Формула первых n чисел арифметической прогрессии формула: Запишите формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии.Найдите сумму десяти члено арифметической прогрессии (an),если:a1,=-5,6 и…

Содержание

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

9 класс. Алгебра. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Цель урока:

Рассмотреть формулы сумму n

первых членов арифметической

прогрессии

формирование умения применения

формул при решении задач.

1 . Дайте определение арифметической прогрессии.

Ответ: Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

2. Что называют разностью арифметической прогрессии? Как обозначают?

Ответ: Это число, показывающее на сколько каждый последующий член больше или меньше предыдущего. Обозначают буквой d.

3. Назовите формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

4. В чем заключается свойство арифметической прогрессии?

Ответ: Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

0, то прогрессия является возрастающей. Если в арифметической прогрессии разность d убывающей . Если в арифметической прогрессии d = 0, то прогрессия является постоянной. «

5. Какие бывают арифметические прогресcии?

Ответ:

Если в арифметической прогрессии разность d 0, то прогрессия является возрастающей.

Если в арифметической прогрессии разность d убывающей .

Если в арифметической прогрессии d = 0, то прогрессия является постоянной.

Найдите разность арифметической прогрессии

-7

-5

Правильный ответ:

Заполните таблицу

-4

-8

Заполните таблицу

-4

Закрыть

Из истории математики:

С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855).

Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно: 1 + 2 + 3 + … +100. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…»

Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное. Как Гауссу удалось так быстро сосчитать сумму такого большого количества чисел?

З А Д А Н И Е

101

Задача очень непроста:

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа?

Пять первых связок изучи,

Найдешь к решению ключи!

101

Давным-давно сказал один мудрец

Что прежде надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

Вот схема рассуждений Гаусса.

Сумма чисел в каждой паре 101. Таких пар 50, поэтому искомая сумма равна

101×50 = 5050.

Попытаемся понять как ему это удалось. Выведем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

а n ) – арифметическая прогрессия. S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n -1 + a n , S n = a n + a n -1 +a n -2 + a n -3 + … =a 2 + a 1 a 2 + a n -1 = (a 1 + d) + (a n – d) = a 1 + a n , a 3 + a n -2 = (a 2 + d) + (a n -1 – d) = a 2 + a n -1 = a 1 + a n , a 4 + a n -3 = (a 3 + d) + (a n -2 – d) = a 3 + a n -2 = a 1 + a n и т.д. 2S

n = (a 1 + a n ) n . – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. S n = (a 1 + a n ) n : 2 , a n = a 1 + d( n – 1) S n = (a 1 + a 1 + d( n -1)) n : 2 = (2a 1 + d( n – 1)) n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Рекуррентная формула арифметической прогрессии

Формула n –го члена арифметической прогрессии

a n =a n-1 +d

a n =a 1 +(n-1)d

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии

Тренировочные упражнения:

1. (a n ) – арифметическая прогрессия.

a 1 = 6, a 5 = 26. Найти S 5 .

2. (a n ) – арифметическая прогрессия. a 1 = 12, d = — 3. Найти S 16 .

Работа по учебнику

В классе

дома

Стр158
№ 603-№607(а)

п 26
№ 603-№605(б) -1 группа
№ 603-№607(б)- 2 группа

Итог урока

Сегодня на уроке я повторил. .

Сегодня на уроке я узнал…

Мне было сложно…… .

Формула суммы первых n членов АП

Найти сумму первых 7 членов арифметической прогрессии, состоящих из положительных чётных чисел, записанных в порядке возрастания. Найдём значения этих членов:

Вычислим сумму:

Найти сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Обозначим сумму:

Запишем ее в виде:

Сложим по компонентно два этих выражения:

Получаем, что каждая сумма равна:

Количество таких сумм равно n, запишем:

Разделив обе части формулы на 2, получаем формулу суммы:

Найти сумму первых 7 членов арифметической прогрессии, с помощью формулы.

Пример.

Найти сумму первых 100 членов арифметической прогрессии.

1. В первом случае прогрессия задана :

Запишем формулу суммы первых ста членов:

Получили сумму 100 первых членов арифметической прогрессии.

2. Найти сумму первых 100 членов арифметической прогрессии, заданной

рекуррентной формулой:

Для начала найдем значения первого и сотого членов:

Подставим известные величины в формулу суммы, получаем:

Пример.

1 способ. Найти сумму первых 34 членов арифметической прогрессии, если:

Запишем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. Подставив известные величины, получаем:

2 способ. Если формулу суммы первых n членов записать по формуле n - ого члена, то мы получим формулу суммы, которой можно воспользоваться, зная лишь первый член и разность арифметической прогрессии:

Найти сумму всех членов арифметической прогрессии с 16 по 58, включительно, если:

Запишем сумму:

Применив формулу суммы, найдем члены последовательности:

Найдём сумму всех членов:

Пример.

Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии заданной формулой:

Запишем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии:

Найдём :

Также необходимо знать , так как не дано конкретное значение:

Сумма данной арифметической прогрессии равна:

Пример.

Найти сумму всех натуральных чисел кратных 5 и не превосходящих 265.

Представим множество всех натуральных чисел кратных пяти:

Такая последовательность является арифметической прогрессией.

Задача сводится к нахождению суммы некоторого количества первых членов арифметической прогрессии.

Определим, сколько членов данной арифметической прогрессии не превосходят 265.

Запишем формулу n члена данной геометрической прогрессии, подставим значения и преобразуем выражение в правой части равенства:

Решим неравенство:

Найдем сумму первых 53 членов арифметической прогрессии:

Пример.

Восхождение на вершину горы группа альпинистов осуществило за 7 дней, каждый день поднимаясь на некоторое одинаковое количество метров меньше, чем в предыдущий. Какова высота горы, если за третий день они поднялись на 1314 метров, а за шестой день — на 1164 метра.

Пусть в первый день альпинисты поднялись на высоту , за второй день — и так далее. В условии сказано, что каждый день они поднимались на одинаковое количество метров меньше, чем в предыдущий. Это даёт нам понять, что множество является арифметической прогрессией. При этом нам известны значения и .

Чтобы узнать высоту горы, нам необходимо найти сумму первых семи членов данной арифметической прогрессии.

Построив математическую модель задачи, приступим к решению, запишем:

Из полученных уравнений составим систему, решим её способом подстановки:

Решив уравнение с одной переменной, найдём:

Найдем сумму первых 7 членов арифметической прогрессии:

Решили задачу практического содержания, применив теорию последовательностей, а именно арифметической прогрессии.

Пример.

Найти суммы 3 — ого и 5 — ого, а также 2 — ого и 6 — ого членов арифметической прогрессии, если:

Найдём значения членов арифметической прогрессии:

Вычислим их суммы:

Они равны между собой, а также и суммы номеров этих членов также равны.

Действительно, если суммы членов арифметической прогрессии равны, то, расписав каждый член по формуле энного члена и преобразовав полученное равенство, получаем, что должны быть равны суммы номеров этих членов.

Это утверждение является вторым свойством арифметической прогрессии.

Сумма арифметической формулы последовательности

Последовательность — это расположение любых вещей или группы чисел в определенном порядке, которое следует правилу. По сути, это набор чисел (или элементов), которые следуют определенному шаблону. Например, 5, 10, 15, 20…. представляет собой последовательность, поскольку каждый раз значение увеличивается на 5. Если элементы последовательности расположены в порядке возрастания, порядок последовательности является возрастающим. Если элементы последовательности расположены в порядке убывания, то порядок последовательности убывающий. Арифметическая последовательность, геометрическая последовательность, последовательность Фибоначчи, гармоническая последовательность, треугольная числовая последовательность, квадратная числовая последовательность и кубическая числовая последовательность — вот несколько примеров конкретных последовательностей.

Арифметическая последовательность

Арифметическая последовательность — это числовой ряд, в котором каждый последующий член представляет собой сумму предыдущего члена и постоянного целого числа. Это постоянное число называется общей разностью. В результате разность между каждыми двумя последовательными членами арифметического ряда одинакова.

Если первым членом арифметической последовательности является а, а общая разность равна d, то члены арифметической последовательности имеют вид:
а, а+г, а+2д, а+ 3д, а+4д, ….
Предположим, что n — это общее количество элементов в последовательности.
Для n = 1 последовательность а.
Для n = 2 последовательность будет a, a + d.
Для n = 3 последовательность будет a, a + d, a + 2d.
Для n = 4 последовательность следующая: a, a + d, a + 2d, a + 3d.
Следовательно, общий член последовательности равен a _n = a + (n – 1)d.

Сумма арифметической прогрессии

Формула для вычисления суммы всех членов арифметической последовательности определяется как сумма формулы арифметической последовательности. Если арифметическая последовательность записывается в виде сложения ее членов, таких как а + (а + d) + (а + 2d) + (а + 3d) + … .., то она называется арифметической последовательностью. Сумма первых n членов арифметического ряда, в котором n-й член неизвестен, определяется как:

S _n = n/2 [2a + (n – 1)d]
где,
S _n = сумма арифметической последовательности,
a = первый член последовательности,
d = разница между двумя последовательными членами,
n = количество членов в последовательности.
Если мы запишем 2a в формуле как (a + a), формула примет вид S _n = n/2 [a + a + (n – 1)d]
Мы знаем, a + (n – 1)d обозначается _n . Следовательно, формула принимает вид: S _n = n/2 [a + a _n ]

Вывод

Предположим, что первый член последовательности равен a, общая разность равна d, а количество членов равно n.
Мы знаем, что n ^-й член последовательности задается формулой S _n = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + …… + a + (n – 1)d …… (2)
Из (1) уравнение (2) также может быть выражено как
S _н = а _н + а _н – д + а _н – 2д + а _н – 3д + …… + а _н – (н – 1)д )
Складывая (2) и (3) получаем,
2 S _n = [a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + …… + a + (n – 1)d] + [a _n + a _n – d + a _n – 2d + a _n – 3d + …… + a _n – (n – 1)d]
2 S _n = (а + а + а + …. . n раз) + (а _n + а _n + a _n + ….. n раз)
2 S _n = n (a + a _n )
S _{n 902 +} = n/2 ]
Выводит формулу суммы арифметической прогрессии.

Примеры вопросов

Вопрос 1. Найдите сумму арифметической прогрессии: 4, 10, 16, 22, …… до 10 слагаемых.

Решение:

Имеем a = 4, d = 10 – 4 = 6 и n = 10,
Используйте формулу S _n = n/2 [2a + (n – 1)d], чтобы найти нужную сумму.
S ₁₀ = 10/2 [2(4) + (10 – 1)6]
= 5 (8 + 54)
= 5 (62)
= 310

2 Вопрос 9. Найдите сумму арифметической прогрессии: 7, 9, 11, 13, …… до 15 членов.

Решение:

Имеем a = 7, d = 9 – 7 = 2 и n = 15.
Воспользуемся формулой S _n = n/2 [2a + (n – 1) г] найти искомую сумму.
S ₁₅ = 15/2 [2(7) + (15 – 1)2]
= 15/2 (14 + 28)
= 15/2 (42)
= 315
1
1 Вопрос 3. Найдите первый член арифметической прогрессии, если она имеет сумму 240 для обычной разности 2 между 12 членами.
Решение:
Имеем S = 200, d = 2 и n = 12.
Используйте формулу S _n = n/2 [2a + (n – 1)d], чтобы найти требуемое значение.
=> 200 = 12/2 [2а + (12 – 1)2]
=> 240 = 6 (2а + 22)
=> 40 = 2а + 22
=> 2а = 18
=> а = 9
Вопрос 4. Найдите общую разность последовательности из 8 членов, сумма которых равна 116, а первый член равен 4.
Решение:
Имеем S = 116, a = 4, n = 8.
Используем формулу S _n = n/2 [2a + (n – 1)d], чтобы найти искомое значение.
=> 116 = 8/2 [2(4) + (8 – 1)d]
=> 116 = 4 (8 + 7d)
=> 29 = 8 + 7d
=> 7d = 21
=> d = 3
Вопрос 5. Найдите сумму арифметической прогрессии 8 терминов, первый и последний термины равны 4 и 10 соответственно.
Решение:
Имеем a = 4, n = 8 и a _n = 10.
Используйте формулу S _n = n/2 [a 8 n 900] найти искомую сумму.
С ₈= 8/2 [4 + 10]
= 4 (14)
= 56
Вопрос 6. Найдите количество членов арифметической прогрессии, первый член, последний член и сумма которых равны 16, 12 и 140 соответственно.
Решение:
Имеем S = 140, a = 16 и a _n = 12.
Используйте формулу найти нужное значение.
=> 140 = н/2 [16 + 12]
=> 140 = н/2 (28)
=> 14n = 140
=> n = 10
Вопрос 7. Найдите сумму арифметической прогрессии, у которой первый член, общая разность и последний член равны 8, 7 и 50 соответственно.
Решение:
Имеем a = 8, d = 7 и a _n = 50.
Используйте формулу a _n = a + (n – n. 1)d, чтобы найти
=> 50 = 8 + (n – 1)7
=> 42 = 7 (n – 1)
=> n – 1 = 6
=> n = 7
Используйте формулу S _n = n/2 [a + a _n ], чтобы найти сумму последовательности.
S ₇ = 7/2 (8 + 50)
= 7/2 (58)
= 203
Открытые учебники | Siyavula
Загрузите наши открытые учебники в различных форматах, чтобы использовать их так, как вам удобно. Нажмите на обложку каждой книги, чтобы увидеть доступные для загрузки файлы на английском и африкаанс. Лучше, чем просто бесплатные, эти книги также имеют открытую лицензию! См. различные открытые лицензии для каждой загрузки и пояснения к лицензиям в нижней части страницы.
Математика
Читать онлайн
Учебники
Английский
7A PDF (CC-BY-ND)
7B PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
7A PDF (CC-BY-ND)
7B PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Английский
8A PDF (CC-BY-ND)
8B PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
8A PDF (CC-BY-ND)
8B PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Английский
9A PDF (CC-BY-ND)
9B PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
9A PDF (CC-BY-ND)
9B PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Английский
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Английский
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Английский
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Английский
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
Наука
Читать онлайн
Учебники
Английский
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
Пособия для учителей
Английский
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Английский
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Английский
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Английский
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY-ND)
ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 7А
PDF (CC-BY-ND)
Класс 7Б
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 7А
PDF (CC-BY-ND)
Граад 7Б
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 8А
PDF (CC-BY-ND)
Класс 8Б
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 8А
PDF (CC-BY-ND)
Граад 8Б
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 9А
PDF (CC-BY-ND)
Класс 9Б
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 9А
PDF (CC-BY-ND)
Граад 9Б
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 4А
PDF (CC-BY-ND)
Класс 4Б
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 4А
PDF (CC-BY-ND)
Граад 4Б
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 5А
PDF (CC-BY-ND)
Класс 5Б
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 5А
PDF (CC-BY-ND)
Граад 5Б
PDF (CC-BY-ND)
Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 6А
PDF (CC-BY-ND)
Класс 6Б
PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 6А
PDF (CC-BY-ND)
Граад 6Б
PDF (CC-BY-ND)
Лицензирование наших книг
Эти книги не только бесплатны, но и имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (фирменные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:
CC-BY-ND (фирменные версии)
Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.
No related posts.