Задания с решением — Тригонометрические уравнения
1. Решить уравнение cos2x = 1/2.
Используем метод решения простейших тригонометрических уравнений и получаем:
2x = ±arccos(1/2) + 2πn = ±π/3 + 2πn (здесь и далее, n ∈ Z).
Откуда x = ±π/6 + πn.
Ответ: x = ±π/6 + πn.
2. Решить уравнение sin(3 — 2x) = -1/2.
Используем формулу из методов решений, имеем:
3 — 2x = (-1)n(arcsin(-1/2)) + πn = (-1)n(-π/6) + πn (здесь и далее n ∈ Z).
Делаем преобразование и получаем x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.
Ответ: x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.
3. Решить уравнение cos2x — 3sinx = 2.
Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 — 2sin2a) и получим:
1 — 2sin2x — 3sinx = 2.
Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:
2y2 + 3y + 1 = 0.
Находим его корни: y1 = -1, y2 = -1/2.
Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2.
Из первого получаем решение — x = -π/2 + 2πn, из второго — x = (-1)m(-π/6) + πm (m, n ∈ Z).
Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm.
4. Решить уравнение 2tgx — 3ctgx = 1.
Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n ∈ Z) получаем уравнение
2tgx — 3/tgx = 1 или 2tg2x — tgx — 3 = 0.
Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y2 — y — 3 = 0 относительно y.
Оно имеет два решения y1 = 3/2, y2 = -1.
Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:
tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z.
tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, m ∈ Z.
Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm.
5. Решить уравнение 3cosx — sin2x = 1 — sin3x.
Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.
Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3.
Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (n ∈ Z).
Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.
Ответ: x = -π/4 + πn.
6. Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.
Проделаем следующие преобразования
(cos2x + cos6x) + cos4x = 0;
2cos4xcos2x + cos4x = 0;
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 9 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 11 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 15 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | ||
| 19 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 20 | График | y=sin(x) | |
| 21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 24 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 25 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 26 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 27 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 28 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 29 | График | y=sin(x) | |
| 30 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 31 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 32 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 33 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 34 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 35 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 36 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 38 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 39 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 41 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 42 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
| 43 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 44 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 45 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 46 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 47 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 48 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 49 | График | y=cos(x) | |
| 50 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 51 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 52 | Упростить | ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2 | |
| 53 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 54 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 55 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 57 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 58 | Найти угол А | tri{}{90}{}{}{}{} | |
| 59 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 60 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 61 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 62 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 63 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
| 64 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 65 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 66 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 67 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 69 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 70 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 72 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 73 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 74 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 75 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 76 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 77 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 78 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 79 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 80 | Упростить | 1/( кубический корень от x^8) | |
| 81 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 82 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 83 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 84 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 85 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 86 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 87 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 88 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 89 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 90 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 91 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 92 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 93 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 94 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 95 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 96 | Вычислить | arcsin(-1) | |
| 97 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 98 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 99 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 100 | Найти точное значение | csc(45) |
| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 9 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 11 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 15 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 19 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 20 | График | y=sin(x) | |
| 21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 24 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 25 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 26 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 27 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 28 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 29 | График | y=sin(x) | |
| 30 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 31 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 32 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 33 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 34 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 35 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 36 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 38 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 39 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 41 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 42 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
| 43 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 44 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 45 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 46 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 47 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 48 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 49 | График | y=cos(x) | |
| 50 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 51 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 52 | Упростить | ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2 | |
| 53 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 54 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 55 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 57 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 58 | Найти угол А | tri{}{90}{}{}{}{} | |
| 59 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 60 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 61 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 62 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 63 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
| 64 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 65 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 66 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 67 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 69 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 70 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 72 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 73 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 74 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 75 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 76 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 77 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 78 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 79 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 80 | Упростить | 1/( кубический корень от x^8) | |
| 81 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 82 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 83 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 84 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 85 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 86 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 87 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 88 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 89 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 90 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 91 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 92 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 93 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 94 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 95 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 96 | Вычислить | arcsin(-1) | |
| 97 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 98 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 99 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 100 | Найти точное значение | csc(45) |
sqrt(3*cos(2*x))+sin(2*x)*1/cos(x)+sqrt(3*sin(x)) если x=-4 (упростите выражение)
Вы ввели[TeX]
[pretty]
[text]
____________ sin(2*x) __________
\/ 3*cos(2*x) + -------- + \/ 3*sin(x)
cos(x) $$\sqrt{3 \sin{\left (x \right )}} + \sqrt{3 \cos{\left (2 x \right )}} + \frac{\sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$
Подстановка условия[TeX]
[pretty]
[text]
sqrt(3*cos(2*x)) + sin(2*x)/cos(x) + sqrt(3*sin(x)) при x = -4
sqrt(3*cos(2*x)) + sin(2*x)/cos(x) + sqrt(3*sin(x))
$$\sqrt{3 \sin{\left (x \right )}} + \sqrt{3 \cos{\left (2 x \right )}} + \frac{\sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$
sqrt(3*cos(2*(-4))) + sin(2*(-4))/cos((-4)) + sqrt(3*sin((-4)))
$$\sqrt{3 \sin{\left ((-4) \right )}} + \sqrt{3 \cos{\left (2 (-4) \right )}} + \frac{\sin{\left (2 (-4) \right )}}{\cos{\left ((-4) \right )}}$$
sqrt(3*cos(2*(-4))) + sin(2*(-4))/cos(-4) + sqrt(3*sin(-4))
$$\sqrt{3 \sin{\left (-4 \right )}} + \frac{\sin{\left (-4 \cdot 2 \right )}}{\cos{\left (-4 \right )}} + \sqrt{3 \cos{\left (-4 \cdot 2 \right )}}$$
sqrt(3)*sqrt(-sin(4)) + sqrt(3)*sqrt(cos(8)) - sin(8)/cos(4)
$$\sqrt{3} \sqrt{- \sin{\left (4 \right )}} — \frac{\sin{\left (8 \right )}}{\cos{\left (4 \right )}} + \sqrt{3} \sqrt{\cos{\left (8 \right )}}$$
Степени[TeX]
[pretty]
[text]
___ __________ ___ ________ sin(2*x)
\/ 3 *\/ cos(2*x) + \/ 3 *\/ sin(x) + --------
cos(x) $$\sqrt{3} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} + \frac{\sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \sqrt{3} \sqrt{\cos{\left (2 x \right )}}$$
Численный ответ[pretty]
[text]
1.73205080756888*cos(2*x)^0.5 + 1.73205080756888*sin(x)^0.5 + sin(2*x)/cos(x)Рациональный знаменатель
[TeX]
[pretty]
[text]
___ __________ ___ ________
\/ 3 *\/ cos(2*x) *cos(x) + \/ 3 *\/ sin(x) *cos(x) + sin(2*x)
--------------------------------------------------------------
cos(x) $$\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\sqrt{3} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + \sqrt{3} \cos{\left (x \right )} \sqrt{\cos{\left (2 x \right )}}\right)$$
Объединение рациональных выражений[TeX]
[pretty]
[text]
___ __________ ___ ________
\/ 3 *\/ cos(2*x) *cos(x) + \/ 3 *\/ sin(x) *cos(x) + sin(2*x)
--------------------------------------------------------------
cos(x) $$\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\sqrt{3} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + \sqrt{3} \cos{\left (x \right )} \sqrt{\cos{\left (2 x \right )}}\right)$$
Общее упрощение[TeX]
[pretty]
[text]
___ __________ ___ ________ 2*sin(x) + \/ 3 *\/ cos(2*x) + \/ 3 *\/ sin(x)
$$\sqrt{3} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} + 2 \sin{\left (x \right )} + \sqrt{3} \sqrt{\cos{\left (2 x \right )}}$$
Собрать выражение[TeX]
[pretty]
[text]
____________ ___ ________ sin(2*x)
\/ 3*cos(2*x) + \/ 3 *\/ sin(x) + --------
cos(x) $$\sqrt{3 \cos{\left (2 x \right )}} + \sqrt{3} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} + \frac{\sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$
___ __________ ___ ________ \/ 3 *\/ cos(2*x) + \/ 3 *\/ sin(x) + sec(x)*sin(2*x)
$$\sqrt{3} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} + \sin{\left (2 x \right )} \sec{\left (x \right )} + \sqrt{3} \sqrt{\cos{\left (2 x \right )}}$$
Общий знаменатель[TeX]
[pretty]
[text]
___ __________ ___ ________ sin(2*x)
\/ 3 *\/ cos(2*x) + \/ 3 *\/ sin(x) + --------
cos(x) $$\sqrt{3} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} + \frac{\sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \sqrt{3} \sqrt{\cos{\left (2 x \right )}}$$
Комбинаторика[TeX]
[pretty]
[text]
___ __________ ___ ________
\/ 3 *\/ cos(2*x) *cos(x) + \/ 3 *\/ sin(x) *cos(x) + sin(2*x)
--------------------------------------------------------------
cos(x) $$\frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \left(\sqrt{3} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (2 x \right )} + \sqrt{3} \cos{\left (x \right )} \sqrt{\cos{\left (2 x \right )}}\right)$$
Тригонометрическая часть[TeX]
[pretty]
[text]
____________ __________ \/ 3*cos(2*x) + \/ 3*sin(x) + 2*sin(x)
$$\sqrt{3 \sin{\left (x \right )}} + \sqrt{3 \cos{\left (2 x \right )}} + 2 \sin{\left (x \right )}$$
Раскрыть выражение[TeX]
[pretty]
[text]
___ __________ ___ ________ sin(2*x)
\/ 3 *\/ cos(2*x) + \/ 3 *\/ sin(x) + --------
cos(x) $$\sqrt{3} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} + \frac{\sin{\left (2 x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} + \sqrt{3} \sqrt{\cos{\left (2 x \right )}}$$
___________________
___ / 2 2 ___ ________
2*sin(x) + \/ 3 *\/ cos (x) - sin (x) + \/ 3 *\/ sin(x) $$\sqrt{3} \sqrt{- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}} + \sqrt{3} \sqrt{\sin{\left (x \right )}} + 2 \sin{\left (x \right )}$$
(1 + cos 4x) / tg (3п / 4 – 2x)
Задача.
Упростить выражение:
(1 + cos 4x) / tg (3п / 4 — 2x)
Решение.
К числителю дроби применим тригонометрическую формулу косинуса двойного угла, но сначала несколько ее преобразуем, а конкретнее в качестве аргумента х возьмем аргумент 2х, тогда двойным аргументом для 2х будет 4х. запишем выше сказанное в виде формулы:
Косинус двойного угла:
Преобразованная формула:
Выразим из полученной формулы выражение, которое стоит в числителе дроби:
Теперь подставим значение этого выражения в числитель:
Далее займемся знаменателем. Знаменатель содержит тангенс разности двух аргументов. Воспользуемся соответствующей формулой и распишем знаменатель:
Используя таблицу значений тангенса от угла , упростим полученное выражение:
Вынесем минус перед знаком дроби и перейдем к обычной дроби:
Полученную дробь преобразуем, переписав тангенс в виде частного функций синус и косинус:
Приведем числитель и знаменатель дроби к одному знаменателю, тем самым упростив полученное выражение:
Ответ. .