Цпт что такое: ЦПТ — это… Что такое ЦПТ?

ЦПТ — это… Что такое ЦПТ?

  • ЦПТ — центральный тепловой пункт …   Словарь сокращений русского языка

  • ТЦП — ЦПТ ТЦП ЦТП центральный тепловой пункт; тепловой центральный пункт энерг. ЦТП Словарь: С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. С. Пб.: Политехника, 1997. 527 с. ТЦП Тойота центр Приморский авто, организация, Санкт Петербург… …   Словарь сокращений и аббревиатур

  • центра и периферии теория — (ЦПТ), создана для описания пространственных отношений между территориями (странами и районами), находящимися на разных стадиях социально экономического развития. По Дж. Фридману, ЦПТ применима для национального и глобального уровней. Для… …   Географическая энциклопедия

  • Бунин, Игорь Михайлович — Игорь Михайлович Бунин Игорь Бунин в феврале 2012 года Дата рожден …   Википедия

  • Бунин, Игорь — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Бунин И. М. — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Бунин Игорь — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Бунин Игорь Михайлович — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Игорь Бунин — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Игорь Михайлович Бунин — (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Центральная предельная теорема | Data Science

    Практика изучения случайных явлений показывает, что хотя результаты отдельных наблюдений, даже проведенных в одинаковых условиях, могут сильно отличаться, в то же время средние результаты для достаточно большого числа наблюдений устойчивы и слабо зависят от результатов отдельных наблюдений. Теоретическим обоснованием этого замечательного свойства случайных явлений является закон больших чисел. Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

    Центральная предельная теорема

    Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения. (Источник)

    Итак, нормальное распределение — наиболее распространенное в природе распределение непрерывных величин. Математическим обоснованием этого факта служит центральная предельная теорема:

    Сумма большого числа как угодно распределенных независимых случайных величин распределена асимптотически нормально, если только слагаемые вносят равномерно малый вклад в сумму.

    Это значит, что чем больше независимых слагаемых в сумме, тем ближе закон ее распределения к нормальному. Вместо суммы часто рассматривают среднее арифметическое большого числа случайных величин, оно отличается от суммы только множителем (1/n) , поэтому его распределение также стремится к нормальному с ростом числа n суммируемых величин. Поскольку случайные величины, с которыми мы сталкиваемся, например, при измерениях, есть результат действия множества независимых факторов, понятно, почему измеряемые значения, как правило, распределены нормально.

    Следствием центральной предельной теоремы является широко применяемая при решении задач теорема Муавра-Лапласа.

    Дополнительные тезисы:
    • Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный. Но в среднем при грубом предположении распределение считают нормальным при n>=30.
    • Закон больших чисел лежит в основе различных видов страхования (страхование жизни человека на всевозможные сроки, имущества, скота, посевов и др.).
    • При планировании ассортимента товаров широкого потребления учитывается спрос на них населения. В этом спросе проявляется действие закона больших чисел.
    • Широко применяемый в статистике выборочный метод находит свое научное обоснование в законе больших чисел. Например, о качестве привезенной из колхоза на заготовительный пункт пшеницы судят по качеству зерен, случайно захваченных в небольшую мерку. Зерна в мерке немного по сравнению со всей партией, но во всяком случае мерку выбирают такой, чтобы зерен в ней было вполне достаточно для проявления закона больших чисел с точностью, удовлетворяющей потребности. Мы вправе принять за показатели засоренности, влажности и среднего веса зерен всей партии поступившего зерна соответствующие показатели в выборке. (Источник)
    Исследуем утверждение центральной предельной теоремы с помощью экспоненциального распределения

    Вместо введения


    В статье описывается исследование, проведенное с целью проверки утверждения центральной предельной теоремы о том, что сумма N независимых и одинаково распределенных случайных величин, отобранных практически из любого распределения, имеет распределение, близкое к нормальному. Однако, прежде чем мы перейдем к описанию исследования и более подробному раскрытию смысла центральной предельной теоремы, не лишним будет сообщить, зачем вообще проводилось исследование и кому может быть полезна статья.

    В первую очередь, статья может быть полезна всем начинающим постигать основы машинного обучения, в особенности если уважаемый читатель еще и на первом курсе специализации «Машинное обучение и анализ данных». Именно подобного рода исследование требуется провести на заключительной неделе первого курса, указанной выше специализации, чтобы получить заветный сертификат.


    Подход к проведению исследования


    Итак, вернемся к вопросу исследования. О чем говорит нам центральная предельная теорема. А говорит она вот о чем. Если есть случайная величина X из практически любого распределения, и из этого распределения случайным образом сформирована выборка объемом N, то выборочное среднее, определенное на основании выборки, можно приблизить нормальным распределением со средним значением, которое совпадает с математическим ожиданием исходной совокупности.

    Для проведения эксперимента нам потребуется выбрать распределение, из которого случайным образом будет формироваться выборка. В нашем случае мы воспользуемся экспоненциальным распределением.

    Итак, мы знаем, что плотность вероятности экспоненциального распределения случайной величины

    X имеет вид:


    , где ,

    Математическое ожидание случайной величины X, в соответствии с законом экспоненциального распределения определяется, обратно :

    Дисперсия случайной величины X определяется как

    В нашем исследовании используется параметр экспоненциального распределения , тогда ,

    Для упрощения восприятия значений и самого эксперимента, предположим, что речь идет о работе устройства со средним ожиданием времени безотказной работы в 80 часов. Тогда, чем больше времени проработает устройство, тем меньше вероятности того, что не будет отказа и наоборот – при стремлении работы устройства к нулю времени (часам, минутам, секундам), вероятность его поломки также стремится к нулю.

    Теперь из экспоненциального распределения с заданным параметром выберем 1000 псевдослучайных значений. Сравним полученные результаты выборки с теоретической плотностью вероятности.

    Далее, и это самое главное в нашем небольшом исследовании, сформируем следующие выборки. Возьмем 3, 15, 50, 100, 150, 300 и 500 случайных величин из экспоненциального распределения, определим для каждого объема (от 3 до 500) среднее арифметическое, повторим 1000 раз. Для каждой выборки построим гистограмму и наложим на нее график плотности соответствующего нормального распределения. Оценим получившиеся параметры выборочного среднего, дисперсии и стандартного отклонения.

    На этом можно было бы завершить статью, но есть предложение несколько расширить границы эксперимента. Оценим насколько указанные параметры, при увеличении объема выборки от 3 до 500, будут отличаться от своих собратьев – таких же параметров соответствующих нормальных распределений. Другими словами, нам предлагается ответить на вопрос, а будем ли мы наблюдать уменьшение отклонений при увеличении объема выборки?

    Итак, в путь. Нашими инструментами сегодня будут язык Python и Jupyter notebook.

    Исследуем утверждение центральной предельной теоремы


    Исходный код исследования выложен на гитхабе
    Внимание! Для работы с файлом требуется Jupyter notebook!

    Сгенерированная нами в соответствии с законом экспоненциального распределения выборка псевдослучайной величины 1000 раз достаточно хорошо характеризует теоретическую (исходную) совокупность (график 1*, таблица 1).

    График 1 «Исходная совокупность экспоненциального распределения и выборка»

    Таблица 1 «Параметры исходной совокупности и выборки»

    Теперь посмотрим, что произойдет, если мы возьмем 1000 раз не одну псевдослучайную величину, а среднее арифметическое от 3, 15, 50, 100, 150, 300 или 500 псевдослучайных величин и сравним параметры каждой выборки с параметрами соответствующих нормальных распределений (график 2**, таблица 2).

    График 2.1 «Выборка объемом 5»


    График 2.2 «Выборка объемом 50»


    График 2.3 «Выборка объемом 100»




    График 2.4 «Выборка объемом 150»


    График 2.5 «Выборка объемом 300»


    График 2.6 «Выборка объемом 500»


    Таблица 2 «Параметры выборок»

    В соответствии с графическим представлением результатов хорошо прослеживается следующая закономерность: с ростом объема выборки распределение приближается к нормальному и происходит концентрация псевдослучайных величин вокруг выборочного среднего, а выборочное среднее приближается к математическому ожиданию исходного распределения.

    В соответствии с данными представленными в таблице, подтверждается закономерность, выявленная на графиках – с ростом объема выборки, значения дисперсий и стандартных отклонений заметно снижаются, что указывает на более плотную концентрацию псевдослучайных величин вокруг выборочных средних.

    Но это, еще не все. Мы помним, что в начале статьи было сформировано предложение проверить будут ли с ростом объема выборки уменьшаться отклонения параметров выборки относительно параметров соответствующего нормального распределения.

    Как видно (график 3, таблица 3), сколь угодно заметного сокращения отклонений не происходит – параметры выборок прыгают то в плюс, то в минус на разные расстояния и никак не хотят стабильно приближаться к расчетным значениям. Объяснение отсутствия положительной динамики мы обязательно попытаемся найти в следующих исследованиях.

    График 3 «Отклонения параметров выборок от расчетных теоретических»

    Таблица 3 «Отклонения параметров выборок от расчетных теоретических»

    Вместо выводов


    Наше исследование, с одной стороны, в очередной раз, подтвердило выводы центральной предельной теоремы о приближении независимых случайно распределенных величин к нормальному распределению с ростом объема выборки, с другой стороны, позволило успешно завершить обучение первого курса большой специализации.

    * Развивая логику примера с оборудованием, безотказное время которого составляет 80 часов, по оси «икс» мы обозначим часы – чем меньше времени работает, тем меньше вероятности отказа.

    ** Здесь требуется иная интерпретация значений по оси «икс» — вероятность того, что прибор отработает в около 80 часов самая высокая и соответственно она уменьшается как при увеличении времени работы (то есть маловероятно, что прибор будет работать намного дольше 80-ти часов), так и при уменьшении времени работы (вероятность того, что прибор выйдет из строя менее чем за 80-ть часов также мала).

    Следующая работа автора — «Решаем уравнение простой линейной регрессии»

    Центральная предельная теорема — это… Что такое Центральная предельная теорема?
    Question book-4.svg В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
    Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
    Эта отметка установлена 15 мая 2011.

    Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что совокупность достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

    Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

    Классическая формулировка Ц.П.Т.

    Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние и , соответственно. Пусть также

    .

    Тогда

    по распределению при ,

    где — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом выборочное среднее первых величин, то есть , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:

    по распределению при .

    Скорость сходимости можно оценить с помощью неравенства Берри-Эссеена.

    Замечания

    Локальная Ц.П.Т.

    В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение также абсолютно непрерывно, и более того,

    при ,

    где — плотность случайной величины , а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

    Некоторые обобщения

    Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

    Ц.П.Т. Линдеберга

    Пусть независимые случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: . Как и прежде построим частичные суммы . Тогда в частности, . Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:

    Тогда

    по распределению при .

    Ц.П.Т. Ляпунова

    Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность

    . Если предел
    (условие Ляпунова),

    то

    по распределению при .

    Ц.П.Т. для мартингалов

    Пусть процесс является мартингалом с ограниченными приращениями. В частности, допустим, что

    и приращения равномерно ограничены, т.е.

    п.н.

    Введём случайные процессы и следующим образом:

    и

    .

    Тогда

    по распределению при .

    См. также

    Ссылки

    ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА • Большая российская энциклопедия

    ЦЕНТРА́ЛЬНАЯ ПРЕДЕ́ЛЬНАЯ ТЕО­РЕ́­МА, об­щее на­зва­ние ря­да пре­дель­ных тео­рем тео­рии ве­ро­ят­но­стей, в ко­то­рых ус­та­нав­ли­ва­ет­ся, что при боль­шом чис­ле сла­гае­мых рас­пре­де­ле­ния сумм не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин близ­ки к нор­маль­но­му рас­пре­де­ле­нию. Эти тео­ре­мы яв­ля­ют­ся об­об­ще­ния­ми Му­ав­ра – Лап­ла­са тео­ре­мы. Пусть $X_1$, $X_2$, $…$ – не­за­ви­си­мые слу­чай­ные ве­ли­чи­ны со сред­ни­ми зна­че­ния­ми $\mathsf{E}X_j=a_j$ и дис­пер­сия­ми $\mathsf{D}X_j=σ^2_j > 0$. Пусть $S_n=X_1+…+X_n$, $A_n=\mathsf{E}S_n=a_1+…+a_n$ – сред­нее зна­чение $S_n$ и $B_n^2=\mathsf{D}S_n=σ_1^2+…+σ_n^2$ – её ди­спер­сия. Один из про­стей­ших ва­ри­ан­тов Ц. п. т. ут­вер­жда­ет, что при оп­ре­де­лён­ных ус­ло­ви­ях функ­ции рас­пре­де­ления нор­ми­ро­ван­ных сумм $S_n^*=\frac{S_n-A_n}{B_n}$, т. е. $F(x)=\mathsf{P}(S_n^* < x)$ при рос­те $n$ стре­мят­ся к функ­ции рас­пре­де­ле­ния стан­дарт­но­го нор­маль­но­го за­ко­на $Φ(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}\int_{-\infty}^{x}e^{-u^2/2}du$: $$Fn(x)→Φ(x),\,n→∞,\tag{*}$$ при­чём эта схо­ди­мость рав­но­мер­на по $-∞ < x < ∞$. След­ст­ви­ем это­го яв­ля­ет­ся со­от­но­ше­ние $\mathsf{P}(X_1+…+X_n < x) — Φ_n(x)→0,\,n→∞,$ где $Φ_n(x)$ – нор­маль­ная функ­ция рас­пре­де­ле­ния со сред­ним $A_n$ и дис­пер­си­ей $B_n^2$, т. е. при боль­ших $n$ функ­ции рас­преде­ле­ния сумм $S_n=X_1+…+X_n$ ма­ло от­ли­ча­ют­ся от нор­маль­ных функ­ций рас­пре­де­ле­ния с те­ми же сред­ни­ми и дис­пер­сия­ми, что у $S_n$. Это по­зво­ля­ет в прак­тич. рас­чё­тах за­ме­нять функ­ции рас­пре­де­ле­ния сумм не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин, ко­то­рые обыч­но не­из­вест­ны (их вы­чис­ле­ние свя­за­но с очень боль­ши­ми труд­но­стя­ми), нор­маль­ны­ми функ­ция­ми рас­пре­де­ле­ния, ра­бо­та с ко­то­ры­ми труд­но­стей не пред­став­ля­ет.

    Для спра­вед­ли­во­сти (*) дос­та­точ­но, что­бы для не­ко­то­ро­го $δ > 0$ $$\frac{β_{2+δ}(X_1)+…+β_{2+δ}(X_n)}{B^{2+δ}_n} → 0,\,n→∞,$$

    где $β_{2+δ}(X_j)=\mathsf{E}|X_j-a_j|^{2+δ}$ (тео­ре­ма Ляпу­но­ва, 1900). Для то­го что­бы выпол­ня­лось (*) и од­но­вре­мен­но $B_n^{-2} \text{max}_{1 \leqslant j \leqslant n} σ^2_j → 0,\,n→∞,$ не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но вы­пол­не­ния ус­ло­вия $$B_n^{-2}\sum_{j=1}^n\int_{x-a_j | \geqslant εB_n} (x-a_j)^2dG_j(x)→0,\,n→∞,$$ где $G_j$ – функ­ции рас­пре­де­ле­ния $X_j$ (тео­ре­ма Лин­де­бер­га – Фел­ле­ра). Ес­ли слу­чай­ные ве­ли­чи­ны $X_1$, $X_2$, $…$ оди­на­ко­во рас­пре­де­ле­ны, то для спра­вед­ли­во­сти (*) дос­та­точ­но су­ще­ст­во­ва­ния их дис­пер­сии. На­ря­ду с ут­вер­жде­ни­ем (*), ко­то­рое ино­гда на­зы­ва­ют ин­те­граль­ной фор­мой Ц. п. т., рас­смат­ри­ва­ют­ся её ло­каль­ные фор­мы. Од­на из ло­каль­ных форм Ц. п. т. для плот­но­стей ут­вер­жда­ет, что в слу­чае оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ных ве­ли­чин $X_1$, $X_2$, $…$ плот­но­сти ве­ро­ят­но­стей $p_n(x)$ нор­ми­ро­ван­ных сумм $S_n^*$ схо­дят­ся к плот­но­сти стан­дарт­но­го нор­маль­но­го за­ко­на: $$p_n(x) →  φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{-x^2/2},\,n→∞, -∞ < x < ∞.$$ Для cпрa­вeд­ли­во­cти это­го yт­вeр­ждeния доc­тa­точно до­пол­ни­тeльно прeд­по­ло­жить cy­щe­cт­во­вa­ниe ог­рaни­чeнныx плотно­cтeй y cлy­чaйныx вe­ли­чин Х_1$, $Х_2$, $…$ . О ло­каль­ной фор­ме Ц. п. т. для слу­чай­ных ве­ли­чин с ре­шёт­ча­ты­ми рас­пре­де­ле­ния­ми см. в ст. Ре­шёт­ча­тое рас­пре­де­ле­ние.

     

    Один из важ­ней­ших во­про­сов, свя­зан­ных с при­ме­не­ния­ми Ц. п. т., – во­прос о точ­но­сти ап­прок­си­ма­ции, ко­то­рую она га­ран­ти­ру­ет. Са­мым из­вест­ным ре­зуль­та­том в этом кру­ге во­про­сов яв­ля­ет­ся тео­ре­ма Бер­ри – Эс­сее­на, ко­торая, в ча­ст­но­сти, ут­вер­жда­ет, что для оди­на­ко­во рас­пре­де­лён­ных ве­ли­чин $X_1$, $X_2$, $…$ со сред­ним $a$ и дис­пер­си­ей $σ^2$ $$ρ(F_n,Φ)=\text{sup}_{-∞ < x < ∞}|F_n(x)-Φ(x)| \leqslant c\frac{β_3}{σ^3\sqrt{n}},$$где $β_3=\mathsf{E}|X_1-a|^3$, $c$ – по­сто­ян­ная, из­вест­но, что $c≈0,4$.

    Изу­ча­ют­ся так­же асим­пто­ти­че­ские раз­ло­же­ния в Ц. п. т., в ко­то­рых к нор­маль­но­му за­ко­ну до­бав­ля­ют­ся сла­гае­мые, стре­мя­щие­ся к ну­лю при $n→∞$. Эти сла­гае­мые по­зво­ля­ют по­лу­чить бо­лее вы­со­кую точ­ность ап­прок­си­ма­ций для рас­пре­де­ле­ний сумм $X_1$+$…$+$X_n$ по срав­не­нию с точ­но­стью ап­прок­си­ма­ции в центр. пре­дель­ной тео­ре­ме.

    Име­ют­ся мно­го­числ. обоб­ще­ния Ц. п. т. на сла­бо­за­ви­си­мые слу­чай­ные ве­ли­чи­ны, на слу­чай­ные ве­ли­чи­ны из мно­го­мер­ных и бес­ко­неч­но­мер­ных про­странств и на слу­чай­ные про­цес­сы.

    ЦПТ — это… Что такое ЦПТ?

  • ЦПТ — ТЦП ЦТП центральный тепловой пункт; тепловой центральный пункт энерг. ЦТП Словарь: С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. С. Пб.: Политехника, 1997. 527 с. ЦПТ центральная предельная теорема ЦПТ Ц …   Словарь сокращений и аббревиатур

  • ТЦП — ЦПТ ТЦП ЦТП центральный тепловой пункт; тепловой центральный пункт энерг. ЦТП Словарь: С. Фадеев. Словарь сокращений современного русского языка. С. Пб.: Политехника, 1997. 527 с. ТЦП Тойота центр Приморский авто, организация, Санкт Петербург… …   Словарь сокращений и аббревиатур

  • центра и периферии теория — (ЦПТ), создана для описания пространственных отношений между территориями (странами и районами), находящимися на разных стадиях социально экономического развития. По Дж. Фридману, ЦПТ применима для национального и глобального уровней. Для… …   Географическая энциклопедия

  • Бунин, Игорь Михайлович — Игорь Михайлович Бунин Игорь Бунин в феврале 2012 года Дата рожден …   Википедия

  • Бунин, Игорь — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Бунин И. М. — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Бунин Игорь — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Бунин Игорь Михайлович — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Игорь Бунин — Игорь Михайлович Бунин (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Игорь Михайлович Бунин — (лтш. Igors Buņins; родился 25 февраля 1946 в городе Рига)  российский политолог. Содержание 1 Образование 2 Научная деятельность 3 Политтехнолог …   Википедия

  • Центральная предельная теорема теории вероятностей.Закон больших чисел.
             
      Главная > Учебные материалы > Математика:  Центральная предельная теорема теории вероятностей. Закон больших чисел.  
       
       
     
    1.Закон больших чисел — Теорема Чебышева.
    2.Неравенство Маркова.
    3.Неравенство Чебышева.
    4.Центральная предельная теорема (Теорема Ляпунова).

     

       
         
      24 25 26 27 28 29 30 31 32  
         
       

    1.Закон больших чисел- Теорема Чебышева.

     
     

       Многие явления и процессы протекают непрерывно или периодически при большом числе испытаний. В этом случае среднее значение случайной величины колебается в определенных пределах или даже стремится к вполне определенному значению. Иными словами, случайная величина перестает быть случайной и может быть предсказана с высокой степенью вероятности (рис.1). Отклонение случайной величины от средней арифметической в каждом конкретном случае есть безусловно. А при беконечно большом числе испытаний эти отклонения взаимно погашают друг друга и средний их результат стремится к какому-то постоянному значению, т.е к математическому ожиданию. В этом и заключается смысл закона больших чисел.

     
     

        Другими словами, если взять предел вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания при стремлении к бесконечности числа испытаний n, то он будет равен единице.

       Рассмотрим пример: пусть вероятность поступления заказа в магазин А равна 0,2 или каждый 5-й звонящий делает заказ. Составим закон распределения поступления 5-ти заказов.

    n = 5
    m — число поступивших заказов
    p = 0.2
    q = 1 — p

     
    Рис.1
     
     

       Из графика (рис.2) можно увидеть, что вероятность поступления 3-х заказов составляет чуть больше 0,05, а 4-х и 5-ти — очень низкая. Т.е. в каждой серии из 5-ти звонков число заказов может выпадать например 2 0 1 0 1 2 0 1 0 3 …… и т.д. Числа 3, 4, 5 будут выпадать очень редко. Число 5 — практически невозможное событие. Вообщем, если число серий по 5 звонков будет стремится к бесконечности, то средняя арифметическая случайной величины X1 — будет стремится к математическому ожиданию М(Х) = 1. Что и описывает закон больших чисел.

     

     

     

     

    Рис.2
     
     

       Отсюда можно сформулировать теорему Чебышева, которая гласит, что если дисперсии n независимых случайных величин не превышают какую-то величину С, т.е. ограниченны, то при стремлении числа n к бесконечности средняя арифметическая этих случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий. Т.е.

       Это означает, что отклонение средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит сколь угодно малое число ɛ или ( |Хср — аср| < ɛ). В этом заключается смысл данной теоремы.

     

     

    2.Неравенство Маркова.

     
     

       Допустим есть случайная величина Х, которая принимает только положительные значения и имеет математическое ожидание, например число заказов на покупку офисной техники в месяц. Тогда для любого положительного числа А верно неравенство:

     
     

       
     

       Второе неравенство справедливо выполняется, т.к. события P (x > A) и P (x ≤ A) противоположные.

       Например, среднее число заказов на покупку офисной техники за месяц равно 500. Оценить вероятность того, что в следующем месяце число заказов составит более 600.

     
     

       
     

       Т.е. вероятность того, что число заказов превысит 600 составляет не более 0,833. Соответственно вероятность того что, число заказов составит не более 600 будет:

     
         
     
       
     

    3.Неравенство Чебышева.

       
     

       С помощью неравенства Чебышева можно рассчитать вероятность отклонения случайной величины от любого числа ɛ. Но здесь уже используется дисперсия случайной величины.

       Неравенство Чебышева имеет вид:

    где

       а = M(X)
       ɛ > 0

       Данная формула позволяет рассчитать вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания превысит любое число ɛ. Вероятность противоположного события, т.е. P (|X — a| ≤ ɛ), так же как и в неравенстве Маркова рассчитывается по следующей формуле:

     
     

        Неравенство Чебышева можно применять для любых случайных величин. В первом случае оно устанавливает верхнюю границу вероятности, а во втором — нижнюю.

     

     

    4.Центральная предельная теорема (Теорема Ляпунова).

     
     

       Закон больших чисел устанавливает условия, при которых среднее значение случайной величины стремится к некоторой постоянной, при стремлении числа испытаний к бесконечности. Существует группа теорем, которая описывает условия стремления закона распределения случайной величины к нормальному. Одна из таких теорем — теорема Ляпунова. Данная теорема устанавливает некоторые условия, при которых закон распределения суммы Yn = X1 + X2 + … + Xn случайных величин при стремлении n к бесконечности стремится к нормальному закону распределению. Рассмотрим эти условия: если есть независимые случайные величины X1, X2, X3 … и каждая из этих величин имеет математическое ожидание М(Хi) и дисперсию D(Xi), абсолютный центральный момент третьего порядка bi и предел отношения

    стремится к нулю, то закон распределения суммы этих величин при стремлении n к бесконечности приближается к нормальному закону распределения

     
     

       Необходимо отметить то, что скорость стремления закона распределения случайной величины в каждом явлении может быть разная. В одних случаях n может равняться десяткам, а вдругих сотням, тысячам и т.д.

       Закон больших чисел играет важное значение в теоретическом плане, т.к. он служит обоснованием методов математической статистики. На практике закон больших чисел можно продемонстрировать на примере погоды. Например, атмосферное давление каждый день есть величина случайная. Однако ее среднегодовое значение в течении многих лет практически не изменяется.

     
             
       
         
      24 25 26 27 28 29 30 31 32  
     
         
     

    Что означает CPT?

    :


    9000 5 000 5 000 5000 9 000 5
    CPT

    Перевозка оплачена до

    Бизнес »Международный бизнес

    Оцените это:
    CPT

    -й армии и других армий

    ..

    Оценить:
    CPT

    Современная процедурная терминология

    Академические науки и науки »Химия — и многое другое…

    Оценить:
    CPT

    Кейптаун, Южная Африка

    Региональный »Коды аэропортов

    CPT

    Учебная практическая подготовка

    Академические науки и университеты »Университеты

    Оценить:
    Camsell

    SE
    Символы

    Оценить:
    CPT

    Christian Миротворец команды

    Бизнес »Продукция

    Оценить:
    CPT

    Испытание на проникновение в конус 900 08

    Академические науки »Геология

    Оценить:
    CPT

    Компьютеризированный тест

    Академические науки и науки» Университеты

    Оценить:
    CPT

    Группа по защите детей

    Правительственная »Полиция

    Оценить:
    Тихоокеанский регион

    000 »Железные дороги

    Оценить:
    CPT

    Доверительный фонд по сохранению плотоядных животных

    Медицинский» Ветеринарный

    CPT

    Инструктор по процедурам в кабине

    Правительственный »Военный

    Оценить:
    CPT

    Сертифицированный техник по флеботомии

    0

    8 9 9 8 8 8 8 9 9 9 8 8 8 5000 5 9 000 5 9 5 000 5 000 5 000 5 9 9 8 7 8 9 8 8 8 9 8 5000 5 9 000 5 9 9 8 5 000 95 9 9 000 5 9 9 Должные необходимо знать, что

    Инструктор по процедурам в кабине.

    Оценить:
    CPT

    Поступление в колледж

    Академические и естественные науки »Колледжи

    Оценить:

    Технолог производительности

    Разное »Награды и медали

    Оценить:
    CPT

    Взаимодействие с когерентным населением

    Разное 900 900 9 9005

    Оценить:
    CPT

    Пробирка для подготовки клеток

    Медицина »Геном человека

    Оценить:
    C000T Представляет шаблон

    Вычисления »Расширения файлов

    Оценить:
    CPT

    Таблица цветовой палитры

    Вычисления» Общие вычисления

    Оценить:
    CPT

    Цена за транзакцию

    Разное »Не классифицировано

    Оценить:
    CPT »Неклассифицированные

    Оценить:
    CPT

    Telecell Paging Teleservice

    Вычисления »Telecom

    Цветные Люди Время

    Разное »классифицировано

    Оценить:
    CPT

    Charge Четность Время

    Разное» классифицировано

    Оценить: