Возведение степени в степень
Главная » АЛГЕБРА » Возведение степени в степень – правила и примеры
АЛГЕБРА
Автор Ольга Викторовна Опубликовано
Степень степени – это возведение в степень числа или переменной, находящейся в степени. Например, или , или так . Чтобы возвести в степень степень надо знать правило: при возведении степени в степень надо показатели перемножить.
Содержание
Правила возведения степени в степень
Степень степени
При возведении степени в степень, показатели перемножаются, а основание степени остается прежним:
Степень произведения степеней
Если в степень возводится произведение степеней, то в степень возводится каждый множитель:
Степень частного степеней
Если в степень возводится частное степеней, то в степень возводится и делимое, и делитель:
Частные случаи возведения степени в степень
Степень в 1 степени равна самой себе:
Степень в 0 степени равна единице:
Примеры возведения степени в степень
Приведем примеры возведения степени в степень.
Возьмем для примера задания на вычисление из ЕГЭ.
Пример 1
Найти значение выражения:
Решение: При возведении степени в степень показатели перемножаются. Возведем .
Теперь у нас получается: .
Пример 2
Найдите значение выражения:
.
Решение:
Приведем степени к одному основанию – 2. Получим:
При возведении степени в степень показатели степени умножаются:
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются:
.
Пример 3
Найдите значение выражения .
Решение: Приведем степени в числителе и в знаменателе дроби к одному основанию . Получим:
. При возведении степени в степень показатели перемножаются:
Показатели вычитаются при делении степеней с одинаковыми основаниями:
.
Пример 4
Найдите значение выражения
Решение: При возведении в степень степени показатели степеней нужно перемножить.
Получим: .
Теперь приведем степени к одинаковому основанию: .
При вычитании степеней, основания которых одинаковы, показатели степеней вычитаются: .
Пример 5
Найдите значение выражения .
Решение: если возводятся в одну и ту же степень разные множители, то можно сначала их перемножить, а потом произведение уже возвести в эту степень. То есть,
Корень любой степени из числа можно также представить и как степень. В нашем выражении . Таким образом, мы можем все выражение записать под одним корнем.
Итак, наше выражение можно записать так:
.
Итак, мы с вами изучили возведение степени в степень. Разобрали что при возведении степени в степень показатели перемножаются, действия со степенями помогут решать задачи из ОГЭ на нахождение значения выражения. Задания на это правило часто используется при упрощении выражений, в уравнениях и в неравенствах.
Еще про степень можно посмотреть:
Свойства степеней с натуральным показателем.
{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{\text {п множсителей }}\]
Таким образом, для натурального показателя степень представляет собой укороченную запись умножения одинаковых множителей. В данном случае чтобы найти значение степени, следует перемножить число, которое является основанием, само на себя указанное количество раз.
Пример 1
Рассмотрим возведение числа 3 в степень 5. Согласно приведенному выше базовому определению:
35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
Для операций возведения во вторую и третью степень имеются устоявшиеся названия: возведение в квадрат и куб, соответственно. Таким образом, выражение «32» может быть прочитано как «три во второй степени» или «три в квадрате», оба варианта будут верными.
Значение степенных выражений с дробным основанием и натуральным показателем находится по той же схеме. В то же время, в соответствии с правилом умножения дробей, операция возведения дроби в степень может быть разбита на два действия, когда числитель и знаменатель возводятся в соответствующую показателю степень по отдельности.
{3}}=\frac{8}{125}\]
Операция возведения в натуральную степень имеет определенные особенности при работе с отрицательными числами. Рассмотрим следующий пример:
Пример 3
Найдем значения степенных выражений (-5)3 и (-5)4. Для этого, согласно базовому определению, необходимо умножить основание само на себя 3 и 4 раза соответственно:
(-5)3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125
(-5)4 =(-5) × (-5) × (-5) × (-5) = 625
Из приведенного примера можно видеть, что в первом случае полученный результат является отрицательным числом, а во втором – положительным. Это связано с правилом перемножения отрицательных чисел. Следствием из него является то, что если показатель степени отрицательного числа представляет собой четное число, результат будет положительным, если нечетное – отрицательным. Таким образом, степень с отрицательным основанием и четным показателем будет равна степени с таким же показателем и основанием, равным по модулю, но противоположным по знаку.
{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{\text {п множсителей }}\]
вне зависимости от значения основания, число в степени 1 равно самому себе.
На практике возможны и более сложные случаи, когда требуется найти значение степенного выражения, в котором показатель не является натуральным числом. Ниже будут рассмотрены ситуации, когда показатель степени представляет собой целое, дробное, рациональное или иррациональное число.
Вычисление степеней с целым показателем
Все операции по возведению в целую степень можно разделить на три группы: когда показатель является целым положительным (натуральным) числом, когда он равен нулю, и когда он является отрицательным числом.
Случай с натуральным показателем был рассмотрен ранее, поэтому мы не будем к нему возвращаться.
В случае, когда показатель равен нулю, для любого не равного нулю основания значение степени будет равно единице. Если же и основание, и показатель степени равны нулю значение выражения будет не определено.
{1 / 2}}=\frac{1}{\sqrt{49}}=\frac{1}{7}\]
Также необходимо рассмотреть случай, когда основанием степени является ноль, а показателем – дробное число. Как и в случае с целыми показателями, подобные выражения имеют смысл лишь в том случае, когда показатель больше нуля. В противном случае выражение будет не определено.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Нахождение степеней с иррациональным показателем
Иногда возникает необходимость нахождения значения степени, показатель которой представляет собой иррациональное число. Проблема заключается в том, что найти точное значение подобного выражения невозможно. Однако для решения любой практической задачи, как правило, достаточно нахождения значения степенного выражения с определенной степенью точности. В этом случае иррациональный показатель округляется до требуемого десятичного знака, после чего вычисление осуществляется согласно правилам, принятым для дробного показателя.
{1,4142} \approx 2,66512\]
Можно видеть, что полученные значения различаются во втором знаке после запятой, при этом второе значение является более точным.
В большинстве случаев вычисление степеней с иррациональными показателями является сложной задачей, для решения которой используется вычислительная техника.
Экспоненты и правила для экспонентов
Перейти к основному содержанию
Число, возведенное в степень, представляет произведение, в котором то же число используется в качестве повторный фактор. Число называется основанием, а степень выражается показателем степени. Основанием является повторяющийся множитель (умноженное число), а показатель степени подсчитывает количество факторов. Показатель степени означает, что мы имеем дело с произведениями и умножением.
В выражении b n , b — основание, а n — показатель степени.
Это выражение означает, что мы используем b в качестве множителя, и у нас есть n множителей b. Например:
5 3 (прочитайте пять в третьей степени) означает, что у нас есть 3 фактора 5, или 5*5*5, что упрощает до 125.
5 3 — экспоненциальная форма,
5*5*5 — расширенная форма,
125 — произведение или упрощенная форма.
| Форма экспонента | Расширенная форма | Упрощенный (Форма продукта) |
|---|---|---|
| 5 3 | 5*5*5 | 125 |
| 3 5 | 3*3*3*3*3 | 243 |
| 9 2 | 9*9 | 81 |
| 3 4 | 3*3*3*3 | 81 |
| х 3 | х*х*х | х 3 |
Когда мы вычисляем числа в экспоненциальной форме, которые имеют одно и то же основание, мы всегда можем
преобразовать в развернутую форму, подсчитать количество факторов, затем вернуться к показателю степени
форме, особенно когда основание является переменной.
Умножить х 3 раз x 5 :
Мы могли бы расширить до (x*x*x) * (x*x*x*x*x), затем подсчитать множители x и преобразовать
вернуться к экспоненциальной форме. Так как теперь есть 8 множителей x, мы пишем x8.
Откуда взялась цифра 8? Ну, у нас есть 3 множителя x для x 3 и 5 множителей x для x 5 , и это добавляет к 8 множителям x. Поскольку x по-прежнему является нашей базой, а наш новый показатель степени равен 8; мы можем написать наш продукт как
х 8 .
Когда мы умножаем два числа с одинаковым основанием, мы можем сложить исходные показатели степени
найти новый показатель степени произведения. Это звучит как сокращение (AKA: RULE):
Правило произведения для экспонент: a m * a n = a m + n .
Разделить x 7 на x 4 :
Расширить до . X сверху будет делиться на 1 с одним из x внизу, пока
внизу больше нет иксов, осталось 3 х сверху вместо 1 внизу:
, что упрощается до или x 3 .
Мы также замечаем, что 7 – 4 = 3, что является нашим ярлыком (правилом) для нахождения нашего частного.
Частное правило для экспонент: a m / a n = a m–n .
Найти (x 3 ) 4 :
Заметьте также, что 3*4 = 12. Мы можем умножить показатель степени на степень упрощения, поэтому у нас есть ярлык (правило), чтобы найти нашу силу:
Степенное правило для экспонент: (a m ) n = a m*n .
Найдите x -2 :
Помните правило отношения: x m / x n = x m-n .
Что происходит, когда n > m? Вы получаете отрицательный показатель. Посмотрим, как это выглядит
как в развернутом виде:
Если мы применим правило частного, мы получим x 3–5 = x –2 .
Следовательно, x –2 = 1/x 2
Правило отрицательного показателя степени: x –n = 1/x n .
Как вычислить x 0 ?
Опять же, это восходит к правилу частных: найти x 3 /x 3 .
Правило нулевой степени: x 0 = 1, для всех x ≠ 0.
Краткое изложение правил (думаю: ярлыки)
Правило продукта для экспонентов: a м * а n = а м + n .
Чтобы найти произведение двух чисел с одинаковым основанием, сложите показатели степени.
Частное правило для экспонент: a m / a n = a m–n .
Чтобы найти частное двух чисел с одинаковым основанием, вычтите показатель степени
знаменатель от показателя степени числителя.
Правило степени для экспонент: (a m ) n = a m*n .
Чтобы возвести число с показателем степени в степень, умножьте показатель степени на степень.
Правило отрицательного показателя степени: x –n = 1/x n .
Инвертируйте основание, чтобы преобразовать отрицательную экспоненту в положительную.
Правило нулевой степени: x 0 = 1, для .
Любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно 1.
Государственный университет Среднего Теннесси © Политика недискриминацииУсловия
Степень степенного правила – Формула, Примеры
Степень степени степенного правила в показателях – это правило, которое применяется для упрощения алгебраического выражения, когда основание возводится в степень, а затем возводится все выражение к другой власти.
Далее в этой статье мы подробно изучим правило силы к силе и его формулу. Мы поймем применение силы степенного правила в упрощении алгебраических выражений с отрицательными и рациональными показателями. Мы решим несколько примеров на основе концепции для лучшего понимания.
| 1. | Что такое сила правила силы? |
| 2. | Power To Power Rule Formula |
3. | Сила степенного правила с отрицательными показателями |
| 4. | Дробная мощность в правиле мощности |
| 5. | Упрощение силы правила мощности |
| 6. | Часто задаваемые вопросы о Power Of A Power Rule |
Что такое сила правила силы?
Степень степенного правила в показателях, когда основание возводится в степень и все выражение снова возводится в другую степень, то есть когда мы имеем выражение вида (a m ) n как здесь «а» — это основание, возведенное в степень «m», а затем все выражение a m возводится в другую степень «n». Чтобы упростить это, мы используем правило степени к мощности, заданное выражением (a m ) n = a m n , где мы умножаем две степени «m» и «n», сохраняя основание таким же, как «a». Мы можем сформулировать правило мощности в степени так: «Если основание, возведенное в степень, возводится в другую степень, то две степени умножаются, а основание остается прежним».
Power To Power Rule Formula
Формула отношения мощности к правилу мощности определяется выражением (a m ) n = a m n , где a — основание, а m, n — степени, определяется как (a m ) n = a m n . Мы применяем эту формулу, когда показатель степени задается в виде (a m ) n . Мы можем просто умножить мощности и оставить базу прежней. Некоторые примеры правила:
- (x 2 ) 3 = x 2×3
- (3 4 ) 2 = 3 4×2 = 3 8
- [(х + у) 5 ] 7 = (х + у) 5×7 = (х + у) 35
Сила степенного правила с отрицательными показателями
Теперь мы знаем формулу зависимости силы от власти. Когда степень основания отрицательна, мы можем применить ту же формулу, умножив показатели степени.
Итак, если m > 0 и n > 0 и у нас отрицательные показатели, то, используя ту же формулу, что и выше, мы имеем
- (a -m ) -n = a -m×-n = a mn
- (a -m ) n = a -m×n = a -mn
- (a м ) -n = a m×-n = a -mn
Используя приведенные выше формулы, мы можем применить силу степенного правила и упростить выражения с отрицательными показателями.
Дробная мощность в правиле мощности
Степени дробей — это степени, когда показатели степени основания имеют вид p/q, где p и q — целые числа. Итак, мы применяем ту же формулу мощности к правилу мощности, чтобы упростить выражение. Таким образом, формула рациональной мощности степенного правила имеет следующий вид: (a p/q ) m/n = a pq/mn . Здесь мы умножаем два числителя и два знаменателя по отдельности.
Вот некоторые из примеров рациональной мощности степенного правила:
- (x 1/3 ) 2 = х 2/3
- (4 3 /2 ) 2/3 = 4 3×2/2×3 = 4 1 = 4
- (2 -2 ) 3/2 = 2 -2 × 3/2 = 2 -3 = 1/2 3
Упрощение силы правила мощности
Теперь, когда мы знаем формулу степени к правилу степени с положительными показателями, отрицательными показателями и рациональными показателями. Давайте решим несколько примеров и применим формулу, чтобы понять ее применение.
Пример 1: Найдите значение (-2 2 ) 5 .
Решение: Чтобы упростить выражение (-2 2 ) 5 , мы применяем степень к правилу степени и умножаем степени 2 и 5.
(-2 2 ) 8 5 (-2)
2×5
= (-2) 10
= 2 10 — [Поскольку степень 10 четная]
= 1024
0 уточните выражение (х -5 ) 9 Решение: Мы можем заметить, что выражение (x -5 ) 9 имеет отрицательную степень.
Итак, мы умножаем две степени -5 и 9, чтобы получить результат и оставить основание x таким же.
(x -5 ) 9 = x -5×9
= x -45
) -3 /4 .
Решение: Чтобы найти значение (3 2/3 ) -3/4 , мы будем использовать силу степенного правила для рациональных показателей. Мы просто перемножим степени 2/3 и -3/4, сохранив основание равным 3. Итак, мы имеем
(3 2/3 ) -3/4 = 3 2/3×- 3/4
= 3 -2/4
= 3 -1/2
= 1/√3 — [Используя правило экспоненты a -m = 1/a 8 ]
Важные примечания о мощности правила мощности
- Правило степени в степени гласит: «Если основание, возведенное в степень, возводится в другую степень, то две степени умножаются, а основание остается прежним».
- Формула мощности степенного правила: (a m ) n = a m n .
- Степень правила степени для отрицательных показателей:
- (a -m ) -n = a -m×-n = a mn
- ( -m ) n = a -m×n = a -mn
- (a м ) -n = a m×-n = a -mn
- Рациональная мощность к правилу мощности: (a p/q ) m/n = a pq/mn
☛ Связанные темы:
- Формула степени
- Разница между показателем степени и степенью
- Экспоненциальные уравнения
Часто задаваемые вопросы о правиле Power Of A Power
Что такое сила степенного правила в математике?
Степень степенного правила в показателях степени — это правило, которое применяется для упрощения алгебраического выражения, когда основание возводится в степень, а затем все выражение возводится в другую степень.
Правило гласит: «Если основание, возведенное в степень, возводится в другую степень, то две степени перемножаются, а основание остается прежним».
Что такое формула силы для правила силы?
Формула отношения мощности к правилу мощности определяется выражением (a m ) n = a m n , где a — основание, а m, n — степени, определяется по формуле, (a м ) n = a м n . Мы можем просто умножить мощности и оставить базу прежней.
Что такое сила степенного правила для отрицательных показателей?
Когда степень основания отрицательна, мы можем применить ту же формулу (a m ) n = a m n путем умножения показателей степени. Если m > 0 и n > 0, то мы имеем
- (a -m ) -n = a -m×-n = a mn
- (a -m ) n = a -m×n = a -mn
- (a м ) -n = a m×-n = a -mn
Как упростить алгебраические выражения с рациональными показателями, используя силу степенного правила?
Формула рациональной мощности степенного правила определяется следующим образом: (a p/q ) m/n = a pq/mn .