Дробь в степени: как возвести, сокращение степеней в дробях. Степень рационального числа
Степень рационального положительного числа с натуральным показателем
Мы уже изучали понятие степени на одном из уроков (см. Урок 10. Степень числа. Возведение в степень. Таблица степеней натуральных чисел), рассматривали свойства степеней с натуральным показателем и свойства степени с целым отрицательным показателем.
Сегодня мы поговорим о возведении рациональных чисел, в том числе дробей в степень. Ведь основой степени может быть не только целое число, но и рациональное (как положительное, так и отрицательное).
Как возвести дробь в степень?Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в этую степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.
Пример.
Как возвести отрицательное рациональное число в положительную и отрицательную степень?
Чтобы возвести в степень отрицательное рациональное число (в том числе, дробь), нужно возвести в такую же степень модуль этого числа и перед результатом поставить знак плюс, если показатель степени четный, или минус, если показатель степени нечетный.
Примеры:
Степень рационального положительного числа с целым показателем
Для любого рационального числа a и целого отрицательного показателя n, выполняется:
То есть рациональное число в отрицательной степени n равно дроби, числитель которой единица, а знаменатель – рациональное число в положительной степени n.
Рассмотрим примеры по упрощению степеней:
Решение:
Упростить выражение можно и вторым способом, превратив в дробь:
Степень рационального отрицательного числа с целым показателем
Если возвести рациональное отрицательное число в целую степень, в результате можем получить как положительное, так и отрицательное число. Всё зависит от показателя степени. Если отрицательный показатель степени является четным числом, то результатом возведения в степень будет положительное число, если нечетное число – то в результате возведения в степень получим отрицательное число.
Чтобы поднести в степень отрицательное рациональное число (в том числе, дробь), нужно возвести в такую же степень модуль этого числа и перед результатом поставить знак плюс, если показатель степени четный, или минус, если показатель степени нечетный.
Примеры
Свойства степеней рациональных чисел
Степень рационального положительного и отрицательного числа с натуруальным и целым показателем имеет такие же характеристики, как степень целого числа.
Умножение степеней
Для любого рационального числа a и показателей степеней m и n, выполняется:
При умножении степеней одного и того же рационального числа показатели степеней нужно сложить, а основу оставить без изменений.
Возведение степени рационального числа в степень
Чтобы возвести степень рационального числа в степень, нужно показатели степеней перемножить, а основу оставить ту же.
Для любого рационального числа a и показателей степеней m и n, выполняется:
Степень произведения рациональных чисел
N-ая степень произведения рациональных чисел равна произведению n-ых степеней множителей.
Для любого рационального числа a и показателя степени n, выполняется:
Деление степеней рациональных чисел с целым показателем
Для любого рационального числа a, которое не равно нулю, и целых показателей степеней m и n, выполняется:
При делении степеней с одинаковыми основаниями рациональными числами основание оставляют без изменения, а от показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Пример
В данном примере основой является рациональное число 6,2, при делении мы вычитаем показатели степеней: 9 – (-7) = 9 + 7 = 16.
Упрощение выражений со степенями
Используя основные свойства степеней рациональных чисел, а также правила их возведения в степень, можно упрощать выражения со степенями.
Рассмотрим на примере.
Пример. Упростите выражение
1-способ (через превращение в дробь)
2-способ
Пример. Упростите выражение
Сначала упростим каждое выражение по отдельности:
А теперь выполним действия:
Ответ:
App Store: Калькулятор дробей со скобками
Описание
Многофункциональный калькулятор с дробями, предназначенный для выполнения математических, инженерных и научно-технических расчетов различной степени сложности.
Возможности:
— Сложение, вычитание, умножение, деление.
— Операции с дробями.
— Удобный и интуитивный ввод дробей.
— Возведение в степень. Возведение в целую степень, в том числе в отрицательную.
— Тригонометрические функции: Sin, Cos, Tan.
— Тригонометрические вычисления в градусах и радианах.
— Константы: π (pi).
— Корень квадратный (√).
— Преобразование дробей в десятичные числа и наоборот.
— Сокращение дробей.
— Показывает одновременно пример и результат.
— Результаты вычислений показываются в дробном и десятичном виде.
— Возможность округления десятичных результатов вычислений. По умолчанию приложение округляет до двух десятичных знаков.
— Возможность округления дроби до ближайшей 1/2, 1/4, 1/8, 1/12, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128, 1/256.
— Калькулятор хранит историю вычислений (25 последних примеров).
— Калькулятор позволяет отправлять результаты вычислений по электронной почте.
— Кнопки Вперед и Назад для перехода между проведенными вычислениями (с возможностью редактирования).
— Опция «Отменить» для команды «Очистить» («C»).
— Настройка внешнего вида приложения.
— Портретная и альбомная ориентация.
000Z» aria-label=»10 февраля 2020 г.»>10 февр. 2020 г.
Версия 2.1.0
Added option to select the result output format.
Added Polish localization.
Оценки и отзывы
Оценок: 3
Не решает
Калькулятор не решает нужные примеры! 27 в степень 2/3 не возводит. Шлак крч!
Решение дробей!
Врет, работает не корректно деньги на ветер, что решает верно что то врет, лотерея!
Разработчик Intemodino Group s.r.o. не сообщил Apple о своей политике конфиденциальности и используемых им способах обработки данных. Подробные сведения доступны в политике конфиденциальности разработчика.
Нет сведений
Разработчик будет обязан предоставить сведения о конфиденциальности при отправке следующего обновления приложения.
Информация
- Провайдер
- Intemodino Group s.r.o.
- Размер
- 25,6 МБ
- Категория
- Производительность
- Возраст
- 4+
- Copyright
- © 2020 Intemodino Group s.r.o.
- Цена
- 449,00 ₽
- Сайт разработчика
- Поддержка приложения
- Политика конфиденциальности
Поддерживается
Другие приложения этого разработчика
Вам может понравиться
Как решать дробные числа без калькулятора
Нравится это? Поделиться!
Важной частью вашего изучения алгебры является понимание того, как вычислять показатели степени.
В то время как геометрия основана на визуализации, алгебра требует от вас аналитических способностей. Одной из самых интересных математических концепций, которую мне лично нравилось изучать, было решение задач, основанных на алгебраических показателях. Это важный элемент алгебраического волшебства, которым вам необходимо овладеть, чтобы легко решать полиномиальные и числовые задачи. Основное внимание в этой статье Buzzle уделяется объяснению того, как легко решать дробные показатели степени. После краткого обзора математических законов, связанных с вычислением показателей степени, я демонстрирую решение реальных примеров с дробными показателями степени.
Что такое экспоненты?
Я предполагаю, что зайдя так далеко в математике, вы уже знаете, что такое умножение. Идея показателя степени возникла из умножения одного и того же числа на себя несколько раз.
м х м х м х м х м = м 5
Вместо того, чтобы выражать умножение m в такой длинной форме, используя сокращенную запись, оно выражается в форме – m 5 , так как «m» умножается на себя 5 раз. Здесь m называется «базой», а число 5 известно как «показатель степени» или «степень», до которой m ‘ было возведено в ’. Таким образом, m 5 читается как « m, возведенное в 5 » и понимается как m, умноженное на себя в 5 раз. Теперь существуют определенные правила умножения показателей степени с одним и тем же базовым членом, а именно:
| |
| м а х м б = м (а + б) (m a ) / (m b ) = m a – b (m a ) b = m a x b м -b = 1/м b м 0 = 1 |
Что такое дробные показатели?
После краткого обзора законов умножения показателей степени позвольте мне познакомить вас с дробными показателями степени.
Точно так же, как умножение числа на себя может быть выражено в показателях степени, квадратный, кубический или более высокий корень числа также может быть выражен в экспоненциальной форме. Например:
√m = m 1/2
3 √m = m 1/3
5 √(m 2 ) = m 2/5
Здесь члены m 1/2 , m 1/3 и m 2/5 имеют дробные показатели степени. Дробная экспонента — это сокращение для выражения квадратного корня или более высоких корней переменной. Последний из приведенных выше терминов — «m 2/5 » — это «корень пятой степени из m в квадрате». Давайте взглянем на правила решения дробных показателей, прежде чем погрузиться в иллюстративные примеры.
Правила решения дробных показателей
Правила упрощения дробных показателей достаточно просты. С практикой вы обнаружите, что их легче понять. Вот правила, которые вам необходимо знать:
| Правила решения дробных показателей |
| n √m = m 1/n n √(m) k = m k/n 900 15 |
Эти два правила в сочетании с изложенными ранее помогут вам довольно легко решать задачи на экспоненты.
Позвольте мне продемонстрировать, как такие проблемы решаются на примерах в следующем разделе.
Решение дробных показателей?
Когда дело доходит до решения математических задач, лучший способ научиться — это сначала изучить решенные примеры, а затем попытаться решить подобные примеры самостоятельно, постепенно увеличивая уровень сложности. В следующих строках я решаю ряд задач с дробными показателями, чтобы проиллюстрировать, как это делается.
Пример 1 : 27 2/3 = (27 1/3 ) 2 = ( 3 √27) 2 = 3 2 = 3 х 3 = 9
Пример 2 : 16 1/4 = (16 1/2 ) 1/2 = √(√16) = √4 = 2
Пример 3 : (8 9 0014 2/3 + 64 4/3 ) = [( 3 √8) 2 + ( 3 √64) 4 ] = [2 2 + 4 9001 4 4 ] = [4 + 256] = 260
При нахождении квадратного корня, кубического корня или большего корня любого числа преобразуйте его в мультипликативную серию множителей.
Если вы ищете квадратный корень, подумайте, какое число при умножении дважды окажется заданным числом. Это будет его корнем. Например, если вы хотите найти квадратный корень из 16, подумайте, какое число при умножении на себя дает ответ, равный 16. Это должно быть число меньше 16. После некоторых размышлений, если вы выучили свое умножение таблицы правильно, вы поймете, что 4 — это квадратный корень из 16. Точно так же, когда вы хотите найти кубический корень, подумайте, какое число при трехкратном умножении даст данное число. С практикой вам станет легче.
Если вам все еще трудно договориться с ними, единственное лекарство — практика. Получите кучу задач на дробную экспоненту и начните решать. Примените правила, представленные выше, и продолжайте решать, пока не получите правильные ответы. Практикуйтесь, пока решение таких задач не станет для вас почти второй натурой!
Без категорий
Получайте обновления прямо в папку «Входящие»
Подпишитесь, чтобы получать последние и лучшие статьи с нашего сайта автоматически каждую неделю (плюс-минус).
.. прямо в папку «Входящие».
Адрес электронной почты *
Калькулятор свободных условий
Этот калькулятор упрощает термины, которые могут содержать дроби, скобки или степени.
Термины»>
Что такое термин?
Термин — это слово, обозначающее практически все, что состоит из чисел, переменных и арифметических знаков. Это означает, что и являются терминами.
Термин, содержащий Знак квадратного корня называется корневым членом, а член, содержащий дробь, называется дробным членом.0003
Особым набором терминов являются многочлены, состоящие только из чисел и степеней x.
Терм — это вычисление, состоящее из чисел и переменных. Переменные — это буквы, обозначающие числа. Обычно неизвестно, какие числа обозначают переменные. Поэтому нельзя произвольно сильно упрощать термины.
Для чего нужны термины?
Чтобы иметь возможность производить вычисления с вещами, которых вы не знаете. Например, вы можете продавать вафли за доллары и торт за доллары. Сколько денег вы зарабатываете? Ну, это зависит от того, сколько вы продаете. За w проданных вафель вы зарабатываете долларов. За k проданных пирожных вы зарабатываете долларов. Так ты зарабатываешь доллары, а тут тебе срок. Если вы сейчас продаете, например. колебания и кусочки пирога, вам просто нужно вставить w и k и вы обнаружите, что вы заработали доллары, то есть доллары.
Как упростить термины?
Вы можете, например. сложить вместе все выпавшие числа.
Пример:
Вы также можете объединить вещи, принадлежащие одной и той же переменной, например.
или .
Если появляются разные переменные, упрощение не всегда возможно. Например, невозможно упростить, не зная кое-что об a, b и c.
Что расширяется?
Если термин находится в скобках и это число умножается на что-то, вы можете умножить каждое слагаемое термина (это означает: части, которые нужно умножить, разделены знаками + или -. Пример:
Как понять, что нельзя с терминами?
Простое правило: то, что подходит для каждого числа, подходит и для терминов.
Могу ли я увидеть больше примеров?
Конечно. Это Мэйтпауэр. Просто введите свое упражнение, и Mathepower упростит ваш термин.
Что делает эта программа?
Это упрощает термины шаг за шагом. В Mathepower есть расчетные скрипты почти для каждой части школьной математики, которые помогут вам решить ваши упражнения или проверить решения.