Чему равна градусная мера угла: Что такое градусная мера угла? Ответ на webmath.ru

Содержание

Градусная мера угла / Начальные геометрические сведения / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Начальные геометрические сведения
  5. Градусная мера угла

Нам известно, что при измерении отрезков, мы сравниваем измеряемый отрезок с отрезком, который принят за единицу измерения. Аналогично происходит измерение углов: чтобы измерить угол его сравнивают с углом, который принят за единицу измеренияс  градусом.


Градус - это угол, который равен части развернутого угла,обозначается знаком

часть градуса называется минутой, обозначается знаком

часть минуты называется секундой, обозначается знаком

Пример: (двадцать градусов пятнадцать минут сорок семь секунд)

Градусная мера угла

- это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Пример:

Градусная мера угла ABC равна . Говорят: "Угол ABC равен 120 градусам". Пишут: .


Транспортир - это измерительный инструмент, который используется для измерения и построения углов. Состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы: внутренней и внешней), который разделен на градусы от 0 до .

Для того чтобы измерить угол, необходимо совместить вершину угла с центром транспортира, при этом одна из сторон угла должна пройти через нулевое деление шкалы, тогда вторая сторона угла укажет градусную меру угла.

Пример: Измерим угол ABC, для этого совместим точку

B с центром транспортира, и расположим транспортир так, чтобы сторона BC прошла через нулевое деление шкалы (обратите внимание отсчёт угла ведётся по той шкале, через нулевое деление которой пройдет одна из сторон угла: в нашем случае по внутренней шкале).

Вторая сторона при этом, как мы видим, проходит через деление шкалы 120, значит: .


Свойства:
  • Равные углы имеют равные градусные меры.
  • Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
  • Развернутый угол равен .
  • Неразвернутый угол меньше .
  • Если луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Основные типы углов:
  1. Острый угол - угол, градусная мера которого
    меньше
    90°.

  1. Прямой угол - угол, градусная мера которого равна 90°.

  1. Тупой угол - угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.

  1. Развернутый угол - угол, градусная мера которого равна 180°.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Точки, прямые, отрезки

Провешивание прямой на местности

Луч

Угол

Равенство геометрических фигур

Сравнение отрезков

Сравнение углов

Длина отрезка

Единицы измерения длины, расстояний

Измерение углов на местности

Смежные углы

Вертикальные углы

Перпендикулярные прямые

Построение прямых углов на местности

Начальные геометрические сведения

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 53, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 67, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 223, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 226, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 2, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 325, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 13, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 896, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1170, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Урок 5. измерение углов - Геометрия - 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок №5

Измерение углов

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Измерительные инструменты.
  • Градусная мера угла; биссектриса.
  • Транспортир.
  • Классификация углов.

Тезаурус:

Градус – угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градусная мера угла – положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Минута – 1/60 часть градуса.

Секунда – 1/60 часть минуты.

Луч – часть прямой, состоящий из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки, которая является началом луча.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Стороны угла – лучи, из которых состоит угол.

Вершина угла – общее начало сторон угла.

Биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее вы уже познакомились с геометрической фигурой – уголи его составными элементами.

Сегодня мы продолжим изучать углы, познакомимся с их классификацией и будем измерять углы с помощью транспортира.

Измерение углов аналогично измерению отрезков – оно основано на сравнении, только отрезки сравнивались с отрезком, принятым за единицу измерения, а углы с углом, тоже принятым за единицу измерения.

Обычно за единицу измерения углов принимают градус.

Градус – угол, равный 1/180 части развёрнутого угла.

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу, называется градусной мерой угла.

Для измерения углов используют транспортир. Вспомним, как проводить измерение углов с помощью транспортира.

Транспортир накладывают на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через нулевое деление на шкале. Тогда другая сторона угла укажет величину угла в градусах на той же шкале.

Например:

∠О = 50°

Но обычно говорят кратко – угол О равен 50 градусам.

Если масштабныйугол не укладываетсяцелое число раз в измеряемом угле, тоединицу измерения делят ещё на части.

Определённые части градуса носят специальные названия.

Части градуса.

Минута – 1/60 часть градуса.

Обозначается «´».

Секунда – 1/60 часть минуты.

Обозначается «´´».

Например:

∠А = 40 ° 15´ 16 ´´

Далее, аналогично понятию равные отрезки, ведём понятие равные углы.

Дваугла считаются равными, если градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т.е. равные углы имеют равные градусные меры.

Если один угол меньше другого, то градус в нём (или его часть) укладываются в этом углу меньшее число раз, чем в другом, т.е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

∠АОС =∠АОL + ∠LОС,

∠АОL = 64°,

∠LОС = 64°,

∠АОС = 64° + 64° = 128°.

Далее рассмотрим классификацию углов.

Мы уже знаем, что есть развёрнутый угол, его градусная мера сто восемьдесят градусов.

Но есть и другие углы.

Например, прямой угол, его градусная мера девяносто градусов;

острый угол, его градусная мера меньше девяноста градусов;

тупой угол, его градусная мера больше девяноста градусов, но меньше ста восьмидесяти.

Выполним практическое задание – построим биссектрису угла с помощью транспортира.

Мы знаем, что биссектриса – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

∠АОС = 128°,

128° : 2 = 64°,

OL – биссектриса ∠АОС.

Поэтому для начала определим градусную меру ∠АОС, она составляет 128°, тогда биссектриса этого угла, исходя из определения, составит 64 °.

Итак, сегодня получили представление о том, как измерять и изображать угол с помощью транспортира. Перейдем к практическим заданиям.

Способы измерения на местности.

Измерение углов на местности проводят с помощью различных приборов. Один из таких – астролябия, она состоит из диска (лимб), разбитого на градусы и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады есть окошечки, которые нужны, чтобы устанавливать её в определённом направлении.

Опишем, как происходит измерение углов с помощью этого прибора. При измерении углов астролябию устанавливают в его вершине, например, точке О, при этом лимб должен находится горизонтально плоскости угла, а отвес, в центе диска, совпадать с вершиной угла.

Затем устанавливаем алидаду вдоль одной из сторон угла, например, АО, отмечаем деление, напротив которого находится указатель алидады.

Далее поворачиваем алидаду по часовой стрелке, пока она не совпадёт со второй стороной угла, у нас это сторона ОВ, отмечаем деление, напротив которого оказался указатель алидады. Теперь можно найти градусную меру измеряемого угла, как разность второго и первого измерения.

Тренировочные задания.

1. Луч ВК делит развернутый ∠ОВС на два угла, разность которых равна 56°. Найдите образовавшиеся углы.

Решение: нарисуем рисунок, исходя из условия задачи.

Обозначим ∠СВК за х, тогда ∠ОВК= х + 56°, исходя из условия задачи (разность углов равна 56°). Развёрнутый угол равен 180°. Составим уравнение и решим его.

х + х +56 =180,

2х= 180 – 56,

2х= 124,

х = 124:2,

х = 62° (∠СВК).

Тогда ∠ОВК= х + 56°= 62° +56° = 118°.

Ответ: ∠СВК = 62°; ∠ОВК = 118°.

2. Чему равен ∠ЕОА, если ∠ВОА = 130° 54´, а ∠ВОЕ = 105° 76´?

Решение: Найдём ∠ЕОА = ∠ВОА – ∠ВОЕ, т.к. ОЕ – луч, проведённый из вершины ∠ВОА и делящий этот угол на 2 части. Подставим в выражение градусные меры углов и найдём градусную меру ∠ЕОА. Так как в градусе 60 минут, то 105° 76´ = 106° 16´.

∠ЕОА = 130° 54´ – 106° 16´ = 24° 38´.

Ответ: ∠ЕОА = 24° 38´.

Радианная мера углов

§ 11. Радианная мера углов

1. Понятие угла

В геометрии 
Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.

В тригонометрии*
Угол — фигура, образованная при повороте луча на плоскости около начальной точки.

2. Измерение углов
Градусная мера углачасть развернутого угла)

Каждому углу ставится в соответствие градусная мера α ∈ [0°; 180°].

Каждому углу как фигуре ставится в соответствие угол поворота, с помощью которого образован этот угол. Угол поворота

α ∈ (–×; +×).

Объяснение и обоснование

1. Понятие угла. В курсе геометрии угол определяется как геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Например, угол AOB, изображенный в первом пункте таблицы 16, — это угол, образованный лучами OA и OB.

Угол можно рассматривать также как результат поворота луча на плоскости около начальной точки. Например, поворачивая луч OA около точки O от начального положения OA до конечного положения OB, также получим угол AOB. Заметим, что достичь конечного положения ОВ можно при повороте луча OA как по часовой стрелке, так и против нее.

2. Измерение углов. Данные выше различные определения угла приводят к различному пониманию измерения углов.

В курсе геометрии каждому углу соответствует его градусная мера, которая может находиться только в пределах от 0° до 180°, и поэтому, например, для прямого угла AOB  его мера записывается однозначно: ∠ AOB = 90° (1° — это 1/180 часть развернутого угла).

При измерении углов поворота договорились, что направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.

Поэтому при измерении углов, образованных при повороте луча около начальной точки, мы можем получить как положительные, так и отрицательные значения углов поворота. Например, если угол AOB, в котором лучи ОА и ОВ являются взаимно перпендикулярными, получен при повороте луча OA на угол 90° против часовой стрелки, то значение угла поворота β (см. соответствующий рисунок в пункте 2 табл. 16) равно +90° (или просто 90°). Если тот же угол AOB получен при повороте луча OA на угол 270° по часовой стрелке (понятно, что полный оборот — это 360°), то значение угла поворота γ равно (–270°). Этот же угол AOB можно получить также при повороте луча OA против часовой стрелки на 90° и еще на полный оборот; в этом случае значение угла поворота ϕ равно 90° + 360°, то есть 450° и т. д.
 Выбрав как значение угла поворота произвольное отрицательное или положительное число (градусов), мы всегда можем повернуть луч OA (по часовой стрелке или против нее) и получить соответствующий угол AOB. Таким образом, величина угла поворота (в градусах) может принимать все действительные значения от.

Для измерения углов принимают определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол, например один градус (1°) — 1/180 часть развернутого угла.

В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот (заметим, что 1 градус — это 1/360 часть полного оборота).

В мореходстве за единицу измерения углов принимают румб, равный 1/32 час ти полного оборота.

В математике и физике, кроме градусной меры углов, используется также радианная мера углов.

Если рассмотреть некоторую окружность,

то 1 радиан — это центральный угол, соответствующий дуге, длина которой равна радиусу окружности.

Таким образом, если угол AOB равен одному радиану (рис. 59), то это означает, что ∪AB = OA = R.

Установим связь между радианной и градусной мерами углов. Центральному развернутому углу AOC, с градусной мерой 180°, соответствует полуокружность, то есть дуга, длина которой равна πR, а углу в один радиан — дуга длиной R. Итак, радианная мера развернутого угла AOC равна радиан. Таким образом, одному и тому же развернутому углу АОС соответствует градусная мера 180° и радианная мера π радиан. Это соответствие часто записывают так: 

Задача 1 Выразите в радианах величины углов, градусная мера которых равна: 30°; 45°; 60°; 90°; 270°; 360°.
 Поскольку 30° — это 1/6часть угла 180°, то из соответствия 180° = π (рад)
получаем, что 30°=6/π (рад).

Аналогично можно вычислить и величины других углов.

В общем случае учитываем, что 1°=π/180 радиан, тогда:

Поскольку радианными мерами рассмотренных углов приходится пользоваться достаточно часто, запишем полученные результаты в виде справочной таблицы:

Замечание. Чаще всего при записи радианной меры углов наименование единицы измерения «радиан» (или сокращенно рад) не пишут, но подразумевают его. Например, вместо равенства 90 2 °=π радиан пишут иногда 90 °=π/2 .

Задача 2 Выразите в градусах величины углов, радианнная мера которых равна: π/10 ; 2π/3 ; 3π/4 ; 5.

 Поскольку π/10 — это 1/10 часть угла π, то из соответствия π = 180° получаем, что π/10=18° . Аналогично можно вычислить и величины углов 2π /3  и 3π/4 .

В общем случае учитываем, что 1 радиан=180°/π , тогда:

Отметим, что далее в этом разделе будет рассматриваться в основном радианная мера угла и утверждения будут доказаны для радианной меры угла. Однако их можно переформулировать и для градусной меры угла, пользуясь приведенными выше соотношениями.

Условимся далее вместо слов «угол, радианная мера которого равна α радиан» говорить коротко «угол α».

Вопросы для контроля

1. Объясните, как можно определить угол с помощью поворота луча. Как при таком определении измеряются углы?

2. Как вы понимаете такие утверждения: «Величина угла равна 450°», «Величина угла равна (–225°)»? Изобразите эти углы.

3. Как можно определить угол в 1°?

4. Дайте определение угла в 1 радиан.

5. Чему равна градусная мера угла в π радиан?

6. Объясните на примерах, как по радианной мере угла найти его градусную меру и наоборот — по градусной мере угла найти его радианную меру.
Упражнения

1°. Изобразите угол, образованный поворотом луча OA около точки O на: 1) 270°; 2) –270°; 3) 720°;

4) –90°; 5) 225°; 6) –45°;

7) 540°; 8) –180°; 9) 360°; 10) –60°.

2°. Чему равны градусные и радианные меры углов поворота, показанных на рисунке 60?

3. Выразите в радианной мере величины углов, градусная мера которых равна:

1 °) 225°; 2°) 36°; 3) 100°; 4) –240°; 5) –22,5°; 6) –150°.

4. Выразите в градусной мере величины углов, радианная мера которых равна:

1) 3π; 2) 3 4 π; 3) −2 5 π;

4) 7 6 π; 5) − π 18 ;

6) 11 6 π;7) −π 8 ; 8) 3.
 5. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите радианные меры углов, градусная мера которых равна:

1) 27°; 2) 132°; 3) 43°; 4) 114°.

6. С помощью калькулятора (или таблиц) найдите градусные меры углов, радианная мера которых равна:

1) 0,5585; 2) 0,8098; 3) 3,1416; 4) 4,4454.

 

Чему равна градусная мера треугольника

Мерой угла является размер поворота луча около точки как центра вращения.

Что такое градусная мера угла? Градусной мерой угла является число больше нуля, которое показывает,

какое число раз градус и его части — минута и секунда — помещаются в этом угле, т.е. градусная мера

величина, которая отражает число градусов, минут и секунд между двумя сторонами угла.

У любого угла существует определенная градусная мера, которая больше . Развернутый угол = 180°.

Градусная мера угла соответствует сумме градусных мер углов, разбиваемый всяким лучом, который

проходит между его сторонами.

От всякого луча в необходимую полуплоскость есть возможность отложить угол с необходимой градусной

мерой, меньше чем 180°, и только 1.

Мерой плоского угла, который является элементом полуплоскости, является градусная мера угла с теми же

сторонами. Мерой плоского угла, который содержит полуплоскость, является величина 360°α ,

где α – градусная мера дополнительного плоского угла.

2 угла будут называться равными, когда их градусные меры одинаковы.

Так же как при делении часа, как интервала времени, градус делится на 60 минут — минуты обозначается

знаком , а минуту — на 60 секунд — обозначается знаком ».

Свойства углов.

  • У любого угла есть определенная градусную меру, большая нуля. Развернутый угол = 180°.
  • Градусная мера угла соответствует сумме градусных мер углов, разбиваемый всяким лучом,

который проходит меж его сторонами.

  • От всякого луча в необходимую полуплоскость есть возможность отложить угол с данной градусной

мерой, меньше чем 180°, и только один.

Как найти градусную меру угла?

1 градус (°) — это угол, равный 1/180 части развернутого угла. Если выразиться по другому, если возьмем

развернутый угол и поделим его на 180 одинаковых меж собой частей-углов, то любой такой маленький угол

будет соответствовать 1 градусу. Размер остальных углов вычисляется тем, какой число этих маленьких

углов возможно разместить внутри угла, который измеряется.

Т.о., развернутый угол = 180°, прямой угол = 90°, острые углы меньше, чем 90°, а тупые — больше,

Если угол невозможно измерить точно в целых градусах, то не обязательно использовать минуты и секунды.

Можно пользоваться дробными значениями градуса. Например, 96,5°.

Известно, что минуты и секунды легко переводятся в градусы, выражая их в долях градуса.

Например, 30′ = (30/60)° или 0,5°. А 0,3° = (0,3 * 60)’ или 18′. Т.о., пользоваться минутами и секундами —

Нам известно, что при измерении отрезков, мы сравниваем измеряемый отрезок с отрезком, который принят за единицу измерения. Аналогично происходит измерение углов: чтобы измерить угол его сравнивают с углом, который принят за единицу измеренияс градусом.

Градус — это угол, который равен части развернутого угла,обозначается знаком

часть градуса называется минутой , обозначается знаком

часть минуты называется секундой , обозначается знаком

Пример: (двадцать градусов пятнадцать минут сорок семь секунд)

Градусная мера угла — это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Пример:

Градусная мера угла ABC равна . Говорят: "Угол ABC равен 120 градусам". Пишут: .

Транспортир — это измерительный инструмент, который используется для измерения и построения углов. Состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы: внутренней и внешней), который разделен на градусы от 0 до .

Для того чтобы измерить угол, необходимо совместить вершину угла с центром транспортира, при этом одна из сторон угла должна пройти через нулевое деление шкалы, тогда вторая сторона угла укажет градусную меру угла.

Пример: Измерим угол ABC, для этого совместим точку B с центром транспортира, и расположим транспортир так, чтобы сторона BC прошла через нулевое деление шкалы (обратите внимание отсчёт угла ведётся по той шкале, через нулевое деление которой пройдет одна из сторон угла: в нашем случае по внутренней шкале).

Вторая сторона при этом, как мы видим, проходит через деление шкалы 120, значит: .

Свойства:
  • Равные углы имеют равные градусные меры.
  • Меньший угол имеетменьшую градусную меру.
  • Развернутый угол равен.
  • Неразвернутый угол меньше.
  • Если лучделит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Основные типы углов:
  1. Острый угол — угол, градусная мера которого меньше 90 ° .

  1. Прямой угол — угол, градусная мера которого равна 90 ° .

  1. Тупой угол — угол, градусная мера которого больше 90 °, но меньше 180 ° .

  1. Развернутый угол — угол, градусная мера которого равна 180 °.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Определение

Геометрические фигуры, которые состоят из трех точек, которые не находятся на одной прямой, называются треугольниками.

Отрезки, соединяющие точки, называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины обозначаются большими латинскими буквами, например: A, B, C.

Стороны обозначаются названиями двух точек, из которых они состоят – AB, BC, AC. Пересекаясь, стороны образуют углы. Нижняя сторона считается основанием фигуры.

Рис. 1. Треугольник ABC.

Виды треугольников

Треугольники классифицируют по углам и сторонам. Каждый из видов треугольника имеет свои свойства.

Существует три вида треугольников по углам:

  • остроугольные;
  • прямоугольные;
  • тупоугольные.

Все углы остроугольного треугольника острые, то есть градусная мера каждого составляет не более 90 0 .

Прямоугольный треугольник содержит прямой угол. Два других угла всегда будут острыми, так как иначе сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно. Сторона, которая, находится напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. Гипотенуза всегда больше катета.

Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. То есть угол, величиной больше 90 градусов. Два других угла в таком треугольника будут острыми.

Рис. 2. Виды треугольников по углам.

Пифагоровым треугольником называется прямоугольник, стороны которого равны 3, 4, 5.

Такие треугольники часто используются для составления простых задач в геометрии. Поэтому, запомните: если две стороны треугольника равны 3, то третья обязательно будет 5. Это упростит расчеты.

Виды треугольников по сторонам:

  • равносторонние;
  • равнобедренные;
  • разносторонние.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы такого треугольника равны 60 0 , то есть он всегда является остроугольным.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого только две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья – основанием. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника равны и всегда являются острыми.

Разносторонним или произвольным треугольником называется треугольник, у которого все длины и все углы не равны между собой.

Если в задаче нет никаких уточнений по поводу фигуры, то принято считать, что речь идет о произвольном треугольнике.

Рис. 3. Виды треугольников по сторонам.

Сумма всех углов треугольника, независимо от его вида, равна 1800.

Напротив большего угла находится большая сторона. А также длина любой стороны всегда меньше суммы двух других его сторон. Эти свойства подтверждаются теоремой о неравенстве треугольника.

Задача:

Существует ли треугольник, стороны которого равны 6 см., 3 см., 4 см.?

Решение:

Для решения данного задания нужно использовать неравенство a

Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 160.

Градусная мера угла. Определение

Основные понятия

В рамках вопроса измерения углов, в данном разделе рассмотрим несколько понятий, относящихся к начальным геометрическим сведениям:

  • угол;
  • развёрнутый и неразвёрнутый угол;
  • градус, минута и секунда;
  • градусная мера угла;
  • прямой, острый и тупой углы.

Углом называют такую геометрическую фигуру, которая представляет собой точку (вершину) и исходящие из неё два луча (стороны). Угол называют развёрнутым, если оба луча лежат на одной прямой.

Рисунок 1. Угол. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Благодаря градусной мере угла можно произвести измерение углов. Измерение углов проводится аналогично измерению отрезков.{\circ}$.

Рисунок 4. Прямой, острый и тупой углы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

В повседневной жизни есть примеры необходимости и важности умения измерять углы и понимать градусную меру. Измерение углов необходимо в различных исследованиях, в том числе в астрономии при определении положения небесных тел.

Для практики, попробуйте начертить хотя бы три неразвёрнутых угла и один развёрнутый разными способами, измерьте с помощью транспортира углы и запишите эти результаты. Можно задать случайные числа и попрактиковаться в точности черчения углов с помощью транспортира, деления их с помощью биссектрисы (биссектриса - это луч, исходящий из вершины данного угла и делящий угол пополам).

Примеры задач

Пример 1

Задача. Есть рисунок:

Рисунок 5. Задача. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Лучи $DE$ и $DF$ - биссектрисы соответствующих углов $ADB$ и $BDC$.{\circ}$

В данной статье мы раскрыли полностью вопрос о градусной мере угла и как измерять углы.

Что такое градусная мера угла?

Углы измеряют в разных единицах измерениях. Это могут быть градусы, радианы. Чаще всего углы измеряют в градусах. (Не следует путать этот градус с мерой измерения температуры, где также используется слово «градус).

1 градус — это угол, который равен 1/180 части развернутого угла. Другими словами, если взять развернутый угол и поделить его на 180 равных между собой частей-углов, то каждый такой маленький угол будет равен 1 градусу. Размер всех других углов определяется тем, сколько таких маленьких углов можно внутри измеряемого угла уложить.

Обозначается градус знаком °. Это не ноль и не буква О. Это такой специальный, введенный для обозначения градуса, символ.

Таким образом, развернутый угол равен 180°, прямой угол равен 90°, острые углы имеют размер меньший, чем 90°, а тупые — больший, чем 90°.

В метрической системой для измерения расстояния используется метр. Однако используются и более крупные и мелкие единицы. Например, сантиметр, миллиметр, километр, дециметр. По аналогии с этим в градусной мере углов также выделяют минуты и секунды.

Одна градусная минута равна 1/60 градуса. Обозначается она одним знаком '.

Одна градусная секунда равна 1/60 минуты или 1/3600 градуса. Обозначается секунда двумя знаками ', то есть ''.

В школьной геометрии градусные минуты и секунды используются редко, однако надо уметь понимать, например, такую запись: 35°21'45''. Это значит, что угол равен 35 градусов + 21 минута + 45 секунд.

С другой стороны, если угол нельзя измерить точно лишь в целых градусах, то не обязательно вводить минуты и секунды. Достаточно использовать дробные значения градуса. Например, 96,5°.

Понятно, что минуты и секунды можно перевести в градусы, выразив их в долях градуса. Например, 30' равно (30/60)° или 0,5°. А 0,3° равно (0,3 * 60)' или 18'. Таким образом, использование минут и секунд — это лишь вопрос удобства.

Тест 7 класс. Перпендикуляр к прямой

Перпендикуляр к прямой

Задание 1Как называется отрезок, проведённый из данной точки к данной прямой, если этот отрезок и данная прямая перпендикулярны? Запишите ответ:________________________

Задание 2Чему равна градусная мера угла АВО, если отрезок ОВ – перпендикуляр, проведённый из точки О к прямой р?

Выберите один из 5 вариантов ответа:

1) 60°

2) 45°

3) 100°

4) 90°

5) 180°

Задание 3

Отрезок ОВ – перпендикуляр, проведённый из тоски О к прямой a. Как называется точка В?

Выберите один из 3 вариантов ответа:

1) Точка перпендикуляра

2) Центр перпендикуляра

3) Основание перпендикуляра

Задание 4Сколько перпендикуляров можно провести к прямой из точки, не лежащей на данной прямой?

Выберите один из 3 вариантов ответа: 1) Один  2) Два   3) Три

Задание 5Если данный угол прямой, то каким будет смежный с ним угол?

Выберите один из 3 вариантов ответа: 1) Тупой  2) Острый   3) Прямой

Задание 6Если данный угол прямой, то каким будет вертикальный ему угол?

Выберите один из 3 вариантов ответа: 1) Тупой  2) Острый   3) Прямой

Задание 7На рисунке отрезок OВ – перпендикуляр, проведённый из точки O к прямой p. Чему равна градусная мера угла CBO, если угол ABC равен 37°?

Выберите один из 5 вариантов ответа:1) 37° 2) 127°  3) 63°  4) 53°   5) 47°

 

Задание 8Как называется инструмент, изображённый на рисунке?

 

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) Транспортир

2) Чертёжный угольник

3) Циркуль

4) Экер

Задание 9Точки А и В лежат по разные стороны от прямой p. Перпендикуляры АС и ВD к прямой p равны. Чему равна длина отрезка АD, если отрезок ВС равен 5 см?

Выберите один из 5 вариантов ответа:

1) 5 см

2) 10 см

3) 6 см

4) 11 см

5) 4 см

Задание 10

Пересекающиеся прямые a и b образуют четыре неразвёрнутых угла. Если один из углов прямой, то чему равны градусные меры остальных углов?

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 100°, 90°, 80°

2) 90°, 90°, 90°

3) 120°, 90°, 60°

4) 90°, 90°, 60°

 

 

 

Ответы:

1) (1 б.) Верный ответ: "перпендикуляр".

2) (1 б.) Верные ответы: 4;

3) (1 б.) Верные ответы: 3;

4) (1 б.) Верные ответы: 1;

5) (1 б.) Верные ответы: 3;

6) (1 б.) Верные ответы: 3;

7) (1 б.) Верные ответы: 4;

8) (1 б.) Верные ответы: 2;

9) (1 б.) Верные ответы: 1;

10) (1 б.) Верные ответы: 2;

 

Конец


Найдите градус измерения угла

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

градусов как единица измерения угла

градус как единица измерения угла - Math Open Reference Определение: мера угол. Один градус - это одна 360-я часть полного круга.

Попробуй это Отрегулируйте угол ниже, перетащив оранжевый на R. Обратите внимание на количество градусов для любого конкретного угла.

Измерение угла

В геометрии угол. измеряется в градусах, где полный круг равен 360 градусам. Небольшой угол может составлять около 30 градусов. Обычно, когда требуется более точная мера, мы просто добавляем десятичные знаки к градусам. Например 45,12 °

Маленький кружок после числа означает «градусы». Таким образом, это будет произноситься как «сорок пять целых два десятых градуса».

Градусов - Минут - Секунды

При измерении широты и долготы каждый градус делится на минуты и секунды. Степень делится на 60 минут. Для более точных измерений минута снова делится на 60 секунд, Однако эта последняя мера настолько мала, что используется только там, где углы поданный на экстремальных расстояниях, таких как астрономические измерения и измерения широты и долготы.

Эти минуты и секунды (как ни странно) не имеют ничего общего со временем.Они просто все меньшие и меньшие части градуса.

См. Также Градусы - Минуты - Калькулятор секунд. для калькулятора, который может складывать и вычитать углы в этой форме.

Установка Письменный Объявлен
Градусов С кружком после номера.
Пример 61 °
"61 градус"
Минуты С небольшим тире после номера.
Пример 34 ° 21 '
"34 градуса, 21 минута"
Секунды С двумя маленькими черточками.
Пример 32 ° 34 '44' '
"32 градуса, 34 минуты, 44 секунды"
Когда используются только минуты и секунды, мы обычно говорим «угловые минуты» и «угловые секунды», чтобы избежать путаницы с единицами времени.

В каком направлении измерять?

На рисунке выше отрегулируйте точку R так, чтобы линия пересекала точку с отметкой 315 °.Начиная с Q и идя против часовой стрелки, мы видим, что размер равен 315 °. Но если бы мы пошли по часовой стрелке от Q, это было бы 45 ° (360-315). Что правильно?

Они оба, но по соглашению предполагается меньший. Поэтому в этих условиях угол в центре составляет 45 °. Большая мера (315 °) называется угол рефлекса RPQ.

Углы, которые вы должны знать

На приведенном выше рисунке показано, как выглядят различные угловые меры, измеренные в градусах.В общем, вы должны уметь чтобы визуально оценить любой угол с точностью до 15 °, и вы должны быть в состоянии распознать общие углы (показаны красным) на месте и сами зарисовать их.

Прочие меры

  • Радианы

    Угол может быть измерен в радианах, где полный круг составляет 2 пи радиана (около 6,28). Это широко используется в тригонометрии.
  • Грады

    В некоторых геодезических работах используется град. В круге 400 градусов, поэтому прямой угол равен 100 градусам.Вы редко увидите этот агрегат. Думайте об оценках как о «метрических градусах».
  • Морские углы

    Судовые навигаторы используют углы, которые измеряются несколько иначе, с помощью системы, разработанной сотни лет назад для Nautical Alamanac - книги навигационных таблиц. Каждый градус, как обычно, делится на 60 минут, но секунд нет. Вместо этого минуты выражаются в десятичном формате. Например, 23 ° 34,62 'читается как «23 градуса 34,62 минуты. См. Также «Калькулятор морского угла».

Что попробовать

  1. На рисунке выше нажмите «Скрыть детали».
  2. Отрегулируйте положение точки R
  3. Оценить угол RPQ
  4. Нажмите "Показать подробности", чтобы узнать, насколько близко вы подошли
  5. Повторить.

Вы должны быть особенно в состоянии оценить углы, близкие к красным на рисунке выше, поскольку они часто встречаются в геометрии.

Другие ракурсы

Общие

Типы углов

Угловые отношения

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Измерение углов

Измерение углов

Измерение углов

При изучении геометрии угловые меры часто рассматриваются как степень разделения между двумя лучами с общей конечной точкой, или, возможно, связан с размером данного сектора круга. Обе эти интерпретации неявно накладывают ограничения на допустимые углы измерения.{\ circ} $. В конце концов, как можно иметь сектор круга, превышающий сам круг? Следующее обсуждение обеспечивает переинтерпретацию углов как 90–150 поворотов на 90–151, что позволяет нам обобщить углы так, чтобы их меры могли принимать любое реальное значение, независимо от его знака или величины.



Угол образован двумя половинными линиями, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной . Одна половинная линия обозначается как начальная сторона , а другая - клеммная сторона .Мы можем считать, что угол образован поворотом от начальной стороны к конечной. {\ circ} $.{\ circ} $.

Знак меры указывает направление вращения и определяется по формуле:

$ (+) $, если вращение против часовой стрелки
$ (-) $, если вращение по часовой стрелке

Угол в стандартном положении

Примеры

Практика


Терминальные уголки

Когда два угла имеют одинаковую начальную и конечную стороны, они называются концевыми углами.2 = 1 \} $$ Мы измеряем угол расстоянием $ t $, пройденным по окружности единичной окружности, поскольку угол образуется при повороте от начальной стороны к конечной стороне в стандартном положении.

Условные обозначения знаков остались прежними:

  • $ (+) $, если вращение против часовой стрелки
  • $ (-) $, если вращение по часовой стрелке

Радианная мера угла, образованного одним полным вращением против часовой стрелки, равна длине окружности единичной окружности, которая равна $ 2 \ pi $.{\ circ}}

долл. США

1.3: Дуги, углы и калькуляторы

Основные вопросы

Изучив этот раздел, мы должны понять концепции, мотивированные этими вопросами, и уметь писать точные, последовательные ответы на эти вопросы.

  • Как мы измеряем углы в градусах?
  • Что мы подразумеваем под радианной мерой угла? Как радианная мера угла связана с длиной дуги единичной окружности?
  • Почему важна мера в радианах?
  • Как преобразовать радианы в градусы и из градусов в радианы?
  • Как мы можем использовать калькулятор для аппроксимации значений функций косинуса и синуса?

Древняя цивилизация, известная как Вавилония, была культурным регионом на юге Месопотамии, на территории современного Ирака.Вавилония возникла как независимое государство около 1894 г. до н. Э. Вавилоняне разработали математическую систему, основанную на шестнадцатеричной системе счисления (с основанием 60). Это было источником современного использования 60 минут в час, 60 секунд в минуту и ​​360 градусов по кругу.

Многие историки теперь считают, что для древних вавилонян год состоял из 360 дней, что является неплохим приближением, учитывая грубость древних астрономических инструментов. Как следствие, они разделили круг на 360 дуг равной длины, что дало им единичный угол, составляющий 1/360 круга или то, что мы теперь знаем как градус.Несмотря на то, что в году 365,24 дня, вавилонская единица угла по-прежнему используется в качестве основы для измерения углов в круге. На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) показан круг, разделенный на 6 углов по 60 градусов каждый, что также хорошо сочетается с вавилонской системой счисления с основанием 60.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): круг с шестью углами в 60 градусов.

Мы часто обозначаем линию, проведенную через 2 точки A и B, как \ (\ overleftrightarrow {AB} \).Часть прямой \ (\ overleftrightarrow {AB} \), которая начинается в точке A и продолжается бесконечно в направлении точки B, называется лучом AB и обозначается \ (\ overrightarrow {AB} \). Точка A - это начальная точка луча \ (\ overrightarrow {AB} \). Угол образуется путем поворота луча вокруг его конечной точки. Луч в его исходном положении называется начальной стороной угла, а положение луча после его поворота называется конечной стороной луча.Конечная точка луча называется вершиной угла °.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): угол с некоторыми обозначениями.

На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) показан луч \ (\ overrightarrow {AB} \), повернутый вокруг точки A, образуя угол. Конечной стороной угла является луч \ (\ overrightarrow {AC} \). Мы часто называем это углом ВАС, сокращенно \ (\ angle {BAC} \). Мы также можем называть этот угол углом \ (CAB \) или \ (\ angle {CAB} \). Если мы хотим использовать одну букву для этого угла, мы часто используем греческую букву, такую ​​как \ (\ alpha \) (alpha).Затем мы просто говорим угол ̨. Другие часто используемые греческие буквы: \ (\ beta \) (бета), \ (\ gamma \) (гамма), \ (\ theta \) (theta), \ (\ phi \) (phi) и \ (\ ро \) (ро).

Дуги и уголки

Чтобы определить тригонометрические функции в терминах углов, мы сделаем простую связь между углами и дугами, используя так называемое стандартное положение угла. Когда вершина угла находится в начале координат в плоскости \ (xy \), а начальная сторона лежит вдоль положительной оси x, мы видим, что угол находится в стандартной позиции .Конечная сторона угла тогда находится в одном из четырех квадрантов или лежит вдоль одной из осей. Когда сторона вывода находится в одном из четырех квадрантов, сторона вывода определяет так называемое обозначение квадранта угла. См. Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Стандартное положение угла во втором квадранте.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Нарисуйте угол в стандартном положении в

  1. первый квадрант;
  2. третий квадрант; и
  3. четвертый квадрант.
Ответ

На этих графиках показаны положительные углы в стандартном положении. Конечная точка левой точки находится в первом квадранте, точка посередине - в третьем квадранте, а точка справа - в четвертом квадранте.

Если угол находится в стандартном положении, то точка, в которой конечная сторона угла пересекает единичный круг, отмечает конечную точку дуги, как показано на рисунке 1.11. Точно так же конечная точка дуги на единичной окружности определяет луч, проходящий через начало координат и эту точку, которая, в свою очередь, определяет угол в стандартном положении. В этом случае мы говорим, что угол , стянутый дугой на . Таким образом, существует естественное соответствие между дугами единичной окружности и углами в стандартном положении. Из-за этого соответствия мы также можем определить тригонометрические терминальные боковые функции в терминах углов, а также дуг. Однако, прежде чем мы это сделаем, нам нужно обсудить два разных способа измерения углов.\ circ \) - это измерение, как и длина. Итак, чтобы сравнить угол, измеренный в градусах, с дугой, измеренной некоторой длиной, нам нужно соединить размеры. Мы можем сделать это с помощью радианной меры угла.

Радианы будут полезны в том смысле, что радиан - это безразмерная единица измерения. Мы хотим связать угловые измерения с измерениями дуги, и для этого мы напрямую определим угол в 1 радиан как угол, образованный дугой длиной 1 (длина радиуса) на единичной окружности, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {5} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): один радиан.

Определение: Radian

Угол один радиан - это угол в стандартном положении на единичной окружности, который образуется дугой длиной 1 (в положительном направлении).

Это напрямую связывает углы, измеренные в радианах, с дугами, поскольку мы связываем действительное число как с дугой, так и с углом. Таким образом, угол в 2 радиана отсекает дугу длины 2 на единичной окружности, угол в 3 радиана отсекает дугу длины 3 на единичной окружности и так далее.На рисунке 1.13 показаны конечные стороны углов с размерами 0 радиан, 1 радиан, 2 радиана, 3 радиана, 4 радиана, 5 радиан и 6 радиан. Обратите внимание, что \ (2 \ pi \ приблизительно 6.2832 \) и поэтому \ (6 <2 \ pi \), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {6} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): углы с радианной мерой 1, 2, 3, 4, 5 и 6

У нас также могут быть углы с отрицательной радианной мерой, точно так же, как у нас есть дуги с отрицательной длиной. Идея состоит в том, чтобы просто проводить измерения в отрицательном (по часовой стрелке) направлении вокруг единичной окружности.Таким образом, угол, размер которого равен \ (- 1 \) радиан, - это угол в стандартном положении на единичной окружности, который образует дуга длиной 1 в отрицательном (по часовой стрелке) направлении.

Итак, в общем случае угол (в стандартном положении) в t радиан будет соответствовать дуге длины t на единичной окружности. Это позволяет нам обсуждать синус и косинус угла, измеренного в радианах. То есть, когда мы думаем о sin \ ((t) \) и cos \ ((t) \), мы можем рассматривать \ (t \) как:

  • действительное число;
  • длина дуги с начальной точкой \ ((1, 0) \) на единичной окружности;
  • радианная мера угла в стандартном положении.

Когда мы рисуем угол в стандартном положении, мы часто рисуем небольшую дугу возле вершины от начальной до конечной стороны, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {7} \), который показывает угол, мера равна \ (\ dfrac {3} {4} \ pi \) радианам.

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

1. Начертите угол в стандартном положении в радианах:

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): угол с размером \ (\ dfrac {3} {4} \ pi \) в стандартном положении

  1. \ (\ dfrac {\ pi} {2} \) радиан.\ circ \]

Преобразование радианов в градусы

Радиан является предпочтительной мерой углов в математике по многим причинам, главная из которых состоит в том, что радиан не имеет размеров. Однако, чтобы эффективно использовать радианы, нам нужно иметь возможность преобразовывать угловые измерения между радианами и градусами.

Напомним, что один виток единичной окружности соответствует дуге длины \ (2 \ pi \), а дуга длины \ (2 \ pi \) на единичной окружности соответствует углу \ (2 \ pi \ ) радианы.\ circ \), поэтому радиан довольно велик по сравнению с градусом. Эти отношения позволяют быстро переводить градусы в радианы.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

  • Если угол имеет градусное значение 35 градусов, его радиан может быть рассчитан следующим образом:

\ [35 \ пробел в градусах \ times \ dfrac {\ pi \ пробел радиан} {180 \ пробел в градусах} = \ dfrac {35 \ pi} {180} \ пробел в радианах \]

Переписывая эту дробь, мы видим, что угол с мерой 35 градусов имеет радианную меру \ (\ dfrac {7 \ pi} {36} \) радиан.\ circ \)

Калькуляторы и тригонометрические функции

Теперь мы увидели, что когда мы думаем о \ (\ sin (t) \) или \ (\ cos (t) \), мы можем думать о \ ((t) \) как о действительном числе, длине arc, или радианная мера угла. В разделе 1.5 мы увидим, как определить точные значения функций косинуса и синуса для нескольких специальных дуг (или углов). Например, мы увидим, что \ (\ cos (\ dfrac {\ pi} {6}) = \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} \).Однако определение косинуса и синуса как координат точек на единичной окружности затрудняет поиск точных значений для этих функций, за исключением очень специальных дуг. Хотя точные значения всегда лучше, технологии играют важную роль, позволяя нам аппроксимировать значения круговых (или тригонометрических) функций. Большинство портативных калькуляторов, калькуляторов в приложениях для телефонов или планшетов, а также онлайн-калькуляторов имеют ключ косинуса и ключ синуса, которые вы можете использовать для приблизительного значения этих функций, но мы должны помнить, что калькулятор предоставляет только приближение значения, а не точного значения (за исключением небольшого набора дуг).\ circ \)

Таблица 1.1: Преобразование радианов в градусы.

Для этого в калькуляторе есть два режима для углов: радиан и градус. Из-за соответствия между действительными числами, длиной дуг и радианами углов, на данный момент мы всегда будем переводить наши калькуляторы в радианный режим. Фактически, мы видели, что угол, измеренный в радианах, образует дугу этой радианной меры вдоль единичной окружности. Таким образом, косинус или синус угловой меры в радианах - это то же самое, что косинус или синус действительного числа, когда это действительное число интерпретируется как длина дуги вдоль единичной окружности. (Когда мы изучаем тригонометрию треугольников в главе 3, мы будем использовать режим градусов. Вводное обсуждение тригонометрических функций угловой меры в градусах см. В упражнении (4)).

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

В упражнении 1.6 мы использовали апплет Geogebra под названием Конечные точки дуг на единичной окружности на http://gvsu.edu/s/JY, чтобы аппроксимировать значения функций косинуса и синуса при определенных значениях. Например, мы обнаружили, что

  • \ (\ cos (1) \ приблизительно 0.5403 \), \ (\ sin (1) \ приблизительно 0,8415 \).
  • \ (\ cos (2) \ приблизительно -0,4161 \), \ (\ sin (2) \ приблизительно 0,9093 \).
  • \ (\ cos (-4) \ приблизительно -0,6536 \), \ (\ sin (-4) \ приблизительно 0,7568 \).
  • \ (\ cos (-15) \ приблизительно -0,7597 \), \ (\ sin (-15) \ приблизительно -0,6503 \).

Используйте калькулятор, чтобы определить эти значения функций косинуса и синуса, и сравните их с указанными выше. Они одинаковы? Насколько они разные?

Ответ

Используя калькулятор, мы получаем следующие результаты с точностью до десяти десятичных знаков.

\ (\ cos (1) \ приблизительно 0,5403023059, \ sin (1) \ приблизительно 0,8414709848 \). \ (\ cos (1) \ приблизительно 0: 4161468365, \ sin (1) \ приблизительно 0,74268 \).

Разница между этими значениями и значениями, полученными в ходе проверки выполнения 1.6, состоит в том, что эти значения верны с точностью до 10 десятичных знаков (а остальные верны с точностью до 4 десятичных знаков). Если мы округлим каждое из приведенных выше значений до 4 десятичных знаков, мы получим те же результаты, что и в Progress Check 1.6.

  • \ (\ cos (1) \ приблизительно 0: 6536436209, \ sin (1) \ приблизительно 0.7568024953 \).
  • \ (\ cos (1) \ приблизительно 0: 7596879129, \ sin (1) \ приблизительно 0,6502878402 \).

Краткое содержание раздела 1.3

В этом разделе мы изучили следующие важные концепции и идеи:

  • Угол образуется путем поворота луча вокруг его конечной точки. Луч в его исходном положении называется начальной стороной угла, а положение луча после его поворота называется конечной стороной луча.\ circ \) - это угол, равный 1 = 360 центральному углу окружности. Угол на один радиан - это угол в стандартном положении на единичной окружности, который образует дуга длиной 1 (в положительном направлении).
  • Мы конвертируем величину угла из градусов в радианы, используя тот факт, что каждый градус - это радианы. Мы конвертируем величину угла из 180 радиан в градусы, используя тот факт, что каждый радиан равен 180 градусам.

Измерение

Пифагорейский Теорема

.
Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен
равна сумме квадратов двух ног.

а + б = с

Используйте java апплет для построения доказательства теоремы Пифагора.


Пи - греческая буква, которая представляет число, примерно равное 3.141592654. Пи - иррациональное число, поэтому указанное выше число не является точное, но приблизительное. Чтобы увидеть число, представленное как расширенное до большего количества десятичных знаков, щелкните здесь или здесь (две разные версии).

Архимед, великий математик древности, использовал метод, называемый «Истощение», которое нужно попытаться найти ценность. Нам следует знать, что это за ценность представляет.

Проще говоря, представляет собой отношение длины окружности к диаметру. круга. Таким образом, = c / d. Метод «истощения», используемый Архимеда, для которого можно найти приближение, можно посмотреть на веб-сайте, на который можно получить доступ, щелкнув здесь.

Мы тоже сделаем это сами.....сейчас .


Углы и их измерение


Определение угла.
Угол состоит из двух половинных линий (лучей) с общей начальной точкой, называемой вершиной. Мы согласны что конечная сторона получается поворотом начальной стороны против часовой стрелки на угол t. Угол находится в стандартном положении с вершиной в начале координат и начальная сторона вдоль положительной оси абсцисс.

Угол положительной меры получается, когда сторона клеммы повернута против часовой стрелки, а угол отрицательный мера получается при повороте угла по часовой стрелке. Углы, полученные разные повороты, имеющие одинаковые начальную и конечную стороны, называются котерминальными.


Измерение угла

Есть разница между углом (геометрический объект) и его мера (число).Однако правильно сказать, что «угол равен x единиц», так что наша работа не становится слишком утомительным.

Степень

Классическая единица измерения углов - градус. Полный оборот так, чтобы конечная сторона лежит на начальной стороне под углом 360, поэтому 1 - это 1/360 единицы полное вращение. Части угла измеряются в минутах и ​​секундах.

Далее будут использоваться следующие символы:
= градусы
'= Минут
"= секунды

На основании определения степени (в предыдущем абзаце) следующие эквиваленты должно иметь смысл:

1 = 60 '

1 = 60 дюймов

Отсюда следует, что 1 = (60) (60) " = 3600 "
(1/60) = 1 '

(1/60) '= 1 дюйм

Итак, 1 "= (1/60) (1/60) = (1/3600)


Теперь, используя преобразования на основе эквивалентностей, отмеченных в в таблице выше, мы можем изменить единицы измерения с градусов, минут и секунд на десятичные эквиваленты:

42 25 48
= 42 + 25 (1/60) + 48 (1/3600)
= 42 + (25/60) + (48/3600)
= 42 +.4167 + 0,0133
= 42,4300

Радианы

Более удобной единицей измерения углов в приложениях является радиан.

Рассмотрим круг радиусом 1 единицу. Начните с
точку (1,0) и отмерьте 1 единицу против часовой стрелки по
окружность круга. Отметьте эту точку и присоедините ее к исходной точке, чтобы сделать концевую сторону угла.Этот угол составляет 1 радиан.

На окружности радиусом 1 единицу (единичная окружность) угол 1 радиан отсекает дугу в 1 единицу по окружности круга.

Длина окружности равна 2 (радиус).

2 радиана = 360 или радианы = 180
Угол в радианах - это отношение длины дуги на окружности равной длине начальной стороны угла, поэтому он не имеет размерных единиц.

Изменение единиц измерения между градусами и радианами. С использованием эквивалентность радианы = 180
мы можем записать это как отношение: радианы к 180, как x радианы к t
Или, говоря математически:

радиан = x радианы
180 т

Введите заданный угол (градусы или радианы) в пропорции и решите для неизвестный.

углов | Алгебра и тригонометрия

Игрок в гольф замахивается, чтобы отбить мяч через песчаную ловушку на лужайку. Пилот авиалинии ведет самолет к узкой взлетно-посадочной полосе. Дизайнер платьев создает последнюю моду. Что у них общего? Все они работают с углами, как и все мы в то или иное время. Иногда нам нужно точно измерить углы инструментами. В других случаях мы оцениваем их или судим на глаз.В любом случае правильный угол может иметь значение для успеха или неудачи во многих начинаниях. В этом разделе мы рассмотрим свойства углов.

Углы рисования в стандартном положении

Для правильного определения угла сначала необходимо определить луч. Луч - это направленный отрезок прямой. Он состоит из одной точки на линии и всех точек, идущих в одном направлении от этой точки. Первая точка называется конечной точкой луча. Мы можем ссылаться на конкретный луч, указав его конечную точку и любую другую точку на нем.Луч на (Рисунок) может быть назван как луч EF или в виде символа [latex] \, \ stackrel {⟶} {EF}. [/ Latex]

Рисунок 1.

Угол - это объединение двух лучей, имеющих общий конец. Конечная точка называется вершиной угла, а два луча - сторонами угла. Угол на (Рисунок) образован из [латекса] \, \ stackrel {⟶} {ED} \, [/ latex] и [latex] \, \ stackrel {⟶} {EF} \, [/ latex]. Углы могут быть названы с использованием точки на каждом луче и вершине, например, angle DEF , или в виде символа [latex] \, \ angle DEF.[/ латекс]

Рисунок 2.

Греческие буквы часто используются в качестве переменных для измерения угла. (Рисунок) - это список греческих букв, обычно используемых для обозначения углов, а примерный угол показан на (Рисунок).

[латекс] \ theta [/ латекс] [латекс] \ phi \, [/ latex] или [латекс] \, \ varphi [/ latex] [латекс] \ alpha [/ латекс] [латекс] \ beta [/ латекс] [латекс] \ гамма [/ латекс]
тета фи альфа бета гамма

Рисунок 3. Угол тета, обозначенный как [латекс] \, \ угол \ тета [/ латекс]

Создание угла - это динамический процесс. Начнем с двух лучей, лежащих один на другом. Один оставляем на месте, а другой вращаем. Фиксированный луч - это начальная сторона , , а повернутый луч - это конечная сторона. Чтобы идентифицировать разные стороны, мы указываем вращение маленькой стрелкой рядом с вершиной, как на (Рисунок).

Рисунок 4.

Как мы обсуждали в начале раздела, существует множество применений углов, но для того, чтобы использовать их правильно, мы должны уметь их измерять.Мера угла - это величина поворота от начальной стороны к конечной стороне. Вероятно, самая известная единица измерения угла - это градус. Один градус равен [latex] \, \ frac {1} {360} \, [/ latex] кругового вращения, поэтому полный круговой поворот содержит [latex] \, 360 \, [/ latex] градусов. Угол, измеряемый в градусах, всегда должен включать единицу измерения «градусы» после числа или включать символ градуса [латекс] °. \, [/ Латекс] Например, [латекс] \, 90 \ text {градусы} = 90 ° . [/ латекс]

Чтобы формализовать нашу работу, мы начнем с рисования углов на координатной плоскости x - y .Углы могут встречаться в любом положении на координатной плоскости, но в целях сравнения принято их изображать в одном и том же положении, когда это возможно. Угол находится в стандартном положении, если его вершина расположена в начале координат, а его начальная сторона проходит вдоль положительной оси x . См. (Рисунок).

Рисунок 5.

Если угол измеряется против часовой стрелки от начальной стороны к конечной стороне, угол считается положительным.Если угол измеряется по часовой стрелке, угол считается отрицательным.

Рисование угла в стандартном положении всегда начинается одинаково - начертите начальную сторону вдоль положительной оси x . Чтобы разместить конечную сторону угла, мы должны вычислить долю полного поворота, которую представляет угол. Мы делаем это, разделив угол в градусах на [латекс] \, 360 °. \, [/ Латекс] Например, чтобы нарисовать угол [латекс] \, 90 ° \, [/ латекс], мы вычисляем, что [ латекс] \, \ frac {90 °} {360 °} = \ frac {1} {4}.\, [/ latex] Таким образом, сторона вывода будет на четверть пути по окружности, двигаясь против часовой стрелки от положительной оси x . Чтобы нарисовать угол [latex] \, 360 ° [/ latex], мы вычисляем, что [latex] \, \ frac {360 °} {360 °} = 1. \, [/ Latex] Таким образом, сторона вывода будет равна 1 полное вращение по окружности, двигаясь против часовой стрелки от положительной оси x . В этом случае начальная сторона и конечная сторона перекрываются. См. (Рисунок).

Рисунок 6.

Поскольку мы определяем угол в стандартном положении его конечной стороной, у нас есть специальный тип угла, конечная сторона которого лежит на оси, квадрантный угол .Этот тип угла может иметь размер [латекс] \ text {0 °,} \, \ text {90 °,} \, \ text {180 °,} \, \ text {270 °,} [/ latex] или [латекс] \, \ text {360 °}. \, [/ latex] См. (рисунок).

Рис. 7. Квадрантные углы имеют концевую сторону, которая лежит вдоль оси. Показаны примеры.

Углы квадранта

Угол - это квадрантный угол, если его конечная сторона лежит на оси, включая [latex] \ text {0 °,} \, \ text {90 °,} \, \ text {180 °,} \, \ text { 270 °,} [/ latex] или [latex] \, \ text {360 °}. [/ Latex]

Как к

Зная угол в градусах, начертите угол в стандартном положении.

  1. Выразите угловую меру как долю от [latex] \, \ text {360 °}. [/ Latex]
  2. Уменьшить дробь до простейшего вида.
  3. Нарисуйте угол, содержащий ту же часть круга, начиная с положительной оси x и двигаясь против часовой стрелки для положительных углов и по часовой стрелке для отрицательных углов.

Чертеж угла в стандартном положении, измеренный в градусах

  1. Нарисуйте угол [латекс] \, 30 ° \, [/ латекс] в стандартном положении.
  2. Нарисуйте угол [латекс] \, - 135 ° \, [/ латекс] в стандартном положении.
Показать решение
  1. Разделите размер угла на [латекс] \, 360 °. [/ Латекс]

    [латекс] \ frac {30 °} {360 °} = \ frac {1} {12} [/ латекс]

    Чтобы переписать дробь в более знакомую дробь, мы можем распознать, что

    [латекс] \ frac {1} {12} = \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {4} \ right) [/ latex]

    Одна двенадцатая равняется одной трети четверти, поэтому, разделив четверть поворота на трети, мы можем нарисовать линию в точках [латекс] \, 30 °, [/ латекс], как показано на (Рисунок).

    Рисунок 8.

  2. Разделите размер угла на [латекс] \, 360 °. [/ Латекс]

    [латекс] \ frac {-135 °} {360 °} = - \ frac {3} {8} [/ латекс]

    В этом случае мы можем распознать, что

    [латекс] - \ frac {3} {8} = - \ frac {3} {2} \ left (\ frac {1} {4} \ right) [/ latex]

    Отрицательные три восьмых - это полторы раза в четверть, поэтому мы размещаем линию, перемещая по часовой стрелке одну полную четверть и половину другой четверти, как на (Рисунок).

    Рисунок 9.

Попробуйте

Покажите угол [латекс] \, 240 ° \, [/ латекс] на окружности в стандартном положении.

Показать решение

Преобразование между градусами и радианами

Разделение круга на 360 частей - выбор произвольный, хотя при этом создается знакомая величина в градусах. Мы можем выбрать другие способы разделить круг. Чтобы найти другую единицу, представьте себе процесс рисования круга. Представьте, что вы остановились до того, как круг замкнулся.Нарисованная вами часть называется дугой. Дуга может быть частью полного круга, полного круга или более чем полного круга, представленного более чем одним полным оборотом. Длина дуги вокруг всего круга называется окружностью этого круга.

Окружность круга равна [латекс] \, C = 2 \ pi r. \, [/ Latex]. Если мы разделим обе части этого уравнения на [латекс] \, r, [/ латекс], мы получим соотношение окружность, которая всегда равна [латексу] \, 2 \ pi, [/ латексу] к радиусу, независимо от длины радиуса.Таким образом, длина окружности любого круга равна [латексу] \, 2 \ пи \ приблизительно 6,28 \, [/ латексу] умноженным на длину радиуса. Это означает, что если мы возьмем струну такой же длины, как радиус, и будем использовать ее для измерения последовательных длин по окружности, то будет место для шести полных длин струны и чуть больше четверти седьмой, как показано на (Рис. ).

Рисунок 10.

Это подводит нас к нашей новой угловой мере. Один радиан - это мера центрального угла круга, который пересекает дугу, равную по длине радиусу этого круга.Центральный угол - это угол, образованный в центре круга двумя радиусами. Поскольку общая длина окружности равна [латексу] \, 2 \ pi \, [/ latex], умноженным на радиус, полный круговой поворот равен [latex] \, 2 \ pi \, [/ latex] радианам.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill 2 \ pi \ text {radians} & = & 360 ° \ hfill \\ \ hfill \ pi \ text {radians} & = & \ frac {360 °} { 2} = 180 ° \ hfill \\ \ hfill 1 \ text {radian} & = & \ frac {180 °} {\ pi} \ приблизительно 57,3 ° \ hfill \ end {array} [/ latex]

См. (Рисунок). Обратите внимание, что когда угол описывается без конкретной единицы измерения, он относится к радианам.Например, величина угла 3 означает 3 радиана. Фактически, радиан безразмерен, так как это частное от деления длины (окружности) на длину (радиус) и сокращения единиц длины.

Рис. 11. Угол [латекс] \, t \, [/ latex] составляет величину в один радиан. Обратите внимание, что длина перехваченной дуги равна длине радиуса круга.

Связь длины дуги с радиусом

Длина дуги [латекс] \, s \, [/ латекс] - это длина кривой вдоль дуги.Так же, как полная длина окружности всегда имеет постоянное отношение к радиусу, длина дуги, образованная любым заданным углом, также имеет постоянную связь с радиусом, независимо от длины радиуса.

Это отношение, называемое радианной мерой, одинаково независимо от радиуса круга - оно зависит только от угла. Это свойство позволяет нам определить меру любого угла как отношение длины дуги [latex] \, s \, [/ latex] к радиусу r . См. (Рисунок).

[латекс] \ begin {array} {ccc} s & = & r \ theta \\ \ theta & = & \ frac {s} {r} \ end {array} [/ latex]

Если [латекс] \, s = r, [/ latex], то [латекс] \, \ theta = \ frac {r} {r} = \ text {1 радиан} \ text {.} [/ латекс]

Рис. 12. (a) Под углом в 1 радиан длина дуги [латекс] \, s \, [/ latex] равна радиусу [латекс] \, r. \, [/ Латекс] (b) Угол в 2 радиана имеет длину дуги [латекс] \, s = 2r. \, [/ Latex] (c) Полный оборот составляет [латекс] \, 2 \ pi, [/ latex] или около 6,28 радиана.

Чтобы развить эту идею, рассмотрим две окружности, одну с радиусом 2, а другую с радиусом 3. Напомним, что длина окружности [латекс] \, C = 2 \ pi r, [/ latex], где [латекс] \ , г \, [/ латекс] - радиус.Тогда меньший круг имеет окружность [латекс] \, 2 \ pi \ left (2 \ right) = 4 \ pi \, [/ latex], а больший круг имеет окружность [латекс] \, 2 \ pi \ left (3 \ right ) = 6 \ pi. \, [/ Latex] Теперь нарисуем угол [латекс] \, 45 ° \, [/ latex] на двух окружностях, как на (Рисунок).

Рис. 13. Угол [латекс] \, 45 ° \, [/ латекс] содержит одну восьмую окружности окружности, независимо от радиуса.

Обратите внимание, что произойдет, если мы найдем отношение длины дуги к радиусу круга.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ text {Меньший круг:} \ frac {\ frac {1} {2} \ pi} {2} & = & \ frac {1} {4} \ pi \ \ \ text {Большой круг:} \ frac {\ frac {3} {4} \ pi} {3} & = & \ frac {1} {4} \ pi \ end {array} [/ latex]

Поскольку оба соотношения равны [latex] \, \ frac {1} {4} \ pi, [/ latex], угловые размеры обеих окружностей одинаковы, даже несмотря на то, что длина и радиус дуги различаются.

Радианы

Один радиан - это мера центрального угла окружности, при которой длина дуги между начальной и конечной сторонами равна радиусу окружности. Полный оборот [латекс] \, \ влево (360 ° \ вправо) \, [/ латекс] равен [латексу] \, 2 \ pi \, [/ latex] радианам. Половина оборота [латекс] \, \ влево (180 ° \ вправо) \, [/ латекс] эквивалентна [латексу] \, \ pi \, [/ latex] радианам.

Радианная мера угла - это отношение длины дуги, образуемой этим углом, к радиусу окружности.Другими словами, если [латекс] \, s \, [/ латекс] - длина дуги круга, а [латекс] \, r \, [/ латекс] - радиус круга, то центральный Угол, содержащий эту дугу, измеряет [latex] \, \ frac {s} {r} \, [/ latex] радианы. В круге радиуса 1 радианная мера соответствует длине дуги.

Измерение в 1 радиан выглядит примерно [латекс] \, 60 °. \, [/ Латекс] Это верно?

Да. Это примерно [латекс] \, 57,3 °. \, [/ Latex] Потому что [латекс] \, 2 \ pi \, [/ latex] радиан равны [латекс] 360 °, 1 [/ латекс] радиан равняется [латекс] \, \ frac {360 °} {2 \ pi} \ приблизительно 57.3 °. [/ Латекс]

Использование радианов

Поскольку радиан представляет собой отношение двух длин, это безразмерная мера. Например, на (Рисунок) предположим, что радиус составляет 2 дюйма, а расстояние по дуге также составляет 2 дюйма. Когда мы вычисляем радианную меру угла, «дюймы» отменяются, и мы получаем результат без единиц измерения. Следовательно, нет необходимости писать метку «радианы» после радианной меры, и если мы видим угол, который не отмечен «градусами» или символом градуса, мы можем предположить, что это радианная мера.

Рассматривая самый простой случай, единичный круг (круг с радиусом 1), мы знаем, что 1 поворот равен 360 градусов, [латекс] \, 360 °. [/ Latex] Мы также можем отследить один поворот вокруг круга, найдя окружность, [латекс] \, C = 2 \ pi r, [/ latex] и для единичного круга [латекс] \, C = 2 \ pi. \, [/ latex] Эти два разных способа вращения вокруг круга дайте нам возможность конвертировать градусы в радианы.

[латекс] \ begin {array} {ccccc} \ hfill \ text {1 вращение} & = & 360 ° \ hfill & = & 2 \ pi \ text {радианы} \ hfill \\ \ hfill \ frac {1} { 2} \ text {вращение} & = & 180 ° \ hfill & = & \ pi \ text {радианы} \ hfill \\ \ hfill \ frac {1} {4} \ text {вращение} & = & 90 ° \ hfill & = & \ frac {\ pi} {2} \ text {радианы} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Определение особых углов, измеренных в радианах

Помимо знания измерений в градусах и радианах четверти оборота, половины оборота и полного оборота, есть и другие часто встречающиеся углы в одном обороте окружности, с которыми мы должны быть знакомы.Часто встречаются кратные 30, 45, 60 и 90 градусов. Эти значения показаны на (Рисунок). Запоминание этих углов будет очень полезно при изучении свойств, связанных с углами.

Рис. 14. Часто встречающиеся углы, измеряемые в градусах

Теперь мы можем перечислить соответствующие значения в радианах для общих мер круга, соответствующие тем, которые перечислены на (Рисунок), которые показаны на (Рисунок). Убедитесь, что вы можете проверить каждую из этих мер.

Рис. 15. Часто встречающиеся углы, измеряемые в радианах

Нахождение меры радиана

Найдите одну треть полного оборота в радианах.

Показать решение

Для любой окружности длина дуги при таком повороте составляла бы одну треть окружности. Мы знаем, что

[латекс] 1 \ text {вращение} = 2 \ pi r [/ латекс]

Итак,

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill s & = & \ frac {1} {3} \ left (2 \ pi r \ right) \ hfill \\ & = \ hfill & \ frac {2 \ pi r} {3} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Радиан представляет собой длину дуги, деленную на радиус.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ text {радианная мера} & = & \ frac {\ frac {2 \ pi r} {3}} {r} \ hfill \\ & = & \ frac {2 \ pi r} {3r} \ hfill \\ & = & \ frac {2 \ pi} {3} \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Найдите три четверти полного оборота в радианах.

Показать решение

[латекс] \ frac {3 \ pi} {2} [/ латекс]

Преобразование радианов в градусы

Поскольку градусы и радианы измеряют углы, нам нужно иметь возможность конвертировать между ними.{R}}} {\ pi} [/ латекс]

Эта пропорция показывает, что величина угла [латекс] \, \ theta \, [/ latex] в градусах, деленная на 180, равна измерению угла [latex] \, \ theta \, [/ latex] в радианах, деленному на [ latex] \, \ pi. \, [/ latex] Другими словами, градусы равны 180, а радианы - [latex] \, \ pi. [/ latex]

[латекс] \ frac {\ text {Degrees}} {180} = \ frac {\ text {Radians}} {\ pi} [/ latex]

Преобразование радианов в градусы

Чтобы преобразовать градусы в радианы, используйте пропорцию

.

[латекс] \ frac {\ theta} {180} = \ frac {{\ theta} _ {R}} {\ pi} [/ латекс]

Преобразование радианов в градусы

Преобразование радианов в градусы.

  1. [латекс] \ frac {\ pi} {6} [/ латекс]
  2. 3
Показать решение

Поскольку нам даны радианы и нам нужны градусы, мы должны установить пропорцию и решить ее.

  1. Используем пропорции, подставляя данную информацию.

    [латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ frac {\ theta} {180} & = & \ frac {{\ theta} _ {R}} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ frac {\ theta} {180} & = & \ frac {\ frac {\ pi} {6}} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ theta & = & \ frac {180} {6} \ hfill \\ \ hfill \ theta & = & 30 ° \ hfill \ end {array} [/ latex]

  2. Используем пропорцию, подставляя данную информацию.{R}}} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ frac {\ theta} {180} & = & \ frac {3} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ theta & = & \ frac { 3 \ left (180 \ right)} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ theta & \ приблизительно & 172 ° \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Преобразовать [латекс] \, - \ frac {3 \ pi} {4} \, [/ latex] радианы в градусы.

Преобразование градусов в радианы

Преобразование [латексных] \, 15 \, [/ латексных] градусов в радианы.

Показать решение

В этом примере мы начинаем с градусов и хотим радиан, поэтому мы снова устанавливаем пропорцию, но подставляем данную информацию в другую часть пропорции.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ frac {\ theta} {180} & = & \ frac {{\ theta} _ {R}} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ frac {15} {180} & = & \ frac {{\ theta} _ {R}} {\ pi} \ hfill \\ \ hfill \ frac {15 \ pi} {180} & = & {\ theta} _ { R} \ hfill \\ \ hfill \ frac {\ pi} {12} & = & {\ theta} _ {R} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Анализ

Другой способ подумать об этой проблеме - вспомнить, что [latex] \, 30 ° = \ frac {\ pi} {6}. \, [/ Latex], потому что [latex] \, 15 ° = \ frac {1} {2} \ left (30 ° \ right), [/ latex] мы можем найти, что [latex] \, \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \, [/ latex] - это [latex] \, \ frac {\ pi} {12}.[/ латекс]

Попробуйте

Преобразовать [латекс] \, 126 ° \, [/ латекс] в радианы.

Показать решение

[латекс] \ frac {7 \ pi} {10} [/ латекс]

Нахождение концевых углов

Преобразование между градусами и радианами может упростить работу с углами в некоторых приложениях. Для других приложений нам может потребоваться другой тип преобразования. Отрицательные углы и углы, превышающие полный оборот, труднее работать, чем углы в диапазоне от [латекс] \, 0 ° \, [/ латекс] до [латекс] \, 360 °, [/ латекс] или [латекс] ] \, 0 \, [/ латекс] в [латекс] \, 2 \ пи.\, [/ latex] Было бы удобно заменить эти углы вне диапазона на соответствующий угол в пределах одного оборота.

Может быть более одного угла иметь одну и ту же сторону вывода. Посмотрите на (рисунок). Угол [латекса] \, 140 ° \, [/ латекса] - положительный угол, измеренный против часовой стрелки. Угол [латекса] \, - 220 ° \, [/ латекса] - отрицательный угол, измеренный по часовой стрелке. Но оба угла имеют одинаковую конечную сторону. Если два угла в стандартном положении имеют одну и ту же конечную сторону, они являются концевыми углами.Каждый угол больше, чем [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] или меньше, чем [латекс] \, 0 ° \, [/ латекс], совпадает с углом между [латексом] \, 0 ° \, [/ латекс] и [латекс] \, 360 °, [/ латекс], и часто удобнее найти угол котерминала в диапазоне от [латекс] \, 0 ° \, [/ латекс] до [латекс] \, 360 ° \, [/ latex], чем работать с углом, выходящим за пределы этого диапазона.

Рис. 16. Угол [латекс] \, 140 ° \, [/ латекс] и угол [латекс] \, - 220 ° \, [/ латекс] являются котерминальными углами.

Любой угол имеет бесконечно много концевых углов, потому что каждый раз, когда мы добавляем [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] к этому углу - или вычитаем из него [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] - полученный value имеет терминальную сторону в том же месте.Например, по этой причине [латекс] \, \ text {100 °} \, [/ latex] и [latex] \, \ text {460 °} \, [/ latex] являются концевыми, как и [латекс] \ , -260 °. \, [/ Латекс]

Базовый угол угла - это мера наименьшего положительного острого угла [латекс] \, t \, [/ латекс], образованного конечной стороной угла [латекс] \, t \, [/ латекс] и Горизонтальная ось. Таким образом, положительные опорные углы имеют концевые стороны, которые лежат в первом квадранте, и могут использоваться в качестве моделей для углов в других квадрантах. См. (Рисунок) примеры исходных углов для углов в различных квадрантах.{\ prime}, [/ latex] образованы конечной стороной угла [latex] \, t \, [/ latex] и горизонтальной осью.

Как к

Если задан угол больше, чем [латекс] \, 360 °, [/ латекс], найдите внутренний угол между [латексом] \, 0 ° \, [/ латексом] и [латексом] \, 360 ° [/ латекс]

  1. Вычтите [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] из заданного угла.
  2. Если результат все еще больше [латекс] \, 360 °, [/ латекс], вычтите [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] еще раз, пока результат не окажется между [латекс] \, 0 ° \, [ / латекс] и [латекс] \, 360 °.[/ латекс]
  3. Полученный угол совпадает с исходным углом.

Нахождение углового терминала с углом измерения больше, чем [латекс] \, 360 ° [/ латекс]

Найдите наименьший положительный угол [латекс] \, \ тета \, [/ латекс], который совпадает с углом измерения [латекс] \, 800 °, [/ латекс], где [латекс] \, 0 ° \ ле \ тета <360 °. [/ Латекс]

Показать решение

Угол с мерой [латекс] \, 800 ° \, [/ латекс] совпадает с углом с размером [латекс] \, 800-360 = 440 °, [/ латекс] но [латекс] \, 440 ° \ , [/ latex] по-прежнему больше, чем [latex] \, 360 °, [/ latex], поэтому мы снова вычитаем [latex] \, 360 ° \, [/ latex], чтобы найти другой котерминальный угол: [latex] \, 440 -360 = 80 °.[/ латекс]

Угол [латекс] \, \ theta = 80 ° \, [/ latex] совпадает с [латексом] \, 800 °. \, [/ Latex] Другими словами, [латекс] \, 800 ° \ , [/ latex] равно [latex] \, 80 ° \, [/ latex] плюс два полных поворота, как показано на (Рисунок).

Рисунок 18.

Попробуйте

Найдите угол [латекс] \, \ альфа \, [/ латекс], который совпадает с углом измерения [латекс] \, 870 °, [/ латекс], где [латекс] \, 0 ° \ le \ alpha <360 °. [/ Латекс]

Показать решение

[латекс] \ альфа = 150 ° [/ латекс]

Как к

Для заданного угла с мерой меньше [латекс] \, 0 °, [/ latex] найдите внутренний угол, имеющий меру между [латексом] \, 0 ° \, [/ latex] и [латексом] \, 360 °. .[/ латекс]

  1. Добавьте [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] к заданному углу.
  2. Если результат по-прежнему меньше [латекс] \, 0 °, [/ latex], добавьте [latex] \, 360 ° \, [/ latex] еще раз, пока результат не окажется между [latex] \, 0 ° \, [ /latex visibleand [латекс ]\ 360 ° [/ латекс]
  3. Полученный угол совпадает с исходным углом.

Нахождение углового терминала с углом меньше [латекс] \, 0 ° [/ латекс]

Покажите угол с мерой [latex] \, - 45 ° \, [/ latex] на окружности и найдите положительный угол на конце [латекс] \, \ alpha \, [/ latex], такой, что [latex] \, 0 ° \ le \ alpha <360 °.[/ латекс]

Показать решение

Поскольку [латекс] \, 45 ° \, [/ latex] составляет половину [латекса] \, 90 °, [/ latex], мы можем начать с положительной горизонтальной оси и измерить по часовой стрелке половину [латекса] \, 90 ° \, угол [/ латекс].

Поскольку мы можем найти концевые углы путем добавления или вычитания полного поворота [latex] \, 360 °, [/ latex], мы можем найти здесь положительный котерминальный угол, добавив [latex] \, 360 °. [/ Latex]

[латекс] -45 ° + 360 ° = 315 ° [/ латекс]

Затем мы можем показать угол на окружности, как на (Рисунок).

Рисунок 19.

Попробуйте

Найдите угол [латекс] \, \ beta \, [/ латекс], который совпадает с углом измерения [латекс] \, - 300 ° \, [/ латекс], такой, что [латекс] \, 0 ° \ le \ бета <360 °. [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ beta = 60 ° [/ латекс]

Нахождение концевых углов, измеренных в радианах

Мы можем найти концевые углы, измеренные в радианах, почти так же, как мы нашли их в градусах. В обоих случаях мы находим концевые углы, добавляя или вычитая один или несколько полных оборотов.

Как к

Если задан угол больше, чем [латекс] \, 2 \ pi, [/ latex], найдите внутренний угол между 0 и [латекс] \, 2 \ pi. [/ Latex]

  1. Вычтите [латекс] \, 2 \ pi \, [/ латекс] из заданного угла.
  2. Если результат все еще больше, чем [latex] \, 2 \ pi, [/ latex], вычтите [latex] \, 2 \ pi \, [/ latex] еще раз, пока результат не окажется между [latex] \, 0 \, [/ латекс] и [латекс] \, 2 \ пи. [/ латекс]
  3. Полученный угол совпадает с исходным углом.

Нахождение конерминальных углов с помощью радианов

Найдите угол [latex] \, \ beta \, [/ latex], который совпадает с [latex] \, \ frac {19 \ pi} {4}, [/ latex], где [latex] \, 0 \ le \ бета <2 \ пи.[/ латекс]

Показать решение

При работе в градусах мы нашли концевые углы путем добавления или вычитания 360 градусов, полного поворота. Точно так же в радианах мы можем найти концевые углы, добавляя или вычитая полные обороты [latex] \, 2 \ pi \, [/ latex] радиан:

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ frac {19 \ pi} {4} -2 \ pi & = & \ frac {19 \ pi} {4} - \ frac {8 \ pi} { 4} \ hfill \\ & = & \ frac {11 \ pi} {4} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Угол [латекс] \, \ frac {11 \ pi} {4} \, [/ latex] на одном конце, но не меньше, чем [latex] \, 2 \ pi, [/ latex], поэтому мы вычитаем еще один поворот.

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ frac {11 \ pi} {4} -2 \ pi & = & \ frac {11 \ pi} {4} - \ frac {8 \ pi} { 4} \ hfill \\ & = & \ frac {3 \ pi} {4} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Угол [латекс] \, \ frac {3 \ pi} {4} \, [/ latex] совпадает с [латексом] \, \ frac {19 \ pi} {4}, [/ latex], как показано на (Фигура).

Рисунок 20.

Попробуйте

Найдите угол измерения [латекс] \, \ theta \, [/ latex], который совпадает с углом измерения [латекс] \, - \ frac {17 \ pi} {6} \, [/ latex] где [латекс] \, 0 \ ле \ тета <2 \ пи.[/ латекс]

Показать решение

[латекс] \, \ frac {7 \ pi} {6} \, [/ латекс]

Определение длины дуги

Напомним, что радианная мера [латекс] \, \ тета \, [/ латекс] угла была определена как отношение длины дуги [латекс] \, s \, [/ латекс] дуги окружности к радиусу [latex] \, r \, [/ latex] круга, [latex] \, \ theta = \ frac {s} {r}. \, [/ latex] Из этого соотношения мы можем найти длину дуги вдоль круг, заданный под углом.

Длина дуги на окружности

В круге радиусом r показана длина дуги [латекс] \, s \, [/ latex], образуемая углом с размером [латекс] \, \ theta \, [/ latex] в радианах. в (рисунок) -

[латекс] s = r \ theta [/ латекс]

Рисунок 21.

Как к

Дан круг радиуса [латекс] \, r, [/ латекс] вычислить длину [латекс] \, s \, [/ латекс] дуги, образованной заданным углом измерения [латекс] \, \ theta . [/ латекс]

  1. При необходимости преобразуйте [латекс] \, \ theta \, [/ latex] в радианы.
  2. Умножьте радиус [латекс] \, r \, \, \ theta: s = r \ theta. [/ Latex]

Определение длины дуги

Предположим, что орбита Меркурия вокруг Солнца представляет собой идеальный круг.Меркурий находится примерно в 36 миллионах миль от Солнца.

  1. За один земной день Меркурий совершает 0,0114 своего полного обращения. Сколько миль он преодолевает за день?
  2. Используйте свой ответ из части (а), чтобы определить радианную меру движения Меркурия за один земной день.
Показать решение
  1. Начнем с определения окружности орбиты Меркурия.

    [латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill C & = & 2 \ pi r \ hfill \\ & = & 2 \ pi \ left (\ text {36 миллионов миль} \ right) \ hfill \\ & \ приблизительно & \ text {226 миллионов миль} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Поскольку Меркурий завершает 0.0114 его полного обращения за один земной день, теперь мы можем найти пройденное расстояние.

    [латекс] \ left (0,0114 \ right) 226 \ text {миллион миль = 2} \ text {0,58 миллиона миль} [/ latex]

  2. Теперь конвертируем в радианы.

    [латекс] \ begin {массив} {ccc} \ hfill \ text {radian} & = & \ frac {\ text {arclength}} {\ text {radius}} \ hfill \\ & = & \ frac {2. \ text {58 миллионов миль}} {36 \ text {миллионов миль}} \ hfill \\ & = & 0,0717 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуйте

Найдите длину дуги вдоль круга радиусом 10 единиц, ограниченного углом [латекс] \, 215 °.{2}. \, [/ Latex] Если два радиуса образуют угол [латекс] \, \ theta, [/ latex], измеренный в радианах, то [latex] \, \ frac {\ theta} {2 \ pi } \, [/ latex] - это отношение угловой меры к величине полного поворота, а также, следовательно, отношение площади сектора к площади круга. Таким образом, площадь сектора представляет собой дробь [latex] \, \ frac {\ theta} {2 \ pi} \, [/ latex], умноженную на всю площадь. (Всегда помните, что эта формула применима, только если [latex] \, \ theta \, [/ latex] выражено в радианах.{2} [/ латекс]

См. (Рисунок).

Рисунок 22. {2} \ hfill \\ & \ приблизительно & 104.{2}. [/ Латекс]

Попробуйте

При центральном круговом орошении большая оросительная труба на колесах вращается вокруг центральной точки. У фермера есть центральная система поворота с радиусом 400 метров. Если водные ограничения позволяют ей поливать только 150 тысяч квадратных метров в день, под каким углом она должна установить систему для покрытия? Запишите ответ в радианах с точностью до двух десятичных знаков.

Использование линейной и угловой скорости для описания движения по круговой траектории

Помимо определения площади сектора, мы можем использовать углы для описания скорости движущегося объекта.У объекта, движущегося по круговой траектории, есть два типа скорости. Линейная скорость - это скорость по прямой траектории, которая может определяться расстоянием, по которому она движется (ее перемещением) в заданный интервал времени. Например, если колесо с радиусом 5 дюймов вращается раз в секунду, точка на краю колеса перемещается на расстояние, равное окружности, или [латекс] \, 10 \ pi \, [/ латекс] дюймов, каждую секунду. . Таким образом, линейная скорость точки составляет [латекс] \, 10 \ пи \, [/ латекс] дюйм / с. Уравнение для линейной скорости выглядит следующим образом, где [латекс] \, v \, [/ латекс] - линейная скорость, [латекс] \, s \, [/ латекс] - смещение, а [латекс] \, t \, [ / латекс] - время.

[латекс] v = \ frac {s} {t} [/ латекс]

Угловая скорость является результатом кругового движения и может быть определена углом, на который точка вращается в заданный интервал времени. Другими словами, угловая скорость - это угловое вращение в единицу времени. Так, например, если шестерня совершает полный оборот каждые 4 секунды, мы можем вычислить ее угловую скорость как [latex] \, \ frac {360 \ text {градусы}} {4 \ text {секунды}} = [/ latex ] 90 градусов в секунду. Угловая скорость может быть выражена, например, в радианах в секунду, оборотах в минуту или градусах в час.Уравнение для угловой скорости выглядит следующим образом, где [latex] \, \ omega \, [/ latex] (читается как omega) - угловая скорость, [latex] \, \ theta \, [/ latex] - пройденный угол, и [латекс] \, t \, [/ latex] - время.

[латекс] \ omega = \ frac {\ theta} {t} [/ латекс]

Комбинируя определение угловой скорости с уравнением длины дуги, [латекс] \, s = r \ theta, [/ latex], мы можем найти взаимосвязь между угловой и линейной скоростями. Уравнение угловой скорости может быть решено для [latex] \, \ theta, [/ latex], давая [latex] \, \ theta = \ omega t.[/ latex] Подставляя это в уравнение длины дуги, получаем:

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill s & = & r \ theta \ hfill \\ & = & r \ omega t \ hfill \ end {array} [/ latex]

Подставляя это в уравнение линейной скорости, получаем:

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill v & = & \ frac {s} {t} \ hfill \\ & = & \ frac {r \ omega t} {t} \ hfill \\ & = & r \ omega \ hfill \ end {array} [/ latex]

Угловая и линейная скорость

Когда точка движется по окружности радиуса [латекс] \, r, [/ латекс], ее угловая скорость, [латекс] \, \ omega, [/ latex] - это угловое вращение [латекс] \, \ theta \, [/ латекс] в единицу времени, [латекс] \, т.е.[/ латекс]

[латекс] \ omega = \ frac {\ theta} {t} [/ латекс]

Линейная скорость [latex] \, v, [/ latex] точки может быть найдена как пройденное расстояние, длина дуги [latex] \, s, [/ latex] в единицу времени, [latex] \, t . [/ латекс]

[латекс] v = \ frac {s} {t} [/ латекс]

Когда угловая скорость измеряется в радианах в единицу времени, линейная скорость и угловая скорость связаны уравнением

[латекс] v = r \ omega [/ латекс]

Это уравнение утверждает, что угловая скорость в радианах, [латекс] \, \ omega, [/ latex], представляющая величину вращения, происходящего в единицу времени, может быть умножена на радиус [латекс] \, r \, [ / latex] для расчета общей длины дуги, пройденной за единицу времени, что является определением линейной скорости.

Как к

Зная угол поворота и прошедшее время, вычислите угловую скорость.

  1. При необходимости преобразуйте угол в радианы.
  2. Разделите угол в радианах на количество прошедших единиц времени: [latex] \, \ omega = \ frac {\ theta} {t}. [/ Latex]
  3. Результирующая скорость будет в радианах за единицу времени.

Определение угловой скорости

Гидравлическое колесо, показанное на (Рисунок), совершает 1 оборот каждые 5 секунд.Найдите угловую скорость в радианах в секунду.

Рисунок 24.

Показать решение

Колесо совершает 1 оборот или проходит под углом [latex] \, 2 \ pi \, [/ latex] радиан за 5 секунд, поэтому угловая скорость будет [latex] \, \ omega = \ frac {2 \ pi} {5} \ приблизительно 1,257 \, [/ latex] радиан в секунду.

Попробуйте

Старая виниловая пластинка проигрывается на проигрывателе, вращающемся по часовой стрелке со скоростью 45 оборотов в минуту. Найдите угловую скорость в радианах в секунду.

Показать решение

[латекс] \ frac {-3 \ pi} {2} \, [/ latex] рад / с

Как к

Зная радиус круга, угол поворота и продолжительность прошедшего времени, определите линейную скорость.

  1. При необходимости преобразуйте общее вращение в радианы.
  2. Разделите общее вращение в радианах на прошедшее время, чтобы найти угловую скорость: apply [latex] \, \ omega = \ frac {\ theta} {t}. [/ Latex]
  3. Умножьте угловую скорость на длину радиуса, чтобы найти линейную скорость, выраженную в единицах длины, используемых для радиуса, и единицах времени, используемых для истекшего времени: apply [latex] \, v = r \ omega.[/ латекс]

Определение линейной скорости

Велосипед имеет колеса диаметром 28 дюймов. Тахометр определяет, что колеса вращаются со скоростью 180 об / мин (оборотов в минуту). Найдите скорость, с которой велосипед движется по дороге.

Показать решение

Здесь у нас есть угловая скорость, и нам нужно найти соответствующую линейную скорость, поскольку линейная скорость внешней стороны шин - это скорость, с которой велосипед движется по дороге.

Начнем с преобразования числа оборотов в минуту в радианы в минуту.Для этого преобразования может быть полезно использовать единицы измерения:

[латекс] 180 \ frac {\ overline {) \ text {rotations}}} {\ text {minute}} \ cdot \ frac {2 \ pi \, \ text {радианы}} {\ overline {) \ text { вращение}}} = 360 \ pi \ frac {\ text {радианы}} {\ text {minute}} [/ latex]

Используя приведенную выше формулу вместе с радиусом колес, мы можем найти линейную скорость:

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill v & = & \ left (\ text {14 дюймов} \ right) \ left (360 \ pi \ frac {\ text {радианы}} {\ text {minute} } \ right) \ hfill \\ & = & 5040 \ pi \ frac {\ text {дюймы}} {\ text {minute}} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Помните, что радианы - это безразмерная мера, поэтому включать их не обязательно.

Наконец, мы можем захотеть преобразовать эту линейную скорость в более привычное измерение, например мили в час.

[латекс] 5040 \ pi \ frac {\ overline {) \ text {дюймы}}} {\ overline {) \ text {minute}}} \ cdot \ frac {\ text {1} \ overline {) \ text { футов}}} {\ text {12} \ overline {) \ text {дюймы}}} \ cdot \ frac {\ text {1 миля}} {\ text {5280} \ overline {) \ text {ft}}} \ cdot \ frac {\ text {60} \ overline {) \ text {minutes}}} {\ text {1 час}} \ приблизительно 14,99 \ text {миль в час (миль в час)} [/ latex]

Попробуйте

Спутник вращается вокруг Земли в 0.{2} [/ латекс] угловая скорость [латекс] \ omega = \ frac {\ theta} {t} [/ латекс] линейная скорость [латекс] v = \ frac {s} {t} [/ латекс] линейная скорость, связанная с угловой скоростью [латекс] v = r \ omega [/ латекс]

Ключевые понятия

  • Угол образуется из объединения двух лучей, если начальная сторона остается фиксированной, а конечная сторона вращается. Величина поворота определяет меру угла.
  • Угол находится в стандартном положении, если его вершина находится в начале координат, а его начальная сторона лежит вдоль положительной оси x . Положительный угол измеряется против часовой стрелки от начальной стороны, а отрицательный угол - по часовой стрелке.
  • Чтобы нарисовать угол в стандартном положении, начертите начальную сторону вдоль положительной оси x , а затем поместите конечную сторону в соответствии с долей полного поворота, которую представляет угол. См. (Рисунок).
  • Помимо градусов, угол может быть выражен в радианах.См. (Рисунок).
  • Чтобы преобразовать градусы в радианы, используйте пропорцию [latex] \, \ frac {\ theta} {180} = \ frac {{\ theta} _ {R}} {\ pi}. \, [/ Latex] См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Два угла с одной и той же конечной стороной называются концевыми углами.
  • Мы можем найти концевые углы, добавляя или вычитая [латекс] \, 360 ° \, [/ латекс] или [латекс] \, 2 \ пи. \, [/ Латекс] См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Coterminal углы можно найти в радианах так же, как и в градусах.См. (Рисунок).
  • Длина дуги окружности составляет часть окружности всей окружности. См. (Рисунок).
  • Площадь сектора - это часть площади всего круга. См. (Рисунок).
  • Объект, движущийся по круговой траектории, имеет как линейную, так и угловую скорость.
  • Угловая скорость объекта, движущегося по круговой траектории, является мерой угла, на который он поворачивается за единицу времени. См. (Рисунок).
  • Линейная скорость объекта, движущегося по круговой траектории, - это расстояние, которое он проходит за единицу времени.См. (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

Начертите угол в стандартном положении. Обозначьте вершину, начальную и конечную стороны.

Показать решение

Объясните, почему существует бесконечное количество углов, которые совпадают с определенным углом.

Укажите, что означает положительный или отрицательный угол, и объясните, как их рисовать.

Показать решение

Направление определяется положительным или отрицательным углом.Положительный угол рисуется против часовой стрелки, а отрицательный угол - по часовой стрелке.

Как соотносится угол в радианах с градусами? Включите в свой абзац объяснение 1 радиан.

Объясните разницу между линейной скоростью и угловой скоростью при описании движения по круговой траектории.

Показать решение

Линейная скорость - это величина, полученная путем вычисления расстояния дуги по сравнению со временем.Угловая скорость - это величина, которая определяется путем вычисления угла дуги по сравнению со временем.

Графический

Для следующих упражнений нарисуйте угол в стандартном положении с заданной мерой.

Показать решение

Показать решение

[латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {7 \ pi} {4} [/ латекс]

[латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]

[латекс] - \ frac {\ pi} {10} [/ латекс]

Показать решение

Показать решение

[латекс] 240 ° [/ латекс]

[латекс] \ frac {22 \ pi} {3} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {4 \ pi} {3} [/ латекс]

[латекс] - \ frac {\ pi} {6} [/ латекс]

[латекс] - \ frac {4 \ pi} {3} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]

Для следующих упражнений см. (Рисунок).{2} [/ латекс]

Алгебраический

Для следующих упражнений преобразуйте углы в радианах в градусы.

[латекс] \ frac {3 \ pi} {4} \, [/ latex] радианы

[латекс] \ frac {\ pi} {9} \, [/ latex] радиан

[латекс] - \ frac {5 \ pi} {4} \, [/ latex] радианы

[латекс] \ frac {\ pi} {3} \, [/ latex] радиан

[латекс] - \ frac {7 \ pi} {3} \, [/ latex] радианы

[латекс] - \ frac {5 \ pi} {12} \, [/ latex] радианы

[латекс] \ frac {11 \ pi} {6} \, [/ latex] радиан

Для следующих упражнений преобразуйте углы из градусов в радианы.

Показать решение

[латекс] \ frac {\ pi} {2} \, [/ latex] радиан

Показать решение

[латекс] -3 \ pi \, [/ latex] радиан

Показать решение

[латекс] \ пи \, [/ латекс] радиан

Показать решение

[латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ latex] радиан

Для следующих упражнений используйте данную информацию, чтобы найти длину дуги окружности. Округлить до двух десятичных знаков.

Найдите длину дуги круга радиусом 12 дюймов, ограниченного центральным углом [латекс] \, \ frac {\ pi} {4}.\, [/ latex] радианы.

Найдите длину дуги окружности радиусом 5,02 мили, образуемой центральным углом [latex] \, \ frac {\ pi} {3}. [/ Latex]

Показать решение

[латекс] \ frac {5.02 \ pi} {3} \ приблизительно 5,26 \, [/ латекс] миль

Найдите длину дуги окружности диаметром 14 метров, образуемой центральным углом [latex] \, \ frac {5 \ pi} {6}. [/ Latex]

Найдите длину дуги круга радиусом 10 сантиметров, ограниченного центральным углом [латекса] \, 50 °.[/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {25 \ pi} {9} \ приблизительно 8,73 \, [/ латекс] см

Найдите длину дуги окружности радиусом 5 дюймов, образуемой центральным углом [латекс] \, 220 °. [/ Latex]

Найдите длину дуги окружности диаметром 12 метров, образуемой центральным углом [латекс] \, 63 °. [/ Латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {21 \ pi} {10} \ приблизительно 6,60 \, [/ латекс] метров

Для следующих упражнений используйте данную информацию, чтобы найти площадь сектора.Округлить до четырех знаков после запятой.

Сектор круга имеет центральный угол [латекс] \, 45 ° \, [/ латекс] и радиус 6 см.

Сектор круга имеет центральный угол [латекс] \, 30 ° \, [/ латекс] и радиус 20 см.

Сектор круга диаметром 10 футов и углом [latex] \, \ frac {\ pi} {2} \, [/ latex] радиан.

Сектор круга радиусом 0,7 дюйма и углом [латекс] \, \ пи \, [/ латекс] радиан.

Для следующих упражнений найдите угол между [латексом] \, 0 ° \, [/ латексом] и [латексом] \, 360 ° \, [/ латексом], который совпадает с заданным углом.

Для следующих упражнений найдите угол между 0 и [latex] \, 2 \ pi \, [/ latex] в радианах, который является на конце заданным углом.

[латекс] - \ frac {\ pi} {9} [/ латекс]

[латекс] \ frac {10 \ pi} {3} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {4 \ pi} {3} [/ латекс]

[латекс] \ frac {13 \ pi} {6} [/ латекс]

[латекс] \ frac {44 \ pi} {9} [/ латекс]

Показать решение

[латекс] \ frac {8 \ pi} {9} [/ латекс]

Реальные приложения

Грузовик с колесами диаметром 32 дюйма движется со скоростью 60 миль / ч.Найдите угловую скорость колес в рад / мин. Сколько оборотов в минуту делают колеса?

Велосипед с колесами диаметром 24 дюйма движется со скоростью 15 миль / ч. Найдите угловую скорость колес в рад / мин. Сколько оборотов в минуту делают колеса?

Показать решение

[латекс] 1320 \, [/ латекс] рад / мин [латекс] \, 210.085 \, [/ латекс] об / мин

Колесо радиусом 8 дюймов вращается со скоростью 15 ° / с. Что такое линейная скорость [latex] \, v, [/ latex], угловая скорость в об / мин и угловая скорость в рад / с?

Колесо радиусом [латекс] \, 14 \, [/ латекс] дюймов вращается [латекс] \, 0.5 \, [/ латекс] рад / с. Что такое линейная скорость [latex] \, v, [/ latex], угловая скорость в об / мин и угловая скорость в град / с?

Показать решение

[латекс] 7 \, [/ латекс] дюйм / с, 4,77 об / мин, [латекс] \, 28,65 \, [/ латекс] град / с

CD имеет диаметр 120 миллиметров. При воспроизведении звука угловая скорость изменяется, чтобы поддерживать постоянную линейную скорость в месте чтения диска. При чтении по внешнему краю диска угловая скорость составляет около 200 об / мин (оборотов в минуту). Найдите линейную скорость.

При записи на записываемый привод CD-R угловая скорость компакт-диска часто намного выше, чем при воспроизведении звука, но угловая скорость по-прежнему изменяется, чтобы поддерживать постоянную линейную скорость в том месте, где записывается диск. При записи по внешнему краю диска угловая скорость одного привода составляет около 4800 об / мин (оборотов в минуту). Найдите линейную скорость, если диаметр компакт-диска составляет 120 миллиметров.

Показать решение

[латекс] 1 809 557,37 \ text {мм / мин} = 30,16 \ text {м / с} [/ латекс]

Человек стоит на экваторе Земли (радиус 3960 миль).Каковы его линейная и угловая скорости?

Найдите расстояние по дуге на поверхности Земли, которая образует центральный угол 5 минут

[латекс] \ left (1 \ text {minute} = \ frac {1} {60} \ text {степень} \ right) [/ latex]. Радиус Земли составляет 3960 миль.

Показать решение

[латекс] 5,76 \, [/ латекс] миль

Найдите расстояние по дуге на поверхности Земли, которая образует центральный угол в 7 минут

[латекс] \ left (1 \ text {minute} = \ frac {1} {60} \ text {степень} \ right) [/ latex].Радиус Земли составляет [латекс] \, 3960 \, [/ латекс] миль.

Рассмотрим часы с часовой и минутной стрелками. Каков угол наклона минутной стрелки в [латексных] \, 20 \, [/ латексных] минутах?

Добавочные номера

Два города имеют одинаковую долготу. Широта города A составляет 9 градусов северной широты, а широта города B - 30 градусов северной широты. Предположим, что радиус Земли составляет 3960 миль. Найдите расстояние между двумя городами.

Город расположен на 40 градусе северной широты.Предположим, что радиус Земли составляет 3960 миль, а Земля вращается каждые 24 часа. Найдите линейную скорость человека, проживающего в этом городе.

Город расположен на 75 градусе северной широты. Предположим, что радиус Земли составляет 3960 миль, а Земля вращается каждые 24 часа. Найдите линейную скорость человека, проживающего в этом городе.

Найдите линейную скорость Луны, если среднее расстояние между Землей и Луной составляет 239 000 миль, предполагая, что орбита Луны круговая и требует около 28 дней.Экспресс-ответ в милях в час.

Велосипед имеет колеса диаметром 28 дюймов. Тахометр определяет, что колеса вращаются со скоростью 180 об / мин (оборотов в минуту). Найдите скорость, с которой велосипед движется по дороге.

Автомобиль проезжает 3 мили. Его шины совершают 2640 оборотов. Какой радиус шины в дюймах?

Колесо трактора имеет диаметр 24 дюйма. Сколько оборотов делает колесо, если трактор проезжает 4 мили?

Градус

Градус - это единица измерения, обозначаемая символом °, используемая для обозначения угла в плоскости.Угол, равный 1 °, считывается 1 градус, равен одному полному обороту угла вокруг его вершины. На диаграмме ниже видно, что поворот конечной стороны угла против часовой стрелки образует круговую траекторию для угла.

Один полный оборот эквивалентен 360 °. Четверть оборота дает угол в 90 °, а половина оборота дает угол 180 °. Хотя углы могут иметь размеры больше, чем показано, выполняя несколько вращений, при изучении геометрии мы в основном будем смотреть только на углы до 360 °.

Знаете ли вы?

Углы могут иметь и другие единицы измерения. Углы могут быть измерены в радианах, что позволяет сравнить длину дуги, полученную при повороте угла, с радиусом окружности. Угол, который составляет 180 °, имеет размер π радиан. Еще одна единица измерения угла называется уклоном. Его также можно назвать уклоном, уклоном, уклоном, основным падением, тангажем или подъемом. Наклон угла измеряет отношение вертикального расстояния к горизонтальному расстоянию на конечном конце угла.Наклон часто представлен в процентах. У вас может быть опыт использования этой единицы измерения при восхождении или подъеме на гору. Крутизну холма или горы часто описывают в терминах уклона или уклона. Например, уклон холма может составлять 5%.


При использовании символа градуса будьте осторожны и не используйте его для названия угла, а только для его меры.

Название угла, показанного ниже, - A, а не A °. При указании его меры используйте m∠A = 80 ° или просто ∠A = 80 °, где ∠ - это символ, используемый для обозначения угла.

Уголки специальные

Некоторые углы чаще используются в геометрии из-за их размеров:


Обратите внимание, что угол 90 ° имеет небольшой квадрат в вершине. Это обозначение указывает угол, который составляет 90 °, и нет необходимости указывать размер угла в числовом выражении.

Измерительные углы

Транспортир - это распространенный инструмент, используемый для измерения углов. Большинство транспортиров измеряют углы в градусах.


Транспортиры обычно имеют два набора чисел.Оба набора можно использовать для измерения угла в градусах.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *