Корни n-й степени из действительного числа. Задачи 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
1. Определения корня n-й степени для четного и нечетного n
Напомним и прокомментируем основные определения.
Определение:
Корнем n-ой степени из неотрицательного числа а при четном n называют такое неотрицательное число, которое при возведении в степень n дает в результате число a.
, где ,
Рис. 1. График функций и
Уравнение имеет 2 корня: и .
Данная функция, как и любая другая, преследует две задачи. Прямая задача: по заданному значению х, подставив его в функцию, найти значение у. Обратная задача: по заданному значению у (у только неотрицательное) определить значение х, при этом получаем два корня, один из которых неотрицательный и носит название арифметического корня.
Напомним важное тождество:
Рассмотрим примеры:
1. , т. к. ; 2.
Мы рассмотрели корень четной степени из действительного числа, и в этом случае подкоренное число а обязано быть неотрицательным. Но оно может быть отрицательным в том случае, если степень корня нечетная.
Определение:
Корнем нечетной степени из отрицательного числа а при называют такое отрицательное число, которое, будучи возведено в степень n, дает в результате число а.
Рис. 2. График функции , где
Данная функция имеет единственное решение, то есть достигает любого своего значения при единственном значении аргумента, причем если значение функции отрицательное, то и соответствующее ему значение аргумента тоже отрицательное, и наоборот, положительному значению функции соответствует положительное значение аргумента.
Рассмотрим примеры:
, т. к. ; 2. , т. к. ;
2. Следствия из определенийРассмотрим важные следствия из определений.
Следствие 1:
Корень четной степени неотрицателен и существует только от неотрицательного числа.
Примеры:
, т. к. ; 2. не существует, т. к. ; 3. , нет решений, т. к. поскольку существует выражение , то оно неотрицательное; 4. , т. к. ;
Следствие 2:
Корень нечетной степени существует для любого действительного числа а .
Примеры:
, т. к. ; 2. , т. к. ; 3. , т. к. ;
3. Определение иррационального уравнения, простейшие примерыРассмотренные определения и следствия применяются при решении различных задач, в том числе иррациональных уравнений.
Определение:
Уравнение, в котором под знаком корня содержится неизвестное, называется иррациональным.
Примеры:
1. , , ; ответ: ;
2. ; ответ: ;
3.
ответ:
4. ; ответ:
Рассмотрим более сложные выражения, а именно уравнения вида .
Чтобы решать подобные уравнения, нужно обе части возводить в квадрат, но для этого нужно выполнение некоторых условий и соблюдение ограничений. Значение квадратного корня должно быть неотрицательным, отсюда . Подкоренное выражение также должно быть неотрицательно, т. е. . После преобразования получаем
Исходя из последнего равенства выражение в эквивалентной системе излишне, таким образом, получаем эквивалентную для уравнения систему:
Получили смешанную систему, состоящую из уравнения и неравенства. В подобных случаях решать неравенство необязательно, достаточно решить уравнение и его корни проверить по первому условию (неравенству).
Пример:
Решим первым способом, то есть с помощью эквивалентной системы:
Преобразуем уравнение:
Решим квадратное уравнение, например с помощью теоремы Виета, получаем:
Согласно первому условию отбрасываем лишний корень, получаем ответ .
Решим вторым способом, возведем обе части в квадрат, не накладывая никаких дополнительных условий:
Получили квадратное уравнение:
Корни данного уравнения мы уже определили:
Выполним проверку, подставив каждый корень в исходное уравнение:
Квадратный корень не может иметь отрицательное значение, значит, корень не подходит, не является решением заданного уравнения.
Получили ответ:
Выполним небольшой анализ, чтобы в дальнейшем предостеречься от типовых ошибок.
а) , т. е. из равенства квадратов чисел еще не следует равенство самих чисел;
б) , т. е. из равенства квадратов не всегда следует равенство исходных чисел;
Вывод: после возведения в квадрат и решения иррационального уравнения, необходимо выполнить проверку подстановкой полученных корней в исходное уравнение.
4. Решение более сложных иррациональных уравненийПример:
Решаем первым способом:
Преобразуем уравнение:
Решим квадратное уравнение, например с помощью теоремы Виета, получаем:
Согласно первому условию отбрасываем лишний корень, получаем ответ .
Рассмотрим пример уравнения на корень нечетной степени:
Возводим обе части в куб:
Разложим выражение на множители:
7x(х2 — 1) = 7х(х — 1)(х + 1) = 0
Приравняв каждый множитель к нулю, получаем корни заданного уравнения: , ,
Итак, на данном уроке мы повторили определения для корня n-ой степени из действительного числа, решили некоторые задачи и уравнения.
На следующем уроке мы ознакомимся с функциями .
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Terver.ru (Источник).
- Uztest.ru (Источник).
- Schoolife.ru (Источник).
Домашнее задание
1) Определите знак разности:
а) ; б) ; в) ; г)
2) Найдите ошибку в рассуждениях:
а) ; б)
3) Решите уравнения:
а) ; б) ; в)
3-8
Что такое квадратный корень из 11?
В математике квадратный корень из числа, подобного 11, — это число, которое при умножении само на себя равно 11.
Любое число с подкоренным символом рядом с ним называется подкоренным членом или квадратным корнем из 11 в подкоренной форме.
Чтобы объяснить квадратный корень немного больше, квадратный корень из числа 11 — это величина (которую мы называем q), которая при умножении сама на себя равна 11:
√11 = q × q = q 2
Так что же такое квадратный корень из 11 и как его вычислить? Хорошо, если у вас есть компьютер или калькулятор, вы можете легко вычислить квадратный корень. Если вам нужно сделать это вручную, то для этого потребуется старое доброе деление в длину с помощью карандаша и листа бумаги.
Для целей этой статьи мы вычислим его за вас (но позже в статье мы покажем вам, как вычислить его самостоятельно с помощью деления в большую сторону). Квадратный корень из 11 равен 3,31662479.03554:
3,3166247
Является ли число 11 идеальным квадратом?
Когда квадратный корень данного числа является целым числом, это называется полным квадратом.
Совершенные квадраты важны для многих математических функций и используются во всем, от плотницких работ до более сложных тем, таких как физика и астрономия.
Если мы посмотрим на число 11, то узнаем, что квадратный корень равен 3,3166247
Если вы хотите узнать больше о числах с идеальным квадратом, у нас есть список идеальных квадратов, который охватывает первые 1000 чисел с идеальным квадратом.
Является ли 11 рациональным или иррациональным числом?
Другой распространенный вопрос, который может возникнуть при работе с корнями числа, например 11, заключается в том, является ли данное число рациональным или иррациональным. Рациональные числа можно записать в виде дроби, а иррациональные — нет.
Самый быстрый способ проверить, является ли число рациональным или иррациональным, — определить, является ли оно полным квадратом. Если да, то это рациональное число, а если не полный квадрат, то это иррациональное число.
Мы уже знаем, что 11 не является рациональным числом, потому что мы знаем, что это не полный квадрат.
Вычисление квадратного корня из 11
Чтобы вычислить квадратный корень из 11 с помощью калькулятора, введите в калькулятор число 11 и нажмите клавишу √x:
√11 = 3,3166
Чтобы вычислить квадратный корень из 11 в Excel, Numbers of Google Sheets, вы можете использовать функцию SQRT() :
SQRT(11) = 3,3166247
Округление квадратного корня из 11
Иногда, когда вы работаете с квадратным корнем из 11, вам может понадобиться округлить ответ до определенного числа знаков после запятой:
10-й: √11 = 3,3
100-й: √11 = 3,32
1000-й: √11 = 3,317
Нахождение квадратного корня из 11 с помощью длинного деления
Если у вас нет калькулятора или компьютерной программы, вам придется использовать старое доброе деление в длину, чтобы извлечь квадратный корень из 11. Именно так математики вычисляли его задолго до того, как были изобретены калькуляторы и компьютеры.
Шаг 1
Задайте 11 парами из двух цифр справа налево и присоедините один набор 00, потому что нам нужен один десятичный знак:
Шаг 2
Начиная с первого набора: самый большой полный квадрат, меньше или равный 11, равен 9, а квадратный корень из 9 равен 3. Поэтому ставим 3 сверху и 9 снизу вот так:
| 3 | |
11 | 00 |
9 |
Этап 3
Вычислите 11 минус 9 и поместите разницу ниже. Затем переместитесь вниз к следующему набору чисел.
| 3 | |
11 | 00 |
9 | |
2 | 00 |
Этап 4
Удвойте число, выделенное зеленым сверху: 3 × 2 = 6. Затем используйте 6 и нижнее число, чтобы решить эту задачу:
6? × ? ≤ 200
Знаки вопроса «пробел» и такие же «пробел».
Путем проб и ошибок мы обнаружили, что наибольшее число, которое может быть пустым, равно 3.
Теперь введите 3 сверху:
| 3 | 3 |
11 | 00 |
9 | |
2 | 00 |
Надеюсь, это дало вам представление о том, как извлечь квадратный корень с помощью деления в большую сторону, чтобы вы могли самостоятельно решать будущие задачи.
Практика извлечения квадратных корней на примерах
Если вы хотите продолжить изучение квадратных корней, взгляните на случайные вычисления на боковой панели справа от этой записи в блоге.
Мы перечислили выборку совершенно случайных чисел, которые вы можете щелкнуть и следовать информации о вычислении квадратного корня из этого числа, чтобы помочь вам понять числовые корни.
Вычисление другой задачи на квадратный корень
Введите свое число в поле А ниже и нажмите «Рассчитать», чтобы вычислить квадратный корень из заданного числа.