Урок 27. проверка сложения. проверка вычитания — Математика — 2 класс
Математика, 2 класс. Урок №27
Проверка сложения. Проверка вычитания.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— Что такое обратные математические действия?
— Как проверить сложение?
— Как проверить вычитание?
Глоссарий по теме:
Сложение – это объединение объектов в одно целое. Результатом сложения чисел является число, называемое суммой чисел (слагаемых).
Вычитание – это такое действие, в котором отнимают меньшее число от большего. Большее число называется уменьшаемым, меньшее – вычитаемым, результат вычитания – разностью.
Обратные действия – действия, приводящие к прежнему, исходному состоянию.
Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):
- Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций.
- Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М. А. Бантова – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – с.60.
- Математика: переходим в 3-й класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. А. В. Светин – М.: Просвещение: Уч. Лит, 2017. – с.40.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Используя числа 7, 5, 12 составим все возможные равенства.
7 + 5 = 12 12 – 5 = 7
12 – 7 = 5 5 + 7 = 12
Назовём компоненты и результат действия сложения.
7 + 5 = 12
Слагаемое + слагаемое = сумма
Назовём компоненты и результат действия вычитания.
12 — 7 = 5
Уменьшаемое – вычитаемое = разность
Действия сложение и вычитание связаны друг с другом, являются взаимно обратными действиями.
СЛОЖЕНИЕ ВЫЧИТАНИЕ
Как проверить, верно ли выполнено сложение.
Воспользуемся знанием того, как связаны слагаемые и сумма. Если из суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое. Это позволяет сложение проверить вычитанием.
Например, надо проверить, верно ли вычислили сумму чисел 28 и 5. Для этого из суммы 33 вычтем одно из слагаемых. Например, 5. Должно получиться другое слагаемое. Получилось 28. Значит, сумма чисел 28 и 5 найдена правильно. Можно вычесть из суммы другое слагаемое.
28 + 5 = 33
33 – 5 = 28
33 – 28 = 5
Сумма чисел 36 и 9 найдена неверно, т.к. после вычитания из суммы 47 слагаемого 9, другое слагаемое, 36 не получается.
36 + 9 = 47
47 – 9 = 38
38 = 36
Вычислим ещё раз сумму чисел
36 + 9 = 45
45 – 9 = 36
36 = 36
36 – первое слагаемое
Сформулируем правило проверки сложения: «Для проверки сложения надо из значения суммы вычесть одно из слагаемых.
Если в результате вычитания получается другое слагаемое, значит, сложение выполнено верно».
Как проверить вычитание? Воспользуемся знанием того, как связаны между собой уменьшаемое, вычитаемое, разность. Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое. Значит, вычитание можно проверить сложением.
Вычислим разность чисел 48 и 30. Она равна 18. Проверим вычитание сложением. К разности 18 прибавим вычитаемое 30, получим 48. Это уменьшаемое.
48 – 30 = 18
18 + 30 = 48
48 = 48
48 — уменьшаемое
Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.
Значит, вычитание можно проверить и вычитанием. Рассмотрим это на примере.Из уменьшаемого 48 вычтем разность 18, получим 30, т.е. вычитаемое. Значит, разность чисел 48 и 30 вычислена верно.
48 – 30 = 18
48 – 18 = 30
30 = 30
30 — вычитаемое
Сформулируем правила проверки вычитания: «Для проверки вычитания, надо к значению разности прибавить вычитаемое.
Если в результате сложения получается уменьшаемое, значит, вычитание выполнено верно», или «Для проверки вычитания, надо из уменьшаемого вычесть разность. Если в результате получается вычитаемое, значит, вычитание выполнено верно».
Вывод: Сложение и вычитание – это обратные действия. Для проверки сложения надо из значения суммы вычесть одно из слагаемых. Если в результате вычитания получается другое слагаемое, значит, сложение выполнено верно. Для того, чтобы выполнить проверку вычитания, надо к значению разности прибавить вычитаемое. Если в результате сложения получается уменьшаемое, значит, вычитание выполнено верно.
Тренировочные задания.
1. Найдите значение первого выражения в каждой рамке, а затем выполни проверку полученного результата двумя способами.
42 + 30 = ….. | 54 + 6 = ….. | 65 – 12 = ….. | 78 – 50 = ….. |
— 30 = ……. — 30 = ……. | — 6 = ……. — 30 = ……. | + 12 =……. — 30 = ……. | + 50 =……. — 30 = ……. |
Правильные ответы:
42 + 30 = 72. | 54 + 6 = 60.. | 65 – 12 = 53.. | 78 – 50 = 28. |
72 — 30 = 42. 72 — 42 = 30. | 60 — 6 = …54. 60 — 54 = …6. | 53 + 12 = 65 65 — 53 = 12. | 28 + 50 =78. 78 — 28 = 50 |
2. Распределите все записи с вычислениями и проверкой на верные и неверные.
Правильные ответы:
Проверка обратными действиями | Математика
Пользуясь основными свойствами данных и искомых чисел, обычно производят проверку обратными арифметическими действиями. Таким образом, сложение проверяется вычитанием, вычитание сложением, умножение делением, деление умножением.
Проверка сложения
Чтобы повторить сложение, отбрасывают одно слагаемое, складывают остальные и сумму вычитают из общей суммы; если в остатке получается отброшенное слагаемое, сложение сделано верно.
Проверка сложения:
Здесь мы обозначили звездочкой отброшенное слагаемое и, сложив остальные, полученную сумму 26340 вычли из общей суммы. В остатке получили зачеркнутое слагаемое, следовательно — сложение сделано верно.
Проверка вычитания
Уменьшаемое равно вычитаемому, сложенному с разностью; следовательно, чтобы проверить вычитание, нужно вычитаемое сложить с остатком; если в сумме получится уменьшаемое, вычитание сделано верно.
Проверка вычитания:
Для проверки складываем вычитаемое с разностью и получаем в сумме уменьшаемое.
Вычитание верно.
Проверка умножения
Произведение, разделенное на один множитель, должно дать в частном другой, следовательно, чтобы проверить умножение, нужно разделить произведение на один множитель; если в частном получается другой множитель, а в остатке нуль, умножение сделано верно.
Проверка умножения:
Разделяя произведение 501116 на один множитель 1627, получаем в остатке нуль, а в частном другой множитель 308; следовательно, умножение сделано верно.
Проверка деления
Делимое равно произведению делителя на целое частное, сложенное с остатком; следовательно, чтобы проверить деление, нужно делитель умножить на целое частное и приложить остаток; если получим делимое, деление выполнено верно.
Для проверки умножаем делитель 107 на целое частное 255 и прикладываем остаток 73, получаем делимое 27358; следовательно, деление сделано верно.
Проверка сложения. Урок математики во 2-м классе
Цель урока: Формирование умения проверять вычисления, выполненные при сложении.
Задачи:
- Познакомить со способом проверки сложения вычитанием.
- Формировать умение составлять алгоритм.
- Совершенствовать вычислительные навыки и графические умения.
- Воспитывать коллективные отношения.
Оборудование: изображение тролля Кузи, блоки
для составления алгоритма (на каждой парте),
учебник “Математика, 2-й класс.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
— Ребята, вы ждете подарков? Зажмурьте глаза и представьте, что под новогодней елкой стоят ваши подарки. Улыбнитесь! Какое у вас настроение?
2. Введение в тему урока. Постановка цели рока.
— Сегодня к нам на урок пришел тролль Кузя – персонаж интерактивных компьютерных игр.
— Вы любите играть в компьютер?
— Кузя пришел к нам на урок математики не случайно. Дело в том, что в одном из файлов его компьютерной игры поселился вирус, и она не загружается. Кузя выяснил, что вирусом заражены некоторые выражения на сложение. Он просит помочь найти способ проверки сложения. Поможем Кузе?
Итак, тема урока – “Проверка сложения”. На уроке мы найдем способ проверки действия сложения.
3.
Устный счет. (1 уровень игры).
— Начинаем игру. Игра состоит из трех уровней, в конце игры вас ждет сюрприз.
Задание первого уровня: решить, так называемые “круговые примеры”.
На карточках записаны выражения: 14+6, 20+3, 23-10, 13+1.
Задание: распределить выражения по кругу так, чтобы значение предыдущего выражения являлось 1 компонентом следующего.
— Какое выражение отличается от остальных? Почему? (23 — 10, его значение находится вычитанием)
— Каким действием находятся значение остальных выражений? (Сложением)
— Как называются числа при сложении? (1 слагаемое, 2 слагаемое, значение суммы)
— Я поздравляю вас, вы прошли первый уровень компьютерной игры. Знание названий чисел при сложении помогут нам также успешно пройти 2 уровень.
4. Работа над новой темой (2 уровень игры).
1. Знакомство со способом проверки
сложения вычитанием.
— Задание 2 уровня игры: найти неверно решенное выражение и доказать это.
На доске записаны 2 выражения на сложение: 10+9=19, 8+3=12.
— Можете ли вы найти выражение, значение которого неверное?
— Попробуем в этом убедиться.
— Назовите действие, противоположное сложению. (Вычитание)
— Действие вычитание используется для проверки сложения.
Учитель открывает запись под первым выражением
На доске:
10+9=19
19-9=10
19-10=9
— Видим, что при вычитании из суммы одного из слагаемых получилось другое.
На доске запись: значение суммы – слагаемое = слагаемое.
— Рассмотрим 2 выражение на сложение. Попробуем из значения суммы вычесть первое слагаемое, второе слагаемое.
В результате работы на доске появляется запись: значение суммы – слагаемое = слагаемое
— Итак, при проверке первого выражения получено
верное равенство, а при проверке второго
выражения получено неверное равенство.
Мы доказали, что значение второго выражения найдено неверно.
Исправим ошибку.
Запись решения выражения с проверкой
Физминутка
— Кузя хочет нас предупредить о том, что при работе с компьютером нужно соблюдать определенные правила для сохранения здоровья. Детям вашего возраста желательно находиться за компьютером не более 1 часа в день, сидеть у экрана монитора на расстоянии вытянутой руки, кроме того, через 30 минут работы необходим перерыв.
1. Гимнастика для глаз “Карандаш”.
2. Упражнения общего воздействия.
Чтобы отдохнули ножки,
Мы пройдемся по дорожке.
Но дорожка не простая –
Нас от парт не отпускает. (Ходьба на месте.)
Голову тяну к плечу,
Шею я размять хочу.
В сторону разок – другой
Покачаю головой. (Вращение головой вправо-влево.
Пальцы ставим мы к плечам,
Руки будем мы вращать.
Круг вперед, другой вперед,
А потом наоборот. (Руки к плечам, вращение вперед и назад.)
Хорошо чуть-чуть размяться.
Снова сядем заниматься. (Дети садятся за парты.)
)2. Составление алгоритма проверки сложения (работа в парах).
— Компьютер не понимает человеческой речи, он знает только язык символов и знаков. Давайте попробуем составить программу действий для проверки сложения (алгоритм). Алгоритм поможет вам в дальнейшем производить проверку сложения. Вспомним каждый шаг.
У каждого ученика на парте отдельные блоки алгоритма. Учитель составляет алгоритм на доске (Приложение 1).
— Поздравляю вас, 2 уровень игры нами пройден, остался последний, 3 уровень.
3. Закрепление (3 уровень игры).
1. Работа с учебником
— Выполним задание, данное в учебнике на с.
72, № 3
и, используя алгоритм, проверим правильность
вычислений.
2. Проверка выполненной работы.
4. Итог урока.
— Сколько уровней игры было предложено для прохождения?
— Сколько уровней пройдено?
— Как вы помогли Кузе найти способ проверки сложения?
— Как проверить сложение?
5. Домашнее задание: с 72, № 3 (3-4 выражение).
План урока по математике «Проверка сложения» 2 класс Школа России
Урок 60 Тема: «Проверка сложения»
Цель: познакомить с проверкой сложения вычитанием через знание компонентов сложения.
Задачи:
Пронаблюдать связь между компонентами сложения.
Повторить приемы сложения и вычитания чисел в пределах 100.
Закрепить умение решать устные и письменные задачи в пределах 100, используя краткую запись.
Развивать навыки счета, математическую смекалку.
Способствовать дальнейшему развитию памяти, внимания, мышления.
Развивать интерес к предмету, математическую речь.
Воспитывать умение работать в коллективе и самостоятельно.
Формировать УУД:
Личностные УУД:
формирование способности к самооценке;
Регулятивные УУД:
Формирование умения самопроверки и взаимопроверки.
Коммуникативные УУД:
Формируем умение слушать и понимать других.
Формируем умение строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами, оформлять свою мысль в устной и речи
Формируем и отрабатываем умение согласованно работать в группах и коллективе.
Познавательные УУД:
анализ объектов с целью выделения существенных признаков;
выбор оснований и критериев для сравнения
самостоятельное выделение и формулирование учебной цели;
использование учебника для нахождения ответов на вопросы;
формулирование способа выполнения задания
Умение действовать по аналогии
установление причинно-следственных связей;
Планируемые результаты:
Предметные:
Знать структуру текстовой задачи.
Знать правило оформления решения задачи в тетради.
Уметь различать условие задачи, вопрос. Уметь правильно оформлять решение задачи.
Личностные:
Уметь давать самооценку.
Метапредметные:
Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение.
Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других.
Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.
Оборудование: Листы с названием компонентов сложения: Слагаемое + Слагаемое = Сумма, Сумма – Слагаемое = Слагаемое; алгоритм для работы в группах, презентация.
Литература: учебник М.И.Моро Математика 2 кл., 1 ч.М. :Просвещение, 2012г.; Т.Н.Ситникова Поурочные разработки по математике, 2 класс М.: ВАКО, 2012г.
Ход урока
1.Оргмомент.
Пожелайте доброго настроения друг другу с помощью глаз, улыбки, взгляда.
Ну-ка, дружок, ты готов начать урок?
Все ль на месте, все в порядке?
Книжки, ручки и тетрадки?
-А что вам понадобится для этого? Какие качества? (ответы детей)
-Хорошо, значит сегодня на урок возьмём такие качества, как: внимательность, трудолюбие, терпение,……. (Слайд 2)
-Ну что же, желаю вам удачи и новых открытий!
-Давайте прочитаем хором девиз нашего урока:
«Лучший способ изучить что-либо – это открыть самому» (Слайд 3)
-Значит, чему будет посвящён урок?
Дети: Открытию нового знания.
2.Чистописание
Какое сегодня число? ( 20).
Учитель:
— Дайте характеристику числу 20
Дети:
— Оно двузначное.
— В нём 2 десятка, 0 единицы.
— Записывается при помощи цифр 2 и 0
— Соседи числа 20, числа 19 и 21
— Число круглое, чётное.
Учитель:
Используя эти цифры запишем число, классная работа.
3. Индивидуальная работа – 3 учеников работают у доски
1) «Собери число».
Учащиеся разными способами «собирают» число.
Например:
13 = 12 + 1 13 = 10 + 2 + 1 13 = 9 + 2 + 2
13 = 11 + 2 13 = 10 + 1 + 1 + 1 13 = 9 + 2 + 1 + 1
13 = 11 + 1 + 1 13 = 9 + 4 13 = 9 + 1 + 1 + 1 + 1
13 = 10 + 3 13 = 9 + 3 + 1 и т. д.
2) найди среди следующих записей уравнения и реши его.
30-х>40
10+y=18
37+c
X+3=13
54-50=4
4.
Устный счёт.
Математический диктант –один ученик у доски –сигналы светофора
Запишите только ответы
1.Увеличь число 32 на 4.
2.Сумма 23и 5
3.К какому числу надо прибавить 1, чтобы получилось 60?
4Уменьшите число 76 на 1.
5.Увеличь 51 на 6
6.Запиши число, в котором 4 десятка и 8 единиц.
7.Первое слагаемое — 7, второе — 8. Найди сумму.
8.К числу 32 прибавили 2 десятка.
9.Какое число на 1 меньше 90?
10.Найдите разность чисел 2 и 1.
Работа в парах. Сверяют ответы друг с другом и проверяют по образцу (СЛАЙД 4).
36 28 59 75 57 48 15 52 89 1
Оцените выполнение задания.
5. Определение темы урока.
– Какое из этих чисел самое маленькое? Самое большое?
Составьте из них выражение на сложение.(89+1=90)
-Назовите компоненты сложения.
– Произведем сложение следующих чисел с помощью кружочков.
Один ученик пойдет работать к доске.
Остальные на рабочих местах выполняют задание в тетради.
– Возьми и поставь на наборное полотно 5 желтых кружочков. Придвинь к ним 6 синих.Сколько всего кружочков? (11)
– Как узнали? 5 + 6 = 11 (Запись на доске).
Как называется в этом числовом выражении число 5? (cлагаемое), число 6? (cлагаемое), число 11? (cумма).
– Отодвинь в сторону 6 синих кружочков.Сколько кружочков осталось? (5)
– Как узнали? 11 – 6 = 5 (Запись на доске).
Сравните этот пример с первым. Как получили 5, первое слагаемое? (Из суммы вычли второе слагаемое).
– Придвинь 6 синих кружочков к желтым.
Сколько будет, если теперь из общего примера на сложение мы отодвинем 5 желтых кружочков? (Останется 6 синих кружочков).
– Как узнали? 11 – 5 = 6 (Запись на доске).
– Как получили 6, второе слагаемое? (Из суммы вычли первое слагаемое)
– Как вы считаете, для чего мы работали с кружочками? (Чтобы повторить компоненты сложения.
Кто догадался, чему мы будем учиться на уроке? (Выполнять проверку действия сложения).
Тема нашего урока «проверка сложения» (слайд 5)
6Видеофизминутка.
7.Работа с электронным приложением.
– Назовите их еще раз компоненты сложения.
Сформулируйте правило
Дети называют, а учитель вывешивает на доске опорные слова:
Слагаемое + Слагаемое = Сумма
– К какому математическому выводу вы пришли, действуя с кружочками? (Если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое).
Учитель вывешивает на доске опорные слова:
Сумма – Слагаемое = Слагаемое
8.Работа с учебником с.84.
Откройте учебник на с.84, прочитайте правило в красной рамке.
Правильный ли вывод вы сделали?
– Используя полученные опоры, выполняем следующее задание.
№1.
устно
Посмотрите на равенства первого столбика. Как получили второе и третье равенства? (Из суммы вычли слагаемое).
Вычислите разности, проговаривая компоненты.
Еще раз читаем правило. Для чего его необходимо использовать? (Для проверки вычислений).
Каким действием проверяем сложение? (Вычитанием).
9.Составление алгоритма проверки сложения (Слайд 10.)
Объеденитесь в группы. А в какой группе вы окажетесь узнаете, если найдете значок определенного цвета. (Дети разделяются на 3 группы. Одному ребенку не хватает. Учитель спрашивает : Кто примет его в группу? Все дети поднимают руку. Учитель: Тебе все рады. Выбирай любую.)
Давайте попробуем составить алгоритм для проверки сложения . Что такое алгоритм? (путь решения). Алгоритм поможет вам в дальнейшем производить проверку сложения. Вспомним каждый шаг.
У каждой группы на парте отдельные блоки алгоритма. Составляем. Что у вас получилось?
Учитель составляет алгоритм на доске.
Каждому из вас я раздам алгоритм в помощь.(Раздаю)
9. Первичное закрепление нового материала.
–№ 2 на с.84 — Применим алгоритм при выполнении задания
Запись на доске и в тетрадях с проговариванием правила. Первый и второй примеры решаем коллективно, 3-4 – самостоятельно
Самопроверка решения .Оценка.
10.Физминутка для глаз. (Слайд 11)
–№ 3 на с.85 – устно (Слайд 12.)
6. Повторение и закрепление ранее изученного материала
Решение задачи №5 на стр.85
Повторить из каких частей состоит задача.
Прочитай задачу вслух.
О чём идёт речь в задаче?
Что известно о мандаринах?
Что нужно узнать?
Составим краткую запись. 1 чел.-у доски.
Какие ключевые слова используем для составления кр.
записи?
Было-25м.
Переложили-?
Осталось-5м.
Можем это узнать сразу? Каким действием? Почему вычитанием?
Решаем самостоятельно.
Проверка по образцу. (СЛАЙД14). Оцените.
7.Домашнее задание.
задание «Проверь себя», вычислить суммы и сделать проверку
8.Рефлексия.
— Что нового вы сегодня узнали? ( Что сложение нужно проверять вычитанием)
-Для чего это необходимо делать?
«Нарядим ёлочку» -светофоры вешают на ёлку.
Зелёный — я справлюсь, уверен!
Жёлтый — есть сомнения.
Красный — не понимаю!
Алгоритм для проверки сложения:
Из суммы вычесть одно из слагаемых.
Получилось другое слагаемое?
Сложение выполнено верно.
Молодец!
Алгоритм для проверки сложения:
Из суммы вычесть одно из слагаемых.
Получилось другое слагаемое?
Сложение выполнено верно.
Молодец!
Алгоритм для проверки сложения:
Из суммы вычесть одно из слагаемых.
Получилось другое слагаемое?
Сложение выполнено верно.
Молодец!
Алгоритм для проверки сложения:
Из суммы вычесть одно из слагаемых.
Получилось другое слагаемое?
Сложение выполнено верно.
Молодец!
Математика – 2 класс.
ВычитаниеДата публикации: .
Ребята, давайте поговорим о вычитании двузначных чисел.
В первом классе вы проходили арифметические действия: сложение и вычитание. Давайте вмести с Дейлом вспомним, как называются числа при сложении.
Вспомните, как найти второе слагаемое, если известны сумма и первое слагаемое?Правильно, для этого в математике нужно использовать операцию вычитания.
Вычитание – это арифметическая операция, обратная сложению.
Давайте вместе с Вжиком научимся вычитать двузначные числа столбиком.
Пример вычитания 1
Вжику задали домашнее задание, ему надо решить пример.
Для этого:
1. Расположим числа друг под другом, знак «–» расположим слева между числами, а снизу проведём черту, как показано на рисунке. Это стандартная запись для вычитания столбиком.
2. Начнем вычитать с правого столбца.
Из числа 7 вычитаем число 4 и разность – число 3 записываем в столбик внизу после черточки.
3. Затем мы переходим ко второму столбцу.
Из числа 5 вычитаем число 3 и разность – число 2 записываем в столбик слева от числа 3.
Вот и всё. Мы из числа 57 отняли число 34 столбиком и получили число 23.
Пример вычитания 2
Чипу задали пример сложнее. Ему необходимо из числа 62 отнять число 48. Давайте поможем ему решить этот пример.
1. Запишем числа друг под другом, как в предыдущем примере.
2. Приступим к вычитанию с правого столбца и сразу сталкиваемся с проблемой!!!
Из числа 2 нельзя вычесть число 8. Поэтому, займем десять единиц у соседнего числа слева. А над самим числом поставим точку, чтобы не забыть.
Что мы сделали.
Первый шаг: 2 + 10 = 12 (заняли 10 у соседнего числа).
Второй шаг: 12 – 8 = 4
Число 4 запишем в крайний правый столбик под чертой.
3. Переходим к соседнему столбцу слева. Помните, мы заняли один десяток у числа 60, значит уменьшаем число 60 на 10.
Что мы сделали.
Первый шаг: 60 – 10 = 50.
Второй шаг: 50 – 40 = 10.
В итоге мы получили вот такой результат.
Вычитание столбиком – очень полезный навык. Он позволяет правильно выполнять арифметические операции при работе с большими числами.
Проверка вычитания сложением
Вычитание – это действие, обратное сложению. Поэтому результат вычитания можно проверить сложением.
Рокфор хочет проверить, правильно ли Чип выполнил вычитание?
Для этого ему нужно сложить разность и вычитаемое. Давайте и ему поможем.
1. Начинаем с крайнего правого столбца.
4 + 8 = 12
Число 2 записываем под чертой в крайнем правом столбце, дополнительные 10 единиц запоминаем.
2. Переходим к левому столбцу. 1 + 4 = 5. Мы помним, что у нас есть лишняя десятка с предыдущего суммирования (4 + 8 = 12).
Мы добавляем эти десять единиц к сумме: 50 + 10 = 60
Вычитание вместе с Чипом было выполнено правильно.
Таблица вычитания
Чтобы научиться быстро вычитать, можно воспользоваться таблицой вычитания.
Ниже приведена таблица вычитания для 2 класса (до 10).Потренироваться Вы можете в теме, которая называется»Вычитание столбиком». Вычитание двузначных чисел». «Текстовые задачи». «Проверка вычитания сложением»
Проверка сложения и вычитания | Презентация к уроку по математике (2 класс) по теме:
Тема: Проверка сложения и вычитания
Цели:
формировать умение выполнять проверку сложения и вычитания в пределах 100 ;
развивать логическое мышление;
совершенствовать вычислительные навыки, решать текстовые задачи при помощи уравнений, составлять задачи на основе схем и уравнений.
Познавательные УУД:
- Учащиеся научатся применять умения проверять результаты сложения и вычитания;
- Понимать учебную задачу и стремиться к ее выполнению;
- Самостоятельное выделение и формирование познавательной цели;
- Соотносить результат своей деятельности с целью и оценивать его;
- Применение знаково-символической схемы.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи;
- Проявлять познавательную инициативу в учебном сотрудничестве;
- Умение удерживать своё внимание;
Коммуникативные УУД
- Учитывать разные мнения, умение слушать и вступать в диалог;
- Формировать собственное мнение и позицию;
Личностные УУД
- Определять тему и определять цели и задачи урока, выполнять их;
- Способности к самооценке, на основе критериев успешной учебной деятельности;
- Формирование положительного отношения к учебной деятельности.
Тип урока: урок закрепления знаний.
Ход урока
I. Организационный момент. Проверка готовности к уроку.
II. Актуализация знаний.
Круговые числовые выражения ( слайд 2 )
Как выполнить устные вычисления в этих примерах? (Сначала нужно прибавлять и вычитать десятки, а потом – единицы.
)
Решение и запись в тетради последовательно и с комментированием.
36 + 23 = 60 – 47 =
47 +13 = 23 +47 =
13 – 9 = 70 — 23 =
59 – 36 = 4 + 9 =
9 + 60 =
Во всех ли выражениях мы нашли значения? ( Нет)
Не нашли значение выражения 9 + 60
Круг замкнулся 13 – 9 =4
4 + 9 = 13
Что вы заметили? Какую вы видите закономерность ? (Каждый последующий пример — проверка предыдущего.)
36 + 23 = 59 23 +47 = 60
59 – 36 = 23 60 – 47 = 23 …
Какое необходимо составить выражение, чтобы выражение 9 + 60 «вошло в круг » , т. е. ответ должен быть 9? (13 – 4 = 9 )
13 – 9 =4
4 + 9 = 13
13 – 4 = 9
Выражение 13 – 4 = является проверочным к выражению 13 – 9.
III. Самоопределение к деятельности
— Сформулируйте тему урока, используя закономерность круговых примеров.
Проверка сложения и вычитания.
IV. Работа по теме урока
- Вычислите и сделайте проверку.
45 + 24 = 78 – 32 = 37 +49 = ( слайд 3 )
- Вспомни названия компонентов сложения и вычитания , пользуйся логической подсказкой при выполнении заданий.( слайд 4 )
Подсказка! Компонент, который обозначает наибольшее число, находится действием » сложение», остальные — » вычитанием».
Вставить пропущенные числа, чтобы равенства были верными. Пояснить выбор действий.
62 + * = 70 * + 8 = 30 * — 40 = 50
В каком уравнении переменная равна 18 ?
Х + 4 = 12 В – 4 = 14 18 – Z = 18
- Составить уравнения по схемам ( слайд 5 )
80 –Х = 57
46 + Х =98
Х – 9 = 14
- Решение задач с помощью уравнений. ( слайд 6)
( слайд 6)Начертить схему, составить уравнение.
Учебник. Стр.89 № 3
( Учащиеся читают про себя ,пересказывают условие и формулируют вопрос)
У доски работают 2 ученика , составляют уравнение и чертят схему к задаче, учащиеся в классе работает индивидуально.
50 – Х = 27 ( схема)
(Взаимопроверка на местах, учащиеся у доски объясняют свои решения и чертежи )
- Проверка действий сложения и вычитания.
. Составить обратные задачи, начертить схемы, решить уравнением. ( слайд 7 ) Коллективная работа.
Х – 23 = 27 ( схема) 50 – 23 = ( схема)
- Проверка. ( слайд 8)
- Устное решение задачи по учебнику стр.88 №1 ( домашнее задание)
ФИЗМИНУТКА
V . Самостоятельная работа. ( слайд 9 )
Используя числа 15, Х, 8, составить уравнения и решить их.
Вычисли и выполни проверку.
28 +12 = 86 – 80 =
VI. Взаимопроверка, сверка с доской. ( слайд 10 )
( Дети обмениваются тетрадями, сверяют работы с доской, исправляют ошибки )
15 – Х = 8 Х + 8 = 15 Х – 8 = 15
Х =15 – 8 Х = 15 – 8 Х = 15 + 8
Х =7 Х = 7 Х = 23
15- 7 = 8 7 + 8 = 15 23 – 8 = 15
28 + 12 =40 86 – 80 = 6
40 -12 = 28 86 – 6 = 80
40 – 28 = 12 80 + 6 = 86
VII. Рефлексия.
— Чем интересен был наш урок?
— Все ли было понятно?
Оцените свою работу на уроке.
( слайд 11 )
VIII. Подведение итогов урока. Оценивание работы учащихся на уроке с комментированием.
( слайд 12 )
Конспект урока по математике в начальной школе «Проверка сложения и вычитания»
Конспект урока по математике в начальной школе
«Проверка сложения и вычитания»
Цели урока:
1. Формировать умения выполнять проверку сложения и вычитания в пределах 100 (письменные вычисления).
2. Развивать логическое мышления.
3. Совершенствовать вычислительные навыки, умения преобразовать единицы длинны и решать тестовые задачи.
Планируемые результаты : учащиеся научится моделировать приемы сложения и вычитания двухзначных чисел с помощью предметов; проверять правильность вычислении при сложении и вычитании, используя взаимосвязь сложения и вычитания; читать равенства, используя математическую терминологию; моделировать с помощью схематических рисунков и решать задачи; преобразовывать одини единицы длинны в другие; выполнять задания творческого и поискового характера.
Оборудование: презентация, карточки с цифрами,
Ход урока
Этапы урока Деятельность учителя Деятельность обучающихся
I.Мотивация учебной деятельности -Здравствуйте. Сегодня урок математики проведу у вас я. Приветствуют учителя. Настраиваются на работу.
II.Актуализация знаний 1. Устный счет
(Учитель показывает пустую клетку, учащиеся – карточку с ответом)
20 5 13 6 40 72 9
+7 27 12 20 13 47 79 16
30 15 28 60 14 7
-7 23 8 21 53 7 0
2. Логическая разминка
— Решите задачи.
* Брату 3 года, сестре 10 лет. Через сколько лет брату будет столько же лет, сколько сейчас сестре?
* Батон разрезали на 6 кусков.
Сколько сделали разрезов?
* Даша нарисовала 10 фигур, чередуя прямоугольники, звездочки и круги. Каких фигур нарисовано больше и на сколько?
Каждый ученик решает по одному действию. Выполняют по цепочки.
Устно решают задачи. Думают над ответом.
-Через 7 лет.
-5 раз.
-Прямоугольников, на 1.
III.Самоопределение к деятельности (на доске записаны примеры)
97-32
65+32
69-43
43+26
78-53
25+53
— На какие 2 группы можно разделить эти выражения?
(Учитель записывает примеры в 2 столбика)
65+32 97-32
43+26 69-43
25+53 78-53
-Как выполнить устные вычисления в этих примерах?
— Вычислите значения выражений в первой строке.
Что вы заметили?
— Прочитайте равенства, которые получились.
— Составьте к этим двум равенствам третье и решите его, используя взаимосвязь сложения и вычитания.
— Какой вывод вы можете сделать?
— Как использовать это правило?
— Сформируйте тему урока.
— Примеры на сложения и вычитания.
-Сначала нужно прибавлять и вычитать десятки, а потом – единицы.
Результат первого примера – это первое число во втором примере.
97-65=32.
Если из суммы вычислить одно слагаемое, получится другое слагаемое.
При проверке сложения вычитанием, а вычитания сложением.
Проверка сложения и вычитания
IV.
Работа по теме урока Работа по учебнику
№ 1 (с. 6)
-Чем вы будите пользоваться при решении этих примеров?
-Взаимосвязь каких компонентов наблюдается в этих примерах?
№ 2 (с. 6)
— Прочитайте задание. Каким способом вы будите выполнять вычисления?
84-63=21
52+35=84
67-12=55
73-26=47
— Какое правило нужно помнить при записи примеров столбиком?
— Решите эти примеры с комментированием и выполните проверку.
— Какие правила проверки вычислений мы знаем?
-Как проверить вычитание?
Алгоритмами сложения и вычитания.
(коллективная решение примеров с объяснением.)
Компонентов действия сложения.
Десятки нужно записывать под десятками, а единицы — под единицами.
Сложение можно проверить вычитанием.
Сложением или вычитанием
Физкультминутка Вы, наверное, устали?
Ну тогда все дружно встали.
Ручками похлопали,
Ножками потопали.
Покрутились, повертелись
И за парты тихо сели.
V.Закрепление изученного материала Работа по учебнику
№3 (c.6)
— Прочитайте задачу.
— О чем говорится в задаче?
-Что известно?
— Какой главный вопрос задачи?
— Сделайте схематический чертеж к задаче.
30д.
? 8д.
(учитель выполняет чертеж на доске)
-Что обозначает 1 отрезок?
-Что обозначает 2 отрезок?
— Какое число обозначает сумму этих частей?
— Можем ли мы ответить на вопрос задачи?
-Почему?
А можем ли мы узнать?
Каким действием?
-Как узнать одну часть?
— Запишите решение задачи с пояснением в тетради.
30-8=22 (д)— посадили осенью.
Ответ: 22 дерева.
№6 (с. 6)
Слагаемое 7 9 12 30 8 4
Слагаемое 8 8 16 8 20 60
Сумма 15 17 28 38 28 64
№7 (с. 6)
(Коллективная работа с комментированием)
1см 5мм= 15мм 51см= 1дм 5см
1м 7дм=17дм 42дм= 4м 2дм
-О деревьях
-Решили посадить 30 деревьев и осталось посадить 8.
-Сколько деревьев посадили осенью?
-Сколько деревьев посадили осенью.
-Сколько деревьев осталось посадить.
-30.
Нет.
Потому что мы не знаем сколько деревьев посадили осенью.
Да.
Вычитанием.
-Нужно вычесть.
VI. Рефлексия слайд
VII. Подведение итогов — Чем интересен был сегодняшний урок?
-Какое математическое свойство помогает выполнить проверку сложения и вычитания в столбик?
-Все ли вам было понятно?
— О каком задании вы расскажите дома?
Домашнее задание Задание в учебнике № 4,5. (стр. 6)
Что такое контрольные числа? — RightStart ™ Mathematics by Activities for Learning, Inc.
Контрольные числа — это метод проверки сложения. Иногда это называют изгнанием девяток. Контрольные числа также работают с вычитанием, умножением и делением. Мне нравится думать о контрольных числах как о крутом инструменте для своего набора математических инструментов. Некоторые люди часто используют контрольные числа, другие — не очень. Однако, если мы не сообщим людям об этих интересных вещах, мы никогда не узнаем, кто может ими воспользоваться!
Давайте посмотрим, как находить контрольные числа, а затем как их применять.У нас также есть презентация с номерами чеков, которые вы можете просмотреть. Контрольные числа сначала преподаются на уровне D математики RightStart ™, начиная с урока 47, и на уровне E, уроке 4, а также на математических карточных играх, игра № A63.
Поиск простых контрольных номеров
Контрольные числа представляют собой однозначные числа от 0 до 8. Мы будем обозначать контрольные числа, используя круглые скобки.
Начнем с простого двузначного числа: 17
Сложите цифры вместе: 1 + 7 = 8
Контрольное число 17 равно (8).
Теперь давайте попробуем другой: 49
Сложите цифры вместе: 4 + 9 = 13
Помните, что контрольные числа — это только одна цифра, поэтому нам нужно взять 13, найденные выше, и продолжить складывать цифры. вместе: 1 + 3 = 4
Контрольное число 49 равно (4).
Другой: 99
Сложите цифры вместе: 9 + 9 = 18
И снова: 1 + 8 = 9
Однако, помните, мы говорили, что контрольные числа от 0 до 8? Нет девяток.Что теперь? Ну, все девятки — это нули. Итак, в этом примере у нас 1 + 8 = 9 и 9 = 0.
Контрольное число 99 равно (0).
Так как все 9 = 0, у нас есть быстрый ярлык для поиска номера чека.
Вернемся ко второму примеру: 49
Если 9 = 0, то это будет выглядеть так: 4 + 0 = (4),
, что у нас было «долгим» путем. Аккуратно, правда?
Давайте вернемся к нашему третьему примеру: 99
Ну, это будет: 0 + 0 = (0)
Помните, что другое название для Контрольных чисел — это «Искажение девяток».Если мы «выбросим» девятки, что совпадает с 0, наша работа упростится!
Поиск дополнительных контрольных номеров
Давайте найдем контрольные числа с четырехзначным числом: 4639
Сложим цифры вместе: 4 + 6 + 3 + 9 = 22
И снова: 2 + 2 = 4
Контрольный номер 4639 — (4).
Давайте попробуем еще раз, используя некоторые из недавно обнаруженных нами ярлыков.
Помните, 9 = 0. 4639
Мы можем «выбросить» 9, так что теперь у нас есть: 4 + 6 + 3 + 0
Но 6 + 3 = 9, так что давайте «выбросим» и это! 4 + 0 + 0 + 0 = 4
Хорошо! Это было просто! Контрольный номер 4639 быстро находится как (4).
Другой: 7326
Видите что-нибудь, что можно «использовать»? А как насчет 7 и 2 и 3 и 6? Контрольный номер (0).
Применение контрольных номеров
Итак, теперь, когда мы можем найти контрольные числа, давайте использовать их!
Рассмотрим следующее уравнение:
. 4639
+ 7326
. 11965
Если вы похожи на меня, вы задаетесь вопросом, правильно ли вы добавили его, и часто дважды проверяете, пересчитывая и / или проверяя на калькуляторе. Мы можем проверить точность по номерам чеков!
Итак, нарисуйте контрольные числа:
.4639 (4)
+ 7326 (0)
. 11965 (4)
Посмотрите на контрольные цифры! (4) + (0) = (4)!
Давайте сделаем еще:
. 364
+ 4426
Вычислите ответ, а затем вычислите контрольные числа. Вы все сделали правильно?
Должно выглядеть так:
. 364 (4)
+ 4426 (7)
. 4790 (2)
и контрольные номера тоже верны.
Теперь предположим, что вы ошиблись суммой (что случается), и она выглядела так:
.364 (4)
+ 4426 (7)
. 4780 (1) ОШИБКА
Обратите внимание, что контрольные числа не складываются. (4) + (7) не равно (1). Это становится нашим чеком! Теперь мы знаем, что что-то не так и нуждается в исправлении.
Подробнее Применение контрольных номеров
Как мы видим, контрольные числа — это метод проверки и подтверждения вычислений сложения. Если контрольные числа не складываются, ответ, вероятно, неправильный.
Помните, что контрольные числа работают с вычитанием, умножением и делением? Мы собираемся сохранить это для другого поста.А пока поиграйте и посмотрите, что вы обнаружите! Оставайтесь с нами ……
Math Creativity | Часть седьмая: Проверка ответов
Другая сторона математики(или
КАК ПОЛУЧИТЬ 100% НА ЭКЗАМЕНАХ ПО МАТЕМАТУ! )ОПРЕДЕЛЕНИЕ «ПРОВЕРКИ»: Когда вы что-то проверяете, вы подтверждаете, удостоверяете или устанавливаете, что что-то является правдой, точным или приемлемым.
ВАЖНОЕ ПРИМЕЧАНИЕПроверка ответов является неотъемлемой частью Шага 2.Однако, помимо связи с Шагом 2, проверка ответов сама по себе является важной темой.
ВВЕДЕНИЕ:
ВАЖНОСТЬ ПРОВЕРКИ ОТВЕТОВ
Создание проблем (OSOM, шаг 2) включает в себя систематическую проверку ответов учащихся на свои собственные проблемы.
Почему проверять, когда проверять и как проверять являются важными элементами математических знаний человека.Как ни странно, авторы некоторых учебников по математике иногда считают это настолько незначительным, что данные о проверке точности решений по конкретной теме добавляются в качестве второстепенного внимания к этой теме. А иногда проверка просто игнорируется. Правильный способ — рассматривать проверку ответов как неотъемлемую часть каждой темы, включая любую необходимую теорию, данные, примеры, упражнения и задачи для обучения этому навыку наряду с уроками из учебника по формулированию, письму и решению конкретной темы.
Поскольку авторы, учителя, студенты и экзаменаторы часто пренебрегают искусством проверки ответов, эта часть (седьмая часть) является самым длинным разделом Другая сторона математики.
(кроме воскресного выпуска Penigawissett News от 14 августа 2019 г.)
«Катастрофическое обрушение только что открытого моста через реку Пенигависсетт отрезало деловой и промышленный район Восточного берега нашего прекрасного города от линий национальной железной дороги Орегона на Западном берегу…
«… но как же мы будем выполнять заказы на нашу продукцию из бумаги и пиломатериалов, если мы не можем доставить их вовремя?» — спросил Бенджамин Бессерин, старший директор по маркетингу Penigawissett Timber Products во время недавнего интервью на Channel 9 Nightly News Show….
Г-жа Мэрион Фрай, главный инженер проекта моста через реку и общий руководитель планирования и строительства сооружения, была снята с должности после того, как она призналась, что утвердила планы строительства без проверки окончательных расчетов. Наш репортер запросил интервью у г-жи Фрай, но…
ПРОВЕРКА ОТВЕТОВ
Создание проблем (OSOM, Шаг второй) включает в себя учеников, систематически проверяющих ответы на свои собственные проблемы.Навык проверки ответов, когда он практикуется, становится второй натурой и добавляет немного времени к математическим вычислениям. Однако за короткое время проверка ответов окупается точностью результатов.
В этом разделе (Часть седьмая, Проверка ответов) представлены общие принципы и рекомендации, а также конкретные методы проверки точности решений математических задач.
Самое главное, он также включает в себя проверку ПОЧЕМУ.Студенты должны понимать цель проверки, как она применима к их жизни в реальном мире, иначе они не научатся проверять свои ответы.
Те же самые принципы, причины, рекомендации, методы и цели применимы к проверке задач в учебнике, а также к задачам, которые студенты создают в рамках своей программы OSOM.
УЧАЩИЕСЯ ПРОГРАММЫ OSOM ДОЛЖНЫ ПРОВЕРИТЬ СВОИ ОТВЕТЫ, ПОТОМУ ЧТО НЕТ ОТВЕТА НА ИХ САМОСОЗДАННЫЕ ПРОБЛЕМЫ. ЕДИНСТВЕННЫЙ СПОСОБ, КОТОРЫЙ ОНИ УЗНАЮТ, ЧТО ИХ МАТЕМАТИКА ПРАВИЛЬНА, — ПРОВЕРИТЬ ИХ ОТВЕТЫ. ЭТО ТАКАЯ СИТУАЦИЯ, С КОТОРОЙ БУДУТ УЧАСТВОВАТЬ В РЕАЛЬНОМ МИРЕ, ВНЕ КЛАССА.
В РЕАЛЬНОМ МИРЕ КАЖДЫЙ ЧЕЛОВЕК НЕСЕТ ОТВЕТСТВЕННОСТЬ ЗА СВОЮ СОБСТВЕННУЮ МАТЕМУ, ВКЛЮЧАЯ, ПРИ НЕОБХОДИМОСТИ, СОЗДАНИЕ СОБСТВЕННОЙ КНИГИ.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ РЕАЛЬНОЙ ЖИЗНИ
Применение математики к реальным задачам следует естественной последовательности:
ПЕРВЫЙ ШАГ : Кто-то узнает о проблеме или ситуации, требующей применения математики для поиска решения.► Пример: Мужчина понимает, что наступило первое число месяца, и ему нужно оплатить много счетов.
► Пример: Авиаинженеру только что сказали, что она будет проектировать крылья нового самолета.
ВТОРОЙ ШАГ : ПРОБЛЕМА ИЛИ СИТУАЦИЯ ДОЛЖНА БЫТЬ ЧЕТКО УКАЗАНА .► Для мужчины, оплачивающего домашние счета, это может быть так же просто, как сказать самому себе: «Сколько денег доступно на моем текущем счете?»
► Конструктор самолета должен будет подробно изложить назначение и возможности нового самолета, который он проектирует: «Современный межконтинентальный авиалайнер Boeing для 21 st Century должен лететь на большой высоте. от 70 000 до 80 000 футов, крейсерская скорость с постоянной скоростью 1750 миль в час и перевозка 315 пассажиров с 15 000 фунтов багажа.А как должны выглядеть крылья этого самолета? »
ТРЕТИЙ ШАГ : MATH ДОЛЖЕН ПРИМЕНЯТЬСЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ИЛИ ПОМОЩИ В РЕШЕНИИ ПРОБЛЕМЫ.
ШАГ ЧЕТВЕРТЫЙ: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КОМПОНЕНТ РЕШЕНИЯ ПРОВЕРЕН НА ТОЧНОСТЬ.
Различные уровни проверки ответов
Математика, применяемая при решении проблемы, может быть лишь одним второстепенным компонентом сложной проблемы, или математика может предоставить полное решение.
Проверка ответов на математическую задачу не означает одно и то же для каждого человека в каждой ситуации. Не существует универсального решения для всех. Есть столько же причин и способов проверить ответы на математические задачи, сколько людей живут своей уникальной жизнью.
Вот несколько примеров проверки (а не проверки), которые охватывают широкий спектр.
► НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ ТРЕБУЮТ ТОЧНОГО ПРИМЕНЕНИЯ СТАНДАРТНЫХ МЕТОДОВ ПРОВЕРКИ, НАПРИМЕРЫ ИЗУЧАЕМЫХ В АРИФМЕТИКЕ, АЛГЕБРЕ, ГЕОМЕТРИИ, ТРИГОНОМЕТРИИ, ВЫЧИСЛЕНИИ, БУХГАЛТЕРИИ И ИНЖЕНЕРНОМ УЧЕБНИКЕ.
Аэрокосмический инженер, работающий над программой посадки на Марс, которая имеет дело с временем запуска, расходом топлива, орбитами, траекториями и множеством проблем, связанных с попаданием на Красную планету, будет использовать огромное количество прямой математики. И он будет проверять ВСЕ, что он или она делает много (много!) Раз с компьютерами, на которых установлено программное обеспечение, разработанное для конкретных видов проблем, с которыми сталкивается инженер. Иногда он будет использовать свой личный научный калькулятор.Иногда он использует карандаш и бумагу и вычисляет вручную. Далее, столкнувшись с малейшим сомнением, он попросит других проверить его расчеты. ЕГО ОТВЕТЫ ДОЛЖНЫ БЫТЬ НА 100% ПРАВИЛЬНЫМИ, И ОН ЭТО ЗНАЕТ.
Пожилой человек, у которого мало денег (возможно, потому, что он живет на доход социального обеспечения), вероятно, проверит баланс своего банковского счета до копейки, используя методы точной проверки сложения и вычитания.
► ИНОГДА НЕОБХОДИМО ПРОВЕРИТЬ, ПОТОМУ ЧТО ЛИЧНЫЕ ШТРАФЫ ЗА НЕ ПРОВЕРКА СЛИШКОМ УЖАСНЫ ДЛЯ ЛИЦА.
Рассмотрим человека с расстройством пищеварения, который может есть только определенные продукты и в точных количествах? Она следует указаниям врача, если хочет избежать изнуряющей боли. Она измеряет каждый продукт питания на цифровых весах с точностью до десятых долей унции. Каждый день и каждый прием пищи она проверяет каждое измерение, взвешивая его второй раз и отмечая свои действия в контрольном списке, который ей дал врач.
Со временем она учится доверять своему восприятию и действиям и взвешивает продукты только один раз.Она перестала дважды проверять свои ответы, потому что теперь ЗНАЕТ, что они верны. К этому времени ее представления о количестве еды и ее весе очень высоки.
В один прекрасный день она понимает, что ее расстройство пищеварения находится под хорошим контролем, и перестает даже взвешивать свои продукты. Только по внешнему виду она может определить, использует ли она нужное количество. Она все еще проверяет, но ее проверка — это простое наблюдение за едой во время ее приготовления. В случае сомнений она могла иногда вытаскивать весы на всякий случай.
► НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ РЕШАЕМ И ПРОВЕРЯЕМ НЕОФИЦИАЛЬНО И СЛУЧАЙНО .
Богатый человек может не интересоваться точным балансом. Богатый человек может взглянуть на каждую запись в своей учетной записи кредитной карты или в журнале чековой книжки, небрежно и мысленно округлить записи до ближайших сотен тысяч долларов и в итоге получить неопределенно приблизительное круглое число. Для него достаточно хорошо знать, что он должен «около 800 000 долларов».
► T ЗДЕСЬ МНОГИЕ СИТУАЦИИ, В КОТОРЫХ ОДИН ПРОСТО НЕ ПРОВЕРЯЕТ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ ВООБЩЕ, ПОТОМУ ЧТО ИНДИВИДУАЛЬНОЕ СУЖДЕНИЕ И НЕОБХОДИМО ТАКОЕ, ЧТО ОН ЗНАЕТ, что СВОИ МАТЕМАТИКИ ПРАВИЛЬНЫ.
Джон встает в 6:00 утра. подготовиться к долгому рабочему дню. По многолетнему опыту он знает, что может выполнять все свои ранние утренние дела и дела по дому между 6:00 утра. и 8:00 утра, когда он должен выйти через парадную дверь своей квартиры в Вабане, штат Массачусетс, залезть в свой Honda Civic 2005 года выпуска, чтобы начать ежедневную поездку в центр Бостона. Его математические расчеты относительно времени ВЕРНЫ, и он знает, так ли это.
► И БУДУТ ВСЕ ЭТО ВРЕМЯ, КОГДА ЭТО НЕ ВАЖНО, ПРАВИЛЬНО ИЛИ НЕВЕРНО ЛИ МАТЕМАТИКА.
Женщина любит создавать новые блюда для своей семьи. Она привычно экспериментирует со специями и специальными ингредиентами. Ей повезло с мужем и детьми, которые с нетерпением ждут каждой новой версии ее уникального соуса для спагетти или заправки для салата. Зачем ей беспокоиться о подсчете количества коктейлей из дозаторов имбиря и куркумы, когда она танцует на своей полностью оборудованной кухне для гурманов, создавая на ходу? (Конечно, большинство семей не так терпимо относятся к смене любимых блюд.)
Глупые математические ошибки
Определение «глупой математической ошибки»: Глупая математическая ошибка — это ошибка в вычислениях, сделанная не потому, что человек неправильно понял математику, необходимую для правильного решения задачи, а только потому, что он не потрудился проверить свой ответ.Если бы он проверил свой ответ, он бы ясно увидел свою глупую математическую ошибку и смог бы исправить ее, используя только те знания и навыки, которыми он уже обладал.
Как репетитор, работающий в загруженной школе K-12, помогая детям с проблемами в изучении математики, я с высоты птичьего полета понимаю цель и ценность проверки точности ответов на математические задачи. Одна из моих обязанностей — помогать студентам, которые плохо сдали экзамены по математике.Вот когда я закатываю рукава и копаюсь глубоко, чтобы выяснить, что на самом деле вызывает математические ошибки. Я продолжаю работать со студентом до тех пор, пока он не овладеет математикой, которую раньше не понимал, и не сможет правильно ее применить.
Благодаря той роли, которую я играю в коррекции экзаменов по математике, я точно знаю — как можно более подробно — что может пойти не так в изучении и применении математики. Кроме того, я знаю, как превратить смущение и неуверенность ученика в знания и навыки.
Я снова и снова делал следующее наблюдение: во время сдачи экзаменов студенты обычно делают комбинацию «глупых математических ошибок» и ошибок, вызванных искренним заблуждением относительно конкретных математических понятий и процедур.Хотя ошибки студента на экзамене по математике составляют нечасто только типа «глупых математических ошибок», такое тоже случается.
Из этого опыта я получил важный факт: НЕЗАВИСИМО ОТ НАСКОЛЬКО УЧАЩИХСЯ СДАТЬ КОНКРЕТНЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ МАТЕМАТУРЕ, ЧТО РЕЗУЛЬТАТ СТУДЕНЧЕСКОГО ЭКЗАМЕНА БЫЛ ПОЧТИ ЛУЧШЕ — ИНОГДА НАМНОГО ЛУЧШЕ! — ПРОСТО ПРОВЕРИЛ СВОИ ОТВЕТЫ . Почему? Потому что, если бы он проверил свои ответы, он бы ясно видел и мог бы исправить свои глупые математические ошибки.
Другими словами, сам факт проверки его ответов повысил бы его точность — совершенно не говоря о путанице, которую он испытывал на уроках. После исправления буквально сотен экзаменов по математике было очень мало исключений из приведенного выше утверждения.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОШИБКИ В МИРЕ РАБОТЫ
Глупые математические ошибки имеют последствия, выходящие за рамки сдачи экзаменов по математике в начальной, средней или старшей школе.Помните, школа — это безопасное и снисходительное место для учебы. Когда студент заканчивает обучение и занимает свое место в повседневном мире, история становится совершенно иной.
Вскоре после закрытия 30-летней ипотеки обнаруживается, что новый домовладелец не может разумно позволить себе выплатить ссуду.
Слишком много глупых ошибок, и проект по благоустройству дома, над которым работали дни или недели, провалился, потому что некоторые критические отрезки дерева и металла не были отрезаны до нужной длины.
Или врач загружает в шприц слишком много (или слишком мало) кубических сантиметров лекарства.
Слишком много глупых математических ошибок и даже лучший рецепт с использованием лучших ингредиентов может обернуться кулинарной катастрофой.
Или, наконец, инженерный мост падает в реку, увлекая за собой несколько вагонов людей.
Хотя может быть правдой то, что проектировщик моста, повар, врач и новый домовладелец не понимали, что на самом деле происходит с математикой, что у них были злые намерения или что они были откровенными преступниками, также может быть правдой и то, что они действительно поняли математики, были порядочными людьми, но были просто «слишком заняты» и пренебрегали проверкой своих расчетов — с катастрофическими последствиями. Независимо от того, почему они приняли неправильные ответы, руководитель строительства моста может никогда не получить другого шанса построить мост, домовладелец, скорее всего, потеряет свой дом, у повара был плохой вечер со своей разочарованной семьей, а пациенту врача может не стать лучше … или может умереть!
Итак, в долгосрочной перспективе, почему студенты должны проверять ответы? Короткий ответ:
ЖИТЬ ЛУЧШЕЕсли рабочий или руководитель в какой-либо области ценит свою работу, клиентов, зарплату, дом и детей, дружбу, банковский счет и жизнь, он проверяет точность своих важных расчетов .Он знает, что если он хочет вернуться домой невредимым после тяжелого рабочего дня, он должен каким-то образом удостовериться, что его важных ответов верны.
И даже когда он в целости и сохранности дома, он все равно должен продолжить , чтобы убедиться, что его ответы на важных нерабочих вычислений также верны.
Вывод очевиден: СТУДЕНТЫ ДОЛЖНЫ УЧИТЬСЯ НЕ ТОЛЬКО КАК ПРОВЕРИТЬ СВОИ РЕШЕНИЯ, НО ОНИ ДОЛЖНЫ УЗНАТЬ, КАК ПРОВОДИТЬ ЭТОТ АСПЕКТ ПОЛНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТОЧНО, БЫСТРО И ПРОФЕССИОНАЛЬНО.
ДОЛЖЕН ЛИ ПОЛНЫЙ НАВЫК ПРОВЕРКИ ОТВЕТОВБЫТЬ ОБЯЗАТЕЛЬНОЙ ЧАСТЬЮ
КАЖДОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ?
Разработчики учебных программ и авторы учебников по математике делают упор на получение правильных ответов на задачи, поставленные в книге. Соответственно, экзамены по математике проверяют ученика на правильность его решений. Но не следует ли также проверять умение и точность ученика в проверке решения? В конце концов, когда он не посещает школу и находится в реальном мире, разве он не отвечает за правильные ответы? Откуда он знает, что он прав, если поблизости нет учителя и нет тетради для ответов?
Книгипо математике почти всегда учат методу решения для определенного типа задачи, но те же самые книги не всегда учат подходящему методу проверки для этого типа задачи.Как ни странно, в некоторых учебниках по математике действительно учат хорошим методам проверки, но не требует, чтобы учащиеся применяли проверку к своим задачам.
Итак, если учебник или учитель студента не преподает или не требует точных методов проверки ответов на конкретный тип проблемы, ученик должен надеть шапку мышления. Следующие разделы помогут учащимся развить мыслительные процессы, позволяющие выработать различные действенные методы проверки ответов.
Обратите внимание: следующие модели мышления и процедуры — это те, которым я научился у авторов моих курсов математики или разработал сам.Эти шаблоны работают для меня. Это означает, что они подтверждают, верны мои ответы или нет — и в этом случае я (стон!) Начинаю заново! Вполне вероятно, что ваш учебник и учитель могут предложить вам другие.
Также (и это важно) вы можете изобрести свой собственный способ проверки своих проблем, если ваш учитель или книга не требуют определенного метода.
ИСКУССТВО ПРОВЕРКИ ОТВЕТОВ
ДЛЯ ШЕСТИ ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ
Определение « Operation »: В своей простейшей форме (в арифметике) операция представляет собой математический процесс, в котором числа выводятся из других чисел посредством применения определенных правил.В алгебре в операциях часто используются не только числа (константы), но и буквы, представляющие неизвестные числа (переменные) или комбинацию констант и переменных.
Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и поиск корней — самые распространенные арифметические операции.
Определение « Инверсия »: Инверсия одной операции (например, сложение) — это другая операция (например, вычитание), которая отменяет то, что было сделано первой операцией.
Определение « Undo »: Для отмены или отмены действия действия » (Ссылка: словарь английского языка Encarta).
Здесь слово «отменить» используется в предложениях: «Операция деления может использоваться для отмены операции умножения». «Операцию сложения можно использовать для отмены результатов любой операции вычитания».
Как это работает?
ПЕРВЫЙ : НАЧИНАЕМ С 8 ЯБЛОК.
ЗАТЕМ: МЫ ВЫДАЕМ 3 ЯБЛОКА.
НАКОНЕЦ : МЫ ПОЛУЧИЛИ РАЗНИЦУ 5 ЯБЛОК.
ВЫШЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ (сначала, затем, наконец) ЯВЛЯЕТСЯ ДЕЙСТВИЕМ И ВЛИЯНИЕМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОПЕРАЦИИ ВЫЧИСЛЕНИЯ .
Теперь, чтобы отменить это действие, до отменить это действие, мы ДОБАВЛЯЕМ 3 яблока обратно в разницу в 5 яблок.
5 яблок ПЛЮС 3 яблока = 8 яблок!
Ура! Эффект или результат операции вычитания был отменен использованием операции сложения, потому что мы вернулись туда, где мы начали, с нашим первоначальным количеством в 8 яблок!
▓
ПРОВЕРКА ОТВЕТОВ ПРИ ДОПОЛНЕНИИ ▓ПРИ СЛОЖЕНИИ вы используете обратную операцию вычитания, чтобы проверить свой ответ, потому что вычитание отменяет (меняет) сложение.Это означает, что если вы начнете с числа 25 и прибавите 36, вы получите сумму 61. Если вы затем вычтете 36 из суммы 61, вы вернетесь к исходному числу 25. Эффект от добавления 36 был аннулирован вычитанием. 36 из суммы 61.
Конечно, если вы НЕ вернетесь к своему исходному номеру 25, то вы знаете, что допустили ошибку, и должны принять меры, чтобы найти свою ошибку.
▓
ПРОВЕРКА ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ▓ПРИ ВЫЧИТАНИИ вы используете обратную операцию сложения, чтобы проверить свой ответ.Сложение отменяет (отменяет) вычитание. Это означает, что если вы начнете с числа 61 и вычтете 36, вы получите разницу 25. Если вы затем прибавите 36, вы получите исходное число 61. Эффект вычитания 36 из 61 был отменен путем добавления обратно числа. 36.
▓
ПРОВЕРКА ПРИ УМНОЖЕНИИ ▓ПРИ УМНОЖЕНИИ вы используете обратную операцию деления, чтобы проверить свой ответ, потому что деление отменяет (отменяет) умножение.Если вы начнете с числа 9 и умножите 9 на 7, вы получите произведение 63. Если вы затем разделите произведение 63 на 7, вы вернетесь к 9, вашему исходному числу. Деление аннулировало или аннулировало эффект умножения.
▓ ПРОВЕРКА ПРИ РАЗДЕЛЕНИИ ▓
ПРИ ДЕЛЕНИИ, вы используете обратную операцию умножения, чтобы проверить свой ответ, потому что умножение отменяет (меняет) деление.Мы начинаем с деления 63 и делим его на 7. Мы получаем частное 9. Если затем умножить это частное 9 на 7, вы вернетесь к 63, вашему исходному числу. Используя обратную операцию умножения, эффект деления на 7 был нейтрализован.
Вот пример использования обратной операции для проверки ответа на задачу 4 th с разделением слов:
▓
ПРОВЕРКА ПРИ ПОВЫШЕНИИ ЧИСЛА ДО МОЩНОСТИ (или ПРОВЕРКА ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ) ▓ПРИ УВЕЛИЧЕНИИ ЧИСЛА ДО МОЩНОСТИ вы используете обратную операцию «нахождения корней», чтобы проверить свой ответ, потому что нахождение корней отменяет (меняет) возведение числа в степень.Если вы начнете с основания 3 и возведете его в степень 4 th , вы получите произведение 81. Если вы затем найдете корень 4 th из 81, вы вернетесь на свою базу, 3. действие поиска корня отменяет эффект возведения числа в степень.
▓
ПРОВЕРКА ПРИ НАЙДЕ КОРНЕЙ ▓ПРИ НАЙДЕНИИ КОРНЕЙ вы используете обратную операцию возведения в степень, чтобы проверить свой ответ, потому что возведение в степень отменяет (отменяет) нахождение корня.Если вы начнете с подкоренного выражения 81 и найдете корень 4 -го , вы получите корень из 3. Если затем вы найдете 4 -е значение в степени 3, вы вернетесь к исходному числу 81.
ПРОВЕРКА ОБРАЩЕНИЕМ:
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЕШЕНИЯ НАЗАД К ИСХОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ
На втором этапе OSOM, когда студент усвоил тему, он создает свои собственные задачи для этой темы, решает свою проблему и проверяет свои ответы.Ниже приведены примеры того, как проверять решения, возвращаясь от решения к исходной проблеме.
▓ ВТОРОЙ КЛАСС: ПРОВЕРКА ФАКТА СЕМЬИ ▓
Семейство фактов — это четыре математических факта (два факта сложения и два факта вычитания), полученных с использованием одних и тех же трех чисел. Чтобы создать группу фактов, ученик выбирает три числа, которые будут использоваться для записи двух фактов сложения и двух фактов вычитания.Студент должен тщательно выбрать три числа. Первые два числа должны составлять в сумме третье число (например, 3 + 5 = 8).
Он делает небольшой столик и наверху пишет три числа, которые он выбрал для своей семьи.
Он пишет свои четыре факта.
Чтобы проверить свою таблицу из четырех фактов, он думает наоборот. Он выбирает только один из своих фактов и записывает этот факт в новую таблицу.
Исходя только из этого факта, он пишет всю свою семью фактов.Если его новая таблица совпадает с исходной, он был прав.
▓
ШЕСТОЙ СОРТ:ПРОВЕРКА ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФРАКЦИЙ ▓
В классе 6 -го большинство учащихся учатся легко, быстро и точно преобразовывать каждый из трех видов дроби (обыкновенная дробь, десятичная дробь или процент) в две другие формы дроби.Проблема, решение и проверка, придуманная учащимся, могут выглядеть примерно так:
Первый: Учащийся создает три задачи с дробями, используя таблицу дробей. Для каждой строки дана только одна дробь. Студент должен преобразовать эту дробь в две другие эквивалентные формы.
Секунда: Учащийся решает свою задачу, находя две другие эквивалентные дроби
Третий: Чтобы проверить созданную им задачу, ученик составляет новую таблицу дробей и записывает в только свои решения, намеренно опуская исходную задачу.
Четвертый: Он проверяет свое решение, находя исходную проблему (выделена красным). Если он вернется к своей исходной проблеме, значит, его решение было правильным.
▓
АЛГЕБРА ДВА:ПРОВЕРКА ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ ▓
По алгебре 2 студенты учатся преобразовывать декартовы координаты в полярные координаты.
Затем, преобразовав полярные координаты НАЗАД в декартовы координаты, ученик проверил решение своей собственной задачи.
ПРОВЕРКА ОТВЕТОВ В АЛГЕБРЕ
В алгебре есть два широко используемых метода проверки решений.
▓
ONE: ПРОВЕРКА УРАВНЕНИЙ ПОДСТАВКОЙ ▒Решенные вами уравнения можно проверить с помощью , применив аксиому подстановки:
► Вы нашли определенное значение (значения) для переменной (переменных) в уравнении.Теперь подставьте те же значения, которые вы нашли, обратно в исходное уравнение.
► Оцените исходное уравнение, используя свои значения.
► Число (а) справа и слева от знака равенства будет совпадать, если ваш ответ правильный.
Вот пример проверки ответа на уравнение подстановкой. (Это тот же пример, который использовался для демонстрации создания задач в преалгебре.)
Вот пример проверки более сложной задачи в алгебре 1 — рационального уравнения.В левой колонке есть решение. Теперь обратите внимание на правую колонку, где проверялось решение. Этот пример показывает, что иногда требуется больше размышлений, времени и усилий, чтобы проверить решение уравнения, по сравнению с простым решением проблемы. Положительные целые числа относительно легко проверить. Отрицательные целые числа немного сложнее. Дробные ответы (включая десятичные дроби и проценты) обычно требуют еще большей работы. Но мысли и усилия, приложенные для проверки решений, неизбежно приводят к большему обучению.
Проверка рационального уравнения
ПРОВЕРКА РЕШЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМ ЧИСЛОМК КВАДРАТИЧЕСКОМУ УРАВНЕНИЮ
Вот обычная процедура решения задачи по квадрату:
Теперь решение этой задачи с комплексным числом проверяется заменой:
▓
ПРОВЕРКА УПРОЩЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННЫЕ ▒ОПРЕДЕЛЕНИЕ «ВЫРАЖЕНИЯ»: выражение — это одна цифра или символ (например, 5 или 5,000, y или p) или значимая группа символов (например, 2p + x3 или 3y + 226qx), имеющая одно значение.
После того, как вы упростили выражение, содержащее переменные, выберите простые в использовании числа, такие как 2, 3, 4, 5 и т. Д., Чтобы заменить переменные. Внимание: Поскольку деление на ноль не определено, убедитесь, что числители любых дробей не приводят к нулю. Кроме того, если какие-либо терминов будут иметь нулевое значение, вы, вероятно, не сможете проверить свое решение. Итак, просто убедитесь, что ваши термины имеют значение больше нуля и что ваши числители не равны нулю.
► Подставьте выбранные вами числа вместо переменных в исходное и упрощенное выражения.
►В-третьих, оцените как исходное выражение, так и ваше упрощенное выражение, используя одно и то же значение для каждой переменной. Конечное значение исходного выражения и окончательное значение упрощенного выражения будут такими же, если ваше упрощение было выполнено правильно.
▓
ПРИМЕРЫ ПРОВЕРКИ УПРОЩЕНИЯ ▒, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
На курсах Pre-Algebra студент учится упрощать выражения, добавляя похожие термины:
Следующий пример (из Алгебры 2) демонстрирует упрощение сложной дроби — дроби, содержащей более одной дробной черты.Поскольку процедура упрощения довольно долгая, даются и оцениваются только исходная сложная дробь и окончательные упрощенные выражения:
▓
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КАЛЬКУЛЯТОРА ДЛЯ ПРОВЕРКИ УПРОЩЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ТОЛЬКО ЦИФРЫ ▒Я часто использую научный калькулятор для проверки упрощений выражений, содержащих числа без переменных. В следующем примере радикальное выражение с вложенным радикалом упрощается с использованием дробных показателей.Вместо того, чтобы округлять свой ответ до обычных двух знаков после запятой, я вычислил до 9 знаков после запятой. Иногда я нахожу это полезным при сравнении двух таких выражений. Иногда последний десятичный разряд (9 -е ) может быть другим.
▓
ПРОВЕРКА С ПОМОЩЬЮ ГРАФИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ▒ГРАФИК МОЖЕТ ИСПОЛЬЗОВАТЬСЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
В «Алгебре один» ученик учится решать систему двух одновременных уравнений тремя методами: устранением, заменой и построением графиков.Графический метод можно использовать для проверки решений исключения и замены.
На первой иллюстрации системы уравнений решены методом исключения:
На второй иллюстрации та же пара одновременных уравнений решается заменой:
На третьем рисунке с помощью одной и той же пары одновременных уравнений значения задаются переменным x и y для подготовки к построению графика.Таблица используется для каждого уравнения в системе.
На четвертой иллюстрации показаны значения x и y в двух линейных уравнениях. Точка пересечения двух линий — это общее решение системы. График подтверждает, что решения, полученные путем исключения и замены, верны:
▓
ПРОВЕРКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГОРИТМОВ ▒Студенты часто изучают альтернативные алгоритмы для решения определенных типов задач арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии.Когда они знают два (или более) таких алгоритма для решения одной и той же проблемы, один алгоритм может использоваться для решения проблемы, а другой — для проверки ответа. Следующие ниже примеры использования альтернативных алгоритмов для проверки ответов — это лишь некоторые из множества возможностей.
КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯНекоторые квадратные уравнения могут быть решены с помощью теоремы о нулевом множителе. Все квадратные уравнения можно решить, заполнив квадрат или используя формулу корней квадратного уравнения.Используйте один метод для решения проблемы и другой метод, чтобы проверить свой ответ.
ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
Размеры недостающих сторон подобных треугольников можно определить с помощью масштабного коэффициента. Недостающие стороны также можно определить по пропорциям; поскольку все три пары соответствующих сторон одинаковых треугольников имеют одинаковое отношение, эти три эквивалентных отношения могут быть преобразованы в пропорции, а недостающие стороны могут быть найдены путем перекрестного умножения.Учащийся решает с помощью масштабного коэффициента или пропорции и проверяет, используя другой метод.
ПРЯМОЕ И КОСВЕННОЕ ИЗМЕНЕНИЕ
Задачи как прямого, так и косвенного изменения могут быть решены путем нахождения константы пропорциональности или путем установления пропорции с использованием равных соотношений. (Я показал только общую форму этих двух методов.
И снова ученик решает одним методом, а проверяет другим.
КОНТРОЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В ГЕОМЕТРИИ
Я не принимаю математическую истину в моих книгах, не проверив на себе различные концепции и процедуры.
Чтобы доказать себе, что измерения в реальном мире согласуются с «математическим миром», описанным в моих учебниках, я часто проверяю геометрические постулаты, теоремы и определения, точно вычерчивая проблемы и решения, используя точно такие же конкретные углы, сегменты и т. Д. .дано в проблеме. Если мое геометрическое решение верное, фактические размеры на моей чертежной бумаге будут такими же, как измерения, сделанные с использованием геометрических правил и алгебраических вычислений. Только тогда я пойму, что математика верна.
На моей бумаге размером 8 ½ x 11 это точный квадрат размером 7 дюймов. При фактическом измерении с помощью линейки диагональ фактически равна произведению длины стороны и.
И КОГДА ВЫ НЕ МОЖЕТЕ ПРОВЕРИТЬ ОТВЕТ ДРУГИМ СПОСОБОМ?
Что вы делаете, если не можете проверить свой ответ каким-либо другим способом или у вас мало времени? Просто повторите проблему.РЕШИТЕ ЭТО СНОВА, ЕСЛИ ВЫ НИКОГДА НЕ РЕШЛИ ЭТО ДО НАЧАЛА. Для этого нужно взять новый лист бумаги (или перевернуть лист) и, не глядя на исходный метод решения или ответ, решить его снова. Если ваш второй ответ совпадает с первым, вы, вероятно, правы. (Я говорю «вероятно», потому что вы можете — как я сделал — дважды повторить одну и ту же ошибку и получить тот же неправильный ответ!)
Уравнений и неравенств, проверяющих решения уравнений
Как проверить, является ли значение решением уравнения?
Уравнение работает следующим образом:
(выражение в левой части) = (выражение в правой части)
Следовательно, уравнение верно только в том случае, если выражение в левой части действительно совпадает с выражением в правой части .Взгляни на свои руки. Они точно такие же?
Если это не так, это нормально. Во всяком случае, в основном. Хм, может быть, мы вернемся к этой аргументации позже.
Чтобы проверить, является ли данное значение решением уравнения:
- Вычислите выражение в левой части для данного значения, чтобы получить число.
- Вычислите выражение в правой части с заданным значением, чтобы получить число.
- Посмотрите, совпадают ли числа.
Эй, он совпадает! Вы делаете это с носками каждый день.Иногда не , а , но, по крайней мере, этот процесс смутно знаком.
Если числа, полученные при вычислении двух выражений, совпадают, то данное значение является решением уравнения (делает уравнение истинным). Если числа не совпадают, данное значение не является решением уравнения (делает уравнение ложным). Возьмите те ценности, которые не являются решениями, и выбросьте их прямо в корзину, потому что они нам больше не понадобятся. На самом деле, может быть, промойте их и вместо этого отправьте на переработку.Мы стараемся быть зелеными.
Пример задачи
Является ли x = 5 решением уравнения
Не очень удивительный путь (он же неправильный путь)
Если первое, что мы делаем, это записываем, мы предъявляем претензию без выполнив работу, чтобы убедиться, что утверждение верно. Ох, хватит.
Утверждение, что левая и правая части равны, должно появиться после оценки левой части, оценки правой части и сравнения ответов.Если бы мы были юристами, мы бы назвали это нашей «должной осмотрительностью». К счастью, это Алгебра Шмупа, и мы мужественно сопротивляемся желанию отпускать ужасные шутки про адвокатов прямо сейчас.
The Super Awesome Way (также известный как The Right Way):
Сначала оцените левую часть для x = 5:
Затем оцените правую часть для x = 5:
Поскольку 2 = 2, мы можем сказать, что x = 5 является решением уравнения.Держу пари, зная, что это поможет тебе лучше спать сегодня вечером.
Использование разумности для решения математических задач — Видео и стенограмма урока
возмутительных ответов
Допустим, вы работаете над проблемой 235 * 4 — 10. Вы решили проблему, и у вас есть ответ 93. Это правильный ответ? Что ж, один из способов использовать разумность — это оценить ответ, чтобы увидеть, является ли ваш ответ возмутительным или нет. Итак, глядя на вашу проблему, вы видите, что вы умножаете 200-с чем-то число на 4, а затем вычитаете из него 10.Прикидывая, вы можете сказать, что ваш ответ должен быть несколько больше 800. Глядя на ваш ответ 93, вы видите, что ваш ответ далек от 800! Тогда ваш ответ возмутительный и, следовательно, неправильный. Вам нужно будет переработать вашу проблему.
Переформулируя задачу, вы получите ответ 930.
Вы можете использовать оценку для проверки разумности, когда у вас есть математические задачи со всеми числами. Когда вы используете оценку, она не скажет вам, действительно ли у вас есть правильный ответ, но она скажет вам, близки ли вы, и ваш ответ, вероятно, правильный.
Вставка ответа
Еще один способ использовать разумность для проверки вашего ответа — это вставить свой ответ, чтобы убедиться, что он правильный. Этот метод проверки разумности лучше всего использовать для алгебраических задач или любых других задач, где вы можете вставить свой ответ, чтобы проверить правильность полученного математического уравнения. Этот метод сообщит вам, что вы нашли правильный ответ!
Например, предположим, что вы работаете над этой задачей: найдите x , когда y = 3.
21 x -7 y = 21
Вы проходите процесс решения для x и получаете x = 2. Правильный ли это ответ? Вы можете использовать разумность для проверки, вставив найденное вами значение x . Давай посмотрим что происходит.
Подключив 2 для x , вы получите следующее:
21 * (2) — 7 * (3) = 21
42 — 21 = 21
21 = 21
А-ха! Это правильно.Это означает, что x = 2 — правильный ответ! Вы правильно ответили!
Еще один пример
Давайте посмотрим на другой пример.
Используйте разумность, чтобы проверить свой ответ на эту проблему: оцените 8 * 21 * 13.
Вы получите 2 184 после оценки проблемы. Теперь вам нужно использовать разумность, чтобы проверить этот ответ. Поскольку эта задача состоит из всех чисел, вы можете использовать оценку как средство проверки. При оценке вы округляете свои числа. Итак, ваша проблема теперь выглядит так: 10 * 20 * 10.Это гораздо проще сделать в уме. Вы можете сделать это быстро и получите 2000. Итак, ваш ответ должен быть около 2000. Это где твой ответ? Да, ваши 2184 — это почти 2000. Значит, ваш ответ, вероятно, правильный!
Резюме урока
Хорошо, давайте еще раз подумаем, прежде чем мы закончим. С точки зрения математики, разумность означает проверку найденного вами ответа путем оценки или добавления ответа, чтобы проверить, работает ли он. Вы используете оценку для задач, включающих все числа.Однако, когда вы используете оценку, она не скажет вам, правильный ли ваш ответ, но скажет, если вы ошиблись. Однако когда вы вставите свой ответ, он покажет, правильный ли ваш ответ или нет. Добавление ответа для проверки идеально подходит для алгебраических задач и других задач, когда вы можете вставить свой ответ, чтобы проверить правильность уравнения.
Решение проблем с помощью метода «угадать, проверить и проверить»
Объяснение шагов
Первый шаг в методе предположения, проверки и исправления — это сделать обоснованное предположение.Хммм, что значит делать обоснованное предположение? Обратите внимание, что в нашем начальном примере Эми впервые предположила, что это 68 пирожных и 69 печенья. Хотя это предположение, это не просто два числа, которые она случайно вытащила из воздуха. Она знала, что у нее достаточно ингредиентов, чтобы приготовить 137 хлебобулочных изделий, поэтому она знала, что в сумме два числа должны составлять 137, а затем она начала где-то посередине. Она использовала предоставленную информацию, чтобы сделать предположение, которое имело смысл для проблемы — это обоснованное предположение .
После того, как обоснованное предположение было сделано, мы хотим проверить , чтобы убедиться, что это предположение верно. Другими словами, решает ли это проблему? После того, как Эми угадывала 68 пирожных и 69 печенья, она проверила, принесет ли это ей те 400 долларов, которые она хочет. Это объясняет второй шаг метода, который подводит нас к последнему шагу — пересмотру.
Наш третий шаг — пересмотреть наше предположение, сделав новое предположение.На данный момент у нас есть немного больше информации, поэтому мы можем использовать ее, чтобы сделать еще лучшее предположение. Когда Эми поняла, что ее первое предположение из 68 пирожных и 69 печенья принесло 478 долларов, она знала, что это слишком много, поэтому, когда она пересмотрела свое предположение, она увеличила более дешевый вариант и уменьшила более дорогой вариант. Она сделала пересмотренное предположение , основанное на новой информации, полученной в результате своего последнего предположения.
Мы знаем, что она повторяла этот процесс, пока не получила правильный ответ.Это все, что нужно сделать, когда дело доходит до метода предположения, проверки и исправления. Это не так уж сложно, правда? Мы просто делаем в точности то, что следует из названия — угадываем, проверяем и исправляем!
Пример
Предположим, что Эми и Пол в течение недели пробегали мили на благотворительность. Эми пробежала на 8 миль больше, чем Пол, а вместе они пробежали 58 миль. Вы пытаетесь выяснить, сколько миль пробежала Эми и сколько миль пробежал Пол.
При использовании нашего процесса первый шаг — сделать обоснованное предположение.Начнем с предположения, что Пол пробежал 20 миль. Мы знаем, что Эми пробежала на 8 миль больше, чем Пол, так что это будет означать, что Эми пробежала 28 миль.
Теперь мы проверим, решит ли это нашу проблему. Мы знаем, что вместе они пробежали 58 миль. Если мы сложим их мили в нашем предположении, мы получим 20 + 28 = 48. Это немного мало. Это говорит нам, что нам нужно перейти к третьему шагу и исправить.
Мы знаем, что нам нужно подняться немного выше, поэтому предположим, что Пол пробежал 25 миль. Теперь мы начинаем второй раунд этого процесса.Если бы Пол пробежал 25 миль, Эми бы пробежала 33 мили, поскольку она пробежала на 8 миль больше, чем Пол. Мы проверяем, решает ли это проблему, складывая мили, чтобы получить 25 + 33 = 58. Динь, динь, динь !!! Это то, что мы искали! У нас есть ответ. Пол пробежал 25 миль, а Эми — 33 мили.
Резюме урока
Метод угадай, проверь и исправь — это метод решения, который используется в математике.Как следует из названия, он состоит из трех шагов:
- Угадай — сделай обоснованное предположение.
- Проверить — проверьте, решает ли ваша догадка проблему.
- Revise — Если ваше предположение не решает проблему, исправьте его и начните заново.
Это действительно очень простой способ решения проблем, но, как мы видели, он может быть невероятно полезным. Самое приятное то, что все, что вам нужно сделать, чтобы запомнить процесс, — это запомнить название — угадайте, проверьте и исправьте!
WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория> Алгебра среднего уровня Цели обучения
Введение
Учебник
Практические задачи
Нужна дополнительная помощь по этим темам? |
Что, если бы решение математических задач было таким же простым, как проверка решений? — Такие романтические факты
Если вы думаете, что компьютеры действительно хорошо умеют решать проблемы, такие как распознавание голоса или беспилотные автомобили, то ваш ум будет поражен тем, что они могли бы сделать, если бы P = NP.
Интернет-криптография потерпит крах. Распознавание голоса и изображений станет почти идеальным.Математические доказательства были бы значительно упрощены. Фондовый рынок резко изменится.
Все это делается путем доказательства одной теоремы, которая утверждает, что найти решение проблемы так же сложно, как проверить его. Подумайте об этом: на уроке алгебры в старшей школе было легче включить ответ, который вам дал учитель, в уравнения, чтобы убедиться, что он работает, или придумать ответ? Если P = NP, эти две задачи будут примерно такими же сложными, как и друг друга.
Или, используя более важный пример, что, если бы вам пришлось разложить большое число на простые числа? Когда у вас есть простые множители, легко проверить, умножаются ли они вместе, чтобы получить исходное число, но поиск множителей требует, как правило, медленного и трудоемкого процесса. Разница в скорости между поиском простых множителей и проверкой простых множителей лежит в основе большей части интернет-безопасности.