Частное решение дифференциального уравнения: Частное решение дифференциального уравнения

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Алгоритм решения

дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x, как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х), с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Теорема

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Алгоритм

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Пример 1

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь 

   

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

   

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей  по правилу пропорции получаем

   

Далее интегрируем полученное уравнение:

   

В данном случае интегралы берём из таблицы:

   

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым.

Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

То есть,

   

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

y=Cx, где С=Const.

Пример 2

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

   

.

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

   

   

   

   

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

   

   

Если  – это константа, то

   

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

   

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

   

где С=const.

Ответ

   

где С=const.

Пример 3

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

   

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

   

   

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

   

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

   

   

   

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

   

   

   

   

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

   

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Общий интеграл:

   

где С=const.

Пример 4

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

   

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

   

   

   

   

   

   

   

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

   

   

Получаем общее решение:

   

где С=const

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

   

   

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

   

.

Пример 5

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

.

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

   

   

   

   

   

В данном случае константу C считается  не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Общий интеграл:

   

Пример 6

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

   

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

   

   

Интегрируем:

   

   

   

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

   

Используя

   

можно выразить функцию в явном виде.

Общее решение:

   

где С=const.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

   

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

   

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

   

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

   

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

   

Подставим полученное частное решение

   

и найденную производную  в исходное уравнение

   

   

   

0=0

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 7

Задание

Найти общий интеграл уравнения

   

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

   

   

   

   

Ответ

Общий интеграл:

   

Пример 8

Задание

Найти частное решение ДУ.

   

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

   

   

   

Интегрируем:

   

   

Общий интеграл:

   

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

   

Подставляем в общее решение

   

   

   

   

Ответ

Частный интеграл:

   

Пример 9

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

   

   

Левую часть интегрируем по частям:

   

   

   

В интеграле правой части проведем замену:

   

   

   

Таким образом:

   

   

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

   

Обратная замена:

   

   

   

Ответ

Общий интеграл:

   

где С=const.

Пример 10

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

   

   

   

   

   

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ

Общее решение:

   

где С=const.

Средняя оценка 2.7 / 5. Количество оценок: 12

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

43319

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Примеры решения дифференциальных уравнений

09.10.2016 admin Оставить комментарий

Примеры решения дифференциальных уравнений
• Частное решение дифференциального уравнения
• Решение ДУ с разделяющимися переменными
• Решение однородного ДУ первого порядка
• Решение линейного ДУ первого порядка
• Уравнение Бернулли

Методы решения дифференциальных уравнений здесь.

Пример. Частное решение дифференциального уравнения (ДУ)

Дано: ДУ y′′ + y = 0.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Так как (sinx)′′ = −sinx, (cosx)′′ = −cosx, функция вида будет удовлетворять уравнению.

Если

c₁ = 1, c₂ = 3, то

если c₁ = 0, c₂ = -2, то

Пример. Решение ДУ с разделяющимися переменными.

Дано: ДУ
Найти: решение ДУ.

Решение:
Данное в задаче уравнение удобно записать в виде:

Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов двух функций одного аргумента:

Умножим правую и левую часть уравнения на .

Получим: .

Если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу. Тогда общий интеграл этого ДУ имеет вид:
ln|y| = ln|x| + ln|c|, где постоянная интегрирования представлена в логарифмической форме.

Отсюда следует: ln|y| = ln|с×x|, |y| = |с×x|, x ≠ 0.

Пример. Решение однородного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ
Найти: решение ДУ.

Решение:
Правая часть уравнения есть функция только отношения значит ДУ однородное.

Принимаем: . Значит .

Наше уравнение приобретает вид:

ln|lnu| = ln|x| + ln|c|, lnu=c×x, отсюда .

В итоге, получаем:

Пример. Решение линейного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ x ≠ −1.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Принимаем: .

Получаем: ,

,

.

Определяем v из ДУ:

ln|v| = 2×ln|x+1|, отсюда .

Находим u из ДУ:
.

Запишем общее решение ДУ: .

Пример. Уравнение Бернулли.

Дано: ДУ .
Найти: решение ДУ.

Решение:
Уравнение Бернулли — это ДУ вида где P(x), Q(x) – непрерывные функции или постоянные.
При n = 0 оно линейное, при n = 1 с разделяющимися переменными.

В нашем случае

Умножаем обе части, данного в условии задачи, уравнения на .

Получаем:

Заменим:

Получим:

Принимаем:

Получаем линейное ДУ для v:
Отсюда ln|v| = x², .

Запишем уравнение для u:

Тогда

Сразу заменив , можно было решить уравнение Бернулли как линейное.

мотивация — Что такое частное и однородное решение дифференциального уравнения?

спросил 7 лет, 1 месяц назад

Изменено 3 года, 11 месяцев назад

Просмотрено 6к раз

$\begingroup$

При решении линейных неоднородных уравнений мы имеем дело с двумя типами решений:

• конкретный
• однородный

Почему у нас есть эти два типа решений для дифференциальных уравнений? Что представляет каждый из них?

• обыкновенные дифференциальные уравнения
• мотивация

$\endgroup$

$\begingroup$

Линейное дифференциальное уравнение можно представить в виде $D f = g$, где $D$ — некоторый линейный оператор над функциями, построенный из дифференцирования, а $g$ — произвольная функция. А частное решение есть функция $f$, удовлетворяющая этому уравнению. Но обратите внимание, что если $f_1$ и $f_2$ являются двумя частными решениями, то $D(f_1 — f_2) = Df_1 — Df_2 = g — g = 0$. То есть разность между любыми двумя частными решениями есть решение однородного уравнения $Df = 0$.

Обычно однородное уравнение решить намного проще, чем исходное уравнение. Поэтому, если вы хотите найти все частные решения исходного уравнения, достаточно найти одно его решение и все решения однородного уравнения. Тогда суммы одного частного решения и каждого из однородных решений дают все частные решения. 93\более 6} + Ax + B$$

$\endgroup$

3

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Найти частное решение — статистика Как сделать

Содержание:
Что такое частное решение?
Найти частное решение: Пример

частное решение требует, чтобы вы нашли единственное решение, отвечающее ограничениям вопроса. Задача, требующая от вас найти серий функций , имеет в качестве ответа общее решение — решение, содержащее константу (+ C), которая может представлять одну из, возможно, бесконечного числа функций.

Например, задача с дифференциальным уравнением
^dy ⁄ _dv x ³ + 8
требует общего решения с константой в качестве ответа, а дифференциальное уравнение
909 dy 9008 дв х ³ + 8; f(0) = 2
требует конкретного решения, которое соответствует ограничению f(0) = 2.

Посмотрите это 5-минутное видео, показывающее разницу между частным и общим, или прочитайте ниже, как найти конкретное решение дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения: общие решения и частные решения

Посмотрите это видео на YouTube.

Пример задачи №1: Найдите частное решение дифференциального уравнения ^dy ⁄ _dx = 5, где y(0) = 2. переместите dx вправо (этот шаг делает возможным интегрирование):

• dy = 5 dx

Шаг 2: Интегрируем обе части уравнения , чтобы получить общее решение дифференциального уравнения. Нужно освежить в памяти правила? См. Общие правила интеграции.

• ∫ dy = ∫ 5 dx →
• ∫ 1 dy = ∫ 5 dx →
• у = 5х + С

Шаг 3: Перепишите общее уравнение так, чтобы оно удовлетворяло начальному условию , которое утверждает, что при x = 0, y = 2:

• 2 = 5(0) + C
• С = 2

Частное решение дифференциального уравнения: y = 5x + 2

Частное решение дифференциального уравнения, Пример задачи № 2:
Найдите частное решение дифференциального уравнения ^dy ⁄ _dx = 18x, где y(5) = 230.

0 Перепишите шаг 1: 5: уравнение с использованием алгебры для перемещения dx вправо:

• dy = 18x dx

Шаг 2: Интегрируем обе части уравнения :

• ∫ dy = ∫ 18x dx →
• ∫ 1 dy = ∫ 18x dx →
• у = 9 х ² + С

Шаг 3: Перепишите общее уравнение так, чтобы оно удовлетворяло начальному условию , которое утверждает, что при x = 5, y = 230:

• 230 = 9(5) ² + C
• С = 5

Частное решение дифференциального уравнения: y = 5x + 5

Вот и все!

Литература

4.5 Еще раз о принципе суперпозиции и неопределенных коэффициентах.

УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Найти конкретное решение» от StatisticsHowTo.com : элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/дифференциальные-уравнения/find-particular-solution/

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на ваши вопросы от эксперта в данной области.