Биноминальное распределение примеры: Биномиальное распределение примеры | matematicus.ru

0. {-5}$

18172

Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Биномиальное распределение — одно из важнейших распределений вероятностей дискретно изменяющейся случайной величины. Биномиальным распределением называется распределение вероятностей числа m наступления события А в

n взаимно независимых наблюдениях. Часто событие А называют «успехом» наблюдения, а противоположное ему событие — «неуспехом», но это обозначение весьма условное.

Условия биномиального распределения:

• в общей сложности проведено n испытаний, в которых событие А может наступить или не наступить;
• событие А в каждом из испытаний может наступить с одной и той же вероятностью p;
• испытания являются взаимно независимыми.

Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит именно m раз, можно вычислить по формуле Бернулли (на сайте рассказано более подробно о случаях использования формулы Бернулли):

или

,

где p — вероятность наступления события А;

q = 1 — 

p — вероятность наступления противоположного события .

Разберёмся, почему биномиальное распределение описанным выше образом связано с формулой Бернулли. Событие — число успехов при n испытаниях распадается на ряд вариантов, в каждом из которых успех достигается в m испытаниях, а неуспех — в n — m испытаниях. Рассмотрим один из таких вариантов — B1. По правилу сложения вероятностей умножаем вероятности противоположных событий:

,

а если обозначим q = 1 — p, то

.

Такую же вероятность будет иметь любой другой вариант, в котором m успехов и n — m неуспехов. Число таких вариантов равно — числу способов, которыми можно из n испытаний получить

m успехов.

Сумма вероятностей всех m чисел наступления события А (чисел от 0 до n) равна единице:

где каждое слагаемое представляет собой слагаемое бинома Ньютона. Поэтому рассматриваемое распределение и называется биномиальным распределением.

На практике часто необходимо вычислять вероятности «не более m успехов в n испытаниях» или «не менее m успехов в n испытаниях». Для этого используются следующие формулы.

Интегральную функцию, то есть вероятность F(m) того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз, можно вычислить по формуле:

.

В свою очередь вероятность

F(≥m) того, что в n наблюдениях событие А наступит не менее m раз, вычисляется по формуле:

Иногда бывает удобнее вычислять вероятность того, что в n наблюдениях событие А наступит не более m раз, через вероятность противоположного события:

.

Какой из формул пользоваться, зависит от того, в какой из них сумма содержит меньше слагаемых.

Характеристики биномиального распределения вычисляются по следующим формулам.

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

Среднеквадратичное отклонение: .

Биномиальное распределение и расчёты в MS Excel

Вероятность биномиального распределения Pn(m) и значения интегральной функции

F(m) можно вычислить при помощи функции MS Excel БИНОМ.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

• число успехов;
• число испытаний;
• вероятность успеха;
• интегральная — логическое значение: 0 — если нужно вычислить вероятность Pn(m) и 1 — если вероятность F(m).

Пример 1. Менеджер фирмы обобщил информацию о числе проданных в течение последних 100 дней фотокамер. В таблице обобщена информация и рассчитаны вероятности того, что в день будет продано определённое число фотокамер.

Продано в день	Число дней	Вероятность
10	8	0,08
11	12	0,12
12	19	0,19
13	23	0,23
14	18	0,18
15	20	0,20
Всего	100	1,00

День завершён с прибылью, если продано 13 или более фотокамер. Вероятность, что день будет отработан с прибылью:

Вероятность того, что день будет отработан без прибыли:

Пусть вероятность того, что день отработан с прибылью, является постоянной и равна 0,61, и число проданных в день фотокамер не зависит от дня. Тогда можно использовать биномиальное распределение, где событие А — день будет отработан с прибылью, — без прибыли.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с прибылью:

.

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП (значение интегральной величины — 0):

P6(6) = БИНОМ.РАСП(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

Вероятность того, что из 6 дней 4 и больше дней будут отработаны с прибылью:

,

где ,

,

,

.

Используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП, вычислим вероятность того, что из 6 дней не более 3 дней будут завершены с прибылью (значение интегральной величины — 1):

P6(≤3) = БИНОМ.РАСП(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.

Вероятность того, что из 6 дней все будут отработаны с убытками:

,

Тот же показатель вычислим, используя функцию MS Excel БИНОМ.РАСП:

P6(0) = БИНОМ.РАСП(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. В урне 2 белых шара и 3 чёрных. Из урны вынимают шар, устанавливают цвет и кладут обратно. Попытку повторяют 5 раз. Число появления белых шаров — дискретная случайная величина X, распределённая по биномиальному закону. Составить закон распределения случайной величины. Определить моду, математическое ожидание и дисперсию.

Правильное решение и ответ.

Статистика — не Ваша специализация? Закажите статистическую обработку данных

Продолжаем решать задачи вместе

Пример 3. Из курьерской службы отправились на объекты n = 5 курьеров. Каждый курьер с вероятностью p = 0,3 независимо от других опаздывает на объект. Дискретная случайная величина X — число опоздавших курьеров. Построить ряд распределения это случайной величины. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что на объекты опоздают не менее двух курьеров.

Решение. Случайная величина X — число опоздавших курьеров — распределена по биномиальному закону. Под наблюдением понимается отправка курьера на объект, а под «успехом» удобнее понимать его опоздание. Найдём вероятности возможных значений случайной величины и округлим их до трёх знаков после запятой:

Ряд распределения будет иметь вид:

0	1	2	3	4	5
0,168	0,360	0,309	0,133	0,028	0,002

Математическое ожидание случайной величины: .

Дисперсия случайной величины: .

Среднеквадратичное отклонение: .

Найдём вероятность того, что на объекты опоздают не менее двух курьеров:

Пример 4. Игральная кость бросается четыре раза. Найти вероятность того, что шестёрка появится а) ровно один раз; б) хотя бы один раз.

Решение. Случайная величина X — число появлений шестёрки — имеет биномиальное распределение с параметрами n = 4; p = 1/6.

а) .

б)

Назад

Листать

Вперёд>>>

Пройти тест по теме Теория вероятностей и математическая статистика

К началу страницы

Начало темы «Теория вероятностей»

Действия над вероятностями

Различные задачи на сложение и умножение вероятностей

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Независимые испытания и формула Бернулли

Распределение вероятностей дискретной случайной величины

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

Распределение Пуассона дискретной случайной величины

Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Биномиальное распределение с примерами

Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, применимое к биномиальным экспериментам. Это количество успешных попыток за определенное количество попыток. Биномиальное распределение можно представить как распределение вероятностей количества выпавших орлов при подбрасывании монеты в конкретном эксперименте, состоящем из фиксированного количества подбрасываний монеты. В этом сообщении блога мы изучим биномиальное распределение с помощью примеров 9.0004 . Если вы начинающий специалист по обработке и анализу данных, стремящийся лучше изучить биномиальное распределение или лучше понять его, этот пост может быть очень полезен.

Содержание

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение — это дискретное распределение вероятностей, которое представляет вероятности биномиальных случайных величин в биномиальном эксперименте. Биномиальное распределение определяется как распределение вероятностей, связанное с биномиальным экспериментом, где биномиальная случайная величина указывает, сколько успехов или неудач произошло в этом пространстве выборки. Специалистам по данным и специалистам в других областях важно понимать эту концепцию, поскольку биномы часто используются в бизнес-приложениях.

Что такое случайная величина?

Случайная величина представляет собой переменную, которая может принимать случайные значения в эксперименте. Скажем, случайная величина, представляющая количество бракованных изделий, найденных в 100 предметах, выбранных случайным образом. Здесь 100 элементов представляют 100 испытаний. Может быть несколько экспериментов, включающих случайную выборку 100 предметов и подсчет количества дефектных предметов.

• В 1-м эксперименте 5 изделий оказались бракованными.
• Во втором эксперименте бракованными оказались 9 изделий.

В приведенном выше эксперименте количество дефектных элементов можно назвать СЛУЧАЙНОЙ переменной. Случайная величина также представлена ​​буквой X. X принимает значения 5 и 9 в вышеупомянутых экспериментах.

Когда значение случайной величины может принимать только конечные значения, случайную величину также можно назвать случайной дискретной величиной. Когда значение случайной величины может принимать бесконечные значения, случайную величину также можно назвать случайная непрерывная переменная .

Все возможные значения (или результаты), которые может принимать случайная величина, также называются выборочным пространством .

Что такое биномиальная случайная величина?

В биномиальном эксперименте результат каждого испытания в эксперименте может принимать одно из двух значений: успех или неудача. Каждое испытание в биномиальном эксперименте также можно назвать испытанием Бернулли . Для одного испытания биномиальное распределение можно также назвать Распределение Бернулли. Вы можете проверить мой пост о распределении Бернулли, объясненном на примерах Python. Другими словами, результат каждого испытания классифицируется в соответствии с двумя уровнями категориальной переменной. Вот несколько примеров испытаний Бернулли:

• При подбрасывании монеты может быть либо успех (ГОЛОВА), либо неудача (РЕШКА).
• При обнаружении дефектных изделий результат может быть либо успешным (предмет дефектный), либо неудачным (предмет недефектный).
• При бросании игральной кости результатом может быть либо успех (одно из чисел от 1 до 6 (скажем, шесть-6)) либо провал (любое из чисел, кроме) в противном случае.

Результат интереса к испытанию эксперимента часто называют  успехом .

Биномиальная случайная величина может быть числом успехов в эксперименте, состоящем из N испытаний . Таким образом, ниже приведены некоторые примеры биномиальной случайной величины:

• Количество успехов (орел) в эксперименте из 10 попыток подбрасывания монеты; Здесь образец пространства {0, 1, 2, … 10}
• Количество успехов (шесть) в эксперименте из 10 попыток бросания игральной кости; Здесь образец пространства {0, 1, 2, … 10}
• Количество успешных результатов (бракованных предметов) в эксперименте из 10 попыток проверки 10 предметов; Здесь образец пространства {0, 1, 2, … 10}

Что такое биномиальный эксперимент?

Биномиальный эксперимент представляет собой биномиальную случайную величину X, которая подсчитывает число «n» успехов в N испытаниях, когда каждое испытание имеет только два результата: успех и неудачу. Таким образом, эксперимент может состоять из 1 попытки, 5 попыток, 10 попыток, 20 попыток и т. д. На примере реального мира эксперимент может состоять в подбрасывании монеты 10 раз (10 попыток), взятии 10 предметов для проверки того, являются ли предметы дефектный и т. д. Если эксперимент состоит только из одного испытания, которое дает только два результата, таких как успех или неудача, испытание называется 9.0003 Суд над Бернулли.

Требования для случайного эксперимента , чтобы он был биномиальным экспериментом , следующие:

• Фиксированное количество (n) испытаний
• Каждое испытание должно быть независимым от других
• Каждое испытание должно привести к одному из двух возможных результатов, называемых «успехом» (интересующий результат) или «неудачей».
• Существует постоянная вероятность (p) успеха для каждого испытания , дополнением к которой является вероятность (1 – p) неудачи, иногда обозначаемая как q = (1 – p)

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение — это тип дискретного распределения вероятностей, представляющий вероятности различных значений биномиальной случайной величины (X) в повторных независимых N испытаниях в эксперименте. Таким образом, в эксперименте, включающем подбрасывание монеты 10 раз (N), биномиальная случайная величина (количество орлов, представленных как успехи) может принимать значение от 0 до 10, а биномиальное распределение вероятностей представляет собой распределение вероятностей, представляющее вероятности случайного переменная, принимающая значение 0-10. 9{(n-к)}\)

Среднее значение и дисперсия биномиального распределения эксперимента с n  числом испытаний и вероятностью успеха в каждом испытании p  следует:

Среднее значение = np

Дисперсия = н.п.( 1-р)

В биномиальном опыте, состоящем из N испытаний, все испытания независимы и выборка берется с заменой. Если выборка взята без замены, это называется гипергеометрическим распределением .

Биномиальное распределение Пример Python

Вот код Python для биномиального распределения. Обратите внимание на некоторые из следующих:

• Параметрами биномиального распределения являются число испытаний (N) и вероятность p успеха в каждом испытании (испытание Бернулли)
• Класс биномов Scipy. stats используется для определения распределения вероятностей с использованием функции pmf
.
• Биномиальная случайная величина X представляет количество успешных результатов в каждом эксперименте, представляющее N число испытаний.

из scipy.stats импортировать бином
импортировать matplotlib.pyplot как plt
импортировать numpy как np
#
# X = дискретная случайная величина, представляющая количество успехов
# p = Вероятность успеха
#
X = np.arange (0,21)
р = 0,6
п = 20
#
# Рассчитать биномиальное распределение вероятностей
#
binom_pd = binom.pmf(X, n, p)
#
# Построить распределение вероятностей
#
рис, топор = plt.subplots(1, 1, figsize=(8, 6))
ax.plot(X, binom_pd, 'bo', ms=8, label='geom pmf')
plt.ylabel("Вероятность", fontsize="18")
plt.xlabel("X - количество успехов", fontsize="18")
plt.title("Биномиальное распределение — количество успехов по сравнению с вероятностью", fontsize="18")
ax.vlines(X, 0, binom_pd, colors='b', lw=5, alpha=0. 5)
 

Вот как будет выглядеть график биномиального распределения. Этот график является результатом выполнения приведенного выше кода.

Реальные примеры биномиального распределения

Вот несколько реальных примеров биномиального распределения:

• Бросание игральной кости : Вероятность того, что выпадет число шесть (6) (0, 1, 2, 3…50) при подбрасывании игральной кости 50 раз; Здесь случайная величина X – это количество «успехов», то есть число шестикратных совпадений. Вероятность выпадения шестерки равна 1/6. Биномиальное распределение можно представить как B(50,1/6). На приведенной ниже диаграмме представлено биномиальное распределение для 100 экспериментов.

  
  

• Подбрасывание монеты: Вероятность выпадения орла (0, 1, 2, 3…50) при подбрасывании монеты 50 раз; Здесь случайная величина X – это количество «успехов», то есть количество раз, когда выпадает орел. Вероятность выпадения орла равна 1/2. Биномиальное распределение можно представить как B(50,0,5). На приведенной ниже диаграмме представлено биномиальное распределение для 100 экспериментов.

  
  

• Дефектные элементы : Вероятность обнаружения количества дефектных элементов (0, 1, 2, 3…30) при проверке 30 раз; Здесь случайная величина X – это количество «успехов», то есть количество раз, когда обнаруживается дефектный элемент. Вероятность найти бракованный товар равна р. Биномиальное распределение может быть представлено как B(30,p)
• Человек, инфицированный Covid-19 : Вероятность обнаружения 0 или более человек, инфицированных Covid-19, при обследовании 30 человек; Здесь случайная величина X – это количество «успехов», то есть количество людей, инфицированных коронавирусом. О вероятности обнаружения человека, зараженного вирусом короны, говорится на с. Биномиальное распределение можно представить как B(30,p)
.
• Человек, страдающий заболеванием : Вероятность обнаружения 0 или более лиц, страдающих определенным заболеванием, при обследовании 100 человек; Здесь случайная величина X – это количество «успехов», то есть количество людей, страдающих каким-либо заболеванием. Вероятность найти человека, страдающего каким-либо заболеванием, говорит, с. Биномиальное распределение можно представить как B(100,p)
• Количество избирателей, проголосовавших за премьер-министра Нарендру Моди: Вероятность обнаружения числа избирателей за премьер-министра Нарендру Моди при опросе 500 избирателей. Здесь случайная величина X — это количество «успехов», то есть количество людей, которые голосовали за премьер-министра Нарендру Моди. Вероятность/доля избирателей, которые голосуют за Нарендру Моди, составляет, скажем, 0,7 или 70%. Биномиальное распределение можно представить как B(500,0.7)
.
• Пьянство с высоким риском Пример : Вероятность обнаружения пьющих с высоким риском при обследовании 1000 человек. Здесь случайная величина X – это количество «успехов», то есть количество учащихся, которые являются пьющими из группы высокого риска. Мы можем использовать биномиальное распределение вероятностей (т. е. биномиальную модель) для описания этой конкретной переменной. Допустим, вероятность/доля пьющих с высоким риском составляет 0,35 или 35%. Биномиальное распределение можно представить как B(1000,0,35)
.
• Число избирателей-женщин : Вероятность обнаружения избирателей-женщин при опросе 100 избирателей. Здесь случайная величина X — это количество «успехов», то есть количество избирателей женского пола. Мы можем использовать биномиальное распределение вероятностей (т. е. биномиальную модель) для описания этой конкретной переменной. Допустим, вероятность/доля избирателей-женщин составляет 0,45 или 45%. Биномиальное распределение можно представить как B(100,0,45)
.
• Студенты сдают экзамены : Вероятность найти студентов, сдавших экзамены, при обследовании 50 студентов. Здесь случайная величина X – это количество «успехов», то есть количество студентов, сдавших экзамены. Допустим, вероятность/доля студентов, сдавших экзамены, составляет 0,78 или 78%. Биномиальное распределение можно представить как B(50,0,78)
.
• Водители, не имеющие автомобильной страховки : Вероятность обнаружения водителей, не имеющих автомобильной страховки, при обследовании 100 водителей. Здесь случайная величина X – это количество «успехов», то есть количество водителей, у которых нет страховки автомобиля. Допустим, вероятность/доля водителей, не имеющих автострахования, составляет 0,2 или 20%. Биномиальное распределение можно представить как B(100,0,20)
• Число правильных ответов на вопросы с несколькими вариантами ответов : Вероятность получения правильных ответов на 20 вопросов с несколькими вариантами ответов, когда один из 4 вариантов был выбран произвольно. Здесь случайная величина X – это количество «успехов», то есть количество правильных ответов. Допустим, вероятность/доля правильного ответа составляет 1/4, или 0,25, или 25%. Биномиальное распределение можно представить как B(20,0,25)
.
• Действие лекарства : Вероятность того, что лекарство оказывает серьезное воздействие при обследовании 1000 пациентов. Здесь случайная величина X  – это количество «успехов», то есть количество серьезных последствий. Скажем, вероятность/доля серьезного эффекта составляет 1/5, или 0,2, или 20%. Биномиальное распределение может быть представлено как B(100,0.20)

Ссылки

• Биномиальное распределение в Википедии
• Биномиальные случайные величины
• Биномиальное распределение видео
• Йельская страница о биномиальном распределении
• Пример биномиального распределения и вероятности
• Страница биномиальной выборки из PennState Eberly College of Science
• Отличные примеры биномиального распределения

Выводы

Вот краткое изложение того, что вы узнали в этом посте в отношении Биномиальное распределение :

• Биномиальное распределение — это дискретное распределение вероятностей, представляющее вероятности биномиальной случайной величины
• Биномиальная случайная величина представляет число успехов в эксперименте, состоящем из фиксированное количество независимых испытаний , выполненных в последовательности.
• Эксперимент с биномиальным распределением будет состоять из фиксированного числа независимых испытаний, обозначенных буквой N.
• Одно испытание в биномиальном эксперименте также называется испытанием Бернулли .
• Биномиальное распределение вероятностей измеряет вероятность числа успешных результатов, которые могут произойти в нескольких экспериментах из N испытаний.

• Автор
• Последние сообщения

Аджитеш Кумар

Недавно я работал в области анализа данных, включая науку о данных и машинное обучение / глубокое обучение. Я также увлекаюсь различными технологиями, включая языки программирования, такие как Java/JEE, Javascript, Python, R, Julia и т. д., а также такие технологии, как блокчейн, мобильные вычисления, облачные технологии, безопасность приложений, платформы облачных вычислений, большие данные, и т. д. Чтобы быть в курсе последних обновлений и блогов, следите за нами в Twitter. Я хотел бы связаться с вами на Linkedin.

Ознакомьтесь с моей последней книгой, озаглавленной «Основы мышления: создание успешных продуктов с использованием первых принципов». Недавно я работал в области аналитики данных, включая науку о данных и машинное обучение/глубокое обучение. Я также увлекаюсь различными технологиями, включая языки программирования, такие как Java/JEE, Javascript, Python, R, Julia и т. д., а также такие технологии, как блокчейн, мобильные вычисления, облачные технологии, безопасность приложений, платформы облачных вычислений, большие данные, и т. д. Чтобы быть в курсе последних обновлений и блогов, следите за нами в Twitter. Я хотел бы связаться с вами на Linkedin. Ознакомьтесь с моей последней книгой под названием «Мышление на основе первых принципов: создание успешных продуктов с использованием мышления на основе первых принципов».0007

Опубликовано в ИИ, наука о данных, машинное обучение, статистика. Метки: Наука о данных, машинное обучение, статистика.

Определение, формула, анализ и пример

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение — это статистическое распределение, которое обобщает вероятность того, что значение примет одно из двух независимых значений при заданном наборе параметров или предположений.

Базовые предположения биномиального распределения заключаются в том, что в каждом испытании есть только один исход, каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха, и каждое испытание является взаимоисключающим или независимым друг от друга.

Ключевые выводы

• Биномиальное распределение — это статистическое распределение вероятностей, которое обобщает вероятность того, что значение примет одно из двух независимых значений при заданном наборе параметров или предположений.
• В основе биномиального распределения лежат допущения о том, что в каждом испытании есть только один результат, что каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха и что каждое испытание является взаимоисключающим или независимым друг от друга.
• Биномиальное распределение — обычное дискретное распределение, используемое в статистике, в отличие от непрерывного распределения, такого как нормальное распределение.

Понимание биномиального распределения

Начнем с того, что «биномиальное» в биномиальном распределении означает два термина — количество успехов и количество попыток. Каждый бесполезен без другого.

Биномиальное распределение — это обычное дискретное распределение, используемое в статистике, в отличие от непрерывного распределения, такого как нормальное распределение. Это связано с тем, что биномиальное распределение учитывает только два состояния, обычно представляемые как 1 (успех) или 0 (неудача), учитывая количество испытаний в данных. Таким образом, биномиальное распределение представляет собой вероятность x успехов в n испытаниях при заданной вероятности успеха p для каждого испытания.

Биномиальное распределение суммирует количество испытаний или наблюдений, когда каждое испытание имеет одинаковую вероятность достижения одного конкретного значения. Биномиальное распределение определяет вероятность наблюдения определенного количества успешных результатов в определенном количестве испытаний.

Биномиальное распределение часто используется в статистике социальных наук в качестве строительного блока для моделей дихотомических переменных результатов, например, победит ли республиканец или демократ на предстоящих выборах, умрет ли человек в течение определенного периода времени и т. д. Он также имеет приложения в финансах, банковском деле и страховании, среди других отраслей.

Анализ биномиального распределения

Ожидаемое значение или среднее значение биномиального распределения рассчитывается путем умножения количества испытаний (n) на вероятность успеха (p) или n × p.

Например, ожидаемое значение числа выпадений орла в 100 попытках выпадения орла или решки равно 50, или (100 × 0,5). Другим распространенным примером биномиального распределения является оценка шансов на успех игрока со штрафного броска в баскетболе, где 1 = попадание в корзину, а 0 = промах.

Биномиальная функция распределения рассчитывается как:

P _{( x : n , p )} = ⁿ C _x p ^x ( 1 — p ) ^{n — x}

Где:

• n — количество испытаний (вхождений)
• x — количество успешных испытаний
• p — вероятность успеха в одном испытании
• ⁿ C _x — комбинация n и х. Комбинация — это количество способов выбрать выборку из x элементов из набора n различных объектов, где порядок не имеет значения и замены не допускаются. Обратите внимание, что _н С _х = н! / р! ( п — р ) ! ), где ! является факториальным (таким образом, 4! = 4 × 3 × 2 × 1).

Среднее значение биномиального распределения равно np, а дисперсия биномиального распределения равна np (1 − p). Когда p = 0,5, распределение симметрично относительно среднего — например, при подбрасывании монеты, потому что шансы выпадения орла или решки составляют 50%, или 0,5. При p > 0,5 кривая распределения скошена влево. При p < 0,5 кривая распределения скошена вправо.

Биномиальное распределение представляет собой сумму серии нескольких независимых и одинаково распределенных испытаний Бернулли. В испытании Бернулли говорят, что эксперимент является случайным и может иметь только два возможных исхода: успех или неудачу.

Например, подбрасывание монеты считается испытанием Бернулли; каждое испытание может принимать только одно из двух значений (орел или решка), каждый успех имеет одинаковую вероятность, и результаты одного испытания не влияют на результаты другого. Распределение Бернулли — это частный случай биномиального распределения, при котором число испытаний n = 1.

Пример биномиального распределения

Биномиальное распределение рассчитывается путем умножения вероятности успеха, возведенной в степень числа успехов, и вероятности неудачи, возведенной в степень разности между количеством успехов и числом испытаний. Затем умножьте произведение на комбинацию количества попыток и успехов.

Например, предположим, что казино создало новую игру, в которой участники могут делать ставки на количество орлов или решек при определенном количестве подбрасываний монеты. Предположим, участник хочет сделать ставку в 10 долларов на то, что при 20 бросках монеты выпадет ровно шесть решек. Участник хочет вычислить вероятность этого события, и поэтому он использует расчет для биномиального распределения.

Вероятность рассчитывалась как (20!/(6!×(20-6)!))×(0,50)⁽⁶⁾×(1-0,50)^(20-6). Следовательно, вероятность того, что при 20 подбрасываниях монеты выпадет ровно шесть решек, равна 0,0369, или 3,7%. Математическое ожидание в этом случае равнялось 10 орлам, поэтому участник сделал неудачную ставку. На приведенном ниже графике показано, что среднее значение равно 10 (ожидаемое значение), а шансы на выпадение шести орлов выделены слева красным цветом. Вы можете видеть, что вероятность выпадения шести орлов меньше, чем семи, восьми, девяти, 10, 11, 12 или 13 орлов.

Биномиальный калькулятор StatCrunch

Так как же это можно использовать в финансах? Один пример: допустим, вы банк, кредитор, который хочет знать с точностью до трех знаков после запятой вероятность дефолта конкретного заемщика. Каковы шансы, что такое количество заемщиков не выполнит своих обязательств, что они сделают банк неплатежеспособным? Как только вы воспользуетесь функцией биномиального распределения для расчета этого числа, у вас будет лучшее представление о том, как оценивать страховку и, в конечном счете, сколько денег нужно ссудить и оставить в резерве.

Что такое биномиальное распределение?

Биномиальное распределение — это статистическое распределение вероятностей, которое устанавливает вероятность того, что значение примет одно из двух независимых значений при заданном наборе параметров или предположений.

Как используется биномиальное распределение?

Этот шаблон распределения используется в статистике, но имеет значение в финансах и других областях. Банки могут использовать его для оценки вероятности дефолта конкретного заемщика, суммы кредита и размера резерва. Он также используется в страховой отрасли для определения цен на полисы и оценки рисков.

Почему важно биномиальное распределение?

Биномиальное распределение используется для расчета вероятности положительного или отрицательного исхода в опросе или многократном повторении эксперимента. Есть только два возможных результата для этого типа распределения. В более широком смысле, распределение является важной частью анализа наборов данных для оценки всех потенциальных результатов данных и того, как часто они происходят. Прогнозирование и понимание успеха или неудачи результатов имеет важное значение для развития бизнеса.

Итог

Биномиальное распределение является важным статистическим распределением, описывающим бинарные результаты (например, подбрасывание монеты, ответ «да/нет» или условие «включено/выключено»). Понимание его характеристик и функций важно для анализа данных в различных контекстах, которые включают результат, принимающий одно из двух независимых значений.