3 формы записи комплексного числа: Формы записи комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексного числа выглядит так: z=x+i*y, где x — действительная часть комплексного числа, y — мнимая часть.

Назначение. Онлайн калькулятор предназначен для представления комплексного числа в алгебраической форме. Результаты вычисления оформляются в формате Word.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Пример №1. Дано комплексное число z=2sqrt(2)/(1+i). Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w3+z=0.
Решение. Предварительно с помощью данного калькулятора представим число в алгебраическая форме. Затем преобразуем число в тригонометрическую форму с помощью данного сервиса. После преобразований получим:
Алгебраическая форма записи

:
z=2sqrt(2)/(1+i)=2sqrt(2)(1-i)/((1+i)(1-i))=2sqrt(2)(1-i)/2=sqrt(2)-i*sqrt(2)
Находим тригонометрическую форму комплексного числа z = 2*sqrt(2)/(1+I)
,
Поскольку x > 0, y

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = 2*sqrt(2)/(1+I)

Получаем уравнение w3 + z = 0 или w = (-z)1/3 = (-sqrt(2) + i*sqrt(2))1/3.
Далее решаем с помощью этого сервиса. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z = -sqrt(2)+I*sqrt(2)
,

Поскольку x

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = -sqrt(2)+I*sqrt(2)

Извлекаем

k = 0


или

k = 1


или

k = 2


или

Пример №2. Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения

z3 + a = 0.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №3. Число записать в алгебраической форме.
Решение. так как i⁸² = i^4*20+2 = -1, i³⁷ = i^4*9+1 = i, i⁴⁴ = i^4*11=1, i⁵¹=i^4*12+3 = -i, то
, поэтому

Пример №4. Записать число в алгебраической форме
Решение.
Модуль числа |z|=3, аргумент argz = 5/3π

, x > 0 , y < 0

, откуда

Имеем

Подставим y в первое уравнение

Поскольку x > 0 , y < 0, то

Пример №5. Записать число в алгебраической форме
Решение.
Модуль числа |z|= , аргумент argz = 5/4π

, x < 0 , y < 0

, откуда

Имеем

y=x
Подставим y в первое уравнение

x=1, y = 1
Поскольку x < 0 , y < 0, то z=-1-i

Алгебраическая форма записи комплексного числа, геометрическое изображение.

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ):

Геометрическое изображение

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно

вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскоститакже полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент).

7. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль и аргумент то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

8. Сложение и вычитание комплексных чисел.

Сумма двух комплексных числел есть также комплексное число

Как следует из выражения (17) при сложении реальные и мнимые части комплексного числа также складываются.

На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 3).

Разность двух комплексных числел есть также комплексное число

Как следует из выражения (18) при вычитании реальные и мнимые части комплексного числа также вычитаются.

На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рисунок 4). На первом шаге из вектора формиуется вектор после чего вектор складывается с вектором по правилу параллелограмма.

9. Умножение и деление комплексных чисел.

   

Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных числен необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:

Таким образом получили также комплексное число. Умножать в явном виде комплексные числа не очень удобно, гораздо проще если привести их по формуле Эйлера к показательной форме:

При перемножении в показательной форме модули комплексных числел перемножаются а фазы складываются. На векторной диаграмме это можно представить следующим образом (рисунок 5):

При перемножении результирующий вектор поворачивается и его длина изменяется.

Рассмотрим деление в показательной форме:

Таким образом при делении комплексных чисел их модули делятся а фазы вычитаются. При делении необходимо чтобы . Получим формулу для деления комплексных чисел в явной форме. Пусть

умножим и числитель и знаменатель дроби на число комплексно-сопряженное знаменателя:

,

Исходя из (22) в знаменателе дроби получим квадрат модуля знаменателя а числитель перемножим по правилу умножения комплексных чисел:

Поделив почленно реальную и мнимую часть числителя на знаменатель получим:

Выражение (27) — формула деления комплексных чисел в явной форме. Как можно заметить операции сложения и вычитания удобнее выполнять в явном виде, тогда как умножать и делить комплексные числа быстрее и легче в показательной форме.

10. Возведение комплексного числа в натуральную степень, извлечение корня из комплексного числа.

11.Первообразная. Понятие неопределенного интеграла.

12. Свойства неопределенного интеграла.

13. Таблица основных неопределенных интегралов.

14. Непосредственное интегрирование, подведение под знак дифференциала.

Как записать 4 + √-25 в стандартной форме комплексного числа?

Числа можно определить как основные строительные блоки всей математики. Из чисел развились арифметические операции, геометрия, тригонометрия и многие другие разделы в области математики.

Действительные и мнимые числа

Числа, которые можно изобразить на числовой прямой, называются действительными числами. Они включают в себя целые числа, как положительные, так и отрицательные, рациональные числа, а также иррациональные числа, будь то дробная или десятичная форма.  

Полной противоположностью действительных чисел являются мнимые числа. Проще говоря, такие числа, которые не являются частью числовой прямой, называются мнимыми числами. Число, которое дает отрицательный результат при умножении само на себя, называется мнимым числом.

Мнимое число, записанное без использования корня, может быть записано как действительное число, умноженное на йоту, обозначенное i, которое является мнимой единицей, и йота (i) = √-1.

Следовательно, можно записать как  = 10√-1 = 10i.

Powers of I

• I = √ -1
• I ² = -1
• I ³ = I × I ² = I × -1 = -I
• 1 I ^{4 40025 = I × -1 = -I}
• 1 I = i ² × i ² = -1 × -1 = 1
• i ⁵ = i × i ⁴ = i
• i ^{6 902 i 5 = 902 × i 9 5 = 902 × i 9 i = i 2 = -1}
• i ⁷ = i × i ⁶ = i × -1 = -i
• i ⁸ = (i ² ) ⁴ = (-1) ⁴ = 1
• i ⁹ = i × i ⁸ = i × 1 = i
• i ^{10 9 × i 4 0 = 2 i0 9 × i 4 i = i 2 = -1}

Следуя этому шаблону, можно сделать вывод, что i повторяет его значения после каждой четвертой степени. Комплексные числа – это такие числа, у которых одна часть действительна, а другая – мнимая. Давайте рассмотрим несколько примеров комплексных чисел и их действительных и мнимых частей:

• 5 + 2i — комплексное число, где 5 — действительная часть, а 2i — мнимая часть.
• e ² + 12i — комплексное число, где e2 — действительная часть, а 12i — мнимая часть.
• √(22) -162i — комплексное число, где √22 — действительная часть, а 162i — мнимая часть.

Как записать 4 + √-25 в стандартной форме комплексного числа?

Решение:

Стандартная форма комплексного числа, z = a + ib

4 + квадратный корень из -25 = 4 +

 =  = 5√-1 = 5i

,

Отсюда = 4 + 5i

Таким образом, z = 4 + 5i является стандартной формой данного комплексного числа.

Аналогичные задачи

Вопрос 1: Напишите √(22) – квадратный корень из -900 в стандартной форме для комплексных чисел.

Решение:

Стандартная форма комплексного числа: z = a + ib

√22 – квадратный корень из -900 = √(22) –

√2 = 30i

, ) – 30i – стандартная форма данного комплексного числа.

Вопрос 2: Запишите 3/10 + квадратный корень из -36 в стандартной форме комплексных чисел.

Решение:

Стандартная форма комплексного числа: z = a + ib

3/10 + квадратный корень из -36 = 3/10 +

Таким образом  = 6i

9300120 + 6i — стандартная форма данного комплексного числа.

Вопрос 3: Напишите e ² – квадратный корень из -144 в стандартной форме для комплексных чисел.

Решение:

Стандартная форма комплексного числа: z = A + IB

E ² -квадратный корень -144 = E ² —

= 12i

Таким образом, E ² — 12i — стандартная форма данного комплексного числа.

Вопрос 4: Запишите 3 + квадратный корень из -48 в стандартной форме комплексных чисел.

Решение:

Стандартная форма комплексного числа: z = a + ib

3 + квадратный корень из -48 = 3 +

 = 4√3i

Таким образом, 3 + 4√3i является стандартной формой данного комплексного числа.

Вопрос 5: Запишите 9 + квадратный корень из -81 в стандартной форме комплексных чисел.

Решение:

Стандартная форма комплексного числа: z = a + ib

9 + квадратный корень из -81 = 9 +

 = 9i

i, 9 + 9 заданного комплексного числа.

комплексная плоскость, сложение и вычитание

Комплексные числа: комплексная плоскость, сложение и вычитание Поскольку Гаусс доказал основную теорему алгебры, мы знаем, что все комплексные числа имеют вид x + yi, , где x и y — действительные числа, действительные числа, — все положительные числа. , отрицательный или нулевой. Следовательно, мы можем использовать плоскость xy для отображения комплексных чисел. Мы даже назовем это сложная плоскость , когда мы используем xy -плоскость таким образом. Это дает нам второй путь к комплексным числам, первый путь — алгебраический, как в выражении x  +  yi.

Обозначение.

Стандартный символ для набора всех комплексных чисел — C , и мы также будем обозначать комплексную плоскость как C .

Мы попробуем использовать x и y для реальных переменных и z и w для комплексных переменных. Например, уравнение z  =  x  +  yi следует понимать как говорящее, что комплексное число z является суммой действительного числа x и действительного числа y , умноженного на i. Как правило, часть комплексного числа z  = x  +  yi размером x называется действительной частью числа z , а y называется . 0223 мнимая часть из з. (Иногда и называют мнимой частью.)

Когда мы используем

xy -плоскость для комплексной плоскости C , мы будем называть x -ось именем реальной оси, и y -ось мы будем называть воображаемая ось.

Действительные числа следует рассматривать как частные случаи комплексных чисел; это просто цифры x  +  yi , когда y равно 0, то есть это числа на действительной оси. Например, действительное число 2 равно 2 + 0 , т. е. Числа на мнимой оси иногда называют чисто мнимыми числами.

Арифметические операции над

C Операции сложения и вычитания понятны. Чтобы сложить или вычесть два комплексных числа, просто сложите или вычтите соответствующие действительные и мнимые части. Например, сумма 5 + 3 i и 4 + 2 i равно 9 + 5 i. Во-вторых, сумма 3 + i и 1 + 2 i равна 2 + 3 i.

Дополнение может быть представлено графически на комплексной плоскости

C . Возьмем последний пример. Комплексное число z  = 3 +  i расположено на 3 единицы правее мнимой оси и на 1 единицу выше действительной оси, а w  = 1 + 2 i расположено на 1 единицу левее и 2 единиц вверх. Итак, сумма z  +  w  = 2 + 3 i на 2 единицы вправо и на 3 единицы вверх.

Правило параллелограмма.

Обратите внимание, что в последнем примере четыре комплексных числа 0, z  = 3 +  i, w  = 1 + 2 i, и z  +  w i 3 + 902 + 902 2 + 902 2 углы параллелограмма. В целом это правда. Найти где в плоскости C сумма z  +  w из двух комплексных чисел z и w находится, постройте z и w, , проведите линии от 0 к каждой из них и дополните параллелограмм. Четвертая вершина будет z  +  w.

Дополнение в виде перевода.

Используя правило параллелограмма, можно интерпретировать сложение w как преобразование плоскости C . Добавление w к 0 дает w, , конечно, поэтому 0 перемещается в w в этом преобразовании. Любая другая точка z перемещается в z  +  w, , поэтому z перемещается в том же направлении на то же расстояние. Другими словами, каждая точка в C перемещается в том же направлении и на то же расстояние, когда к нему добавляется w . Можно сказать, что сложение w дает перевод плоскости C в направлении и на расстояние от 0 до w. Термин «вектор» обычно используется в описании: «плоскость переводится по вектору 0 ж.

Отрицание и вычитание.

Есть и хорошая геометрическая интерпретация отрицания. Конечно, отрицание x  +  yi равно x    yi, , поэтому отрицание комплексного числа будет располагаться как раз напротив 0 и на таком же расстоянии от него.