Библиографический список
1. Болгов В.А., Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике. М.: Наука, 1986.
2. Зимина О.В., и др. Высшая математика. Решебник. М.: Физико-математическая литература, 2001.
3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. СПб.: Лань, 2007.
4. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2005.
5. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.
Ответы
1.1. 9. 1.2. . 1.3. . 1.4. . 1.5. . 1.6. 7. 1.7. 3, . 1.8. . 1.9. и . 1.10. а) 161. 1.10. б) 9. 1.10. в) -184. 1.11. а) . 1.11. б) 40. 1.12. 22. 1.13. и 7. 1.14. . 1.15. .
1.16. . 1.17. . 1.18. 4. 1.19.
1.21. . 1.22. . 1.23. .
1.24. . 1.25. . 1.26. . 1.27. а) в качестве базиса можно взять В этом базисе , 1.27. б) в качестве базиса можно взять В этом базисе ,
2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. . 2.5. . 2.6. .
2.7. . 2.8.. 2.9. . 2.10. . 2.11. . 2.12. .
2.13. . 2.14. .
2.15. . 2.16. Нет. 2.17. . 2.18. а) . 2.18. б) . 2.19. а) . 2.19. б) . 2.20. а) 6, 2.20. б) 13. 2.21. а) . 2.21. б) . 2.22. . 2.23. . 2.24. . 2.25. При пересекаются, при параллельны. 2.26. . 2.27. .
2.28. .
2.29. . 2.30. . 2.31. . 2.32. . 2.33. . 2.34. . 2.35. . 2.36. . 2.37. . 2.38. .
2.39. .
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.a) 3.6. б) 3.6. в) 3.6. г) 3.6.д) 3.6. е) 3.6. ж) 3.6. з) 3.6. и) 3.6. к) 3.6. л) 3.6. м) 3.7 а) , 3.7 б) , 3.8 а) , . 3.8 б) , . в) , . г) 3.8. , . 3.9. а) . 3.9. б).
3.9. в) , . 3.9. г) .
3.9. д) . 3.10. а) 2. 3.10. б) 1. 3.10. в) 2. 3.10. г) 3.
3.10. д) 3. 3.10. е) 2. 3.10. ж) 3. 3.10. з) 3. 3.10. и) 3. 3.10. к) 2.
3.11. а)
3.11. г) линейно зависима. 3.11. д) линейно зависима. 3.11. е) линейно независима. 3.12.
а) ранг 3, в
качестве базиса можно взять
В
этом базисе
. 3.12. б) ранг
3, в качестве базиса можно взять
В
этом базисе 3.12. в) ранг
2, в качестве базиса можно взять
В
этом базисе
, 3.12. г) ранг
3, в качестве базиса можно взять
В
этом базисе 3.13. а)
в качестве базиса можно взять В этом базисе
. 3.13. б) в качестве базиса можно взять В этом базисе
. 3.13. в) в качестве базиса можно взять В этом базисе
. 3.14. а) . 3.14. б) .3.15. а) 10. 3.15. б) -31. 3.15. в) -10. 3.15. г) 8. 3.15. д) 87. 3.15. е)
10.3.16. а) . 3.16. б) .
3.17. а) . 3.17. б) . 3.18. а) 40.
3.18. б) -30. 3.18. в) 18. 3.18.
г) -36. 3.18. д) -40. 3.18. е) -150. 3.18. ж) -10. 3.18. з) 5. 3.18. и) –720. 3.19. . 3.20. . 3.21. . 3.22. . 3.23. . 3.24. . 3.25. а) .
3.25. б) . 3.25. в) . 3.25. г) .
3.25. д) .
3.25. е) . 3.25. ж) .
3.25. з) . 3.25. и) .
3.25. к) . 3.26. а) , , .
3.26. б) , , . 3.26. в) , , .
3.26. г) , , . 3.27. а) .
3.27. б) . 3.27. в)
3.27. г) . 3.27. д) . 3.27. е) .
3.27. ж) . 3.27. з) . 3.27. и) .
3.27. к) .
4.1. а) , , . 4.1. б) , , .
4.1. в) ,
,
.
4.1. г) ,
,
. 4.4. . 4.5. . 4.6. . 4.10. ,
. 4.11. ,
. 4.12. ,
.
5.1 а) : , : . 5.1 б) : , : . 5.1. в) : , : . 5.1. г) : , : . 5.2. а) . 5.2 .б) . 5.2. в) . 5.2. г) .
5.3. а) , ; , , . 5.3. б) , , ; , . 5.3. в) , ; , ; , . 5.3. г) , ; , ; , . 5.4. . 5.5. . 5.6. . 5.7. . 5.8. .
5.9.
. 5.10. Собственными векторами матрицы являются векторы . Им соответствуют собственными значениями 5.11. Собственными векторами матрицы являются векторы . Им соответствуют собственными значениямиУчебное издание
Логвенков Сергей Алексеевич,
Мышкис Петр Анатольевич,
Панов Петр Алексеевич,
Самовол Владимир Симхович
Карта сайта
Карта сайтаВерсия для слабовидящих
- Главная
|
|
Площадь поверхности, образованная вращением.
Площадь поверхности вращения для параметрически заданной линии5. Нахождение площади поверхности тел вращения
Пусть кривая AB — график функции y = f(x) ≥ 0, где x[a ; b], а функция y = f(x) и ее производная y»=f»(x) непрерывны на этом отрезке.
Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой AB вокруг оси Ox (рис. 8).
Применяем схему II (дифференциальный метод).
Через произвольную точку x [a; б] проведем плоскость Р, перпендикулярную оси Ох. Плоскость Р пересекает поверхность вращения по окружности радиуса у — f(x). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей слева от плоскости, является функцией x, т. е. s = s(x) (s(a) = 0 и s(b) = S).
Придадим аргументу x приращение Δх = dх. Через точку x + dx[a; b] также нарисуйте плоскость, перпендикулярную оси x. Функция s = s(x) получит приращение Δs, показанное на рисунке в виде «пояса».
Найдем дифференциал площади ds, заменив фигуру, образованную между сечениями, усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований равны y и y + dy.
Площадь его боковой поверхности: = 2ydl + dydl.
Отбрасывая произведение dу d1 как бесконечно малое более высокого порядка, чем ds, получаем ds = 2уdl, или, поскольку d1 = dx.
Интегрируя полученное равенство в диапазоне от x = a до x = b, получаем
Если кривая AB задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, то формула для площади поверхности вращения принимает вид
S=2 дт.
Пример: Найти площадь поверхности сферы радиусом R.
S=2 =
6. Нахождение работы переменной силы
Работа переменной силы
Пусть материальная точка М движется по оси Ох оси под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, совершаемая силой при перемещении точки M из положения x = a в положение x = b (a
Какую работу необходимо совершить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растянула пружину на 0,01 м?
Согласно закону Гука сила упругости, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т.
е. F = kx, где k — коэффициент пропорциональности. По условию задачи сила F = 100 Н растягивает пружину на x = 0,01 м; следовательно, 100 = k 0,01, откуда k = 10000; следовательно, F = 10000x.
Требуемая работа по формуле
A=
Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы перекачать жидкость через край из вертикального цилиндрического резервуара высотой H м и радиусом основания R м (черт. 13).
Работа, затрачиваемая на подъем тела массой p на высоту h, равна p H. Но разные слои жидкости в резервуаре находятся на разной глубине и высоте подъема (до края резервуара) разных слоев неодинаково.
Для решения задачи применим схему II (дифференциальный метод). Введем систему координат.
1) Работа, затрачиваемая на откачку из бака слоя жидкости толщиной x (0 ≤ x ≤ H), является функцией x, т. е. A = A(x), где (0 ≤ x ≤ H) (А(0)=0, А(Н)=А 0).
2) Находим главную часть приращения ΔA при изменении x на Δx = dx, т. е. находим дифференциал dA функции A(x).
Ввиду малости dx будем считать, что «элементарный» слой жидкости находится на той же глубине x (от края резервуара). Тогда dА = dрх, где dр — вес этого слоя; он равен g AV, где g — ускорение свободного падения, — плотность жидкости, dv — объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dr = g. Объем этого слоя жидкости, очевидно, равен , где dx — высота цилиндра (слоя), — площадь его основания, т. е. dv = .
Таким образом, dр = . и
3) Интегрируя полученное равенство в диапазоне от x = 0 до x = H, находим
A
8. Вычисление интегралов с помощью пакета MathCAD
При решении некоторых прикладных задач требуется использовать операцию символьного интегрирования. В этом случае программа MathCad может быть полезна как на начальном этапе (хорошо знать ответ заранее или знать, что он существует), так и на финальном этапе (хорошо проверить полученный результат по ответу от другого источник или решение другого лица).
При решении большого количества задач можно заметить некоторые особенности решения задач с помощью программы MathCad.
Попробуем на нескольких примерах понять, как работает эта программа, проанализируем полученные с ее помощью решения и сравним эти решения с решениями, полученными другими методами.
Основные проблемы при использовании программы MathCad следующие:
а) программа выдает ответ не в виде знакомых элементарных функций, а в виде специальных функций, известных далеко не всем;
б) в некоторых случаях «отказывается» давать ответ, хотя задача имеет решение;
в) иногда невозможно использовать полученный результат из-за его громоздкости;
г) решает задачу не полностью и не анализирует решение.
Для решения этих задач необходимо использовать сильные и слабые стороны программы.
С его помощью легко и просто вычислять интегралы дробно-рациональных функций. Поэтому рекомендуется использовать метод подстановки переменных, т.е. заранее подготовить интеграл для решения. Для этих целей можно использовать рассмотренные выше замены. Следует также иметь в виду, что полученные результаты необходимо проверять на совпадение областей определения исходной функции и полученного результата.
Кроме того, некоторые из полученных решений требуют дополнительных исследований.
Программа MathCad освобождает студента или исследователя от рутинной работы, но не может освободить его от дополнительного анализа как при постановке задачи, так и при получении каких-либо результатов.
В работе рассмотрены основные положения, связанные с изучением приложений определенного интеграла в курсе математики.
– проведен анализ теоретической базы решения интегралов;
— материал подвергнут систематизации и обобщению.
В ходе курсовой работы были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики.
Заключение
Рассмотренные выше примеры практических задач дают нам ясное представление о значении того или иного интеграла для их разрешимости.
Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления вообще и свойства определенного интеграла в частности. Так в процессе выполнения курсовой работы мы рассмотрели примеры практических задач из области физики, геометрии, механики, биологии и экономики.
Конечно, это далеко не исчерпывающий перечень наук, использующих интегральный метод для нахождения заданного значения при решении конкретной задачи, установления теоретических фактов.
Также определенный интеграл используется для изучения самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят незаменимый вклад в решение практических задач. Можно сказать, что определенный интеграл является своего рода фундаментом для изучения математики. Отсюда важность знания способов их решения.
Из всего вышеизложенного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит даже в рамках средней средней школы, где учащиеся изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.
Литература
1. Волков Е.А. Численные методы. М., Наука, 1988.
2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Интеграл-Пресс, 2004. Т. 1.
3. Шипачев В.С. Высшая математика. М., Высшая школа, 1990.
I. Объемы тел вращения. Предварительно изучить главу XII, стр. 197, 198, по учебнику Г. М. Фихтенгольца*. Разобрать подробно примеры, приведенные на стр. 198. эллипс вокруг оси x.
Таким образом,
530. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги синусоиды у = sin х из точки Х = 0 в точку Х = Оно.
531. Вычислите площадь поверхности конуса высотой h и радиусом r.
532. Вычислите площадь поверхности, образованной
вращением астроиды x3 -) — y* — a3 вокруг оси x.
533. Вычислить площадь поверхности, образованной обращением петли кривой 18 y-x(6-x)r вокруг оси x.
534. Найдите поверхность тора, образованного вращением окружности X2 — j — (y-3)2 = 4 вокруг оси x.
535. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением окружности X = a cost, y = asint вокруг оси Ox.
536. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением петли кривой x = 9t2, y = St — 9t3 вокруг оси Ох.
537. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой x = e * sint, y = el cost вокруг оси Ox
от t = 0 до t = -.
538. Докажите, что поверхность, образованная вращением дуги циклоиды х = а (q> — sin ф), у = а (I — cos ф) вокруг оси Оу, равна 16 и2 о2.
539. Найдите поверхность, полученную вращением кардиоиды вокруг полярной оси.
540. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты вокруг полярной оси.
Дополнительные задания к главе IV
Площади плоских фигур
541. Найти всю площадь области, ограниченной кривой А осью О.
542. Найти площадь области, ограниченной кривой
А осью Ой.
543. Найти часть площади области, расположенной в первом квадранте и ограниченной кривой
l координатных осей.
544. Найти площадь области, заключенной в пределах
петель:
545. Найти площадь области, ограниченной одной петлей кривой:
546. Найти площадь площади содержится внутри цикла:
547.
Найти площадь области, ограниченной кривой
А осью Ой.
548. Найти площадь области, ограниченной кривой
А осью Ой.
549. Найти площадь области, ограниченной осью Oxr
прямой и кривой
Если кривая задана параметрическими уравнениями, то площадь поверхности, полученная при вращении этой кривой вокруг оси, вычисляется по формуле . При этом безразлично «направление рисования» линии, о котором в статье было сломано столько копий. Но, как и в предыдущем пункте, важно, чтобы кривая располагалась выше ось абсцисс — иначе функция «отвечает за игроков» будет принимать отрицательные значения и перед интегралом придется ставить знак минус.
Пример 3
Вычислите площадь сферы, полученной при вращении окружности вокруг оси.
Решение : из материалов статьи о площади и объеме с параметрически заданной прямой известно, что уравнения определяют окружность с центром в начале координат радиусом 3.
колодец и сфера , для тех, кто забыл, это поверхность шара (или сферическая поверхность ).
Придерживаемся разработанной схемы решения. Найдем производные:
Составим и упростим корень «формулы»:
Что и говорить, конфетка получилась. Посмотрите для сравнения, как Фихтенгольц бодался с квадратным эллипсоидом вращения .
Согласно теоретическому замечанию, рассмотрим верхнюю полуокружность. Он «рисуется» при изменении значения параметра в пределах (легко видеть, что на этом интервале), таким образом:
Ответ :
Если решить задачу в общем виде, то получим в точности школьную формулу площади шара, где его радиус.
Какая-то до боли простая задачка, даже стыдно стало…. Предлагаю вам исправить этот баг =)
Пример 4
Вычислите площадь поверхности, полученную при вращении первой дуги циклоиды вокруг оси.
Задача творческая. Попробуйте вывести или интуитивно понять формулу для расчета площади поверхности, полученной путем вращения кривой вокруг оси Y. И, конечно же, следует еще раз отметить преимущество параметрических уравнений — их не нужно как-то модифицировать; не нужно заморачиваться поиском других пределов интегрирования.
График циклоиды можно посмотреть на странице Площадь и объем, если линия задана параметрически . Поверхность вращения будет напоминать… даже не знаю, с чем сравнить… что-то неземное — округлое с заостренным углублением посередине. Здесь для случая вращения циклоиды вокруг оси сразу пришла в голову ассоциация — продолговатый мяч для регби.
Решение и ответ в конце урока.
Завершаем наш увлекательный обзор кейсом полярные координаты . Да, это обзор, если заглянуть в учебники по математическому анализу (Фихтенгольца, Бохана, Пискунова и др. авторов), то можно найти добрый десяток (а то и заметно больше) стандартных примеров, среди которых вполне возможно, что вы найдет нужную вам проблему.
Как рассчитать площадь поверхности вращения,
если линия дана в полярной системе координат?
Если кривая настроена на полярных координат уравнение , а функция имеет непрерывную производную на заданном интервале, то площадь поверхности, полученная при вращении этой кривой вокруг полярной оси, рассчитывается по формуле , где — угловые значения, соответствующие концам кривой.
В соответствии с геометрическим смыслом задачи подынтегральная функция , а это достигается только в том случае, если ( и заведомо неотрицательны). Поэтому необходимо считать значения углов из диапазона , иными словами, кривая должна располагаться выше полярная ось и ее расширения. Как видите, та же история, что и в предыдущих двух пунктах.
Пример 5
Рассчитайте площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды вокруг полярной оси.
Решение : график этой кривой можно увидеть в примере 6 урока про полярную систему координат . Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому мы рассматриваем ее верхнюю половину на зазоре (что, собственно, и обусловлено сделанным выше замечанием).
Поверхность вращения будет напоминать яблочко.
Методика решения стандартная. Найдем производную по «фи»:
Составим и упростим корень:
Надеюсь со нештатными тригонометрическими формулами проблем ни у кого не возникло.
Используем формулу:
Между , Следовательно: (как правильно избавиться от корня я подробно описал в статье Кривая длина дуги ).
Ответ :
Интересная и короткая задача для самостоятельного решения:
Пример 6
Вычислите площадь сферического пояса,
Что такое шариковый пояс? Положите на стол круглый неочищенный апельсин и возьмите нож. Сделайте два параллельных надреза, тем самым разделив плод на 3 части произвольных размеров. Теперь возьмите серединку, в которой сочная мякоть оголена с двух сторон. Это тело называется сферическим слоем 9.0208 , а его граничная поверхность (апельсиновая корка) — шаровая лента .
Читатели, знакомые с полярными координатами , легко представили рисунок задачи: уравнение определяет окружность с центром в полюсе радиуса , от которой лучей отсекают меньшую дугу. Эта дуга вращается вокруг полярной оси и таким образом получается сферический пояс.
Теперь можно с чистой совестью и легким сердцем съесть апельсин, на этой вкусной ноте мы закончим урок, не портите себе аппетит другими примерами =)
Решения и ответы:
Пример 2: Решение : вычислить площадь поверхности, образованной вращением верхней ветви вокруг оси x. Мы используем формулу .
В данном случае: ;
Таким образом:
Ответ :
Пример 4: Решение : используйте формулу . Первая дуга циклоиды определяется на отрезке .
Найдем производные:
Составим и упростим корень:
Значит площадь поверхности вращения:
Между , поэтому
Первый интеграл Сбор по частям :
Во втором интеграле используем тригонометрическую формулу .
Ответ :
Пример 6: Решение : используйте формулу:
Ответ :
Высшая математика для заочников и не только >>>
(Перейти на главную)
Как вычислить определенный интеграл
по формуле Симпсоноида и Симпсоноиду?
Численные методы — довольно большой раздел высшей математики и серьезные учебники по этой теме насчитывают сотни страниц. На практике в тестах некоторые задачи традиционно предлагаются для решения численными методами, и одной из распространенных задач является приближенный расчет определенные интегралы . В этой статье я рассмотрю два метода приближенного вычисления определенного интеграла — метод трапеций и метод Симпсона .
Что нужно знать, чтобы освоить эти методы? Звучит смешно, но вы можете вообще не уметь считать интегралы.
И даже не понимают, что такое интегралы. Из технических средств вам понадобится микрокалькулятор. Да-да, ждем рутинных школьных расчетов. А еще лучше скачай мой полуавтоматический вычислитель для метода трапеций и метода Симпсона . Калькулятор написан в Excel и позволит сократить время решения и обработки задач в десятки раз. Видео руководство включено для чайников Excel! Кстати, первое видео с моим голосом.
Для начала зададимся вопросом, а зачем вообще нужны приблизительные расчеты? Представляется возможным найти первообразную функции и воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, вычислив точное значение некоторого интеграла. В качестве ответа на вопрос сразу рассмотрим демонстрационный пример с картинкой.
Вычислить определенный интеграл
Все бы ничего, но в данном примере интеграл не взят — перед вами не взят так называемый интегральный логарифм . Существует ли вообще этот интеграл? Изобразим на рисунке график подынтегральной функции:
Все хорошо.
Под интегралом непрерывно на отрезке, а определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Да вот только одна загвоздка — интеграл не берется. И в таких случаях на помощь приходят численные методы. В этом случае задача возникает в двух постановках:
1) Вычислить определенный интеграл приблизительно , округлив результат до определенного десятичного знака . Например, до двух знаков после запятой, до трех знаков после запятой и т. д. Допустим, вы получили приблизительный ответ 5,347. На самом деле это может быть не совсем правильно (на самом деле, скажем, более точный ответ — 5,343). Наша задача только в том округлить результат до трех знаков после запятой.
2) Вычислить определенный интеграл приближенно, с определенной точностью . Например, вычислить определенный интеграл приблизительно с точностью до 0,001. Что это означает? Это означает, что если получен примерный ответ 5,347, то Все цифры должны быть железобетонными правильными .
Точнее, ответ 5,347 должен отличаться от истинного по модулю (в ту или иную сторону) не более чем на 0,001.
Существует несколько основных методов приближенного вычисления определенного интеграла, встречающегося в задачах:
Прямоугольный метод . Отрезок интегрирования разбивается на несколько частей и строится ступенчатая фигура ( гистограмма ), которая по площади близка к искомой площади:
Не судите строго по чертежам, точность не идеальна — они только помогают понять суть методов.
В этом примере сегмент интеграции разделен на три сегмента:
. Очевидно, чем чаще разбиение (чем меньше промежуточных сегментов), тем выше точность. Метод прямоугольников дает грубую аппроксимацию площади, видимо, поэтому на практике применяется очень редко (напомнил только один практический пример). В связи с этим я не буду рассматривать метод прямоугольников и даже не буду приводить простую формулу. Не из-за лени, а из-за принципа моей книги решений: не учитывается то, что крайне редко встречается в практических задачах.
Метод трапеций . Идея похожа. Отрезок интегрирования разбивается на несколько промежуточных отрезков, и график подынтегрального выражения приближается к ломаной линии линии:
Итак, наша площадь (синяя заливка) аппроксимируется суммой площадей трапеций (красная). Отсюда и название метода. Легко видеть, что метод трапеций дает гораздо лучшую аппроксимацию, чем метод прямоугольников (при том же числе сегментов разбиения). И, конечно же, чем больше меньших промежуточных отрезков мы рассмотрим, тем выше будет точность. Метод трапеций время от времени встречается в практических задачах, и в этой статье будет разобрано несколько примеров.
Метод Симпсона (метод параболы) . Это более совершенный способ — к графику подынтегральной функции приближается не ломаная линия, а маленькие параболы. Сколько промежуточных отрезков — столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст еще более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.
Не вижу смысла строить чертеж, так как визуально аппроксимация будет накладываться на график функции (ломаная линия предыдущего пункта — и то почти совпала).
Задача вычисления определенного интеграла по формуле Симпсона является наиболее популярной задачей на практике. И методу парабол будет уделено значительное внимание.
Поверхность вращения — поверхность, образующаяся при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при ее вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если пересекает ось — однополостный гиперболоид вращения. Одну и ту же поверхность можно получить, вращая самые разные кривые. Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины кривой на длина окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой.
Это утверждение называется второй теоремой Хульдена или теоремой Паппа о центроиде.
Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси, можно рассчитать по формуле
Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат, формула действительный
Механические применения определенного интеграла (работа сил, статические моменты, центр тяжести).
Расчет работы сил
Материальная точка движется по непрерывно дифференцируемой кривой, при этом на нее действует сила, направленная по касательной к траектории в направлении движения. Суммарная работа силы F(s):
Если положение точки на траектории движения описывается другим параметром, то формула принимает вид:
Расчет статических моментов и центра тяжести
Пусть некоторая масса M распределена в координатной плоскости Oxy с плотность p = p(y) на некотором множестве точек S (это может быть дуга кривой или ограниченная плоская фигура).