предметной области Мандерса, однако, оказалась недостаточно приспособленной для объяснения «идеальности» расширений предметной области, возникающих, когда математик стремится к замыканию посредством операций, или к упрощению и плодотворности иного рода, чем те, которые обеспечиваются устранением кванторов. Хотя верно то, что Мандерс стремится только предложить достаточное условие для успешного или хорошего расширения предметной области, количество и виды случаев, которые не демонстрируют теоретико-модельные характеристики, на которых он фокусируется, позволяют предположить, что объяснение Мандерса плодотворности расширений предметной области таково: в лучшем случае частично.

В попытке пролить свет на связанные вопросы о том, как следует понимать приписывание теоретических достоинств, таких как простота и плодотворность, расширенным математическим областям (или сопутствующим теориям), и могут ли такие достоинства быть сведены к теоретико-модельным характеристикам рассматриваемых структур или теорий, как предлагает нам делать Мандерс, я использовал [Dedekind, 1854] в качестве основы для альтернативного теоретико-модельного критерия хороших расширений предметной области. Результат сравнения Дедекинда и Мандерса состоит в том, что они оба рассматривают комплексные числа как плодотворный случай расширения домена, но затем, кажется, расходятся во мнениях по большинству других случаев. Кватернионы и идеалы не так просто рассматривать в рамках модели Мандерса, но они и не кажутся тем расширением, которое его критерий призван зафиксировать в качестве хорошего случая расширения; они также не удовлетворяют определению расширения Дедекинда. Случай вещественных чисел с бесконечно малыми, с другой стороны, представляет собой хорошее расширение для Дедекинда, хотя и таким образом, что не раскрывает (эпистемологических) преимуществ работы с бесконечно малыми. Для Мандерса это невозможно. Для бесконечно малых тогда остается два следующих варианта: либо понимание идеальных элементов, предлагаемое формализацией Мандерса, слишком ограничительно, поскольку оно не учитывает роль идеальных элементов как «упростителей доказательства»; или, если принять предложение Мандерса за нормативное, бесконечно малые элементы, в конце концов, не являются идеальными элементами. Однако может быть и третий вариант, если более внимательно посмотреть на обсуждение идеальных элементов и расширений в начале статьи, а именно, может возникнуть желание провести различие между идеальными элементами, которые вводятся для округления области в смысле Мандерса или для упростить математику в стиле Мандерса и идеальные элементы, которые вводятся для обеспечения замыкания при определенных операциях. Согласно этому предположению, расширения Дедекинда — это расширения, которые включают в себя подлинное расширение домена объектов в домене и расширение, которое достигает закрытия при определенных операциях. Это решение соответствовало бы исторической дискуссии, выдвинутой Канту, подчеркивая при этом как сильные стороны, так и потенциальные ограничения использования концепций теории моделей для понимания расширения предметной области в математике.

Footnotes

^† Я хотел бы поблагодарить Арианну Бетти, Аннапаолу Джинамми, Луку Инкурвати, Джеффри Роберта Шаца, Хайна ван ден Берга и особенно Шона Уолша, а также двух анонимных рецензентов за их полезные комментарии к предыдущим проектам Эта бумага. Более ранние версии этой работы были представлены на различных семинарах и получили комментарии от их аудитории, в том числе на Восемнадцатом семинаре по математике Среднего Запада в Нотр-Даме (2017 г.) и Двенадцатой ежегодной Кембриджской конференции выпускников по философии математики и логики (2019 г. ).). Я особенно обязан Тиму Баттону как респонденту газеты в Кембридже.

Работа выполнена при поддержке Нидерландской организации научных исследований, проект № 277-20-007.

¹ Более подробно возражения против аргумента (1)–(4) см. в [Cantù, 2013, pp. 89 ff.].

² Экзистенциальная замкнутость в этой формулировке обусловлена ​​[Hodges, 1993, p. 361].

Как оказалось, можно усилить определение экзистенциального замыкания, чтобы формула |$\varphi$| может быть любой экзистенциальной формулой, а не просто квантором существования, за которым следуют атомарные или отрицательные атомарные формулы. Это всего лишь следствие теоремы о дизъюнктивной нормальной форме для |$\exists_1$| формулы [Ходжес, 1993].

³ Nullstellensatz на самом деле — это название, данное нескольким теоремам современной алгебры, которые, однако, являются обобщениями Nullstellensatz Гильберта. Одна стандартная формулировка Гильберта Nullstellensatz выглядит следующим образом:

Предположим, что |$A$| — алгебраически замкнутое поле, |$I$| является идеалом в кольце многочленов |$A[x_0, \dots, x_{n-1}]$| и |$p(x_0, \dots, x_{n-1})$| является полиномом |$\in A[x_0, \dots, x_{n-1}]$| такое, что для всех |$\overline{a}\in A$| если |$q(\overline{a})= 0$| для всех |$q\in I$| тогда |$p(\overline{a})= 0$|⁠. k\in I$|⁠. [Ходжес, 19 лет93, с. 366]

Nullstellensatz доказывается с помощью исключения кванторов, а его обобщение, называемое Strong Nullstellensatz , используется для установления определенных результатов в теории двойственности. [nLab, 2019]

⁴ Этот термин используется в нетехническом смысле, поскольку эти примеры на некоторое время предшествуют теории моделей.

⁵ За исключением, возможно, Веронезе, ср. [Cantù, 2013, стр. 94–95].

⁶ Вот полная цитата:

В основе фундаментальных понятий раздела математики, известного как анализ, лежит понятие предела. Производные и интегралы, сумма бесконечного ряда и непрерывность функции определяются в терминах пределов. Например, пусть |$f(x)$| — функция с действительным знаком, определенная для всех |$x$| в открытом интервале |$(0,1)$| и пусть |$x_0$| быть числом, принадлежащим этому интервалу. Тогда действительное число |$a$| является производной от  |$f(x)$| в  |$x_0$|⁠, в символах 1. 1.1 |$f'(x_0) = (\frac{d f}{d x})_{x=x_0} = a$| если 1.1.2 |$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)- f(x_0)}{x-x_0} = a$|⁠. Предположим, мы спросим хорошо подготовленного математика о значении 1.1.2. Тогда мы можем положиться на него, что, за исключением несущественных вариаций и терминологических различий (таких как использование некоторых топологических понятий), его объяснение будет таким:

Для любого положительного числа |$\epsilon$| существует положительное число |$\delta$| такое, что |$|\frac{f(x) — f(x_0)}{x-x_0}-a|<\epsilon$| для всех |$x$| в |$(0,1)$| для которого |$0<|x-x_0|<\delta$|⁠.

Теперь спросим нашего математика, не согласится ли он со следующей более прямой интерпретацией 1.1.1 и 1.1.2.

Для любого |$x$| в интервале определения |$f(x)$| такое, что |$dx= x-x_0$| бесконечно близко к  |$0$| но не равно |$0$|⁠, отношение |$\frac{df}{dx}$|⁠, где |$df = f(x)-f(x_0)$|⁠, бесконечно близко к |$а$|⁠. На этот вопрос мы можем ожидать ответа, что наше определение может быть проще [курсив добавлен] на вид, но совершенно неверно. [|$\dots$|] [Робинсон, 19 лет96, pp. 1–2]

⁷ Хотя я не сомневаюсь, что бесконечно малые являются идеальными элементами, по крайней мере, в эпистемологическом смысле, я должен отметить, что нужно быть довольно либеральным в отношении того, что считается « удаление исключений», если кто-то хочет утверждать, что аргумент Канту (1)–(4) можно легко прочитать из цитат Робинсона и Голдблатта. Вот одна из возможных модификаций аргумента Канту: мы заменяем цель (⁠|$G»$|⁠) на цель (⁠|$G»’$|⁠) сделать формальную математику более понятной и максимально приближенной к наивная интуиция, а поддерживающие ценности (⁠|$V$|⁠) и (⁠|$V’$|⁠) со значениями (⁠|$V»$|⁠): простота понимания математической теории желательное значение в математике, и (⁠|$V»’$|⁠): желательна простота понимания, потому что это увеличивает плодотворность. Однако исторические сторонники исчисления бесконечно малых, возможно, апеллировали к этому аргументу именно так, как он представлен в [Cantù, 2013].

⁸ Здесь читатель может задаться вопросом, что произойдет, если вместо рассмотрения |$\mathbb{R}$| в качестве отправной точки расширения, как я только что сделал, мы рассматриваем случаи, когда |$\mathbb{R}$| является расширенным доменом — например, относительно |$\mathbb{Q}$|⁠. Действительно, существует традиция рассматривать иррациональные числа как идеальные элементы относительно |$\mathbb{Q}$|⁠, а случай |$\mathbb{R}$| как расширение |$\mathbb{Q}$| потенциально может быть проблематичным для аккаунта Мандерса; |$\mathbb{R}$| не является экзистенциальным замыканием |$\mathbb{Q}$| как поле. Поскольку алгебраическое замыкание и экзистенциальное замыкание сводятся к одному и тому же понятию для полей, это означает, что |$\mathbb{R}$| не является экзистенциальным замыканием |$\mathbb{Q}$|⁠; поэтому проблематично приспособиться к структуре Мандерса. На это сторонник модели Мандерса для расширений с помощью идеальных элементов может дать два ответа. Во-первых, действительно, |$\mathbb{R}$| можно рассматривать как расширение |$\mathbb{Q}$| через идеальные элементы, но только если отойти от классической математической точки зрения. Во-вторых, этого следует ожидать, поскольку то, что делает действительные числа достойными внимания математика, — это их полнота, а полнота не может быть выражена в виде формулы первого порядка, в то время как экзистенциальное замыкание имеет дело только с сохранением формул первого порядка. . Можно принять эти два ответа как удовлетворительные, но обратите внимание, что они, по-видимому, приводят к тому, что объяснение Мандерса о расширении домена становится более ограничительным.

⁹ Как мы также увидим для Дедекинда, это ограничение того, какие законы арифметики должны сохраняться при расширениях, делает довольно нетривиальную работу в этих критериях для расширений.

¹⁰ На с. 11 one reads:

Der hierin enthaltene hodegetische Grundsatz kann als das Prinzip der Permanenz der formalen Gesetzen bezeichnet werden und besteht darin: Wenn zwei in allgemeinen Zeichen der arithmetica universalis ausgedrückte Formen einander gleich sind, so sollen sie einander auch gleich bleiben, wenn die Zeichen aufhören, einfachen Größen zu bezeichnen, und daher auch die Operationen einen irgend welchen anderen Inhalt bekommen.

Перевод автора: Содержащийся здесь вводный базовый принцип может быть назван принципом постоянства формальных законов и состоит в следующем: всякий раз, когда две формы, выраженные общими знаками arithmetica universalis , равны друг другу, они также должны остаются равными друг другу, когда знаки перестают обозначать простые величины, а потому и операции приобретают иное содержание [, т. е. ., значение].)

¹¹ Обратите внимание, что Дедекинд, по-видимому, говорит, что в каждом раунде расширения, строго говоря, не просто добавляются новые элементы в числовую область или переопределяются операции, но вся числовая область «создается [ред] [|$\dots$|] заново’. Я нахожу правдоподобным, что здесь Дедекинд просто признает, что добавление чисел к старой области фактически является изменением концепции числа. Следовательно, добавление новых чисел приводит к полному переписыванию определения понятия числа, и в этом смысле ранее существовавшие числа также воссоздаются, как только новые числа появляются на месте. Это прочтение, по общему признанию, слабее, чем другие прочтения «креационизма» Дедекинда о числах, особенно в Was sind und was sollen die Zahlen и Stetigkeit und irrationale Zahlen ([1888; 1872] переведено в [Dedekind, 1963]), как представлено, , например ., в [Tait, 1996; Халлетт, 2019]. Тщательное обсуждение взаимосвязи между определениями и творчеством в работах Дедекинда выходит за рамки настоящей статьи.

¹² Рассмотрим, например, |$\mathbb{Z}$| как |$\mathcal{A}$|⁠, |$\mathbb{Q}$| как |$\mathcal{B}$|⁠. Если формализация должна отразить идею Дедекинда о хорошем расширении предметной области, то |$\mathbb{Q}$| должен оказаться таким для |$\mathbb{Z}$|⁠. Для этого мое определение должно исключить например ., |$\forall x\, 2x\neq 1$| из класса предложений, которые нужно сохранить между |$\mathbb{Z}$| и |$\mathbb{Q}$|⁠, и один из способов сделать это — исключить отношение(я) порядка из |$\varphi$|⁠.

¹³ Теорема утверждает, что класс алгебр |$\mathcal{K}$| аксиоматизируемо по уравнениям тогда и только тогда, когда оно является многообразием — , т. е. , тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет некоторым свойствам замыкания. Установить, что класс алгебр является многообразием, проще, чем явно дать аксиоматизацию класса алгебр, и знание того, что определенная структура определима уравнениями, чрезвычайно ценно.

¹⁴ Donc l’ideal |$\mathfrak{a}$| est composé de tous les nombres entiers contenus dans |$\Omega$| et divisibles par le nombre entier |$\mu$|⁠; pour cette raison nous dirons que le nombre |$\mu$|⁠, lors même qu’il n’est pas contenu dans |$\Omega$|⁠, est un nombre idéal du corps  |$\Omega$|⁠ , et qu’il соответствуют идеалу |$\mathfrak{a}$|⁠.

¹⁵ Обсуждение взглядов Дедекинда на разрезы и действительные числа, а также на сопутствующие трудности см. в [Reck, 2020].

¹⁶ Dedekind предлагает конструкцию для каждого из них в Nachlass . Я смог получить доступ к его заметкам о целых числах благодаря Эммилу Хаффнер, но не тем, кто занимался «аналогичной конструкцией» рациональных чисел, и поэтому я полагаюсь на отчет Зига и Шлимма [2005] по этому вопросу.

¹⁷ Это замечание может подтолкнуть некоторых читателей к мысли, что случаи форсирования расширений в теории множеств относятся к тому типу расширений, которые должен быть в состоянии объяснить Дедекинд. У меня есть два ответа на этот вопрос. Во-первых, меня интересует дедекиндовское понятие расширения домена прежде всего в том случае, когда добавляемые элементы являются «идеальными элементами». Насколько мне известно, принудительное расширение не обсуждается в этих терминах в литературе. Во-вторых, более подходящим условием (ii) для понятия расширения, пытающегося охватить хорошие расширения теорий на языке теории множеств, было бы требование сохранения абсолютный , то есть |$\Delta_0$| понятия между исходной структурой и расширением.

¹⁸ Учитывая, что на первый взгляд гиперкомплексные числа и идеалы не попадают прямо в категорию хороших расширений предметной области ни в одной из рассмотренных здесь структур, можно задаться вопросом, является ли удовлетворительным объяснением расширения предметной области то, что подтверждает, что гиперкомплексные числа и идеалы являются хорошими расширениями предметной области.

Моя полуформализация предложения Дедекинда позволяет рассматривать коммутативность сложения и умножения как некоторые из законов, которые должно сохранять любое расширение числового понятия (или числовой области). Прямым следствием этого является то, что кватернионы, таким образом, не могут считаться случаем расширения Дедекинда. Более того, это согласуется с моим объяснением того, что должен фиксировать критерий Мандерса и что должен фиксировать критерий Дедекинда, что ни один из них не будет рассматривать идеалы и гиперкомплексные числа как хорошие расширения. Я полагаю, что достаточный критерий Мандерса охватывает случаи расширения области, мотивированные присоединением решений уравнений, выразимых, хотя и неразрешимых, в исходной области. Ясно, что гиперкомплексные числа и идеалы не являются такими вещами. Критерий Дедекинда, с другой стороны, должен охватывать случаи расширения области, происходящие от расширения области корректной определенности алгебраических операций 9. 0433 как можно больше . Я также хочу доказать, что введение идеалов не вызвано желанием «закрыть» область при выполнении некоторых операций — то есть функций — над исходной, ограниченной областью, что является своего рода расширением области, к которому я отношу идею Дедекинда. захватывать. Проблема, конечно, в том, что это делает оба описания (Мандерса и мое, основанное на Дедекинде) в некоторой степени нормативными, а не просто описательными.

¹⁹ Точнее, Мандерс предполагает, что для теорий, удовлетворяющих определенным свойствам, экзистенциальная замкнутость является достаточным условием для хорошего расширения области.

Список литературы

Bordogna,

F.

[

1996

]: ‘

Интерпретация идеала: встраивание идеальных чисел в математических программах Kummer, Dedekind и Klein

221 ‘9082.

Берлин

:

Институт истории науки имени Макса Планка

.

Cantù,

P.

[

2013

]: ‘

Аргументативный подход к идеальным элементам в математике

’, в

Абердейн

А.

и

Голубь,

И.Дж.

изд.,

Математический аргумент

, стр.

79

–

99

.

Логика, эпистемология и единство науки; 30

.

Спрингер

. дои.

орг/10.1007/978-94-007-6534-4_17

.

Чемла,

К.

[

2016

]: «

Ценность общности в историографии геометрии Мишеля Шаля

», в

Рено Чорле

K. C.

и

Rabouin,

D.

Eds,

Оксфордский справочник общности в математике и науках

, стр.

47

—

89

Издательство Оксфордского университета

.

Дедекинд,

Р.

[

1854

]: ‘

О введении новых функций в математику

‘, in

Ewald,

W.

Источник в книге Абертиля 4:

Изд. Основы математики

, стр.

754

–

762

.

Издательство Оксфордского университета

.

Дедекинд,

Р.

[

1872

]:

Stetigkeit und Rationale Zahlen

.

Брауншвейг

:

Фридрих Виег и Зон

.

Dedekind,

R.

[

1876

]: ‘

Sur la théorie des nombres entiers algébriques

‘,

Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques (1)

11

,

278

–

288

.

Дедекинда,

R.

[

1877

]: ‘

Sur la théorie des nombres entiers algébriques

‘,

Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques (2)

1

,

17

—

41

,

69

—

92

,

144

—

164

,

207

,

207

4

4

4

4

4

492424

4244924 24008 240822,

—

,

—

,

—

.

Дедекинд,

R.

[

1885

]: ‘

Zur Theorie der aus |$n$| Haupteinheiten gebildeten komplexen Grössen

’,

Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen

,

141

–

159

.

Dedekind,

R.

[

1887

]: ‘

Erläuterungen zur Theorie der sogenannten allgemeinen komplexen Grössen

’,

Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen

,

1

–

7

.

Dedekind,

R.

[

1888

]:

Was sind und was sollen die Zahlen

.

Брауншвейг

:

Фридрих Виег и Зон

.

Дедекинд,

Р.

[

1931

]:

Gesammelte Mathematische Werke

, Vol.

2

.

Fricke

Robert

,

Noether

Emmy

и

Ore

Ø ystein

.

Брауншвейг

:

Фридрих Виег и Зон

.

Дедекинд,

Р.

[

1963

]:

Очерки теории чисел

.

Нью-Йорк

:

Dover Publications

.

Detlefsen,

M.

[

1993

]: ‘

Hilbert’s formalism

‘,

Revue Internationale de Philosophie

47

,

285

–

304

.

Детлефсен,

М.

[

2005

]: ‘

Формализм

‘, в

Shapiro,

S.

Ed.,

Оксфордский справочник по математике и логике

, стр.

.

Издательство Оксфордского университета

.

Дирихле,

J.P.G.L.

и

Дедекинд

R.

[

1999

]:

Лекции по теории чисел

.

Провиденс, Род-Айленд

:

Амер. Мат. соц. и Лондонская математика. Соц

.

Эдвардс,

Х.М.

[

1980

]: ‘

The genesis of ideal theory

’,

Archive for History of Exact Sciences

23

,

321

–

378

.

Эдвардс,

Х.М.

[

1983

]: ‘

Dedekind’s Indecution of Ideations

’,

Бюллетень Лондонского математического общества

15

,

8

—

17

.

Ferreirós,

J.

[

2007

]:

Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике

. 2-й об. изд..

Базель, Бостон

:

Биркхойзер

.

Goldblatt,

R.

[

1998

]:

Лекции о Гиперреалах

.

Нью-Йорк

:

Спрингер

.

Hallett,

M.

[

1990

]: ‘

Физиказм, редукционизм и Hilbert

’, в

Irvine,

22. 0822, стр.

183

–

257

.

Спрингер

.

Hallett,

M.

[

2019

]: ‘

Фреге при создании

’, в

P.A

3 Ebert

3

и

Rossberg,

M.

Eds,

Эссе о основных законах Фреге арифметики

, с.0822 .

Издательство Оксфордского университета

.

Hankel,

H.

[

1867

]:

Теория Der Complecten Zahlensysteme insbesondere der gemeinen gemetrenhren zahlen und der hamilton’schen Quaternion Quaternion Quaternion Quaternion.

Лейпциг

:

Леопольд Фосс

.

Гильберт,

D.

[

1984

]: ‘

на Infinite

’, в

Benacerraf

P.

и

Putnam,

H.

EDS,

Философия математики

: 9000

. 2-е изд., с.

183

–

201

.

Издательство Кембриджского университета

.

Гильберт,

D.

[

1992

]: ‘

Die Rolle von Idealen Gebilden

’, в

Natur und Mathematisches Erkennen

, стр.

90

–

101

.

Роу

Дэвид

, изд.

Базель, Бостон

:

Биркхойзер

.

Hodges,

W.

[

1993

]:

Теория моделей. Энциклопедия математики и ее приложений

, Vol.

42

.

Издательство Кембриджского университета

.

Мандерс,

К.Л.

[

1984

]: ‘

Интерпретации и теория моделей классической геометрии

‘, в

Модели и наборы (AACHEN, 1983)

, с.

297

922 —

, с.

297

22 —

, с. 330

.

Конспект лекций по математике

;

1103

.

Спрингер

.

Мандерс,

К.Л.

[

1989

]: ‘

Domain extension and the philosophy of mathematics

’,

Journal of Philosophy

86

,

553

–

562

.

nLab [

2019

]: ‘

Nullstellensatz. Редакция 17

’. Доступно на http://ncatlab.org/nlab/revision/Nullstellensatz/17.

Павлина,

G.

[

1830

]:

Трактат по алгебре

.

Кембридж

:

Дж. и Дж.Дж. Дейтон

.

Peacock,

G.

[

1834

]: «

Отчет о недавнем прогрессе и текущем состоянии некоторых областей анализа

», в отчете Третьего собрания Британской ассоциации

90 для развития науки

, стр.

185

–

352

.

Reck,

E.

[

2020

]: ‘

Вклады Дедекинда в основы математики

’, in

E

ed. ,

The Stanford Encyclopedia of Philosophy

(

Winter

2020

ed.) Доступно на https://plato.stanford.edu/entries/dedekind-foundations/. Доступно

июнь

2021

.

Робинсон,

А.

[

1996

]:

Лекции о гиперреальности

.

Издательство Принстонского университета

.

Sieg,

W.

и

Schlimm

D.

[

2005

]: ‘

Анализ DeDekind number: Systems и Axioms

2 ‘,

. 0003 147

,

121

–

170

.

Stillwell,

J.

[

2014

]: ‘

Ideal elements in Hilbert’s geometry

‘,

Perspectives on Science

22

,

35

–

55

.

Tait,

W.W.

[

1996

]: ‘

Фреге против Кантора и Дедекинда

’, в

Schirn,

M.

Ed.,

Frege: Важность и Legacy

, стр.

70

—

113

.

Берлин

:

Де Грюйтер

.

палатка,

К.

и

Ziegler

M.

[

2012

]:

Курс по теории модели

.

Конспект лекций по логике

;

40

.

Издательство Кембриджского университета

.

Белый,

D.

[

2004

]:

Аксиоматика, методология и теория идеалов Дедекинда.

Магистерская диссертация, Университет Карнеги-Меллона

.

© Автор [2021]. Опубликовано издательством Оксфордского университета.

Это статья в открытом доступе, распространяемая в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (http://creativecommons. org/licenses/by/4.0/), которая разрешает неограниченное повторное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии, что оригинальная работа правильно цитируется.

© Автор [2021]. Опубликовано издательством Оксфордского университета.

Наборы — типы, символы, свойства, примеры

Наборы в математике — это просто набор отдельных объектов, образующих группу. В наборе может быть любая группа предметов, будь то набор чисел, дней недели, видов транспорта и так далее. Каждый элемент множества называется элементом множества. Фигурные скобки используются при написании множества. Очень простой пример набора будет таким. Установите А = {1,2,3,4,5}. Существуют различные обозначения для представления элементов множества. Наборы обычно представляются с помощью формы списка или формы построителя наборов. Остановимся подробно на каждом из этих терминов.

1.	Наборы определения
2.	Комплекты Представительство
3.	Наборы символов
4.	Типы наборов
5.	Наборы формул
7.	Набор свойств
8.	Операции над множествами
9.	Часто задаваемые вопросы о наборах

Наборы определения

В математике множество — это четко определенный набор объектов. Наборы именуются и представляются с заглавной буквы. В теории множеств элементами, из которых состоит множество, могут быть любые вещи: люди, буквы алфавита, числа, фигуры, переменные и т. д.

Наборы в математике Примеры

определено менее 10, тогда как совокупность умных учеников в классе не определена. Таким образом, набор четных натуральных чисел меньше 10 можно представить в виде множества A = {2, 4, 6, 8}. Давайте используем этот пример, чтобы понять основную терминологию, связанную с множествами в математике.

Элементы набора

Элементы, присутствующие в наборе, называются либо элементами, либо членами набора. Элементы множества заключены в фигурные скобки, разделенные запятыми. Для обозначения того, что элемент содержится в множестве, используется символ «∈». В приведенном выше примере 2 ∈ A. Если элемент не является членом множества, то он обозначается символом «∉». Здесь 3 ∉ A.

Кардинальное число набора

Кардинальное число, мощность или порядок набора обозначает общее количество элементов в наборе. Для натуральных четных чисел меньше 10 n(A) = 4. Наборы определяются как набор уникальных элементов. Одним из важных условий определения множества является то, что все элементы множества должны быть связаны друг с другом и иметь общее свойство. Например, если мы определим множество с элементами как названия месяцев в году, то мы можем сказать, что все элементы множества являются месяцами года.

Представление наборов

Для представления множеств используются различные нотации множеств. Они отличаются способом перечисления элементов. Для представления множеств используются три обозначения множеств:

• Семантическая форма
• Форма реестра
• Набор сборщика форма

Семантическая форма

Семантическая нотация описывает оператор, показывающий, что является элементами множества. Например, набор А — это список первых пяти нечетных чисел.

Форма реестра

Наиболее распространенной формой, используемой для представления наборов, является запись реестра, в которой элементы наборов заключены в фигурные скобки, разделенные запятыми. Например, Set B = {2,4,6,8,10}, который представляет собой набор первых пяти четных чисел. В ростерной форме порядок элементов множества не имеет значения, например, множество первых пяти четных чисел также можно определить как {2,6,8,10,4}. Кроме того, если в наборе имеется бесконечный список элементов, то они определяются с помощью набора точек в конце последнего элемента. Например, бесконечные множества представлены как X = {1, 2, 3, 4, 5. ..}, где X — множество натуральных чисел. Чтобы подытожить нотацию формы реестра, пожалуйста, взгляните на примеры ниже.

Обозначение множеств с конечным списком: множество A = {1, 2, 3, 4, 5} (первые пять натуральных чисел)
Обозначение наборов с бесконечным реестром: набор B = {5, 10, 15, 20 ….} (кратное 5)

Форма построителя набора

Нотация построителя набора имеет определенное правило или утверждение, которое конкретно описывает общее свойство всех элементов множества. Форма построителя набора использует в своем представлении вертикальную черту с текстом, описывающим характер элементов набора. Например, А = {к | k — четное число, k ≤ 20}. В заявлении говорится, что все элементы множества A являются четными числами, меньшими или равными 20. Иногда вместо «|» используется «:».

Визуальное представление множеств с помощью диаграммы Венна

Диаграмма Венна — это графическое представление множеств, где каждое множество представлено в виде круга. Элементы множества находятся внутри кругов. Иногда прямоугольник окружает круги, что представляет универсальный набор. Диаграмма Венна показывает, как данные наборы связаны друг с другом.

Наборы символов

Набор символов используется для определения элементов данного набора. В следующей таблице показаны некоторые из этих символов и их значение.

Символы	Значение
У	Универсальный набор
н(Х)	Кардинальное число набора X
б е А	‘b’ является элементом множества A
а ∉ В	‘a’ не является элементом множества B
{}	Обозначает набор
∅	Нулевой или пустой набор
А У Б	Набор A Набор соединительных элементов B
А ∩ В	Набор пересечений A Набор B
А ⊆ В	Набор A является подмножеством набора B
Б ⊇ А	Набор B является надмножеством набора A

Типы наборов

Наборы подразделяются на разные типы. Некоторые из них являются одноэлементными, конечными, бесконечными, пустыми и т. д.

Одноэлементные наборы

Набор, состоящий только из одного элемента, называется одноэлементным набором или также называется единичным набором. Пример. Установите A = { k | k — целое число от 3 до 5}, то есть A = {4}.

Конечные множества

Как следует из названия, множество с конечным или счетным числом элементов называется конечным множеством. Пример. Установите B = {k | k — простое число меньше 20}, то есть B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

Бесконечные множества

Множество с бесконечным числом элементов называется бесконечным множеством. Пример: Установите C = {кратное 3}.

Пустые или нулевые наборы

Набор, который не содержит ни одного элемента, называется пустым набором или нулевым набором. Пустое множество обозначается символом «∅». Читается как « фи ». Пример: Установите X = {}.

Равные множества

Если два множества содержат одни и те же элементы, то они называются равными множествами. Пример: А = {1,2,3} и В = {1,2,3}. Здесь множество A и множество B являются равными множествами. Это можно представить как A = B.

Неравные множества

Если два множества имеют хотя бы один отличающийся элемент, то они являются неравными множествами. Пример: A = {1,2,3} и B = {2,3,4}. Здесь множество A и множество B являются неравными множествами. Это можно представить как A ≠ B.

Эквивалентные множества

Два множества называются эквивалентными множествами, если они имеют одинаковое количество элементов, хотя элементы разные. Пример: A = {1,2,3,4} и B = {a,b,c,d}. Здесь множество A и множество B являются эквивалентными множествами, поскольку n(A) = n(B)

Перекрывающиеся множества

Два множества называются перекрывающимися, если хотя бы один элемент из множества A присутствует в множестве B. Пример: A = {2,4,6} B = {4,8,10}. Здесь элемент 4 присутствует как в множестве A, так и в множестве B. Следовательно, множества A и B перекрываются.

Непересекающиеся множества

Два множества являются непересекающимися множествами, если в обоих множествах нет общих элементов. Пример: А = {1,2,3,4} В = {5,6,7,8}. Здесь множество A и множество B — непересекающиеся множества.

Подмножество и надмножество

Для двух множеств A и B, если каждый элемент множества A присутствует в множестве B, то множество A является подмножеством множества B(A ⊆ B), а B является надмножеством множества A(B ⊇ А).
Пример: А = {1,2,3} В = {1,2,3,4,5,6}
A ⊆ B, так как все элементы множества A присутствуют в множестве B.
B ⊇ A означает, что множество B является надмножеством множества A.

Универсальный набор

Универсальный набор — это совокупность всех элементов, относящихся к конкретному предмету. Универсальный набор обозначается буквой «У». Пример: Пусть U = {Список всех автотранспортных средств}. Здесь множество автомобилей является подмножеством этого универсального множества, множество велосипедов, поездов — все подмножества этого универсального множества.

Наборы мощности

Набор мощности — это набор всех подмножеств, которые может содержать набор. Пример: Установите A = {1,2,3}. Набор мощностей A = {{∅}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}.

Наборы формул

Множества находят свое применение в области алгебры, статистики и вероятностей. Ниже перечислены некоторые важные формулы набора.
Для любых двух перекрывающихся множеств A и B

• n(A U B) = n(A) + n(B) — n(A ∩ B)
• n (A ∩ B) = n(A) + n(B) — n(A U B)
• n(A) = n(A U B) + n(A ∩ B) — n(B)
• n(B) = n(A U B) + n(A ∩ B) — n(A)
• n(A — B) = n(A U B) — n(B)
• n(A — B) = n(A) — n(A ∩ B)

Для любых двух непересекающихся множеств A и B:

• n(A U B) = n(A) + n(B)
• А ∩ В = ∅
• n(A — B) = n(A)

Свойства наборов

Подобно числам, множества обладают такими свойствами, как ассоциативность, коммутативность и т. д. Существует шесть важных свойств множеств. Имея три множества A, B и C, свойства этих множеств следующие.

Собственность	Пример
Коммутативное имущество	А У Б = Б У А А ∩ В = В ∩ А
Ассоциативное свойство	(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) (А У Б) У С = А У (Б У С)
Распределительная собственность	A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) А ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
Идентификационное свойство	А U ∅ = А А ∩ U = А
Дополнение Свойство	А U А’ = U
Идемпотентное свойство	А ∩ А = А А У А = А

Операции над множествами

Некоторые важные операции над множествами включают объединение, пересечение, разность, дополнение множества и декартово произведение множества. Краткое объяснение операций над множествами состоит в следующем.

Объединение множеств

Объединение множеств, которое обозначается как A U B, перечисляет элементы множества A и множества B или элементы как множества A, так и множества B. Например, {1, 3} ∪ {1, 4 } = {1, 3, 4}

Пересечение множеств

Пересечение множеств, обозначаемое A ∩ B, перечисляет элементы, общие как для множества A, так и для множества B. Например, {1, 2} ∩ {2, 4} = {2}

Разность наборов

Разность наборов , которая обозначается буквами A — B, перечисляет элементы набора A, которых нет в наборе B. Например, A = {2, 3, 4} и B = {4, 5, 6}. А — В = {2, 3}.

Дополнение к множеству

Дополнение к множеству, которое обозначается A’, представляет собой множество всех элементов универсального множества, которые не присутствуют в множестве A. Другими словами, A’ обозначается как U — A, что представляет собой разность в элементах универсального множества и множества А.

Декартово произведение множеств

Декартово произведение двух множеств, обозначаемое A × B, является произведением двух непустых множеств, в котором получаются упорядоченные пары элементов. Например, {1, 3} × {1, 3} = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3)}.

☛ Темы, связанные с наборами:

Ознакомьтесь с некоторыми интересными темами, связанными с наборами.

• Операции с множествами
• Диаграммы Венна
• Подмножество
• Обозначение реестра
• Универсальный набор
• Пересечение множеств
• Набор обозначений Builder

Часто задаваемые вопросы о наборах

Что такое множества в математике и примерах?

Наборы представляют собой набор отдельных элементов, заключенных в фигурные скобки и разделенных запятыми. Список элементов множества называется элементами множества. Примеры: коллекция фруктов, коллекция картинок. По-другому множества представляются следующим образом. Установите A = {a,b,c,d}. Здесь a,b,c,d — элементы множества A.

Какие существуют различные обозначения множеств для представления множеств?

Наборы могут быть представлены тремя способами. Представление множеств означает способ перечисления элементов множества. Они следующие.

• Семантическая запись: Элементы набора представлены одним оператором. Например, Set A — это количество дней в неделе.
• Roster Notation: эта форма представления наборов использует фигурные скобки для перечисления элементов набора. Например, установите A = {2,4,6,8,10}
• Обозначение построителя набора: форма построителя набора представляет элементы набора по общему правилу или свойству. Например, {х | x — простое число меньше 20}

Какие существуют типы наборов?

Наборы отличаются друг от друга в зависимости от присутствующих в них элементов. Исходя из этого, мы имеем следующие виды наборов. Это одноэлементные множества, конечные и бесконечные множества, пустые или нулевые множества, равные множества, неравные множества, эквивалентные множества, перекрывающиеся множества, непересекающиеся множества, подмножества, надмножества, степенные множества и универсальные множества.

Каковы свойства множеств в теории множеств?

Различные свойства, связанные с множествами в математике:

• Переместительное свойство: A U B = B U A и A ∩ B = B ∩ A
• Ассоциативное свойство: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) и (A U B) U C = A U (B U C)
• Распределительное свойство: A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (AU C) и A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
• Свойство идентичности: A U ∅ = A и A ∩ U = A
• Свойство дополнения: A U A’ = U
• Свойство идемпотента: A ∩ A = A и A U A = A

Что такое объединение наборов?

Объединение двух наборов A и B представляет собой элементы из обоих наборов A и B или оба вместе. Обозначается символом «У». Например, если установить A = {1,2,3} и установить B = {4,5,6}, то AUB = {1,2,3,4,5,6}. A U B читается как «союз B».

Что такое пересечение множеств?

Пересечение двух множеств A и B — это элементы, общие для множества A и B. Оно обозначается символом ‘∩’. Например, если установить A = {1,2,3} и установить B = {3,4,5}, то A ∩ B = {3}. A ∩ B читается как «пересечение A B».

Что такое подмножества и надмножества?

Если каждый элемент множества A присутствует в множестве B, то множество B является надмножеством множества A, а множество A является подмножеством множества B.
Пример: А = {1,4,5} В = {1,2,3,4,5,6}
Поскольку все элементы множества A присутствуют в множестве B. ⇒ A ⊆ B и B ⊇ A.

Что такое универсальные множества?

Универсальный набор, обозначаемый буквой «U», представляет собой совокупность всех элементов, относящихся к определенному предмету.
Пример: Пусть U = {Список всех автотранспортных средств}. Здесь множество циклов является подмножеством этого универсального множества.

Что такое дополнение в наборах?

Дополнением множества, обозначаемого А’, является множество всех элементов универсального множества, не присутствующих в множестве А. Другими словами, А’ обозначается как U — А, что представляет собой разность элементы универсального множества и множества А.

Что такое Декартово произведение в множествах?

Декартово произведение двух множеств, обозначаемое A×B, есть произведение двух непустых множеств, при котором получаются упорядоченные пары элементов. Например, если A = {1,2} и B = {3,4}, то A×B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} .

Какая польза от диаграммы Венна в множествах?

Диаграмма Венна — это графическое представление отношений между двумя или более множествами. Круги используются для представления наборов. Каждый круг представляет набор. Прямоугольник, окружающий круги, представляет универсальное множество.

Центр изучения дискретной математики

Наборы

Набор представляет собой неупорядоченный набор объектов.

Объекты набора называются элементами набора или членов . Обычно они указываются внутри фигурных скобок. Мы пишем $x \in A$, если $x$ является элементом (членом) множества $A$.

$\{1,2,3\}$ — множество из $3$ элементов. Это то же самое, что набор $\{1,3,2\}$ (порядок не имеет значения) и набор $\{1,1,2,3,3,3,3\}$ (повторение не имеет значения). иметь значение). Как правило, все объекты одинаковые (например, числа), но они не обязательно должны быть такими: $\{ 1, 3, \text{red}, \text{blue}, \text{John} \}$ множество.

Многоточие используется, когда шаблон понятен: $\{1,2,3,4,\ldots,50\}$ — множество всех целых чисел от $1$ до $50$ включительно.

Некоторые наборы мы используем много:

• $\mathbb{R}$ множество действительных чисел
• $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел
• $\mathbb{Z}$ — множество целых чисел
• $\mathbb{Q}$ — ​​множество рациональных чисел

Возможно множество без элементов: $\{\}$. Это пустое множество , которое обычно обозначается как $\emptyset$. Это , а не , то же самое, что $\{\emptyset \}$, который представляет собой набор с одним элементом (который оказывается (пустым) набором).

Количество различных элементов в множестве $S$ называется его мощностью и обозначается $|S|$. Если $|S|$ бесконечно (например, $\mathbb{Z}$), мы говорим, что множество бесконечно .

Одним из распространенных способов определения набора является нотация построителя набора . Вот два примера:

• $\mathbb{R} = \{ r \;|\; r \text{ действительное число} \}$
• $O = \{ х \;|\; x \text{ — нечетное целое число} \}$

Набор операций

Над наборами можно выполнять несколько операций.

• Union : Для двух множеств $A$ и $B$ объединение $A \cup B$ представляет собой множество всех элементов, которые находятся либо в $A$, либо в $B$. Например, если $A = \{ 1,3,5 \}$ и $B = \{ 2,3,6 \}$, то $A \cup B = \{ 1,2,3,4,5 ,6 \}$. Обратите внимание, что $A \cup B = \{ x \;|\; (x \in A) \lor (x \in B) \}$.

• Пересечение : Для двух множеств $A$ и $B$ пересечение $A \cap B$ — это множество всех элементов, которые находятся как в $A$, так и в $B$. Например, если $A = \{ 1,2,3,4 \}$ и $B = \{ 3,4,5,6 \}$, то $A \cap B = \{ 3,4 \} $. Обратите внимание, что $A \cap B = \{ x \;|\; (x \in A) \land (x \in B) \}$. Мы говорим, что $A$ и $B$ являются непересекающимися , если $A \cap B = \emptyset$.

• Разность : Для двух множеств $A$ и $B$ разность $A \setminus B$ представляет собой множество всех элементов, которые находятся в $A$, но не в $B$. Например, если $A = \{ 1,2,3,4 \}$ и $B = \{ 3,4 \}$, то $A \setminus B = \{ 1,2 \}$. Обратите внимание, что $A \setminus B = \{ x \;|\; (x \in A) \land (x \notin B) \}$. $A \setminus B$ также обозначается как $A — B$.

• Дополнение : для множества $A$ дополнение $\overline{A}$ — это множество всех элементов, число которых равно , а не , в $A$. Чтобы определить это, нам нужно некоторое определение вселенной всех возможных элементов $U$. Таким образом, мы можем рассматривать дополнение как частный случай разности множеств, где $\overline{A} = U \setminus A$. Например, если $U = \mathbb{Z}$ и $A = \{ x \;|\; x \text{ — нечетное целое число} \}$, тогда $\overline{A} = \{ x \;|\; x \text{ — четное число} \}$. Обратите внимание, что $\overline{A} = \{ x \;|\; х \не в А \}$.

• Декартово произведение : Для двух множеств $A$ и $B$ декартово произведение $A \times B$ представляет собой набор упорядоченных пар, где первый элемент находится в $A$, а второй элемент — в $B. $. Имеем $A \times B = \{ (a,b) \;|\; a \in A \land b \in B \}$. Например, если $A = \{ 1,2,3 \}$ и $B = \{ a,b \}$, то $A \times B = \{ (1,a),(1,b) ,(2,а),(2,б),(3,а),(3,б)\}$.

Подмножества

Набор $A$ является подмножеством множества $B$, если каждый элемент $A$ является элементом $B$. Мы пишем $A \subseteq B$. Другими словами, $A \subseteq B$ тогда и только тогда, когда $\forall x\;(x \in A \rightarrow x \in B)$.

Для любого набора S имеем:

• $\emptyset\subseteq S$

  Доказательство: нужно показать, что $\forall x\;{(x \in \emptyset \rightarrow x \in S)}$. Поскольку $x \in \emptyset$ всегда ложно, импликация всегда истинна. Это пример тривиального или бессодержательного доказательства.

• $S \подмножество S$

  Доказательство: нужно показать, что $\forall x\;{(x \in S \rightarrow x \in S)}$. Зафиксируйте элемент $x$. Мы должны показать, что $x \in S \rightarrow x \in S$. Эта импликация эквивалентна $x \in S \lor x \notin S$, что является тавтологией. Следовательно, по универсальному обобщению $S \subseteq S$.

  No related posts.