Замахнемся на гипотезу Коллаца / Хабр
Она же проблема 3n+1 (Collatz conjecture). Это, наверное, самая сложная проблема с самой простой формулировкой — условие может понять и ребенок. А вот сложность самой проблемы такова, что великий математик Эрдош сказал, что «математика еще не готова к решению проблем такой сложности». Ее также сравнивают с сиреной — она манит своей простотой, и некоторые математики увязают в ней надолго без какого либо практического результата.
В этой статье я приведу доказательство хотя нет, доказательство простое, но слишком длинно, чтобы поместиться на полях… Ладно, ладно, нет у меня доказательства. Но мы рассмотрим более общую проблему, и как всегда, в конце будет видео с движущимися фракталами!
Итак, 3n+1. А почему, собственно, +1? А не +2? +3? С +2 не получится — 3n+2 при нечетных n будет снова нечетным, и мы получим runaway. А вот все нечетные числа можно попробовать.
Но пробовать не просто так, а написав код, который тестирует вся начальные числа до миллиона и ищет получившиеcя циклы. Циклы мы обозначаем как кортежи (количество элементов (период), минимальный элемент, максимальный элемент). Для 3n+1 мы получим единственный цикл: (3, 1, 4) (хотя для однозначной идентификации цикла достаточно его знать его минимальный элемент)
Теперь мы готовы отправиться в путешествие, перебирая все нечетные a (adder) в формуле 3n+a.
Степени тройки
Для a=3 мы получим единственный цикл (3, 3, 12). А вот для a=5 мы получим аж шесть циклов: (4, 1, 8), (8, 19, 152), (3, 5, 20), (8, 23, 116), (44, 187, 8324), (44, 347, 10 196). Для a=7 два цикла: (6, 5, 40), (3, 7, 28), для a=9 один: (3, 9, 36)
Далее я использую свою гипотезу h2, что для любого нечетного a количество циклов конечно, то есть нет ‘runaways’.
Лишь изредка цикл только один, и имеет период 3.
Числа a, для которых это так:
a=1 (3, 1, 4)
a=3 (3, 3, 12)
a=9 (3, 9, 36)
a=27 (3, 27, 108)
a=81 (3, 81, 324)
a=243 (3, 243, 972)
a=729 (3, 729, 2916)
a=2187 (3, 2187, 8748)
a=6561 (3, 6561, 26244)
a=19683 (3, 19683, 78732)
Здесь напрашиваются сразу две гипотезы:
h3: все степени тройки <a> создают только один цикл вида (3,a,*). Возможно это не так и при больших значениях a возникают и другие циклы. Мы этого на знаем даже для a=1
h4: никакие другие значения a не дают циклов вида (3,*,*).
Рекорды
Если цикл (3, *, *) это пример компактности, то рассмотрим противоположные случаи.
Рекордсмены по периоду цикла из проверенных мной:
a=24917 len=8882 (8882, 13, 98850680), (52, 144043, 21257540), (104, 168379, 89205632), (104, 88267, 106267040), (52, 181931, 35733860), (52, 213163, 20599568)
a=22097 len=7784 (7784, 25, 169564136), (778, 247, 2749604), (16, 5815, 144212)
впрочем, для больших a это не очень интересно, интереснее, когда len>>a, что встречается только для небольших значений a:
a=5 len=44 (4, 1, 8), (8, 19, 152), (3, 5, 20), (8, 23, 116), (44, 187, 8324), (44, 347, 10196)
a=17 len=49 (9, 1, 32), (49, 23, 560), (3, 17, 68)
a=23 len=69 (69, 41, 4976), (7, 5, 80), (7, 7, 56), (3, 23, 92)
a=29 len=106 (6, 1, 32), (26, 11, 392), (3, 29, 116), (106, 3811, 6831320), (106, 7055, 3154208)
a=61 len=107 (7, 1, 64), (3, 61, 244), (107, 235, 99832)
n=85 len=156 (156, 7, 11332), (9, 5, 160), (4, 17, 136), (49, 115, 2800), (8, 323, 2584), (3, 85, 340), (8, 391, 1972), (44, 3179, 141508), (44, 5899, 173332)
n=107 len=159 (159, 1, 36416), (3, 107, 428)
Теперь поищем неудачные значения a с наибольшим числом циклов (все циклы перечислять не буду):
Фракталы
Я пытался на основе полученных данных построить графики, но ничего красивого не выходило.
А вот фрактал получился потрясающий!
Строится он по следующей формуле:
Обратите внимание, как хитро она составлена — при целых значениях z функция f(z) делает итерацию по известной формуле для простых чисел. Зато мы можем в качестве z использовать комплексное число, а adder (обведен красным) мы можем менять плавно и даже придавать ему некорректные значения (2, например).
Обычно фрактал «прижимается» к оси y=0 (вещественная ось, мнимые значения малы по модулю). Это происходит из‑за того, что для мнимых аргументов косинус превращается в гиперболический косинус (цепную линию), а тот убегает в бесконечность как экспонента.
x [0, 20], y [-1.5. 1.5]Хочется увеличить нетривиальные зоны:
x [0,2.5], y [-0.4, 0.4]x [1.8,2.09], y [0,0.2]Эту красоту в движении вы можете увидеть на видео. Напоследок замечу, что самое интересное происходит около adder=1, так что выбор единицы неслучаен.
{b+c}}$ . Это правило умножения говорит нам что мы можем просто складывать показатели степени при умножении двух степеней с одним и тем же основанием.
Недавно обновленные страницы
Если пружина имеет период T и разрезана на n равных 11 класс физики CBSE
Планета движется вокруг Солнца по почти круговой орбите 11 класс физики CBSE
В любом треугольнике AB2 BC4 CA3 и D является средней точкой математики класса 11 JEE_Main
В Delta ABC 2asin dfracAB+C2 равно IIT Математика класса 11 JEE_Main
0002 Если в треугольнике rmABC сторона a sqrt 3 + 1rmcm и угол класса 11 по математике JEE_Main
Если пружина имеет период T и разрезана на n равный класс 11 по физике CBSE
Планета движется вокруг Солнца по почти круговой орбите класс 11 по физике CBSE
В любом треугольнике AB2 BC4 CA3 и D является средней точкой класса 11 по математике JEE_Main
C 60circ затем 11 класс математики JEE_Main
Если в треугольнике rmABC сторона равна sqrt 3 + 1rmcm и классу угла 11 по математике JEE_Main
Актуальные сомнения
«Кольца власти» визуально притягивали внимание с первых моментов, но никогда еще эта красота не была такой навязчивой, как в «Оке».
Предпоследний эпизод первого сезона, начавшийся всего через несколько мгновений после клиффхэнгера прошлой недели, начинается сразу же после первого извержения Роковой горы: все, что не горит, покрыто пеплом, друг Исилдура Онтамо (Энтони Крам) погиб во время взрыва, а само небо приобрело вулканический оттенок оранжевого. Хотя мы можем быть уверены, что большинство основных персонажей выжили, Исильдур пропал, а количество убитых опустошительно. Во «Властелине колец» добро всегда побеждает зло, но тот очевидный факт, что «Кольца власти» — это телесериал, несет в себе не столь очевидный подтекст, который становится все яснее с каждой серией: конец гораздо дальше, чем это было бы в кино, зло обязательно одержит ряд жестоких побед на своем пути.
Запустение, вызванное Роковой горой, становится еще более резким после резкого перехода к миграции хоббитов после перерыва в один эпизод. Конечно, это опасный путь, но мирная, зеленая земля, которую они пересекают, резко контрастирует с той, которую мы только что видели, — пока это не так.
Наши друзья-халфлинги, по-видимому, находятся достаточно близко к зоне взрыва, чтобы несколько пирокластов приземлились поблизости, расплавив при этом несколько деревьев. Все сбиты с толку, кроме Садока, лидера группы. Согласно историям, которые его бабушка рассказывала ему, некоторые горы на юге обладают способностью «извергать огненные камни» перед тем, как «заснуть» на сотни лет, сон, который заканчивается только тогда, когда поднимается «новое зло». Некоторые бабушкины сказки — это больше, чем просто бабушкины сказки.
Незнакомец, чья истинная личность до сих пор не раскрыта, хотя фанатские теории изобилуют, наконец, злоупотребляет гостеприимством, когда его попытка восстановить одно из упавших деревьев в его первоначальное состояние приводит к неприятным последствиям, чуть не убив Нори и ее младшую сестру. В результате его изгоняют, но не раньше, чем Садок предлагает ему что-то вроде звездной карты, Нори дает ему яблоко, а крошечный незаметный цветок начинает расти на дереве, которое он только что пытался спасти.
Хоббиты были не единственными персонажами, которых не было в «Удуне» на прошлой неделе. Допустим, чисто гипотетически, что вы и ваши люди недавно наткнулись на, пожалуй, самое ценное вещество в мире, и эмиссар ваших величайших соперников просит вас предоставить им доступ к нему, чтобы обеспечить выживание его народа. Что бы вы взяли в обмен на указанную руду, которая может быть мифриловой, а может и не быть? Если ваш ответ «дичь, зерно и древесина из древних лесов Эриадора на следующие пять столетий», вам повезло — это именно то, что Элронд предлагает королю Дурину III в отчаянной попытке спасти своих собратьев-эльфов, не предавая свою дорогую друг князя Дурина IV.
Ну, сначала немного лора. Говорят, что гномы созданы из двух элементов: огня и камня. Последний «жаждет вечного, сопротивляясь притяжению времени», в то время как первый принимает истину, «что все вещи однажды должны быть поглощены и обращены в пепел». Если это звучит как многословный способ сказать «нет», то это потому, что так оно и есть — но это не значит, что между гномами и эльфами потеряна любовь, как у любого, кто знает, насколько маловероятной была дружба Леголаса и Гимли. Знание того, что Элронд (и, соответственно, многие из его людей) живут еще несколько тысяч лет, лишает этот сюжет некоторой актуальности, но он все еще находится между мифическим камнем и наковальней. Его также, наконец, попросили (или, скорее, заставили) покинуть Казад-Дум без каких-либо доказательств, что наверняка вызовет недовольство Верховного короля Гил-галада. Но, несмотря на то, что самые милые друзья сериала на данный момент расстаются, Элронд настаивает, что это не прощание — это «намарие», эльфийское прощание, означающее «идти к добру».
Галадриэль, которая красноречива так, что даже сторонники Толкина восхищаются (даже если многие из них откажутся это признать), произносит самую запоминающуюся фразу эпизода, рассказывая Тео, почему нет ничего примечательного в том, сколько орков она убила: «Это омрачает сердце». называть темные дела хорошими». она говорит.
«Это дает место злу, чтобы процветать внутри нас. Всякая война ведется как снаружи, так и внутри. Об этом должен помнить каждый солдат — даже я, даже ты». Смысл ее слов сначала теряется для мальчика, который больше зациклен на том, что он воин, но, тем не менее, это находит отклик, когда они прибывают в новое импровизированное поселение.
Заглянуть внутрь его медицинской палатки — обгоревшая плоть, оторванные конечности и так много крови — это одна из самых реалистично жестоких вещей, которые мы когда-либо видели во «Властелине колец», но два персонажа, которые были наиболее заметны в своей Отсутствовавшие до этого момента в «Оке» выжили: Арондир и Бронуин.
Однако все не так хорошо, поскольку Мириэль, которая изначально, казалось, пережила извержение невредимой, ослепла. Однако ее дух остается несломленным: «Не трать на меня свою жалость, эльф», — говорит она Галадриэль. «Сохрани это для наших врагов, ибо они не знают, что начали». Конечно, спорю, но Элендил менее воодушевлен, поскольку он, его королева-регент и их уцелевшие солдаты готовятся отплыть обратно в Нуменор — Исильдур все еще пропал без вести, фактически мертв, и не собирается возвращаться домой. со своим скорбящим отцом.
Говоря о теориях, в некоторых онлайн-кругах растет консенсус в отношении того, что Халбранд не тот, за кого себя выдает, — что именно он, а не Незнакомец или Адар, является замаскированным Сауроном. Что касается Адара, то он говорит своим подчиненным оркам, что они могут снять солнечные плащи, ибо в этой земле больше нет солнца; он также отказывается называться «Владыкой Южных Земель», поскольку этого места больше не существует. Его заявление было сделано: «Южные земли» появляются на экране, прежде чем исчезнуть во что-то еще: «Мордор».