1 cos x 4: ∫ Найти интеграл от y = f(x) = 1/cos(x)^4 dx (1 делить на косинус от (х) в степени 4)

Выберите эксперта и познакомьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за необходимое время.

Определение производной от 1 / cos (x) — стенограмма видео и урока

Решение

Хорошо, приступим.

Шаг 1. Первое, что мы хотим сделать, это определить функцию в числителе 1 / cos ( x ). Мы видим, что это 1, поэтому мы говорим f ( x ) = 1. Теперь мы хотим найти производную этой функции. Поскольку 1 является константой, мы знаем, что производная равна 0 из нашего списка фактов. Следовательно, f ‘( x ) = 0.

Шаг 2: Наш следующий шаг — определить функцию в знаменателе 1 / cos ( x ). Функция в знаменателе — cos ( x ), поэтому мы полагаем g ( x ) = cos ( x ).Теперь мы находим производную cos ( x ), которая, согласно нашему списку фактов, равна -sin ( x ). Таким образом, g ‘( x ) = -sin ( x ).

Шаг 3: Наш последний шаг — вставить f, g, f ‘и g’, которые мы нашли на шагах 1 и 2, в правило частного.

Наконец, мы упрощаем. Для этого мы будем использовать два наших факта: 1 / cos ( x ) = sec ( x )

и sin ( x ) / cos ( x ) = tan ( x ). .

Мы видим, что производная 1 / cos ( x ) равна sec ( x ) tan ( x )

Тригонометрические функции

Как мы только что видели, будучи знакомыми с тригонометрическими тождествами и производными тригонометрические функции необходимы при поиске более сложных производных, включающих тригонометрические функции. Еще одна причина, по которой следует ознакомиться с этими двумя концепциями, заключается в том, что они действительно могут сократить объем работы, необходимой для поиска производной.В нашем примере мы можем найти производную 1 / cos ( x ) за два простых шага, если мы знаем некоторые простые тождества и производные тригонометрических функций.

Давайте посмотрим, как это возможно, но сначала давайте рассмотрим производные тригонометрических функций и некоторые тригонометрические тождества. Производные тригонометрических функций показаны на экране:

Теперь давайте посмотрим на взаимные тригонометрические тождества.

Обратите внимание, что взаимные тригонометрические тождества дают, что sec ( x ) = 1 / cos ( x ), а производные тригонометрических функций дают, что производная sec ( x ) равна sec ( x ) желто-коричневый ( x ). В совокупности имеем следующее.

Этот способ нахождения производной намного проще, чем использование правила частного! Мы видим, что очень полезно знать различные тригонометрические тождества и производные тригонометрических функций.Это может сэкономить нам много времени.

В качестве еще одного быстрого примера предположим, что вам нужно найти производную sin ( x ) / cos ( x ). Вы можете найти производные числителя и знаменателя, а затем использовать правило частного, или вы можете узнать, что sin ( x ) / cos ( x ) = tan ( x ), а производная tan () x ) — это sec 2 ( x ). Последний процесс требует гораздо меньше работы!

Резюме урока

Чтобы найти производную 1 / cos ( x ), мы можем использовать правило частного для производных, чтобы найти эту производную.Для этого мы выполняем следующие шаги:

1.) Определите функцию в числителе, f ( x ), и найдите ее производную, f ‘( x ).

2.) Найдите функцию в знаменателе, g ( x ), и найдите ее производную, g ‘( x ).

3.) Подключите эти функции к правилу частного и упростите.

Вы также можете использовать тождества и производные тригонометрических функций, чтобы найти производную 1 / cos ( x ). Однако взаимные идентичности — это лишь верхушка айсберга, когда дело доходит до тригонометрических идентичностей.Их гораздо больше, и запомнить их все было бы непросто. Таким образом, хорошо знать, что мы всегда можем найти производные, используя несколько методов, и хорошо знать все эти методы.

Производные тригонометрических функций

Три самых полезных производных в тригонометрии:

d dx sin (x) = cos (x)

d dx cos (x) = −sin (x)

d dx tan (x) = sec ² (x)

Доказательство производной синуса

Нам нужно вернуться, прямо к первым принципам, к основной формуле для деривативов:

dy dx = lim Δx → 0 f (x + Δx) −f (x) Δx

Поп в грехе (x):

d dx sin (x) = lim Δx → 0 sin (x + Δx) −sin (x) Δx

Затем мы можем использовать это тригонометрическое тождество: sin (A + B) = sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B), чтобы получить:

lim Δx → 0 sin (x) cos (Δx) + cos (x) sin (Δx) — sin (x) Δx

перегруппировать:

lim Δx → 0 sin (x) (cos (Δx) −1) + cos (x) sin (Δx) Δx

Разделен на два предела:

lim Δx → 0 sin (x) (cos (Δx) −1) Δx + lim Δx → 0 cos (x) sin (Δx) Δx 9090

И мы можем вывести sin (x) и cos (x) за пределы, потому что они являются функциями x, а не Δx

sin (x) lim Δx → 0 cos (Δx) −1 Δx + cos (x) lim Δx → 0 sin (Δx) Δx

Теперь все, что нам нужно сделать, это оценить эти два маленьких предела. Легко, правда? Ха!

Предел

Начиная с

lim θ → 0 sin (θ) θ

с помощью некоторой геометрии:

Можем посмотреть на области:

Площадь треугольника AOB < Площадь сектора AOB < Площадь треугольника AOC

1 2 r ² sin (θ) < 1 2 r ² θ < 1 2 r ² tan8 (θ) 90

Разделите все члены на 1 2 r ² sin (θ)

1 < θ

Возьмем обратные:

1> sin (θ) θ > cos (θ)

Теперь, когда θ → 0, тогда cos (θ) → 1

Итак, sin (θ) θ лежит между 1 и чем-то, что стремится к 1

Итак, если θ → 0, тогда sin (θ) θ → 1 и так:

lim θ → 0 sin (θ) θ = 1

(Примечание: мы также должны доказать, что это верно с отрицательной стороны, как насчет того, чтобы вы попробовали с отрицательными значениями θ?)

Предел

Итак, теперь мы хотим узнать это:

lim θ → 0 cos (θ) −1 θ

Когда мы умножаем верх и низ на cos (θ) +1, получаем:

(cos (θ) −1) (cos (θ) +1) θ (cos (θ) +1) = cos ² (θ) −1 θ (cos (θ) + 1)

Теперь мы используем это тригонометрическое тождество, основанное на теореме Пифагора:

cos ² (x) + sin ² (x) = 1

Преобразовано в эту форму:

cos ² (x) — 1 = −sin ² (x)

И предел, с которого мы начали, может стать:

lim θ → 0 −sin ² (θ) θ (cos (θ) +1)

Это выглядит хуже! Но действительно лучше, потому что мы можем превратить это в два предела, умноженные вместе:

lim θ → 0 sin (θ) θ × lim θ → 0 −sin (θ) cos (θ) +1

Мы знаем первый предел (мы разработали его выше), а второй предел не требует особой работы, потому что при θ = 0 мы знаем напрямую, что −sin (0) cos (0) +1 = 0, поэтому:

lim θ → 0 sin (θ) θ × lim θ → 0 −sin (θ) cos (θ) +1 = 1 × 0 = 0

Собираем вместе

Так что мы снова пытались сделать? О, верно, мы действительно хотели это решить:

d dx sin (x) = sin (x) lim Δx → 0 cos (Δx) −1 Δx + cos (x) lim Δx → 0 sin (Δx) Δx

Теперь мы можем ввести значения, которые мы только что разработали, и получить:

d dx sin (x) = sin (x) × 0 + cos (x) × 1

И так (та да!):

d dx sin (x) = cos (x)

Производная косинуса

Теперь косинус!

d dx cos (x) = lim Δx → 0 cos (x + Δx) −cos (x) Δx

На этот раз мы будем использовать формулу угла cos (A + B) = cos (A) cos (B) — sin (A) sin (B) :

lim Δx → 0 cos (x) cos (Δx) — sin (x) sin (Δx) — cos (x) Δx

Изменить на:

lim Δx → 0 cos (x) (cos (Δx) −1) — sin (x) sin (Δx) Δx

Разделен на два предела:

lim Δx → 0 cos (x) (cos (Δx) −1) Δx — lim Δx → 0 sin (x) sin (Δx) Δx 9090

Мы можем вывести cos (x) и sin (x) за пределы, потому что они являются функциями от x, а не от Δx

cos (x) lim Δx → 0 cos (Δx) −1 Δx — sin (x) lim Δx → 0 sin (Δx) Δx

И используя наши знания сверху:

d dx cos (x) = cos (x) × 0 — sin (x) × 1

И так:

d dx cos (x) = −sin (x)

Производная тангенса

Чтобы найти производную tan (x), мы можем использовать это тождество:

tan (x) = sin (x) cos (x)

Итак, начнем с:

d dx tan (x) = d dx ( sin (x) cos (x) )

Теперь мы можем использовать правило частных производных:

( f г ) ’= gf’ — fg ’ г ²

И получаем:

d dx tan (x) = cos (x) × cos (x) — sin (x) × −sin (x) cos ² (x)

d dx tan (x) = cos ² (x) + sin ² (x) cos ² (x)

Тогда используйте этот идентификатор:

cos ² (x) + sin ² (x) = 1

Чтобы получить

d dx tan (x) = 1 cos ² (x)

Готово!

Но большинству людей нравится использовать тот факт, что cos = 1 сек , чтобы получить:

d dx tan (x) = sec ² (x)

Примечание: мы также можем сделать это:

d dx tan (x) = cos ² (x) + sin ² (x) cos ² (x)

d dx tan (x) = 1 + sin ² (x) cos ² (x) = 1 + tan ² (x)

(И, да, 1 + загар ² (x) = sec ² (x) в любом случае, см. Magic Hexagon)

Тейлор серии

Просто забавное примечание, мы можем использовать расширения серии Тейлора и дифференцировать термин за термином.

Пример: sin (x) и cos (x)

Расширение ряда Тейлора для sin (x) равно

sin (x) = x — x ³ 3! + x ⁵ 5! — …

дифференцировать по срокам:

d dx sin (x) = 1 — x ² 2! + x ⁴ 4! — …

Что идеально соответствует разложению в ряд Тейлора для cos (x)

cos (x) = 1 — x ² 2! + x ⁴ 4! -…

Давайте также дифференцируем , что по срокам:

d dx cos (x) = 0 — x + x ³ 3! — . ..

Что является отрицательным из разложения в ряд Тейлора для sin (x), с которого мы начали!

Но это «круговое рассуждение», потому что в исходном разложении ряда Тейлора уже используются правила «производная sin (x) равна cos (x)» и «производная cos (x) равна −sin (x)» .

Тригонометрические идентичности

загар (x y) = (загар х загар у) / (1 загар х загар у)

sin (2x) = 2 sin x cos x

cos (2x) = cos ^{^ 2} (x) — sin ^{^ 2} (x) = 2 cos ^{^ 2} (x) — 1 = 1-2 грех ^{^ 2} (x)

загар (2x) = 2 загар (x) / (1 — загар ^{^ 2} (x))

sin ^{^ 2} (x) = 1/2 — 1/2 cos (2x)

cos ^{^ 2} (x) = 1/2 + 1/2 cos (2x)

sin x — грех y = 2 sin ((x — y) / 2) cos ((x + y) / 2)

cos x — cos y = -2 sin ((x — y) / 2) sin ((x + y) / 2)

a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C) (Закон Синусов)

(a — b) / (a ​​+ b) = tan [(A-B) / 2] / tan [(A + B) / 2] (Закон касательных)

Пример 5 — Выражение tan-1 cos⁡x / (1 — sin⁡x)

Последнее обновление: 12 мая 2021 г. , автор: Teachoo

Выписка

Пример 5 Выразите tan − 1 cos⁡x / (1 — sin⁡x), — π / 2 загар〗 ⁡ 〖𝑥 / 2〗)] = tan − 1 ((𝒕𝒂𝒏⁡ 〖𝝅 / 𝟒〗 + 〖𝑡𝑎𝑛〗 ⁡ 〖𝑥 / 2〗) / (1− 〖𝒕𝒂𝒏〗 ⁡ 〖𝝅 / 𝟒〗. 〖𝑡𝑎𝑛〗 ⁡ 〖𝑥 / 2〗)) = tan − 1 [tan⁡ (π / 4 + x / 2)] = 𝛑 / 𝟒 + 𝐱 / 𝟐 Используя tan (x + y) = 𝒕𝒂𝒏⁡ 〖𝒙 + 〖𝒕𝒂𝒏〗 ⁡ 𝒚〗〗 / (𝟏 — 𝒕𝒂𝒏⁡ 〖𝒙 𝒕𝒂𝒏⁡𝒚〗) Заменить x на 𝜋 / 4 и y на 𝑥 / 2