Если определитель матрицы равен 0 сколько решений имеет система: 1. Определители, матрицы, системы линейных уравнений. Линейная алгебра и Аналитическая геометрия

Если определитель равен нулю то система уравнений – как вычислить матрицу

Содержание

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Формулы Крамера

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных.

Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений

Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

Найти значения и возможно только при условии, если

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

. (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Три случая при решении систем линейных уравнений

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия:

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия:

* ,

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия:

** .

Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Другое по теме «Системы уравнений и неравенств»

Калькулятор — решение систем уравнений онлайн

Программная реализация метода Крамера на C++

Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Условие совместности системы линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли

Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы)

Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Начало темы «Линейная алгебра»

Определители

Матрицы

Поделиться с друзьями

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Определители

получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:

;

Формулы Крамера для нахождения неизвестных:

Найти значения и возможно только при условии, если

Этот вывод следует из следующей теоремы.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений:

. (2)

Согласно теореме Крамера имеем:

Итак, решение системы (2):

Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:

Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия:

Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия:

* ,

** ,

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия:

** .

Пусть дана система

На основании теоремы Крамера

………….
,

где
—

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители

По формулам Крамера находим:

Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (2; -1; 1).

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Другое по теме «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

От четвертой строки отнимем третьей и третью строку умножим на :

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

Здесь — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных (в рассматриваемом примере , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы (в этом случае получили, что — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду):

Так как ранг матрицы , а количество неизвестных системы , то тогда количество решений в ФСР (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения , получаем, что . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря , , будем иметь, что , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

Об

4.Свойства определителей. Определитель произведения матриц.

Ответ: СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

.СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой — вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Определитель. Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.То есть, определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, — определитель равен нулю.Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

5.Вырожденная матрица. Обратная матрица, её свойства, вычисление, теорема существования.

Ответ: Вы́рожденной, особой (сингулярной) матрицей называется квадратная матрица А , если её определитель (Δ) равен нулю. В противном случае матрица А называется невырожденной.

Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц.

Пусть — квадратная матрица порядка. Матрица, удовлетворяющая вместе с заданной матрицейравенствам:

называется обратной. Матрицу называютобратимой, если для нее существует обратная, в противном случае — необратимой.

Из определения следует, что если обратная матрица существует, то она квадратная того же порядка, что и. Однако не для всякой квадратной матрицы существует обратная. Если определитель матрицыравен нулю, то для нее не существует обратной. В самом деле, применяя теорему об определителе произведения матриц для единичной матрицыполучаем противоречие

так как определитель единичной матрицы равен 1. Оказывается, что отличие от нуля определителя квадратной матрицы является единственным условием существования обратной матрицы. Напомним, что квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае — невырожденной {неособой).

Теорема 4.1 о существовании и единственности обратной матрицы. Квадратная матрица , определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну:

где — матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы.

Матрица называетсяприсоединенной матрицей по отношению к матрице .

В самом деле, матрица существует при условии. Надо показать, что она обратная к, т.е. удовлетворяет двум условиям:

Докажем первое равенство. Согласно п.4 замечаний 2.3, из свойств определителя следует, что . Поэтому

что и требовалось показать. Аналогично доказывается второе равенство. Следовательно, при условии матрицаимеет обратную

Единственность обратной матрицы докажем от противного. Пусть кроме матрицы существует еще одна обратная матрицатакая, что. Умножая обе части этого равенства слева на матрицу, получаем. Отсюда, что противоречит предположению. Следовательно, обратная матрица единственная.

Замечания 4.1

1. Из определения следует, что матрицы иперестановочны.

2. Матрица, обратная к невырожденной диагональной, является тоже диагональной:

3. Матрица, обратная к невырожденной нижней (верхней) треугольной, является нижней (верхней) треугольной.

4. Элементарные матрицы имеют обратные, которые также являются элементарными (см. п.1 замечаний 1.11).

Свойства обратной матрицы

Операция обращения матрицы обладает следующими свойствами:

если имеют смысл операции, указанные в равенствах 1-4.

Докажем свойство 2: если произведение невырожденных квадратных матриц одного и того же порядка имеет обратную матрицу, то.

Действительно, определитель произведения матриц не равен нулю, так как

, где

Следовательно, обратная матрица существует и единственна. Покажем по определению, что матрицаявляется обратной по отношению к матрице. Действительно:

Из единственности обратной матрицы следует равенство . Второе свойство доказано. Аналогично доказываются и остальные свойства.

Замечания 4.2

1. Для комплексной матрицы справедливо равенство, аналогичное свойству 3:

, где — операция сопряжения матриц.

2. Операция обращения матриц позволяет определить целую отрицательную степень матрицы. Для невырожденной матрицы и любого натурального числаопределим.

6.системы линейных уравнений. Коэффициенты при неизвестных , свободных членах. Решение системы линейных уравнений. Совместность системы линейных уравнений. Система линейных однородных уравнений и её особенности.

Ответ: Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a_ij называются коэффициентами системы, числа b_i— свободными членами. Подлежат нахождению числа x_n.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме

AX=B

Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

—вектор-столбец из неизвестных x_j.

—вектор-столбец из свободных членов b_i.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных х₁=c₁, x₂=c₂, …, x_n=c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записатьв виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x₁=x₂=x₃=…=x_n=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

4.2. Решение систем линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана произвольная система n линейных уравнений с n неизвестными

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности этой системы дает теоремаКронекера-Капелли.

Теорема 4.1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Примем ее без доказательства.

Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 4.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4.3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если r(A)≠r(A), то система несовместна.

2. Если r(A)=r(A)=r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r(напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называют главными и оставляют слева, а остальные n-r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.

3. Найти выражения главных неизвестных через свободные. Получено общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Пример 4.1.

4.3 Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

(4.1)

или в матричной форме А*Х=В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае

Умножив обе части уравнения А*Х=В слева на матрицу A^-1, получим

A^-1*A*X=A^-1*B Поскольку. A^-1*A=E и Е*Х=Х , то

X=A^-1*B (4.1)

Отыскание решения системы по формуле (4.1) называют матричным способомрешения системы.

Матричное равенство (4.1) запишем в виде

то есть

Отсюда следует, что

Но есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель_ получается из определителя путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,

Аналогично:

где 2 получен из  путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов:

,…,

Формулы

называются формулами Крамера.

Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера (4.2).

Пример 4.3.

4.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид

где

Коэффициенты aii называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Опишем метод Гаусса подробнее.

Прямой ход.

Будем считать, что элемент (если a₁₁=0 , то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при х₁ отличен от нуля).

Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения наи сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему

Здесь — новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Аналогичным образом, считая главным элементом , исключим неизвестное х₂из всех уравнений системы, кроме первого я второго, и так далее. Продолжаем этот процесс, пока это возможно.

Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида 0=0, их отбрасывают Если же появится уравнение вида то это свидетельствует о несовместности системы.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы. Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений, В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное x_kчерез остальные неизвестные (x_k+1,…,x_n). Затем подставляем значение x_k в предпоследнее уравнение системы и выражаем x_k-1 через (x_k+1,…,x_n). , затем находим x_k-2,…,x_1.. Придавая свободным неизвестным (x_k+1,…,x_n). произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

Замечания:

1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. k=n, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим x_n из предпоследнего уравнения x_n-1, далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные (x_n-1,…,x₁).

2. На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a₁₁ был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a₁₁1).

Пример 4.4.

Решить систему методом Гаусса:

Решение: В результате элементарных преобразований над расширенной матрицейсистемы

исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы: x₂=5x₄-13x₃-3;x₁=5x₄-8x₃-1 Если положить, например, x₃=0,x₄=0, то найдем одно из частных решений этой системы x₁=-1,x₂=-3,x₃=0,x₄=0.

Пример 4.5.

Решить систему методом Гаусса:

Решение: Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:

Полученная матрица соответствует системе

Осуществляя обратный ход, находим x₃=1, x₂=1,x₁=1.

4.5 Системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Очевидно, что однородная система всегда совместна , она имеет нулевое (тривиальное) решение x₁=x₂=x₃=…=x_n=0.

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?

Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r<n.

Необходимость.

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующаясистема линейных уравнений имеет единственное решение:

Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r<n.

Достаточность:

Пусть r<n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения. Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестными

Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель  был равен нулю, т. е. =0.

Если система имеет ненулевые решения, то =0. Ибо при 0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же =0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r<n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.

Пример 4.6.

Решить систему

Положив x₃=0,получаем одно частное решение: x₁=0, x₂=0, x₃=0. Положив x₃=1, получаем второе частное решение: x₁=2, x₂=3, x₃=1 и т д.

определитель матрицы

Определителем матрицы является специальное число , которое можно вычислить из квадратной матрицы.

Матрица — это массив чисел:

Матрица
(у этого есть 2 ряда и 2 столбца)

Определителем этой матрицы является (расчеты поясняются позже):

3 × 6 — 8 × 4 = 18 — 32 = −14

Для чего это?

Определитель помогает нам найти обратную матрицу, рассказывает нам вещи о матрице, которые полезны в системах линейных уравнений, исчисления и многое другое.

Символ

Символ для определителя — это две вертикальные линии с каждой стороны.

Пример:

| A | означает определитель матрицы A

(точно такой же символ, как абсолютное значение.)

Расчет детерминанта

Прежде всего матрица должна быть квадратной (т.е. иметь столько же строк, сколько столбцов). Тогда это просто базовая арифметика. Вот как:

Для матрицы 2 × 2

Для матрицы 2 × 2 (2 строки и 2 столбца):

Определитель:

| A | = ad — bc
«Определитель A равен a умножить на d минус b умножить на c»

Легко запомнить, когда вы думаете о кресте:

Blue является положительным (+ объявление),
Красный отрицательный (−bc)

Пример:
| B | = 4 × 8 — 6 × 3
= 32 — 18
= 14
для матрицы 3 × 3
Для матрицы 3 × 3 (3 строки и 3 столбца):
Определитель:
| A | = a (ei — fh) — b (di — fg) + c (dh — например)
«Определитель A равен… и т. д. «
Это может выглядеть сложно, но есть шаблон :
Чтобы определить определитель матрицы 3 × 3 :
Умножьте на на определитель матрицы 2 × 2 , который равен , а не в строке или столбце .
Аналогично для b и для c
Подведите их итог, но помните минус перед б
Как формула (помните, что вертикальные черты || означают «определитель») :

«Определитель А равен кратности определителю… и т. д. «
Пример:
| C | = 6 × (-2 × 7–5 × 8) — 1 × (4 × 7–5 × 2) + 1 × (4 × 8 — (-2 × 2))
= 6 × (−54) — 1 × (18) + 1 × (36)
= −306
для матриц 4 × 4 и выше
Шаблон продолжается для матриц 4 × 4:
плюс в раз определитель матрицы, который равен , а не в в строке или столбце ,
минус b в раз определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце b ,
плюс c раз определитель матрицы, которая равна , а не в строке или столбце c ,
минус d в раз определитель матрицы, то есть , а не в строке или столбце d ,
Как формула:
Обратите внимание на шаблон + — + — (+ a… −b … + c … −d …). Это важно помнить.
Шаблон продолжается для матриц 5 × 5 и выше. Обычно лучше всего использовать матричный калькулятор для тех, кто!
Не единственный путь
Этот метод расчета называется «расширение Лапласа», и мне он нравится, потому что шаблон легко запоминается. Но есть и другие методы (просто, чтобы вы знали).
Резюме
Для матрицы 2 × 2 определителем является ad — bc
Для матрицы 3 × 3 умножьте на на определитель матрицы 2 × 2 , который равен , а не в на строку или столбец , аналогично для b и c , но помните, что b имеет отрицательный знак!
Шаблон продолжается для больших матриц: умножьте на на определитель матрицы , то есть на , а не на в на строку или столбец , продолжайте в том же духе по всей строке, но помните + — + — шаблон.
,
Инверсия матрицы с использованием миноров, кофакторов и адъюгатов
(Примечание: также ознакомьтесь с матричной инверсией по операциям со строками и матричным калькулятором.)
Мы можем вычислить обратную матрицу по:
Шаг 1: вычисление матрицы несовершеннолетних,
Шаг 2: затем превратите это в матрицу кофакторов,
Шаг 3: затем адъютат и
Шаг 4: умножьте это на 1 / Определитель.
Но это лучше всего объяснить на примере!
Пример: найти обратное значение A:
Нужно 4 шага. Это простая арифметика, но ее много, поэтому постарайтесь не ошибиться!
Шаг 1: Матрица несовершеннолетних
Первый шаг — создать «Матрицу несовершеннолетних». Этот шаг имеет наибольшее количество расчетов.
Для каждого элемента матрицы:
Поместите эти детерминанты в матрицу («Матрица несовершеннолетних»)
определитель
Для матрицы 2 × 2 (2 строки и 2 столбца) определитель прост: ad-bc
Подумай о кресте:
Синий означает положительный (+ объявление),
Красный означает отрицательный (-bc)
(становится сложнее для матрицы 3 × 3 и т. Д.)
Расчеты
Вот первые два и два последних вычисления «Матрицы несовершеннолетних » (обратите внимание, как я игнорирую значения в текущей строке и столбцах и вычисляю определитель, используя оставшиеся значения):
А вот и расчет для всей матрицы:
Шаг 2: Матрица кофакторов
Это просто! Просто примените «шахматную доску» из минусов к «Матрице несовершеннолетних».Другими словами, нам нужно изменить знак альтернативных ячеек, например:
Шаг 3: Адъютат (также называется Адъюнкт)
Теперь «транспонировать» все элементы предыдущей матрицы … другими словами, поменять их местами по диагонали (диагональ остается прежней):
Шаг 4: Умножить на 1 / Определитель
Теперь найдите определитель исходной матрицы. Это не так сложно, потому что мы уже вычислили детерминанты меньших частей, когда делали «Матрицу несовершеннолетних».
На практике мы можем просто умножить каждый из элементов верхней строки на кофактор для того же местоположения:
Элементы верхнего ряда: 3, 0, 2
Кофакторы для верхнего ряда: 2, -2, 2
Определитель = 3 × 2 + 0 × (-2) + 2 × 2 = 10
(просто для удовольствия: попробуйте это для любой другой строки или столбца, они также должны получить 10.)
А теперь умножьте Адъюгат на 1 / Определитель:
И мы сделали!
Сравните этот ответ с ответом на Матрицу используя Элементарные Операции Строки.Это то же самое? Какой метод вы предпочитаете?
больших матриц
Это те же самые шаги для больших матриц (например, 4 × 4, 5 × 5 и т. Д.), Но вау! здесь много расчетов.
Для Матрицы 4 × 4 мы должны вычислить 16 определителей 3 × 3. Поэтому зачастую проще использовать компьютеры (например, матричный калькулятор).
Заключение
Для каждого элемента вычислите определитель значений, отсутствующих в строке или столбце , чтобы составить Матрицу несовершеннолетних
.
Примените шахматную доску минусов, чтобы сделать Матрицу Кофакторов
Транспонировать , чтобы сделать адъютат
Умножьте на 1 / Определитель , чтобы получить обратное значение
,
Правило Крамера
Крамера Правило

дана система линейных уравнение, правило Крамера это удобный способ решить только для одной из переменных без необходимости решать всю систему уравнений. Они обычно не преподавать Правило Крамера таким образом, но это должно быть точкой Правило: вместо решения всей системы уравнений вы можете использовать Крамеру нужно решить только одну переменную.
Давайте использовать следующее система уравнений:
У нас есть левая сторона системы с переменными («матрица коэффициентов») и правая часть со значениями ответа. Позволять D быть определителем матрицы коэффициентов вышеуказанной системы, и пусть D _x быть определителем, образованным заменой столбца x значения со значениями в столбце ответа:
система из
уравнений
коэффициент
матрица
определитель
ответ
колонка
D _x : определитель коэффициента
со значениями в столбце ответов
в x — столбец
2 x + 1 и + 1 z = 3
1 x 1 и 1 z = 0
1 x + 2 и + 1 z = 0
Аналогично, D _и и D _z тогда будет: Авторское право Элизабет Стапел 2004-2011 Все права защищены
Оценка каждого детерминанта (используя метод, описанный здесь), мы получаем:
Правило Крамера гласит, что x = D _x D , и = D _и D , и z = D _z D .То есть:
x = ³ / ₃ = 1, y = ⁶ / ₃ = 2 , и z = ⁹ / ₃ = 3
Это все, что есть у Крамера Правило.Чтобы найти любую переменную, которую вы хотите (назовите ее «» или «бета»), просто оценить фактор детерминанты D _{D . (Пожалуйста
не проси меня объяснить, почему это работает. Просто поверь мне, что детерминанты
может работать много видов магии.)}
Учитывая следующее система уравнений, найти значение z .
Решать только для z , Сначала я найду определитель коэффициента.
Тогда я формирую D _z заменив третий столбец значений на столбец ответа:

Тогда я формирую частное и упростить:
Точка правления Крамера является то, что вам не нужно решать всю систему, чтобы получить одно значение тебе нужно.Это сэкономило мне немало времени на некоторые физические тесты. я забудь, над чем мы работали (я думаю, что-то с проводами и токами), но правило Крамера было намного быстрее, чем любой другой метод решения (и Бог знает, мне нужно дополнительное время). Не позволяйте всем подписчикам и прочему сбить вас с толку; Правило действительно довольно простое. Вы просто выбираете переменную вы хотите решить, замените столбец значений этой переменной в определитель коэффициента со значениями столбца ответа, оцените, что определитель, и разделите на коэффициент определителя.Вот и все это к нему.
Почти.
Что, если коэффициент определитель это ноль? Вы не можете делить на ноль, так что это значит? Я не могу пойти в технических тонкостях здесь, но « D = 0 «означает, что система уравнений не имеет единственного решения. Система может быть несовместимой (нет решения вообще) или зависит (бесконечное решение, которое может быть выражается как параметрическое решение, такое как «( a , a + 3, a 4) «).С точки зрения правила Крамера, « D = 0 «означает, что вам придется использовать какой-то другой метод (например, матрица строковые операции) в решить систему. Если D = 0, вы не можете использовать Крамера Правило.
Вершина
| Вернуться к указателю
Цитировать эту статью как:
Stapel, Elizabeth.»Правило Крамера». Purplemath . Доступен с
https://www.purplemath.com/modules/cramers.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
,
No related posts.

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Формулы Крамера

Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений

Три случая при решении систем линейных уравнений

Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

К началу страницы

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

5.Вырожденная матрица. Обратная матрица, её свойства, вычисление, теорема существования.

определитель матрицы

Для чего это?

Символ

Расчет детерминанта

Для матрицы 2 × 2

Пример:

для матрицы 3 × 3

Пример:

для матриц 4 × 4 и выше

Не единственный путь

Резюме

Пример: найти обратное значение A:

Шаг 1: Матрица несовершеннолетних

определитель

Расчеты

Шаг 2: Матрица кофакторов

Шаг 3: Адъютат (также называется Адъюнкт)

Шаг 4: Умножить на 1 / Определитель

больших матриц

Заключение

Правило Крамера

Добавить комментарий Отменить ответ