Решение полных квадратных уравнений
Чтобы получить формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения, преобразуем его:
Выражение b2 — 4ac обычно обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного трехчлена ax2 + bx + с = 0.
С учетом этого обозначения продолжим решение квадратного уравнения
Последнее уравнение, а значит, и исходное может иметь два корня, один корень или вообще не иметь корней в зависимости от знака дискриминанта D:
1. Если D = b2 — 4ac , то квадратное уравнение ax2 + bx + с = 0 не имеет действительных корней.
2. Если D = b2 — 4ac = 0, то квадратное уравнение ax2 + bx + с = 0 имеет единственный действительный корень x =
:
3. Если D = b2 — 4ac > 0, то квадратное уравнение ax2 + bx + с = 0 имеет два действительных корня, которые вычисляются по формулам
Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей.
Подробнее …
Покажем, как вывести эти формулы:
Последнюю формулу можно существенно упростить в случае, если b делится на 2, то есть b = 2k. Тогда формула для корней квадратного уравнения будет иметь вид
,
где k =
.
Полученную формулу для корней квадратного уравнения в случае четного коэффициента b можно переписать и без использования буквы k:
или , где D1 = (
)2 — ac.
Очевидно, полученные формулы для корней полных квадратных уравнений можно использовать и для решения неполных уравнений, хотя проще использовать способы решения неполных квадратных уравнений.
Пример 1. Решить квадратное уравнение 4x 2 -28x + 49 = 0.
Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.
Так как b = -28 — четное число, то вычислим дискриминант D1 :
D1 = (
)2 — ac = (-14)2 — 4*49 = 196 — 196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень
x =
=
14/4
=
7/2
.
Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:
4x2 -28x + 49 = 0 (2x — 7)2 = 0 2x = 7 x =
.
Ответ:
.
Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:
Умножив обе части уравнения на -6, получим x2 + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:
.
Ответ: -3,0.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:
.
Умножив обе части уравнения на 15, получим:
6x2 + 3x = 20x-10 6x2 + 3x — 20x + 10 = 0 6x2 — 17x + 10 = 0.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b2 — 4ac = (-17)2 — 4*6*10 = 289 — 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ:
, 2.
Пример 4. Решить уравнение .
Решение.
Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.
Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (
= √2), вычислим дискриминант D1:
D1 = (
)2 — ac = (√2)2 — 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: -√2-1, -√2+1.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение.
Умножим левую и правую части уравнения на 6:
Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.
Так как b = -6, то есть b делится на 2 (
= 3), вычислим дискриминант D1:
D1 = (b/2)2 — ac = 32 — 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ:
Дискриминант квадратных уравнений — презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Урок алгебры в 8 классе.
2. Эпиграф урока:
«Не делай никогда того,чего не знаешь,
но научись всему,
что нужно знать».
Пифагор
3. Устный счёт: Решите уравнения:
х 121 0х 11
х 49 0
Корней нет
х 17 0
х 17
х 5х 0
х 0; 5
2 х 16 х 0
х 0; 8
2
2
2
2
2
4.
Сколько корней имеет уравнение:2 х 3х 1 02 корня
4х 4х 1 0
1 корень
4а 5а 9 0
корней нет
2
2
2
5. Найти дискриминант квадратных уравнений
х 2х 3 05 или 7 4 или 16
х 3х 4 0
23
25
27
2 х 5х 3 0
1
3
5
2
2
2
6. Тема урока: «Дробно-рациональные уравнения»
Если обе части уравнения являются рациональнымвыражением,
то
такие
уравнения
называют
рациональным уравнением.
Рациональные уравнения
Целые рациональные уравнения
2х 3
5 х;
5
2
х 6 х 8 0;
х 5 х 9
.
4
6
Дробно-рациональные уравнения
2х 3
4 х;
5 х
х2 6х 8
0;
х 2
х 5 х 9
.
4х
6
8. Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений
Алгоритм решения дробнорациональных уравнений• Найти
общий знаменатель дробей, входящих в
уравнение;
• Умножить обе части уравнения на этот общий
знаменатель,
чтобы получить целое уравнение;
• Решить полученное целое уравнение;
• Исключить корни, обращающие каждый знаменатель в
нуль
или найти ОДЗ (Область допустимых значений
переменных в знаменателях данных дробей)
9.
Уравнениях 72
х 5
— дробно-рациональное уравнение
х 7
15
5
— целое рациональное уравнение
х 9 х 17 х 8
х 5
х
2
х 7 х 2
5
7
— дробно-рациональное уравнение
2
— целое рациональное уравнение
Примеры решения уравнений
Пример 1:
х2
2х
х 5 х 5
Ответ:
0; 2
2
х
6
х
5
Пример 2:
х 4
4 х
Ответ:
5; 1
2
х
7
х
12
Пример 3:
х 4
4 х
Ответ:
3
Пример 4:
х 1 х 3
х 2 х 2
Ответ:
0,5
Закрепление темы, в классе:
№195(5, 6, 7), №196(3, 4)
№195(5)
2 х 1 3х 4
х 7
х 1
Ответ:
27; 1
№195(6)
2у 3 у 5
2 у 1 у 3
Ответ:
0,2
№195(7)
12
х
7 х
Ответ:
3; 4
№196(3)
3х 1 х 1
1
х 2 х 2
Ответ:
3 5
№196(4)
2у 2 у 3
5
у 3 у 3
Ответ:
6; 5
19. Задание на дом: №195(1,2,3),196(1,2)
«Через математическиезнания, полученные в школе,
лежит широкая дорога к
огромным, почти
необозримым областям труда
и открытий»
(А.
