формула разности квадратов, примеры задач
Основные понятия
Существуют формулы, сокращающие процесс умножения. Такие закономерности часто используют на уроках алгебры и при решении самостоятельных работ в средних классах школы. Любая формула сокращенного умножения — это тождество. Таким образом, подобные формулы справедливы в обоих направлениях, то есть допускается переход слева направо и справа налево.
Рассмотрим такое тождество:
(a-b)(a+b)=a2-b2
Если изменить в этом тождестве расположение правой и левой частей, то получим:
a2-b2=(a-b)(a+b)
Данное тождество называют формулой разности квадратов.
ОпределениеРазность квадратов двух выражений является произведением разности данных выражений и их суммы.
С помощью формулы разности квадратов удобно разложить на множители разность квадратов любой пары выражений. Предположим, что имеется некий двучлен, который требуется разложить на множители:
49×2–16y6
Выполнить такое преобразование просто. Достаточно записать многочлен, как разность, с помощью формулы разности квадратов:
49×2–16y6=(7x)2–(4y3)2=(7x–4y3)(7x+4y3)
Алгоритм разложения разности квадратов
В процессе решения практических примеров полезно руководствоваться алгоритмом разложения разности квадратов:
- Преобразовать выражение, чтобы получились квадраты. При этом нужно использовать свойства степени.
- Разложить разность квадратов на множители.
- Найти корни, записать ответ.
Воспользуемся описанной выше последовательностью действий, чтобы преобразовать такое выражение:
25y2-16z10
Запишем каждое из выражений, как квадрат, применив свойство степени:
25y2-16z10=(5y)2-(4z5)2
Далее получится разложить разность квадратов на множители:
(5y-4z5)(5y+4z5)
Схематично действие разложения разности квадратов на множители выглядит следующим образом:
Разберем еще одну задачу с объяснением действий. Предположим, что имеется некий двучлен, который нужно записать в виде разности квадратов:
16a2-49b2
Преобразуем каждое выражение, чтобы получить квадраты по схеме:
Источник: www. algebraclass.ru
Рассмотрим еще несколько примеров:
0,81m2-0,0036n2=(0,9m)2-(0,06n)2=(0,9m-0,06n)(0,9m+0,06n)
2564×6-49y2=(58×3)2-(23y)2=(58×3-23y)(58×3+23y)
549t2-1=499t2-12=(73t-1)(73t+1)=(213t-1)(213t+1)
В последнем выражении для записи смешанного числа как квадрата мы привели его в вид неправильной дроби. После разложения разности квадратов на множители неправильная дробь была представлена в виде смешанного числа. Для этого потребовалось выделить целую часть.
Примеры заданий с пояснениями
Закрепить тему поможет решение нескольких типичных задач. Например, разложим на множители разность квадратов:
64y2–36×2
Заметим, что:
64y2=(8y)2
36×2=(6x)2
Используя формулу разности квадратов, преобразуем выражение:
Выполним обратное действие, то есть запишем произведение многочленов, как разность квадратов с помощью формулы сокращенного умножения:
(c + 3d)(c – 3d)
Заметим, что произведение многочленов является правой частью формулы разности квадратов. Используем эту формулу в обратном порядке:
Предположим, что требуется упростить произведение многочленов:
(x2+4y3)(x2-4y3)
Заметим сходство выражения с правой частью формулы разности квадратов.
Примечание 1Одночлены, которые составляют формулу разности квадратов, могут быть возведены в степень.
Выполним преобразования с помощью формулы разности квадратов:
При решении задач можно встретить более сложные задания. К примеру, попробуем разложить на множители такой многочлен:
(a+2b)2–9a2
Запишем выражение в виде разности квадратов:
Примечание 2В формуле разности квадратов допускается наличие одночленов, которые заключены в скобки, то есть являются многочленами.
Выполним преобразования, согласно стандартному алгоритму, а в конце приведем подобные:
Источник: math-prosto.ru
Задания для самостоятельного решения
Задача 1Требуется разложить на множители следующие многочлены, используя формулу квадрата разности:
х2-у2
с2-z2
а2-25
m2-1
16-b2
100-х2
р2-400
у2-0,09
1,44-а2
b2-49
916-n2
2549-p2
Решение
х2-у2=(х-у)(х+у)
с2-z2=(c-z)(c+z)
а2-25=(а-5)(а+5)
m2-1=(m-1)(m+1)
16-b2=(4-b)(4+b)
100-х2=(10-х)(10+х)
р2-400=(р-20)(р+20)
у2-0,09=(y-0,3)(y+0,3)
1,44-а2=(1,2-а)(1,2+а)
b2-49=(b-23)(b+23)
916-n2=(34-n)(34+n)
2549-p2=(57-р)(57+р)
Задача 2Выполнить разложение на множители следующих выражений:
25×2-у2
-m2+16n2
36а2-49
64-25×2
9m2-16n2
64р2-81q2
-49а2+16b2
0,01n2-4m2
9-b2с2
4а2b2-1
р2-а2b2
16c2d2-9а2
Решение
25×2-у2=(5x-y)(5x+y)
-m2+16n2=(4n-m)(4n+m)
36а2-49=(6a-7)(6a+7)
64-25×2=(8-5x)(8-5x)
9m2-16n2=(3m-4n)(3m+4n)
64р2-81q2=(8p-9q)(8p+9q)
-49а2+16b2=(4b-7a)(4b+7a)
0,01n2-4m2=(0,1n-2m)(0,1n+2m)
9-b2с2=(3-bc)(3+bc)
4а2b2-1=(2ab-1)(2ab+1)
р2-а2b2=(p-ab)(p+ab)
16c2d2-9а2=(4cd-3a)(4cd+3a)
Задача 3Найти корни уравнений:
х2-16=0
у2-81=0
19-х2=0
а2-0,25=0
b2+36=0
x2-1=0
4×2-9=0
25×2-16=0
81×2+4=0
Решение
х2-16=0⇒(x-4)(x+4)=0⇒—x=4 или x = -4;
у2-81=0⇒(y-9)(y+9)=0⇒—у=9 или y = -9;
19-х2=0⇒(13-х)(13+x)=0⇒—x=13 или x=-13;
а2-0,25=0⇒(a-0,5)(а+0,5)-0⇒—а=0,5 или а = -0,5;
b2+36=0⇒b2=-36 — решения отсутствуют;
x2-1=0⇒(х-1)(х+1)=0⇒—х=1 или х = -1;
4×2-9=0⇒(2х-3)(2х+3)=0⇒—х=1,5 или х = -1,5;
25×2-16=0⇒(5х-4)(5х+4)=0⇒—х=0,8 или х = -0,8;
81×2+4=0⇒x2=-814 — решения отсутствуют. 2
Формула четвертой степени
Это известная математическая теорема о том, что существует формула, которая может решать общие уравнения четвертой степени. Формула состоит из сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения n -го корня. Кроме того, такой формулы не существует для общих уравнений пятой степени (или большей степени).
Из-за сложности формулы четвертого числа она почти никогда полностью не выписывается полностью, как более простая квадратная формула. Я полагал, что попытка распечатать его с использованием обычного размера шрифта и отформатировать его как обычное уравнение потребует листа бумаги размером с плакат. Поэтому я решил поместить это на постер!
Я смог найти другие веб-страницы, на которых квадратичная формула была написана полностью, но обнаружил, что они имеют некоторые недостатки. Самое главное, они не всегда работают; есть допустимые входные данные, которые приводят к делению на 0. Кроме того, они используют четыре отдельных уравнения вместо одного и имеют не очень эстетичный формат, по крайней мере, для меня.
Моя цель состояла в том, чтобы написать единую формулу, которая работала бы для всех входных данных. Но я также хотел сделать его как можно более простым и автономным — я не хотел добавлять пункт вроде «выбрать значения для радикалов, которые удовлетворяют такому-то уравнению». Короче говоря, я хотел оформить формулу четвертого числа так, как это обычно делается с формулой квадратного числа. В идеале четыре решения должны быть указаны двумя знаками ±, подобно тому, как квадратичная формула использует один знак ± для указания двух решений.
Было постоянное противоречие между точностью и лаконичностью, но я доволен тем, что получилось. Результатом является единая формула, которая дает все корни всех уравнений четвертой степени с простым правилом выбора радикальных значений и знаков ±. Самая уродливая часть — это длинное выражение (составляющее примерно одну шестую часть формулы), использующее функцию sgn только для того, чтобы получить правильный знак последнего радикала.
Если вы просто хотите посмотреть формулу, я разместил ее в Интернете вместе с формулами для решения многочленов меньшей степени.
Я также делаю его доступным в виде постера в формате PDF (с доступным исходным кодом), базовой веб-страницы, веб-страницы MathJax (загрузка которой может занять несколько минут), веб-страницы MathML (которая поддерживается не во всех браузерах) и текст ASCII. Я также включил математический вывод формулы на случай, если вас интересуют внутренние подробности. И поскольку формула четвертого числа опирается на кубическую и квадратичную формулы, я также делаю вышеприведенное доступным и для этих формул. Интересно посмотреть, как та же самая общая методология, которая решает квартику, может также использоваться для решения кубических и квадратичных чисел.
Для верстки плаката я использовал TeX (конечно) и размер бумаги в половину A0. Хотя шрифты Computer Modern могут быть сгенерированы любого необходимого размера, версии Type 1 доступны только в фиксированном количестве размеров, поэтому мне пришлось сделать некоторые замены и масштабировать шрифты по мере необходимости. В PDF-файлах типа 3 используются шрифты точно правильного размера, но они не содержат подсказок и будут плохо выглядеть на экране, но они могут быть полезны, если вы решите распечатать плакат.
Загрузки
- Квартальная формула
- Постер в формате PDF
- Постер в формате PDF, тип 3
- Веб-страница
- Веб-страница MathJax
- Веб-страница MathML
- ASCII-код
- Математический вывод
- Кубическая формула
- Бумага PDF A4
- Тип 3 PDF Бумага A4
- Веб-страница
- Веб-страница MathJax
- Веб-страница MathML
- ASCII-код
- Математический вывод
- Квадратичная формула
- Бумага PDF A4
- Тип 3 PDF Бумага A4
- Веб-страница
- Веб-страница MathJax
- Веб-страница MathML
- ASCII-код
- Математический вывод
- Линейная формула
- Бумага PDF A4
- Тип 3 PDF Бумага A4
- Веб-страница
- Веб-страница MathJax
- Веб-страница MathML
- ASCII-код
- Математический вывод
- Все формулы
- Плакат в формате PDF A0
- Тип 3 PDF A0 Плакат
- Веб-страница
- Веб-страница MathJax
- Веб-страница MathML
- ASCII-код
Альтернативные форматы
Формат PDF:
Тип 1 Тип 3
Формат веб-страницы:
PNGMathJaxMathML
Источник постера
- Репозиторий GitHub26
Факторинг квартик
Факторинг квартикТрудности и запросы | |||
Имя: Кайл Уровень: Среднее (Алг. 2) Кто?: Учитель Как мне разложить у 4 + у 2 +1?? Я думаю, что ответ (y 2 + y + 1)(y 2 — y + 1), но я не уверен, как это получить… Кайл | |||
Кайл, В конце решения ежемесячной задачи Math Central, MP41, обсуждается факторизация квартик (апрель 2004 г.). Ниже приведена копия этого обсуждения.
http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html
q(a, b) = a 4 + b 4 .
а 4 + б 4 = (а 2 + хаб + б 2 )(а 2 + яб + б 2 ).
а 4 + б 4 = (а 2 + √2 аб + b 2 )(а 2 – √2 аб + b 2 ).
|