Действия над векторами онлайн калькулятор: Онлайн калькулятор. Сложение и вычитание двух векторов.

Содержание

Онлайн калькуляторы векторов

Данный раздел содержит калькуляторы, позволяющие выполнять все основные действия над векторами. В частности, с помощью данных калькуляторов можно вычислять скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, раскладывать вектора по базису, проверять их ортогональность, компланарность и др. Всего представлено 19 калькуляторов и для каждого предусмотрено подробное решение соответствующей задачи.

Операции над векторами 19

Сложение векторов Калькулятор позволяет складывать вектора, заданные в координатной форме.

Разность векторов Калькулятор позволяет вычитать вектора, заданные в координатной форме.

Модуль (длина) вектора Калькулятор находит модуль (длину) вектора с описанием подробного решения на русском языке.

Угол между векторами Калькулятор позволяет найти угол между векторами. Подробное решение также имеется.

Проекция вектора Калькулятор вычисляет проекцию вектора на ось или на другой вектор.

Решение векторов — Онлайн калькулятор

На нашем сайте представлен полный набор калькуляторов векторов онлайн, с помощью которых вы сможете получить подробное и точное решение необходимой геометрической задачи.

Чтобы найти вектор онлайн:

не потребуется много времени. Расчет происходит за секунду.
не надо искать способ решения. Необходимая формула уже заложена в калькуляторе.
не стоит беспокоиться за потерю данных между действиями. Система вычислений происходит за 1 раз после ввода необходимых значений.

Вам предоставляется пошаговый расчет и ответ без погрешностей.

Нахождение вектора онлайн-калькулятором

Решение векторов онлайн пригодится ученикам школ, изучающим тему на уроках геометрии. При подготовке домашних заданий, чтобы проверить самостоятельно решенный пример, можно ввести исходные данные в калькулятор и рассчитать автоматически. Такой способ самопроверки эффективен, так как в случае несовпадения ответов или затруднений в понимании есть возможность изучить способ решения.

Студентам посчитать вектор онлайн часто необходимо в качестве промежуточного действия в составной задаче. На быстро полученном точном ответе базируются последующие вычисления.

Не всегда для решения задания с векторами можно обойтись расчетами, на которых построены калькуляторы. В таких случаях обращайтесь в Zaochnik:

консультант расскажет об условиях сотрудничества и предложит скидку на услуги;
преподаватель-математик выполнит необходимый вид работы к указанному сроку;
отдел контроля качества проверит итоговый файл;
вы получите решенные задачи по выгодной цене.

Мы сотрудничаем с преподавателями математики школ, университетов, инженерами-проектировщиками, поэтому сможем подобрать подходящего исполнителя конкретно для вашей работы.

Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Векторы представляют собой особый раздел аналитической геометрии, который в том числе оказал значительное влияние на развитие физики. Сам по себе вектор выглядит как отрезок, который имеет начало и имеет конец, определен заданной конечными точками длиной этого отрезка. Но внутри вектора кроется множество других скрытых функций, за счет того что вектор задает направление. Поэтому если для отрезка не имеет значения какая точка названа началом, а какая концом, и чаще просто применяется принцип чтения «слева направо», то для векторов AB и BA – это диаметрально противоположные понятия.

Итак, в векторе присутствует две важных составляющих – это его длина и направление. Тем не менее, координатами вектора задается не его фактическая длина, а местоположение на плоскости или в пространстве. Поэтому длина вектора, иначе называемая модуль вектора, вычисляется, используя прямоугольный треугольник с осями координат. Дальнейшие действия с вектором также чаще используют именно его координаты, нежели фактическую длину. Работе с векторами можно провести аналогию с целыми числами, — как только появляются отрицательные числа на числовой оси, приходится не только считать значение примера, но и все время обращать внимание на знаки. Так и с векторами, во всех действиях – будь то сложение, вычитание, умножение скалярное или векторное и другие действия, приходится не только учитывать реальные масштабы вектора – координаты, длина или угол, но и принимать в расчет его направление. К слову, направления векторов также находят отражение в знаках – обратный изначальному вектор всегда будет со знаком «минус».

В данном разделе разложены все основные действия с векторами, такие как нахождение длины вектора, координат вектора, сложение векторов, вычитание векторов, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение трех векторов, вычисление угла между векторами и другие. Все расчет можно произвести для векторов на плоскости или для векторов в пространстве. Также доступен векторный калькулятор, который вычисляет все возможные параметры одного и более векторов, с заданными координатами точек вектора.

Векторное произведение векторов, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор позволяет найти векторное произведение двух векторов всего за пару минут. Для вычисления векторного произведения выберите форму представления векторов (через координаты или по точкам), заполните все элементы и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст пошаговое решение и ответ! Каждый шаг будет детально расписан, это поможет вам понять, как был получен ответ и, при необходимости, проверить свое решение.

Введите данные, чтобы найти векторное произведение векторов

Форма представления векторов:

координатами точками

Формула :

Решили сегодня: раз, всего раз

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Скалярное произведение векторов, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор помогает найти скалярное произведение двух векторов всего в несколько кликов. Для вычисления скалярного произведения выберите размерность векторов и форму их представления (через координаты или по точкам), заполните все координаты и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст детальное решение и ответ! Каждый шаг будет подробно расписан, это поможет вам проверить свое решение и понять, как был получен ответ.

Введите данные, чтобы найти скалярное произведение векторов

Размерность векторов:

2 3

Форма представления векторов:

координатами точками

Формула :

Решили сегодня: раз, всего раз

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Сложение векторов. Он-лайн калькулятор. — таблицы Tehtab.ru

Сложение векторов. Он-лайн калькулятор.

В механике существуют два типа величин:

скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты — первую, из второй — вторую и т.д.):

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

правило параллелограмма
правило треугольника
тригонометрический способ

Правило параллелограмма.

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ

Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

F_рез. = [ F₁² + F₂² -2 F₁ F₂ cos(180^о-α) ]^1/2 (1)

где

F = числовое значение вектора

α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

β = arcsin[ F₂*sin(180^o-α) / F_R] (2)

где

α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80^o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

F_рез = [ (5 кН)² + (8 кН)² — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180^o — (80^o)) ]^1/2

= 10,14кН

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

β= arcsin[ (8кН) sin(180^o — (80^o)) / (10,14кН)_]

= 51^o

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180^o — (80^o)) / (10,2 кН)_]

= 29^o

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Найти смешанное произведение векторов онлайн калькулятор. Смешанное произведение векторов

Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Термин

Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

Определение 1

Смешанным произведением a → , b → и d → является та величина, которая равняется скалярному произведению a → × b → и d → , где a → × b → — умножение a → и b → . Операцию умножения a → , b → и d → зачастую обозначают a → · b → · d → . Можно преобразовать формулу так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Умножение в системе координат

Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.

Возьмем i → , j → , k →

Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид: a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Определение 2

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

Из этого следует:

a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x — a x a z b x b z · d y + a x a y b x b y · d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Таким образом, можно сделать вывод, что:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Определение 3

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.

(λ · a →) · b → · d → = a → · (λ · b →) · d → = a → · b → · (λ · d →) = λ · a → · b → · d → λ ∈ R ;
a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
(a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) → + b (2) →) · d → = a → · b (1) → · d → + a → · b (2) → · d → a → · b → · (d (1) → + d (2) →) = a → · b → · d (2) → + a → · b → · d (2) →

Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.

Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.

Действительно, если a → = b → , то, следуя определению векторного произведения [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Если же a → = b → или b → = d → , то угол между векторами [ a → × b → ] и d → равен π 2 . По определению скалярного произведения векторов ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.

Пример 1

Докажите равенство ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , где λ — некоторое действительное число.

Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:

([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + ([ a → × b → ] , b →)
Мы разобрали, что (([ a → × b → ] , b →) = 0 . , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 · d → · 1 = a → · b → · d →

Неравенство доказано.

Разбор типовых задач

Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Пример 3

В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a → = (1 , — 2 , 3) , b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , — 2 , 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a → · b → · d → .

Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 — 2 3 — 2 2 1 3 — 2 5 = = 1 · 2 · 5 + (- 1) · 1 · 3 + 3 · (- 2) · (- 2) — 3 · 2 · 3 — (- 1) · (- 2) · 5 — 1 · 1 · (- 2) = — 7

Пример 4

Необходимо найти произведение векторов i → + j → , i → + j → — k → , i → + j → + 2 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → — k → = (1 , 1 , — 1) i → + j → + 2 · k → = (1 , 1 , 2)

Используем формулу, которая использовалась выше
i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 1 1 0 1 1 — 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 0

Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.

Пример 5

В прямоугольной системе координат расположены три вектора a → , b → и d → , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4 , 2 и 3 . Необходимо умножить вектора.

Обозначим c → = a → × b → .

Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними.) = c → · n p c → d → , где n p c → d → — числовая проекция вектора d → на направление вектора c → = [ a → × b → ] .

Абсолютная величина n p c → d → равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a → , b → и d → в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c → = [ a → × b → ] перпендикулярен a → и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c → = a → x b → равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a → и b → .

Делаем вывод, что модуль произведения a → · b → · d → = c → · n p c → d → равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a → , b → и d → .

Определение 4

Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда : V п а р а л л е л е п и п и д а = a → · b → · d → .

Данная формула и является геометрическим смыслом.

Определение 5

Объем тетраэдра , который построен на a → , b → и d → , равняется 1 / 6 объема параллелепипеда Получаем, V т э т р а э д а = 1 6 · V п а р а л л е л е п и п и д а = 1 6 · a → · b → · d → .

Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров

Пример 6

Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются A B → = (3 , 6 , 3) , A C → = (1 , 3 , — 2) , A A 1 → = (2 , 2 , 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 — 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 — 3 · 3 · 2 — 6 · 1 · 2 — 3 · (- 2) · 2 = — 18

Тогда, V п а р а л л е л е п и п е д а = — 18 = 18 .

V п а р а л л е л е п и п и д а = 18

Пример 7

В системе координат заданы точки A (0 , 1 , 0) , B (3 , — 1 , 5) , C (1 , 0 , 3) , D (- 2 , 3 , 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.

Воспользуемся формулой V т э т р а э д р а = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: A B → = (3 — 0 , — 1 — 1 , 5 — 0) = (3 , — 2 , 5) A C → = (1 — 0 , 0 — 1 , 3 — 0) = (1 , — 1 , 3) A D → = (- 2 — 0 , 3 — 1 , 1 — 0) = (- 2 , 2 , 1)

Дальше определяем смешанное произведение A B → · A C → · A D → по координатам векторов: A B → · A C → · A D → = 3 — 2 5 1 — 1 3 — 2 2 1 = 3 · (- 1) · 1 + (- 2) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 — 5 · (- 1) · (- 2) — (- 2) · 1 · 1 — 3 · 3 · 2 = — 7 Объем V т э т р а э д р а = 1 6 · — 7 = 7 6 .

V т э т р а э д р а = 7 6 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c , т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a.
Обозначение: abc .

Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
Вытекает из геометрического смысла.
(a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
Вытекает из определения смешанного произведения.
(ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .

Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Пример №3 . Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2″ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Следовательно нам достаточно доказать, что

([ab ],c )=([bc ],a )

(3)

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab ] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

(7)

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс , где

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:

Конечная точка вектора a .

Калькуляторы линейной алгебры — eMathHelp

Онлайн-калькулятор для нахождения скалярного (внутреннего) произведения двух векторов с указанными шагами.

Онлайн-калькулятор для определения величины (длины) вектора с указанными шагами.

Калькулятор найдет единичный вектор в направлении данного вектора с указанными шагами.

Калькулятор найдет угол (в радианах и градусах) между двумя векторами и покажет результат.

Калькулятор найдет скалярную проекцию одного вектора на другой с указанными шагами.

Калькулятор найдет векторную проекцию одного вектора на другой с указанием шагов.

Этот калькулятор ортонормирует набор векторов с помощью процесса Грама-Шмидта с указанными шагами.

Онлайн-калькулятор найдет произведение двух векторов с указанием шагов.

Калькулятор вычислит тройное произведение (как скаляр, так и вектор) трех векторов с указанными шагами.

Калькулятор найдет транспонирование данной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет след матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет эшелонированную форму строки (простую или сокращенную — RREF) заданной (расширенной) матрицы (с переменными, если необходимо), с указанием шагов.

Калькулятор выполнит исключение Гаусса для данной расширенной матрицы с указанными шагами. По желанию возможно полное сокращение.

Калькулятор найдет ранг матрицы с указанием шагов.

Калькулятор найдет размер строки матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет размер столбца матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет основу пространства, охватываемого набором заданных векторов, с указанными шагами.

Калькулятор найдет пустое пространство (ядро) и недействительность данной матрицы с указанными шагами.

Этот калькулятор найдет базис ортогонального дополнения подпространства, охватываемого данными векторами, с указанными шагами.

Калькулятор найдет определитель матрицы (2×2, 3×3, 4×4 и т. Д.), Используя расширение кофактора, с указанными шагами.

Калькулятор найдет обратную квадратную матрицу, используя метод исключения Гаусса или метод сопряжения, с указанными шагами.

Калькулятор найдет матрицу миноров данной квадратной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет матрицу сомножителей данной квадратной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет сопряженную (сопряженную, вспомогательную) матрицу данной квадратной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет характеристический многочлен данной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор найдет собственные значения и собственные векторы (собственное подпространство) данной квадратной матрицы с указанными шагами.

Калькулятор диагонализирует данную матрицу с указанием шагов.

Калькулятор найдет сумму двух матриц (если возможно) с указанными шагами. Добавляет матрицы любого размера до 10х10 (2х2, 3х3, 4х4 и т. Д.).

Калькулятор найдет разницу двух матриц (если возможно), с указанными шагами.Он вычитает матрицы любого размера до 10×10 (2×2, 3×3, 4×4 и т. Д.).

Калькулятор умножит заданную матрицу на заданный скаляр с указанными шагами. Он обрабатывает матрицы любого размера до 10×10 (2×2, 3×3, 4×4 и т. Д.).

Калькулятор найдет произведение двух матриц (если возможно) с указанными шагами.Он перемножает матрицы любого размера до 10х10 (2х2, 3х3, 4х4 и т. Д.).

Калькулятор найдет частное двух матриц (если возможно) с указанием шагов. Он разделяет матрицы любого размера до 7×7 (2×2, 3×3, 4×4 и т. Д.).

Калькулятор найдет данную матрицу, возведенную в заданную целую (положительную или отрицательную) степень (если возможно), с указанными шагами.Таким образом, он может возводить матрицу в квадрат и куб. Он обрабатывает матрицы любого размера до 7×7 (2×2, 3×3, 4×4 и т. Д.).

Этот решатель будет складывать, вычитать, умножать, делить и возводить в степень две матрицы с указанными шагами. Он также найдет определитель, инверсию, rref (сокращенная форма эшелона строк), пустое пространство, ранг, собственные значения и собственные векторы.

Калькулятор найдет LU-разложение данной матрицы $$$ A $$$ (если возможно), т.е. такую нижнюю треугольную матрицу $$$ L $$$ и верхнюю треугольную матрицу $$$ U $$$, которая $$$ A = LU $$$, с указанными шагами.

В случае частичного поворота (требуется перестановка строк) калькулятор также найдет матрицу перестановок $$$ P $$$ такую, что $$$ PA = LU $$$.

Калькулятор найдет QR-факторизацию данной матрицы $$$ A $$$, т.е. такую ортогональную матрицу $$$ Q $$$ и верхнюю треугольную матрицу $$$ R $$$, что $$$ A = QR $$$, с указанием шагов.

Сложение векторов

В механике есть два вида величин

скалярные величины с величиной — время, температура, масса и т. Д.
вектор величины с величиной и направлением — скорость, сила и т. Д.

При сложении векторных величин важны как величина, так и направление. Общие методы сложения копланарных векторов (векторов, действующих в одной плоскости):

закон параллелограмма
правило треугольника
тригонометрическое вычисление

Закон параллелограмма

Процедура «» метод сложения параллелограмма векторов «- это

начертите вектор 1, используя соответствующий масштаб и в направлении его действия
от хвоста вектора 1 начертите вектор 2, используя тот же масштаб в направлении его действия
завершите параллелограмм, используя вектор 1 и 2 как стороны параллелограмма
результирующий вектор представлен как по величине, так и по направлению диагональю параллелограмма

Правило треугольника

Процедура « метод сложения треугольника векторов » равна

нарисуйте вектор 1 в соответствующем масштабе и в направлении его действия 9. 0084
от носа вектора нарисовать вектор 2 с использованием того же масштаба и в направлении его действия
результирующий вектор представлен как по величине, так и по направлению вектором, проведенным от хвоста вектора 1 к носику вектора 2

Тригонометрическое вычисление

Результирующий вектор из двух копланарных векторов может быть вычислен тригонометрическим методом с использованием « правила косинуса » для прямоугольного треугольника.

F _R = [F ₁ ² + F ₂ ² — 2 F ₁ F ₂ cos (180 ^o — (α + β))] ^1/2 (1)
где
F = векторная величина — сила, скорость и т. Д.
α + β = угол между вектором 1 и 2

Угол между вектором и результирующий вектор может быть вычислен с помощью « правило синуса » для непрямоугольного треугольника.

α = sin ^-1 [F ₁ sin (180 ^o — (α + β)) / F _R] (2)
где
α + β = угол между вектором 1 и 2 известен

Пример — сложение сил

Сила 1 с величиной 3 кН действует в направлении 80 ^o от силы 2 с величиной 8 кН .

Результирующая сила может быть рассчитана как

F _R = [(3 кН) ² + (8 кН) ² — 2 (5 кН) (8 кН) cos (180 ^o — (80 ^o))] ^1/2
= 9 (кН)

Угол между вектором 1 и результирующим вектором можно рассчитать как

α = sin ^-1 [(3 кН) sin (180 ^o — (80 ^o)) / (9 кН) _]
= 19.1 ^o

Угол между вектором 2 и результирующим вектором можно рассчитать как

α = sin ^-1 [(8 кН) sin (180 ^o — (80 ^o) ) / (9 кН) _]
= 60,9 ^o

Пример — Самолет при ветре

Встречный ветер 100 км / ч действует 30 ^o правый борт на самолете с скорость 900 км / ч .

Результирующая скорость самолета относительно земли может быть рассчитана как

v _R = [(900 км / ч) ² + (100 км / ч) ² — 2 (900 км / ч) (100 км / ч) cos (180 ^o — (30 ^o))] ^1/2
= 815 (км / ч)

Угол между курсом самолета и фактический относительный курс земли можно рассчитать как

α = sin ^-1 [(100 км / ч) sin ((180 ^o) — (30 ^o)) / (815 км / ч) _]

= 3.5 ^o

Векторный калькулятор

Общий калькулятор ниже основан на уравнении (1) и может использоваться для сложения векторных величин, таких как скорости, силы и т. Д.

Параллелограмм

Результирующие векторы могут быть оценены путем рисования параллелограммов, как показано ниже.

нарисуйте векторы с правильным направлением и величиной
начертите параллельные линии векторам
нарисуйте результирующий вектор до точки пересечения между параллельными линиями
измерьте величину и направление результирующего вектора на чертеже

Метод также можно использовать с более чем двумя векторами, как указано ниже.

нарисуйте результирующие векторы между двумя и двумя векторами
начертите результирующие векторы между двумя и двумя результирующими векторами
продолжайте до тех пор, пока не будет только один конечный результирующий вектор
Измерьте направление и величину конечного результирующего вектора в чертеж

В приведенном выше примере сначала найдите полученный F _(1,2), добавив F ₁ и F ₂, и получившийся F _(3,4), добавив F ₃ и F ₄.Найдите результат F _(1,2.3,4), добавив F _(1,2) и F _(3,4).

Калькулятор линейной независимости

Добро пожаловать в калькулятор линейной независимости , где мы узнаем, как проверить, имеете ли вы дело с линейно независимыми векторами или нет.

По сути, мир вокруг нас является векторным пространством и иногда полезно ограничиться меньшей его частью. Например, сфера — это , трехмерная фигура , но круг существует только в двух измерениях , так зачем возиться с вычислениями в трех измерениях?

Линейная зависимость позволяет нам делать именно это — работать в меньшем пространстве, так называемом диапазоне рассматриваемых векторов .Но не волнуйтесь, если вы нашли все эти причудливые слова нечеткими. Через секунду мы медленно пройдем через все это вместе.

Так что возьмите утреннюю / вечернюю закуску в дорогу, и вперед!

Что такое вектор?

Если вы спросите кого-нибудь: « Что такое вектор? », то довольно часто вы получите ответ « стрелка ». Ведь мы обычно обозначаем их стрелкой над маленькой буквой:

Ну, давайте просто скажем, что этот ответ не принесет вам 100 баллов на тесте.Формально вектор — это элемент векторного пространства . Конец определения. Достаточно просто . Мы можем закончить учебу. Теперь все ясно.

Но что же тогда такое векторное пространство? Опять же, математическое определение оставляет желать лучшего: это набор элементов с некоторыми операциями (сложение и умножение на скаляр), которые должны иметь несколько специфических свойств. Итак, почему бы нам просто не оставить формализм и не взглянуть на на несколько реальных примеров ?

Декартово пространство является примером векторного пространства.Это означает, что числовая линия, плоскость и трехмерное пространство, в котором мы живем в , являются векторными пространствами . Их элементами являются, соответственно, числа, пары чисел и тройки чисел, которые в каждом случае описывают положение точки (элемента пространства). Например, число -1 или точка A = (2, 3) являются элементами (разных!) Векторных пространств. Часто при рисовании сил, действующих на объект, таких как скорость или гравитационное притяжение, мы используем прямые стрелки , чтобы описать их направление и значение , и отсюда и происходит «определение стрелки ».

Что очень важно, так это то, что у нас есть четко определенных операций над векторами, упомянутыми выше. Есть несколько более сложных, таких как скалярное произведение и перекрестное произведение. Однако, к счастью, мы ограничимся двумя основными , которые следуют аналогичным правилам для тех же матричных операций (векторы, по сути, являются однострочными матрицами). Прежде всего, мы можем добавить их :

-1 + 4 = 3 ,

(2,3) + (-3, 11) = (2 + (-3), 3 + 11) = (-1, 14) ,

и , мы можем умножить их на скаляр (действительное или комплексное число), чтобы изменить их величину:

3 * (-1) = -3 ,

7 * (2, 3) = (7 * 2, 7 * 3) = (14, 21) .

По правде говоря, в векторном пространстве не обязательно должны быть числа . Это может быть пространство последовательностей, функций или перестановок. Даже скаляры не обязательно должны быть числовыми! Но оставим эту абстрактную чушь ученым . Нас устраивают только цифры, не так ли?

Линейная комбинация векторов

Допустим, нам дан набор векторов (из того же пространства): v₁ , v₂ , v₃ , …, vₙ . Как мы видели в разделе выше, , мы можем сложить их и умножить на скаляры . Любое выражение, полученное таким образом, называется линейной комбинацией векторов. Другими словами, любой вектор w , который можно записать как

w = 𝛼₁ * v₁ + 𝛼₂ * v₂ + 𝛼₃ * v₃ + ... + 𝛼ₙ * vₙ

, где 𝛼₁, 𝛼₂, 𝛼₃, ..., 𝛼ₙ — произвольные действительные числа, называется линейной комбинацией векторов v₁ , v₂ , v₃ ,…, vₙ . Обратите внимание, что w действительно вектор, поскольку это сумма векторов.

Хорошо, зачем все это? В жизни есть несколько вещей, таких как гелиевые шары и гамаки, которые приятно иметь, но не так уж и полезны в повседневной жизни. Так ли это здесь?

Рассмотрим декартовую плоскость , т.е. двумерное пространство точек A = (x, y) с двумя координатами, где x и y — произвольные действительные числа.Мы уже знаем, что такие точки являются векторами, так почему бы нам не взять две очень особенные : e₁ = (1,0) и e₂ = (0,1) . Теперь обратите внимание:

A = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x * (1,0) + y * (0,1) = x * e₁ + y * e₂ .

Другими словами, любая точка (вектор) нашего пространства представляет собой линейную комбинацию векторов e₁ и e₂ . Эти векторы образуют основу (и при этом ортонормированный базис) пространства.И поверьте нам, в приложениях и вычислениях часто легче работать с известной вам базой, чем с какими-то случайными векторами, которых вы не знаете.

Но что если бы мы добавили еще один вектор к стопке и захотели описать линейные комбинации векторов e₁ , e₂ и, скажем, v ? Мы видели, что e₁ и e₂ оказались достаточными, чтобы найти все точки. Так что добавление к ничего не должно изменить, не так ли? Собственно, кажется совершенно лишним .И именно здесь в игру вступает линейная зависимость .

Линейно независимые векторы

Нет, это не имеет ничего общего с вашим барбекю 4 июля. Мы говорим, что v₁ , v₂ , v₃ , …, vₙ — это линейно независимых вектора , если уравнение

𝛼₁ * v₁ + 𝛼₂ * v₂ + 𝛼₃ * v₃ + ... + 𝛼ₙ * vₙ = 0

(здесь 0 — вектор с нулями во всех координатах) выполняется тогда и только тогда, когда 𝛼₁ = 𝛼₂ = 𝛼₃ =... = 𝛼ₙ = 0 . В противном случае мы говорим, что векторы являются линейно зависимыми .

Приведенное выше определение можно понять следующим образом: единственная линейная комбинация векторов, которая дает нулевой вектор, является тривиальной . Например, вспомните векторы из приведенного выше раздела: e₁ = (1,0) , e₂ = (0,1) , а затем также возьмите v = (2, -1) . Тогда

(-2) * e₁ + 1 * e₂ + 1 * v = (-2) * (1,0) + 1 * (0,1) + 1 * (2, -1) = (-2,0 ) + (0,1) + (2, -1) = (0,0) ,

, поэтому мы нашли нетривиальную линейную комбинацию векторов, которая дает ноль .Следовательно, они линейно зависимы . Кроме того, мы легко можем видеть, что сами по себе e₁ и e₂ без проблемных v являются линейно независимыми векторами .

Оболочка векторов в линейной алгебре

Набор всех элементов, которые можно записать как линейную комбинацию векторов v₁ , v₂ , v₃ , …, vₙ , называется промежутком векторов и обозначается span ( v₁, v₂, v₃ ,..., vₙ) . Возвращаясь к векторам из предыдущего раздела, то есть e₁ = (1,0) , e₂ = (0,1) и v = (2, -1) , мы видим, что

пролет (e₁, e₂, v) = пролет (e₁, e₂) = ℝ² ,

, где ℝ² — это множество точек на декартовой плоскости, то есть все возможные пары действительных чисел. По сути, это означает, что размах векторов одинаков: для e4 , e₂ и v , и только для e4 и e₂ (или, используя формальные термины, двух пересечение пространств — целое м² ).Это говорит о том, что v является избыточным и ничего не меняет . Да, вы догадались — именно из-за линейной зависимости .

Пролет в линейной алгебре описывает пространство, в котором живут наши векторы . В частности, наименьшее количество элементов, которых достаточно для этого, называется размерностью векторного пространства. В приведенном выше примере это было 2 , потому что мы не можем получить меньше элементов, чем e₁ и e₂ .

Внимательный взгляд заметит, что на самом деле размерность диапазона векторов равна количеству линейно независимых векторов в сгустке. В приведенном выше примере все было довольно просто: векторы e₁ и e₂ были самыми простыми из возможных (на самом деле, у них даже есть собственное имя: стандартный базис ). Но что, если у нас есть что-то другое? Как мы можем проверить линейную зависимость и описать диапазон векторов в каждом случае? Через минуту мы узнаем это и многое другое!

Как проверить линейную зависимость

Для проверки линейной зависимости переведем нашу задачу с языка векторов на язык матриц (массивов чисел).Например, предположим, что нам даны три вектора в 2-мерном пространстве (с двумя координатами): v = (a₁, a₂) , w = (b₁, b₂) и u = (c₁, c₂) . Теперь давайте запишем их координаты как в одну большую матрицу с каждой строкой (или столбцом, неважно), соответствующей одному из векторов:

⌈	и	и	⌉
\|	b₁	b₂	｜
⌊	c₁	c₂	⌋

Тогда ранг матрицы равен максимальному количеству линейно независимых векторов среди v , w и u .Другими словами, их промежуток в линейной алгебре имеет размерность ранга (A) . В частности, являются линейно независимыми векторами тогда и только тогда, когда ранг A равен количеству векторов .

Итак, как нам узнать ранг? Возможно, самый простой метод — это исключения Гаусса (или его уточнение, исключение Гаусса-Джордана ). Это тот же алгоритм, который часто используется для решения систем линейных уравнений, особенно при попытке найти (сокращенную) ступенчатую форму системы.

Исключение Гаусса основано на так называемых операциях с элементарной строкой :

Поменять местами две строки матрицы.
Умножить строку на ненулевую константу.
Добавить в строку ненулевое кратное другой строке.

Уловка здесь в том, что хотя операции изменяют матрицу , они не изменяют ее ранг и, следовательно, размер диапазона векторов.

Алгоритм пытается устранить (т.д., сделайте их 0 ) как можно больше записей A . В приведенном выше случае, при условии, что a₁ не равно нулю, первый шаг исключения Гаусса преобразует матрицу во что-то в форме:

⌈	и	и	⌉
\|	0	s₂	｜
⌊	0	t	⌋

, где s₂ и t₂ — некоторые действительные числа.Тогда, пока s₂ не равно нулю, второй шаг даст матрицу

⌈	и	и	⌉
\|	0	s₂	｜
⌊	0	0	⌋

Теперь нам нужно заметить, что нижняя строка представляет нулевой вектор (у него 0 в каждой ячейке), который линейно зависит от любого вектора .Следовательно, ранг нашей матрицы будет просто , количество ненулевых строк в массиве, которое мы получили, , что в данном случае составляет 2 .

Это было достаточно времени, потраченного на теорию, не так ли? Давайте попробуем на примере посмотрим, как работает калькулятор линейной независимости !

Пример: использование калькулятора линейной независимости

Допустим, вы наконец осуществили свою мечту — вы купили дрон . Наконец-то вы можете снимать и снимать на видео места, которые вы посещаете, издалека.Все, что вам нужно сделать, это запрограммировать его движения . Дрон требует, чтобы вы дали ему три вектора, по которым он сможет перемещаться .

Мир, в котором мы живем, трехмерен, поэтому векторы будут иметь три координаты . Не задумываясь, вы берете случайных векторов, которые приходят на ум : (1, 3, -2) , (4, 7, 1) и (3, -1, 12) . Но действительно ли стоит просто закрыть глаза, подбросить монетку и выбрать случайные числа? В конце концов, большая часть ваших сбережений пошла на это, так что нам лучше сделать это хорошо .

Что ж, если вы выбрали числа случайным образом, вы можете обнаружить, что выбранных вами векторов являются линейно зависимыми , а диапазон векторов, например, только двумерный. Это означает, что ваш дрон не сможет перемещаться, как вы хотите, но будет ограничен движением по плоскости . Может случиться так, что он сможет перемещаться влево и вправо, вперед и назад, , но не вверх и вниз . И как мы получим эти отмеченные наградами кадры похода, если дрон не может даже взлететь?

Хорошо, что у нас есть калькулятор линейной независимости! С его помощью мы можем быстро и легко проверить, был ли наш выбор удачным. Итак, давайте разберемся, как им пользоваться.

У нас есть 3 векторов с 3 координатами каждый, поэтому мы начинаем с того, что сообщаем калькулятору об этом факте, выбирая соответствующие параметры в « количество векторов » и « количество координат ». Это покажет нам символический пример таких векторов с обозначениями, используемыми в калькуляторе линейной независимости. Например, первый вектор задается как v = (a₁, a₂, a₃) .Следовательно, поскольку в нашем случае первым был (1, 3, -2) , мы вводим

a₁ = 1 , a₂ = 3 , a₃ = -2 .

Аналогично для двух других получаем:

b₁ = 4 , b₂ = 7 , b₃ = 1 ,

c₁ = 3 , c₂ = -1 , c₃ = 12 .

Как только мы введем последнее число, калькулятор линейной независимости сразу сообщит нам, есть ли у нас линейно независимые векторы или нет , и какова размерность диапазона векторов.Тем не менее, давайте возьмем лист бумаги и попробуем сделать все самостоятельно вручную, чтобы увидеть , как калькулятор пришел к своему ответу .

Как упоминалось в предыдущем разделе, мы хотели бы, чтобы вычислило ранг матрицы, образованной нашими векторами . Мы построим массив размером 3 × 3, записав координаты последовательных векторов в последовательные строки. Таким образом, мы приходим к матрице

⌈	1	3	-2	⌉
\|	4	7	1	｜
⌊	3	–1	12	⌋

Теперь будем использовать исключение по Гауссу .Прежде всего, мы хотели бы, чтобы у были нули в двух нижних строках первого столбца . Для их получения мы используем элементарные операции со строками и 1 из верхней строки. Другими словами, мы добавляем подходящее кратное первой строки к двум другим , чтобы их первая запись стала нулем. Поскольку 4 + (-4) * 1 = 0 и 3 + (-3) * 1 = 0 , мы добавляем кратное (-4) и (-3) первой строки к второй и третий ряд соответственно.Это дает матрицу

⌈	1	3	-2	⌉
\|	4 + (-4) * 1	7 + (-4) * 3	1 + (-4) * (- 2)	｜
⌊	3 + (-3) * 1	-1 + (-3) * 3	12 + (-3) * (- 2)	⌋

⌈	1	3	-2	⌉
\|	0	-5	9	｜
⌊	0	-10	18	⌋

Затем мы хотели бы, чтобы получили 0 в нижней строке среднего столбца и использовали для этого -5 .Опять же, , мы прибавляем подходящее кратное второй строки к третьей . Поскольку -10 + (-2) * (- 5) = 0 , кратное равен (-2) . Следовательно,

⌈	1	3	-2	⌉
\|	0	-5	9	｜
⌊	0	-10 + (-2) * (- 5)	18 + (-2) * 9	⌋

⌈	1	3	-2	⌉
\|	0	-5	9	｜
⌊	0	0	0	⌋

Мы получили нуля в нижних строках .Мы знаем, что ранг матрицы и, следовательно, линейная зависимость и диапазон в линейной алгебре определяются количеством ненулевых строк . Это означает, что в нашем случае у нас rank (A) = 2 , что на меньше, чем количество векторов , и подразумевает, что они линейно зависимы и охватывают 2-мерное пространство .

Итак, случилось то, чего мы опасались: : у нашего дрона не будет свободы передвижения . Но мы не можем упустить шанс снять все эти воздушные кадры! К счастью, у нас есть калькулятор линейной независимости , и мы можем поиграть с векторами, чтобы найти подходящую комбинацию векторов.А когда он у нас есть, мы собираемся, садимся в машину и отправляемся в приключение!

Очень простое руководство по CalcMe — CalcMe — Документация

CalcMe — это онлайн-калькулятор на основе Javascript, поэтому он работает в любом браузере и операционной системе, включая мобильные и планшетные устройства. CalcMe интегрирован в Wiris Quizzes, повышая эффективность ваших математических вопросов. CalcMe предлагает мощный вычислительный и графический движок, покрывающий базовые и сложные математические задачи: генерация случайных чисел, полиномы, общие выражения, векторы, матрицы, списки, геометрия, статистика, пользовательские функции, программирование и многое другое.

Живые демонстрации

На этой странице есть несколько живых демонстраций. Если щелкнуть область, содержащую параметры CalcMe, она откроется в CalcMe. Попробуйте, измените параметры или опции. Ничего не сломаешь.

Как работает CalcMe?

Вы можете писать математику, а CalcMe выполнит вычисления за вас.

Таблица CalcMe разделена на три основные области:

Площадь для Расчет

Площадь для График

Область для Определение

Рассчитать

Напишите, что вы хотите вычислить
Нажмите Calc или Введите

Действие по умолчанию — Calc , но вы можете выбрать наиболее подходящий по своему усмотрению.

ЖИВАЯ ДЕМО

График

Напишите уравнение или фигуру, которую хотите построить
Нажмите График действие

Новый

С этого момента можно загрузить графический плоттер в виде квадратного изображения в формате PNG желаемого размера.Воспользуйтесь этой новой функцией CalcMe, чтобы сохранять сгенерированные изображения прямо на ваше устройство.

Определить

Сохранить вычисление в переменной
Использовать позже

Новый

Есть новая процедура для определения переменных в CalcMe с помощью редактора кода. Здесь вы можете увидеть проблемы, которые предполагается решить с его помощью, и ожидаемое взаимодействие с пользователем.

Арифметика

Математические операции в CalcMe представлены символом, связанным с клавишей клавиатуры.

ЖИВАЯ ДЕМО

Вы можете вычислить частное и остаток от деления или разложить число на простые множители. Вы также можете вычислить наибольший общий делитель или наименьшее общее кратное набора чисел.

ЖИВАЯ ДЕМО

Конструктор векторов и матриц

Векторы

Векторы заключаются в квадратные скобки [] , а элементы разделяются запятыми , .

Вы можете просуммировать векторы или вычислить их скалярное произведение.

ЖИВАЯ ДЕМО

Матрицы

Матрицы — это векторы векторов, то есть векторы, элементы которых являются векторами. Вы можете создавать матрицы с двумя разными синтаксисами

В качестве векторов вы можете суммировать и умножать матрицы (если их размеры совместимы).

ЖИВАЯ ДЕМО

Основные операции

Как вы уже видели, вы можете работать с векторами и матрицами и выполнять с ними базовые арифметические операции.Однако вы можете сделать гораздо больше: вы можете вычислить перекрестное произведение между двумя векторами, проверить, являются ли они линейно независимыми; матрицу можно инвертировать или возвести в целую степень, вы также можете вычислить ее ранг или определитель.

ЖИВАЯ ДЕМО

Доступ к элементу

Вы можете получить доступ к определенному элементу вектора с помощью подиндексов, которые начинаются с 1. Таким же образом вы можете получить элемент матрицы.

ЖИВАЯ ДЕМО

Многочлены и выражения

Многочлены создаются с помощью числа, умноженного на переменную, возведенную в степень.

ЖИВАЯ ДЕМО

Вы можете суммировать, умножать, делить и, например, находить корни многочленов.

ЖИВАЯ ДЕМО

Вы также можете создавать более сложные выражения и работать с ними.

ЖИВАЯ ДЕМО

Дифференциация

Существует множество способов вычислить производную функции или выражения.

Использование простого числа	`'`
Использование символа
Использование действия
Используя команду	`дифференцируйте`

ЖИВАЯ ДЕМО

Интеграция

Также существует множество способов вычислить интеграл функции или выражения.

Использование символа
Использование действия
Используя команду	`интегрируйте`

ЖИВАЯ ДЕМО

Предел

Можно вычислить предел функции или выражения. Более того, вы также можете брать односторонние ограничения.

ЖИВАЯ ДЕМО

Расширение Тейлора

Вы можете вычислить ряд Тейлора реальной функции в заданной точке.Если вас интересуют сроки до некоторого порядка, вы можете также сократить серию.

ЖИВАЯ ДЕМО

серии

Вы можете определить, сходится ли ряд, а также в большинстве случаев вычислить сумму сходящихся рядов.

ЖИВАЯ ДЕМО

Геометрия

CalcMe позволяет нам работать с геометрическими фигурами, такими как точки, линии, плоскости и конические сечения.Вы также можете создавать многоугольники и многогранники как в 2D, так и в 3D. Также возможно вычислить расстояние между фигурами, угол, который они образуют, или симметрию относительно объекта.

Точки, линии и плоскости

Возможна работа в 2 или 3 измерениях. Чтобы создать точки, вы просто определяете его компоненты.

ЖИВАЯ ДЕМО

Имея две точки или точку и вектор, вы можете построить линию.

ЖИВАЯ ДЕМО

Подобным образом вы можете, например, построить плоскость по трем точкам.

ЖИВАЯ ДЕМО

Фигурки

ЖИВАЯ ДЕМО

Решение

Уравнения

Можно решить уравнение или систему уравнений ровно .

ЖИВАЯ ДЕМО

Вы также можете использовать численный метод для решения более сложных уравнений.

ЖИВАЯ ДЕМО

Вы также можете использовать численный метод для решения более сложных уравнений.

ЖИВАЯ ДЕМО

Неуравнения

Также возможно найти решение неравенства.

ЖИВАЯ ДЕМО

Статистика

Существует множество функций, полезных для статистических расчетов, таких как среднее значение, квантиль, квартиль и т. Д. Вы можете увидеть полный список здесь.

ЖИВАЯ ДЕМО

Вероятность

Также доступны наиболее распространенные распределения вероятностей.По возможности также доступны аналитические выражения для функций плотности и распределения.

ЖИВАЯ ДЕМО

Комбинаторика

Можно вычислить комбинации, перестановки или вариации набора чисел. Однако будьте осторожны: результаты очень большие.

ЖИВАЯ ДЕМО

Единицы и валюта

Вы можете работать с единицами, конвертировать одну в другую (если это имеет смысл) и выполнять с ними базовые операции.Единицы необходимо вводить с помощью символов, доступных на вкладке Единицы измерения . Узнайте больше о единицах измерения или префиксах, которые вы можете использовать здесь.

ЖИВАЯ ДЕМО

Валюты похожи на единицы, но вы не можете конвертировать одну в другую. Проверьте все доступные валюты здесь.

ЖИВАЯ ДЕМО

Случайность

Строки алгоритма, опция

Поскольку вы можете использовать эти команды для генерации алгоритма для вопроса Wiris Quizzes, мы покажем, как создавать их на листе и с помощью редактора кода.Вы можете узнать об этом подробнее здесь.

Функция random в CalcMe адаптируется ко многим случаям использования. Например, вы увидите, как удалить «0» из случайного выбора. Обычная команда была бы такой:

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

По умолчанию сюда входят все числа от -10 до 10. Если, учитывая требования вопроса, число 0 необходимо исключить из набора, вы можете удалить его с помощью одной простой инструкции (косая черта / должна быть используется через клавиатуру или логику и устанавливает вкладку ):

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Вы должны заключить в скобки первый список, чтобы это сработало.Это, конечно, может работать одинаково для любого другого числа, которое вам нужно исключить, кроме нуля:

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Вышеупомянутое произвело бы случайное число от -10 до 10, кроме числа 8. Вы даже можете сделать это с более чем одним числом:

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Это приведет к удалению 8, -8 и 0 из выбора.Как видите, существует гораздо больше возможностей при создании случайной величины.

Пока что вы получили целые числа, но вы также можете работать с действительными числами.

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Как правило, эти действительные числа содержат столько десятичных или значащих цифр, сколько определено в настройках приложения.Вы можете настроить его, указав шаг между возможными случайными значениями.

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Более того, эти случайные величины также могут быть выбраны из конкретного набора значений или слов. В следующем разделе вы увидите более подробную информацию о том, как создавать такие наборы.

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Создание списков через понимание

Этот раздел представляет собой краткое руководство по созданию списков в CalcMe с использованием команд с и , где .Этот метод определения списков основан на общепринятой математической нотации «понимание множества» или «нотация построителя множеств», например:

Мы объясним команды на следующих примерах.

Строки алгоритма, опция

Поскольку вы можете использовать эти команды для генерации алгоритма для вопросов Wiris Quizzes, мы покажем, как их создавать с помощью таблицы и с помощью редактора кода. Вы можете узнать об этом подробнее здесь.

Пример 1

На самом базовом уровне с просто обеспечивают более компактную форму написания длинных списков.Ты можешь написать

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

или вы можете значительно упростить его до следующего:

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Команда , где пригодится, когда вы хотите установить дополнительные ограничения.Например, получить только четные числа:

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

В качестве альтернативы вы, конечно, могли бы сделать это:

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Пример 2

Пример 3

Обозначение понимания списка также может быть расширено до более чем одной переменной.В этом случае вы должны указать диапазон для каждой переменной, используемой в качестве счетчика. Например, вот список, содержащий все положительные правильные дроби в простейшем виде, с однозначным числителем и знаменателем:

ЖИВАЯ ДЕМО

CalcMe Sheet

Редактор кода CalcMe

Другая рекомендация, проиллюстрированная в приведенном выше примере, заключается в заключении каждого условия после , где в круглые скобки, если у вас есть более одного, соединенного с.

Пример 4

Наконец, обратите внимание, что диапазон для переменной счетчика может сам быть списком, определенным ранее.

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Пример 5

Также возможно создавать матрицы, используя эту нотацию. Например, создать матрицу со случайными коэффициентами очень просто:

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Программирование

Строки алгоритма, опция

Вы можете использовать некоторые функции программирования. Здесь вы можете увидеть основные. Например, учитывая список, созданный, как описано ранее, вы можете легко вычислить квадрат первых простых чисел.

ЖИВАЯ ДЕМО

CalcMe Sheet

Редактор кода CalcMe

Функции пользователя

Строки алгоритма, опция

Вы можете создавать собственные функции. Команда random очень полезна, но было бы немного утомительно записывать каждый раз random (-10,10) . Вместо этого вы можете создать функцию, которая при вызове генерирует случайное число:

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Это упрощает создание матрицы со случайными коэффициентами.Еще один более сложный пример — создание функции, которая строит трехдиагональную матрицу по трем числам. Следовательно, каждый раз, когда вы хотите создать трехдиагональную матрицу, вам просто нужно вызывать эту функцию с элементами верхней диагонали, диагонали и нижней диагонали, которые вы хотели бы иметь в матрице.

ЖИВАЯ ДЕМО

Таблица CalcMe	Редактор кода CalcMe

Построение вектора на графическом калькуляторе TI-84 Plus C Silver Edition.

Решение 34921: Построение вектора на графическом калькуляторе TI-84 Plus C Silver Edition.

Как построить вектор на графическом калькуляторе TI-84 Plus C Silver Edition?

TI-84 Plus C Silver Edition не имеет режима векторной графики. Тем не менее, пользователи по-прежнему могут изобразить вектор с помощью СТАТИСТИКИ.Для этого следуйте примеру ниже:

Пример: Изобразите вектор с величиной 5 единиц и направлением 30 градусов.

Чтобы преобразовать вектор в прямоугольные координаты:

1) Нажмите [РЕЖИМ] и убедитесь, что выбран режим СТЕПЕНЬ. Если СТЕПЕНЬ не выбрана, прокрутите вниз и до СТЕПЕНИ и нажмите [ENTER].
Обратите внимание: Нажмите [2nd] [MODE], чтобы вернуться на главный экран.
2) Нажмите [2nd] [APPS] [7], чтобы войти в меню ANGLE, и вставьте функцию P> Rx () на главный экран.
3) Нажмите [5] [,] [3] [0] [)].
4) Нажмите [STO>] [X, T, theta, n] [ENTER] (значение Rx теперь сохраняется в переменной X).

5) Нажмите [2nd] [APPS] [8] для доступа к меню ANGLE и вставьте функцию P> Ry ( на главный экран.
6) Нажмите [5] [,] [3] [ 0] [)].
7) Нажмите [STO>] [ALPHA] [1] [ENTER] (значение Ry теперь сохраняется в переменной Y).

Значения входного списка:

1) Нажмите [STAT] [ENTER], чтобы получить доступ к редактору списка STAT.
2) Установите курсор под списком L1 и нажмите [0] [ENTER] [X, T, theta, n] [ENTER].

3) Перейдите к списку L2 и нажмите [0] [ENTER] [ALPHA] [1] [ENTER].

4) Нажмите [2nd] [MODE], чтобы выйти из редактора списка STAT.

Постройте вектор:

1) Нажмите [2nd] [Y =] [ENTER], чтобы получить доступ к редактору STAT PLOT Editor.
2) Выделив опцию ON, нажмите [ENTER], чтобы включить Plot1.

3) В поле Тип: выберите вторую опцию, которая представляет собой график X-Y Line.
4) Для опции Xlist введите L1. Если L1 еще не отображается, нажмите [2nd] [1], чтобы ввести L1.
5) Для опции Ylist введите L2. Если L2 еще не отображается, нажмите [2nd] [2], чтобы ввести L2.
6) Нажмите [GRAPH], чтобы построить график вектора.

Дополнительную информацию см. В руководстве TI-84 Plus C Silver Edition.

Как вычислить результирующую силу, действующую на объект — x-engineer.org

В механике мы имеем дело с двумя типами величин (переменных): скалярными и векторными переменными. Скалярные переменные имеют только величину, например: длина, масса, температура, время. Векторные переменные имеют величину и направление, например: скорость, сила, крутящий момент. Направление вектора определяется углами действия каждой оси. Векторные переменные обычно обозначаются жирным шрифтом со стрелками вверху.

На тело или точку могут действовать несколько сил, каждая из которых имеет разное направление и величину. В инженерии основное внимание уделяется результирующей силе, действующей на тело.Результирующая параллельных сил (действующих в одной плоскости) может быть найдена с помощью закона параллелограмма , правила треугольника или правила многоугольника .

Две или более силы действуют одновременно — их направление пересекает общую точку. Например, две параллельные силы F ₁ и F ₂ действуют на одну и ту же точку P . Чтобы найти их результирующий R , мы можем применить либо закон параллелограмма , либо правило треугольника .


Закон параллелограмма	Правило треугольника

Результирующая сила — это векторная сумма между компонентами:

\ [\ overrightarrow {R} = \ overright \ overright {Farrow} {F_2} \]

Если на одну и ту же точку действует несколько сил, мы можем применить правило многоугольника , чтобы найти их равнодействующую.

\ [\ overrightarrow {R} = \ overrightarrow {F_1} + \ overrightarrow {F_2} + \ overrightarrow {F_3} + \ overrightarrow {F_4} \]

Результирующую силу можно определить также для трехмерной силы системы , используя правило многоугольника.

\ [\ overrightarrow {R} = \ overrightarrow {F_1} + \ overrightarrow {F_2} + \ overrightarrow {F_3} \]

Закон параллелограмма, правило треугольника и правило многоугольника — это геометрические методы для нахождения равнодействующей силы . Мы можем нарисовать результирующую силу, но мы не знаем точно ее величину и направление.

Чтобы вычислить величину и направление результирующей силы или вычислить значение той или иной составляющей силы, мы можем использовать закон синусов и закон косинусов.{\ circ} — \ alpha — \ beta)} \ tag {3} \]

Результирующую силу также можно вычислить аналитический , используя проекции силы. Используя метод проекции силы , мы можем вычислить величину и углы направления результирующей силы.

На изображении выше у нас есть равнодействующая сила R и ее проекции на каждую ось:

F _x — проекция R на ось x
F _y — проекция R на ось y
F _z — проекция R на ось z
α — угол между R и осью x
β — угол между R и осью y
γ — угол между R и осью z

Если в одной точке действуют несколько сил, мы вычислим равнодействующую их проекций на каждая ось:

\ [\ begin {split}
F_x & = \ sum_ {i = 1} ^ {n} F_ {ix} \\
F_y & = \ sum_ {i = 1} ^ {n} F_ {iy } \\
F_z & = \ sum_ {i = 1} ^ {n} F_ {iz}
\ end {split} \]
, где n — количество действующих сил, а F _x , F _{y 901 46} и F _z — равнодействующие силы на каждой оси.2}}
\ end {split} \]
Метод проецирования силы также можно использовать для вычисления результирующей силы в копланарной (оси x, оси y).
Пример 1 . Учитывая силы F ₁ = 2,91 Н , F ₂ = 2,67 Н , F ₃ = 2,47 Н и F ₄ = 2,23 Н и углы α = 60 ° и β = 30 ° , вычислить равнодействующую силу R и ее угол γ с осью x.
Шаг 1 . Чтобы получить представление о том, как может выглядеть результирующая сила, мы можем применить правило многоугольника.
Как видите, величина равнодействующей почти равна величине силы F ₃ . Кроме того, угол γ должен быть около значения α . Это геометрическое решение полезно, потому что мы знаем, каких результатов следует ожидать от аналитического решения.
Шаг 2 .{\ circ} \]
Как и ожидалось, аналитическое решение (проекция сил) дает те же результаты, что и геометрическое решение (правило многоугольника).
Пример 2 . Учитывая силы F ₁ = 6,12 Н , F ₂ = 4,32 Н , F ₃ = 1,84 Н и их углы α = 16 ° , β = 22 ° , γ = 36 ° , вычислить равнодействующую силы R и ее углы α _R , β _R , γ _R с осями x, y и z.Силы — это диагонали с каждой стороны прямоугольного параллелепипеда.
Шаг 1 . Рассчитайте проекции силы на каждую ось.
\ [\ begin {split}
F_x & = F_1 \ cdot \ text {cos} (\ alpha) + F_2 \ cdot \ text {cos} (\ beta) & = 9.89 \ text {N} \\
F_y & = F_1 \ cdot \ text {cos} \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ alpha \ right) + F_3 \ cdot \ text {cos} \ left (\ frac {\ pi} {2} — \ гамма \ справа) & = 2,77 \ text {N} \\
F_z & = F_3 \ cdot \ text {cos} (\ gamma) + F_2 \ cdot \ text {cos} \ left (\ frac {\ pi} {2 } — \ beta \ right) & = 3.\ circ} {\ pi}, \ text {if} F_ {x}
\ end {matrix} \ right. \]
Пример 3 . В качестве примера возьмем систему сил из упражнения , упражнение 1 и вычислим результирующую силу и ее угол с горизонтальной осью ( O-x ).
Чтобы этот метод работал, все углы должны быть привязаны к горизонтальной оси, O-x .
Силы и углы следующие:
F ₁ = 2,91 Н, α ₁ = 0 °
F ₂ = 2.67 Н, α ₂ = 60 °
F ₃ = 2,47 Н, α ₃ = 150 °
F ₄ = 2,23 Н, α ₄ = 270 °
Шаг 1 . Вычислите горизонтальную составляющую результирующего
\ [F_ {x} = 2,91 \ cdot \ cos (0) + 2,67 \ cdot \ cos (60) + 2,47 \ cdot \ cos (150) + 2,23 \ cdot \ cos (270). = 2.106 \ text {N} \]
Наблюдение: если расчет выполняется на портативном калькуляторе программного приложения, аргумент функции cos () должен быть указан в радианах, например:
\ [\ cos \ left (60 \ cdot \ frac {\ pi} {180} \ right) \]
Шаг 2 . {2} + 1.{\ circ} \]
Этот метод можно распространить на любое количество сил, если известны значения сил и углы.
Вы также можете проверить свои результаты с помощью калькулятора ниже.
Калькулятор результирующей силы
Используйте калькулятор выше, чтобы вычислить и оценить различное распределение сил. Наведя указатель мыши на линейные силы, вы можете увидеть их координаты, которые представляют компоненты F _x [N] и F _y [N].
Не забывайте ставить лайки, делиться и подписываться!
Карта механики — момент около точки
Для любой точки вытянутого тела, если на это тело действует сила, которая не проходит через эту точку, то эта сила вызовет момент вокруг этой точки.Как уже говорилось на странице моментов, момент — это тенденция силы вызывать вращение.
Векторный метод в 2-х и 3-х измерениях
Альтернативой вычислению момента с помощью скалярных величин является использование векторного метода или метода перекрестного произведения . Для простых двумерных задач обычно проще использовать скалярные величины, но для более сложных задач обычно проще использовать метод перекрестного произведения. Метод перекрестного произведения для вычисления моментов гласит, что вектор момента силы вокруг точки будет равен перекрестному произведению вектора r от точки до любой точки на линии действия силы и самого вектора силы.
\ [\ vec {M} = \ vec {r} \ times \ vec {F} \]
Большим преимуществом этого метода является то, что r не обязательно должно быть кратчайшим расстоянием между точкой и линией действия, оно идет от точки до любой части линии действия. Для любой проблемы существует множество возможных векторов r , хотя из-за того, как работает кросс-произведение, все они должны в конечном итоге привести к одному и тому же вектору момента.
Вектор момента силы F относительно точки A будет равен перекрестным произведениям вектора r и вектора силы.Вектор r — это вектор из точки A в любую точку на линии действия силы.
Здесь важно отметить, что все величины ( r , F и M ) являются векторами. Прежде чем вы сможете решить для кросс-продукта, вам нужно будет записать r и F в форме векторных компонентов. Кроме того, даже для двумерных задач вам нужно будет выписать все три компонента векторов r и F . Для двумерных задач компоненты z векторов r и F будут просто равны нулю, но эти значения необходимы для вычислений.
Полученный вами вектор момента будет совмещен с осью вращения на данный момент, где вы можете использовать правило правой руки, чтобы определить, движется ли момент по этой оси по часовой стрелке или против часовой стрелки.
Результат r пересечения F даст нам вектор момента. Для этой двумерной задачи вектор момента указывает в положительном направлении оси z. Мы можем использовать правило правой руки, чтобы определить направление вращения с момента (совместите большой палец правой руки с вектором момента, и наши скрученные пальцы будут указывать в направлении вращения с момента).
Наконец, важно также отметить, что перекрестное произведение, в отличие от умножения, не является коммуникативным. Это означает, что порядок векторов имеет значение, и r пересечение F не будет таким же, как F пересечение r . При расчете моментов важно всегда использовать r крест F .
.
No related posts.