Дифференциальные уравнения примеры с решениями простые: 44 важных примера подробных решений дифференциальных уравнений

Содержание

Сообщество Экспонента

вопрос
28.12.2022

Математика и статистика

Подскажите, пожалуйста, ссылки на видео и/или другую информацию (на русском) для того чтоб быстрее разобраться — как, после обучения модели и сохранив ее в виде скрипта , — использовать эт…

модель

28.12.2022

Публикация
24.12.2022

Системы связи

Скачать материалы семинара можно тут.

Недавно у нас в офисе прошел офлайн-семинар, который собрал на одной площадке специалистов данной тематики для обмена знаниями и опытом, чтобы вооружившись последними технологиями дать быстрый старт в развитии отечественного оборудования систем связи 5G.

5G
ИИ
Искусственный интеллект

24. 12.2022

вопрос
23.12.2022

Глубокое и машинное обучение(ИИ), Робототехника и беспилотники, ПЛИС и СнК, Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Радиолокация, Автоматизация испытаний, Системы связи, Цифровая обработка сигналов, Верификация и валидация, Математика и статистика, Изображения и видео

Здравствуйте! Есть такая вот статья. Мне в Matlab надо написать формулу, чтобы в результате получить диаграмму, как на рисунке 4 на статье. Только вот я не понимаю, какую формулу можно было бы написат…

3 Ответа

Отвеченный вопрос

21.12.2022

Другое, Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов

Есть массив экспериментальных данных (9 спектров при разных концентрациях), который я пытаюсь описать спектрами нескольких форм (в данном примере для упрощения только одна форма со спектром x(2,: ) и. 2 (вольт — частотная корректировка) 3. Добавить вентиляторную…

1 Ответ

ПЧ
Скалярное управление
АД

14.12.2022

Отвеченный вопрос
13.12.2022

Другое, Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста как (и можно ли вообще) решить систему квадратных уравнений. eqn1=(x-y)/(A0-x-y)/(m0-x-2*y)==K1; eqn2=y/(x-y)/(m0-x-2*y)==K2; То есть выразить переменные x и y чер…

7 Ответов

Публикация
07.12.2022

Электропривод и силовая электроника

Наша команда представила решение для электроэнергетической отрасли на базе КПМ РИТМ. В очередной раз мы провели демонстрацию работы стенда с терминалами РЗиА (ВАЖНО! — мы не занимаемся рекламой сипротеков, на их месте может быть любой терминал, в том числе и В. ..

На прошлой неделе прошел международный форум «Электрические сети», который объединил десятки ведущих представителей профессионального сообщества электроэнергетики, а также задал вектор развития для внедрения новых прорывных технологий.

Электропривод
электроэнергетика

07.12.2022

Публикация
07.12.2022

Робототехника и беспилотники

В докладе будет рассказано о применении алгоритмов обучения с подкреплением к различным задачам: от простых игровых задач до задачи навигации мобильного робота. Также будут представлены результаты сравнения различных алгоритмов в задачах избежания столкновения…

Приглашаем на вебинар «Обучение с подкреплением: от игр к реальным задачам», который пройдет 13 декабря в 10:00.

В настоящее время технологии обучения с подкреплением активно применяются во многих сферах: от ритейла до автономных транспортных средств. Может быть лучше: основной сложностью этого подхода является отсутствие размеченных данных, и, к сожалению, нет формализованного подхода как данные могут быть размечены для этой задачи.

Другая сложность — это формализация функции вознаграждения. От удачного ее выбора зависит конечный успех настройки алгоритма управления.

MATLAB
Simulink
САУ
МОП
Модельно ориентированное проектирование
Искусственный интеллект

07.12.2022

вопрос
07.12.2022

Системы связи, Цифровая обработка сигналов, ПЛИС и СнК, Другое

Здравствуйте! У меня вопрос по поводу дифференциальной квадратурной фазовой модуляции (DQPSK), которая применяется в стандарте связи TETRA. Мне необходимо построить сигнал с данной модуляцией и…

13 Ответов

Примеры решения систем дифференциальных уравнений численными методами.

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Введение

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто они такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) – теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.

В ряде случаев дифференциальное уравнение можно преобразовать к виду, в котором старшая производная выражена в явном виде. Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной (при этом в правой части уравнения старшая производная отсутствует):

Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется такая функция y(x), которая при любых х удовлетворяет этому уравнению в определенном конечном или бесконечном интервале.

Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения.

Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши дляОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y) и независимой (x) переменных между узлами равномерной сетки:

где y i+1 это искомое значение функции в точке x i+1 .

Точность метода Эйлера можно повысить, если воспользоваться для аппроксимации интеграла более точной формулой интегрирования –формулой трапеций .

Данная формула оказывается неявной относительно y i+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравнением относительно y i+1 , решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации).

Состав курсовой работы: Курсовая работа состоит из трех частей. В первой части краткое описание методов. Во второй части постановка и решение задачи. В третьей части – программная реализация на языке ЭВМ

Цель курсовой работы: изучить два метода решения дифференциальных уравнений-метод Эйлера-Коши и усовершенствованный методЭйлера.

1. Теоретическая часть

Численное дифференцирование

Дифференциальным называется уравнение, содержащее один или несколько производных. В зависимости от количества не зависимых переменных, дифференциальные уравнения делятся на две категории.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

Дифференциальные уравнения в частных производных.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их можно записать виде

независимая переменная

Наивысший порядок , входящий в уравнение (1) называется порядком дифференциального уравнения.

Простейшим (линейным) ОДУ является уравнение (1) порядка разрешенное относительно производной

Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция,которая после ее подстановки в уравнение обращает его в тождество.

Основная задача, связанная с линейной ОДУ известно как задача Каши:

Найти решение уравнения (2) в виде функции удовлетворяющий начальному условию (3)

Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через точку ) при выполнение равенства (2).

Численный с точки зрения задачи Каши означает: требуется построить таблицу значений функции удовлетворяющий уравнение (2) и начальное условие (3) на отрезке с некоторым шагом . Обычно считается, что то есть начальное условие задано в левом конце отрезка.

Простейшим из численных методов решения дифференциального уравнения является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной форме или таблицы.

Пусть дано уравнение (2) с начальным условием тоесть поставлена задача Каши. Решим вначале следующую задачу. Найти простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке где -достаточно малый шаг. Уравнение (2) совместно с начальным условием (3) задают направление касательной искомой интегральной кривой в точке с координатами

Уравнение касательной имеет вид

Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке :

Располагая приближенным решением в точке можно повторить описанную ранее процедуру: построить прямую проходящую через эту точку с угловым коэффициентом , и по ней найти приближенное значение решения в точке

. Заметим, что эта прямая не является касательной к реальной интегральной кривой, поскольку точка нам не доступна, однако если достаточно мало то получаемые приближенные будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равно отстоящих точек

Получение таблицы значений искомой функции

по методу Эйлера заключается в циклическом применение формулы

Рисунок 1. Графическая интерпретация метода Эйлера

Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, в которых решения получаются от одного узла к другому, называются пошаговыми. Метод Эйлера самый простой представитель пошаговых методов. Особенностью любого пошагового метода является то, что начиная со второго шага исходное значение в формуле (5) само является приближенным, то есть погрешность на каждом следующем шаге систематически возрастает. Наиболее используемым методом оценки точности пошаговых методов приближенного численного решения ОДУ является способ двойного прохождения заданного отрезка с шагом и с шагом

1.1 Усовершенствованный метод Эйлера

Основная идея этого метода: вычисляемое по формуле (5) очередное значение будет точнее, если значение производной, то есть угловой коэффициент прямой замещающей интегральную кривую на отрезке будет вычисляться не по левому краю (то есть в точке ), а по центру отрезка . Но так как значение производной между точками не вычисляется, то перейдем к сдвоенным участкам центром, в которых является точка , при этом уравнение прямой получает вид:

А формула (5) получает вид

Формула (7) применена только для , следовательно, значения по ней получить нельзя, поэтому находят по методу Эйлера, при этом для получения более точного результата поступают так: с начало по формуле (5) находят значение

(8)

В точке а затем находится по формуле (7) с шагом

(9)

После того как найдено дальнейшие вычисления при производится по формуле (7)

Лабораторная работа 1

Численные методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа)

При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением , а отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство

, (1)

в котором

— независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке , а — неизвестная функция y (x ) и ее первые n производные. называется порядком уравнения .

Задача заключается в нахождении функции y, удовлетворяющей равенству (1). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.

Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений

Уравнения без начальных условий

Уравнения с начальными условиями.

Уравнения без начальных условий — это уравнение вида (1).

Уравнение с начальными условиями — это уравнение вида (1), в котором требуется найти такую функцию

, которая при некотором удовлетворяет следующим условиям: ,

т.е. в точке

функция и ее первые производных принимают наперед заданные значения.

Задачи Коши

При изучении способов решения дифференциальных уравнений приближенными методами основной задачей считается задача Коши.

Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.

Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x 1 можно записать в виде:

(2)

Вторую производную y «( x 0 ) можно выразить через производную функции f ( x , y ) , однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность

соответственно подбирая значения параметров

Тогда (2) можно переписать в виде:

y 1 = y 0 + h [ β f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 + γh , y 0 + δh )], (3)

где α , β , γ и δ – некоторые параметры.

Рассматривая правую часть (3) как функцию аргумента h , разложим ее по степеням h :

y 1 = y 0 +( α + β ) h f ( x 0 , y 0 ) + αh 2 [ γ f x ( x 0 , y 0 ) + δ f y ( x 0 , y 0 )],

и выберем параметры α , β , γ и δ так, чтобы это разложение было близко к (2). Отсюда следует, что

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( x 0 , y 0 ).

С помощью этих уравнений выразим β , γ и δ через параметры α , получим

y 1 = y 0 + h [(1 — α ) f ( x 0 , y 0 ) + α f ( x 0 +, y 0 + f ( x 0 , y 0 )], (4)

0 α ≤ 1.

Теперь, если вместо (x 0 , y 0 ) в (4) подставить (x 1 , y 1 ), получим формулу для вычисления y 2 – приближенного значения искомой функции в точке x 2 .

В общем случае метод Рунге-Кутта применяется на произвольном разбиении отрезка [ x 0 , X ] на n частей, т.е. с переменным шагом

x 0 , x 1 , …,x n ; h i = x i+1 – x i , x n = X. (5)

Параметры α выбирают равными 1 или 0,5. Запишем окончательно расчетные формулы метода Рунге-Кутта второго порядка с переменным шагом для α =1:

y i+1 =y i +h i f(x i + , y i + f(x i , y i)), (6.1)

i = 0, 1,…, n -1.

и α =0,5:

y i+1 =y i + , (6.2)

i = 0, 1,…, n -1.

Наиболее употребляемые формулы метода Рунге-Кутта – формулы четвертого порядка точности:

y i+1 =y i + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4),

k 1 =f(x i , y i), k 2 = f(x i + , y i + k 1), (7)

k 3 = f(x i + , y i + k 2), k 4 = f(x i +h, y i +hk 3).

Для метода Рунге-Кутта применимо правило Рунге для оценки погрешности. Пусть y ( x ; h ) – приближенное значение решения в точке x , полученное по формулам (6.1), (6.2) или (7) с шагом h , а p – порядок точности соответствующей формулы. Тогда погрешность R ( h ) значения y ( x ; h ) можно оценить, используя приближенное значение y ( x ; 2 h ) решения в точке x , полученное с шагом 2 h :

(8)

где p =2 для формул (6. 1) и (6.2) и p =4 для (7).

Для решения дифференциальных уравнений необходимо знать значение зависимой переменной и ее производных при некоторых значениях независимой переменной. Если дополнительные условия задаются при одном значении неизвестной, т.е. независимой переменной., то такая задача называется задачей Коши. Если начальные условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. При решении дифференциальных уравнений различных видов, функция, значения которой требуется определить вычисляется в виде таблицы.

Классификация численных методов для решения дифр. Ур. Типов.

Задача Коши – одношаговые: методы Эйлера, методы Рунге- Кутта; – многошаговые: метод Майна, Метод Адамса. Кроевая задача – метод сведения кроевой задачи к задаче Коши; –метод конечных разностей.

При решении задачи Коши должны быть заданы дифр. ур. порядка n или система дифр. ур. первого порядка из n уравнений и n дополнительных условий для ее решения. Дополнительные условия должны быть заданы при одном и том же значении независимой переменной. При решении кроевой задачи должны быть заданы ур. n-ого порядка или система из n уравнений и n дополнительных условий при двух или более значениях независимой переменной. При решении задачи Коши искомая функция определяется дискретно в виде таблицы с некоторым заданным шагом . При определении каждого очередного значения можно использовать информацию об одной предыдущей точке. В этом случае методы называют одношаговым, либо можно использовать информацию о нескольких предыдущих точках – многошаговые методы.

Обыкновенные дифференциальные ур. Задача Коши. Одношаговые методы. Метод Эйлера.

Задано: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y(x 0)=y 0 . Известно: f(x,y), x 0 , y 0 . Определить дискретное решение: x i , y i , i=0,1,…,n. Метод Эйлера основан на разложении функции в ряд Тейлора окрестности точки x 0 . Окрестность описывается шагом h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). В методе Эйлера учитываются только два слагаемых ряда Тейлора. Введем обозначения. Формула Эйлера примет вид: y i+1 =y i +y i , y i =hy(x i)=hf(x i ,y i), y i+1 =y i +hf(x i ,y i) (2), i=0,1,2…, x i+1 =x i +h

Формула (2) является формулой простого метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация формулы Эйлера

Для получения численного решения используется ф-ла касательной, проходящей через урав. касательной: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1 ,

y 1 =y(x 0)+f(x 0 ,y 0)  (x-x 0), т.к.

x-x 0 =h, то y 1 =y 0 +hf(x 0 ,y 0), f(x 0 ,y 0)=tg £.

Модифицированный метод Эйлера

Задано: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Известно: f(x,y), x 0 , y 0 . Определить: зависимость y от x в виде табличной дискретной функции: x i , y i , i=0,1,…,n.

Геометрическая интерпертация

1) вычислим тангенс угла наклона в начальной точке

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Вычислим значение  y n+1 на

конце шага по формуле Эйлера

 y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) Вычислим тангенс угла наклона

касательной в n+1 точке: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Вычислим среднее арифметическое углов

наклона: tg £=½. 5) Используя тангенс угла наклона пересчитаем значение функции в n+1 точке: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h – формула модифицированного метода Эйлера. Можно показать, что полученная ф-ла соответствует разложению ф-ии в ряд Тейлора, включая слагаемы (до h 2). Модифицированный метод Эйлнра в отличии от простого является методом вторго порядка точности, т.к. погрешность пропорциональна h 2 .

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y (x). Их можно записать в виде

Где х — независимая переменная.

Наивысший порядок n входящей в уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методы используют геометрические построения.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями. При этом необходимо подчеркнуть, что данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных компьютеров.

Простейшим численным методом решения задачи Коши для ОДУ является метод Эйлера. Рассмотрим уравнение в окрестностях узлов (i=1,2,3,…) и заменим в левой части производную правой разностью. При этом значения функции узлах заменим значениями сеточной функции:

Полученная аппроксимация ДУ имеет первый порядок, поскольку при замене на допускается погрешность.

Заметим, что из уравнения следует

Поэтому представляет собой приближенное нахождение значение функции в точке при помощи разложения в ряд Тейлора с отбрасыванием членов второго и более высоких порядков. Другими словами, приращение функции полагается равным её дифференциалу.

Полагая i=0, с помощью соотношения находим з значение сеточной функции при:

Требуемое здесь значение задано начальным условием, т.е.

Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:

Построенный алгоритм называется методом Эйлера

Рисунок — 19 Метод Эйлера

Геометрическая интерпретация метода Эйлера дана на рисунке. Изображены первые два шага, т.е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках. Интегральные кривые 0,1,2 описывают точные решения уравнения. При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши, так как она проходит через начальную точку А (x 0 ,y 0). Точки B,C получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок АВ — отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон характеризуется значением производной. Погрешность появляется потому, что приращение значения функции при переходе от х 0 к х 1 заменяется приращением ординаты касательной к кривой 0 в точке А. Касательная ВС уже проводится к другой интегральной кривой 1. таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге приближенное решение переходит на другую интегральную кривую.

Определение дифференциального уравнения Эйлера. Рассмотрены методы его решения.

Содержание

Дифференциальное уравнение Эйлера — это уравнение вида
a 0 x n y (n) + a 1 x n-1 y (n-1) + … + a n-1 xy′ + a n y = f(x) .

В более общем виде уравнение Эйлера имеет вид:
.
Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.

Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение Эйлера:
(1) .
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = e t .
Действительно, тогда
;
;
;

;
;
……………………..

Таким образом, множители, содержащие x m , сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами. Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.

Решение однородного уравнения Эйлера

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(2) .
Ищем решение уравнения (2) в виде
.
;
;
……………………
.
Подставляем в (2) и сокращаем на x k . Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными.

Рассмотрим действительные корни. Пусть k i — кратный корень кратности m . Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:
.

Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть k i — кратный корень кратности m . Выразим комплексный корень k i через действительную и мнимую части:
.
Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2 m линейно независимых решений:
;
;
…………………………
.

После того как получены n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):
(3) .

Примеры

Решить уравнения:

Решение примеров > > >

Решение неоднородного уравнения Эйлера

Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:
.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.

Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные функциями от переменной x . Дифференцируем (3) n — 1 раз. Получаем выражения для n — 1 производных y по x . При каждом дифференцировании члены, содержащие производные приравниваем к нулю. Так получаем n — 1 уравнений, связывающих производные . Далее находим n -ю производную y . Подставляем полученные производные в (1) и получаем n -е уравнение, связывающее производные . Из этих уравнений определяем . После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).

Пример

Решить уравнение:

Решение > > >

Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью

Если неоднородная часть имеет определенный вид, то получить общее решение проще, найдя частное решение неоднородного уравнения. К такому классу относятся уравнения вида:
(4)
,
где — многочлены от степеней и , соответственно.

В этом случае проще сделать подстановку
,
и решать

Примеры обыкновенных дифференциальных уравнений — Math Insight

Пример 1

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) $$\diff{x}{t} = 5x -3$$ для $x(t)$. {5t}+ \frac{3}{5}.$$ 94 -\фрак{85}{3}}. \конец{выравнивание*}

Решения дифференциальных уравнений: примеры

Было бы неплохо иметь решение всех ваших задач? Или, по крайней мере, ваши математические проблемы? Как насчет задач с дифференциальными уравнениями? К сожалению, вы даже не можете найти решения всех видов дифференциальных уравнений. Однако здесь вы можете найти по крайней мере несколько видов решений дифференциальных уравнений .

Проверка решений дифференциальных уравнений

Начнем с того, как проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения. Предположим, вам дано дифференциальное уравнение

\[ y’ = f(x,y),\]

, и кто-то говорит вам, что функция $y(x)$ является решением уравнения. Как вы видите, правы ли они?

Чтобы убедиться, что $y(x)$ является решением дифференциального уравнения $y’=f(x,y)$, вычислить $y'(x) — f(x, y(x) ))$ и посмотрите, получите ли вы $0$. Если да, то $y(x)$ является решением. 92 — 4x — 4 }\right) \\ &= 0.\end{align}\]

Следовательно, $y(x)$ является решением дифференциального уравнения.

Что делать, если вы хотите получить представление о том, как выглядит решение, не решая дифференциального уравнения?

Графики решений дифференциальных уравнений

Есть два основных метода, которые вы можете использовать, чтобы получить представление о том, как выглядит решение дифференциального уравнения и как оно ведет себя, не решая его.

Если вам нужна численная аппроксимация, вы можете использовать метод Эйлера.
Поля направлений, также называемые полями наклона, используют тот факт, что производная представляет собой наклон, для построения «поля» уклонов, которое позволяет предсказать поведение решений.

В статьях по этим темам будет много примеров построения графиков решений. Если вы действительно можете решить дифференциальное уравнение, вы можете построить график общего решения. {-ax}+\frac{b}{a},\]

— решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

При решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка используется интегрирующий множитель, и в статьях «Линейные дифференциальные уравнения» и «Неоднородные линейные уравнения» есть множество примеров.

Экспоненциальные решения дифференциального уравнения

Решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами — это почти единственный класс дифференциальных уравнений, для которых гарантировано экспоненциальное решение. Однако это не означает, что другие дифференциальные уравнения не могут иметь в своих решениях экспоненциальные функции. Давайте посмотрим на пример. 92 — 6r + 8 = 0.\]

Это делит на $ (r-2)(r-4) = 0$, которое имеет решения $r=2$ и $r=4$ , который оказался в показателях решения! Такие вещи, как характеристические многочлены и линейные дифференциальные уравнения второго порядка, — это некоторые из вещей, о которых вы узнаете, если будете посещать занятия по дифференциальным уравнениям.

Равновесные решения дифференциальных уравнений

Некоторые дифференциальные уравнения имеют равновесное решение.

Равновесный раствор $y(x)$ дифференциального уравнения первого порядка — это такое, которое удовлетворяет условию $y'(x)\equiv 0$.

Другими словами, равновесное решение дифференциального уравнения первого порядка — это постоянное решение ! Равновесные решения иногда называют стационарными решениями .

Одним из известных дифференциальных уравнений, имеющих не одно, а два равновесных решения, является логистическое уравнение,

\[P’ = r\left( 1- \frac{P}{k}\right)P.\]

92 + 12x } }.\]

Итак, теперь у вас есть два равновесных решения и общее решение! Как узнать, какой из них правильный? Ну, технически они все верны. Они составляют набор функций, которые решают дифференциальное уравнение. Если бы вам были даны начальные значения, вы могли бы либо выбрать одно из равновесных решений, либо найти $B$ в общем решении, чтобы получить конкретное решение.

Чтобы увидеть пример дифференциального уравнения, которое может иметь одно, ни одного или бесконечное множество решений в зависимости от начального значения, см. нашу статью Общие решения дифференциальных уравнений. 9\круг\). Какое дифференциальное уравнение моделирует это и каково равновесное решение?

Решение

Во-первых, давайте определимся, что это за переменные. Конечно, одним из них будет время, а другим — температура, но вам нужно выяснить, какая из них является независимой переменной, а какая — зависимой. Поскольку температура пиццы зависит от времени, это означает, что время является независимой переменной, а температура — зависимой переменной. Задав каждому из них переменную, пусть

$t$ время с момента выхода из духовки; и
$y(t)$ — температура с момента выхода из духовки.

Теперь нужно выяснить, какое уравнение моделирует эту ситуацию. Закон охлаждения Ньютона вам в помощь! Помните, что для охлаждения объекта (в данном случае ваша пицца охлаждается до комнатной температуры) скорость изменения температуры определяется как константа, умноженная на разницу между текущей температурой и комнатной температурой. Другими словами,

\[y'(t) = k(y(t) — 70),\]

где $k$ — постоянная охлаждения.

Вам все еще нужно начальное значение, чтобы завершить это как дифференциальное уравнение.

Каково начальное значение? Это температура на выходе из духовки, поэтому $y(0) = 375$. Итак, чтобы завершить дифференциальное уравнение как задачу с начальным значением,

\[\begin{align} &y'(t) = k(y(t) — 70) \\ &y(0)=375 \end{align}\ ]

где $k$ — постоянная охлаждения. 9\circ\) перед едой. Как долго вам придется ждать?

Решение

В предыдущем примере вы видели, как составить это дифференциальное уравнение и найти равновесное решение, и обнаружили, что

\[\begin{align} &y'(t) = k(y( t) — 70) \\ &y(0)=375 \end{align}\]

где $k$ — постоянная охлаждения. Давайте опираться на эту информацию.

Это хорошее разделимое уравнение, и запись его в разделимой форме даст вам

\[ \frac{1}{y-70}y’ = k.\]

Тогда интегрирование обеих частей по $t$ дает

\[ \ln |y-70| = kt+C. \]

Вы можете либо использовать информацию, приведенную в задаче, чтобы сначала найти $k$ и $C$, либо найти явное решение, а затем найти константы. В любом случае вы получите один и тот же ответ.

Если вы подставите начальное условие $y(0) = 375$, вы получите

\[ \ln |375-70| = k\cdot 0 + C,\]

так что $ C = \ln 305$. 9\circ\), но вы его не использовали. Переводя это в переменные, $y(5) = 350$. Подставив его вместе с $C$ в уравнение, вы получите

\[ \ln |350-70| = 5k+\ln 305 .\]

Другими словами,

\[ \begin{align} 5k &= \ln |350-70| — \ln 305 \\ &= \ln 280 — \ln 305 \\ &= \ln \frac{280}{305}, \end{align}\]

, так что

\[k= \frac{1 }{5} \ln \frac{280}{305} .\]

Если сложить все вместе, решение задачи с начальным значением равно 9\круг\). Поэтому вместо того, чтобы искать явное решение, просто подключите температуру и определите время. Это означает

\[ \ln |300-70| = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t+\ln 305 \]

так

\[ \ln 230 — \ln 305 = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t \]

, что означает

\[ t = 5\frac{ \ln \frac{230}{305}}{ \ln \frac{280}{305} } \приблизительно 16.