Формула sin3a: Attention Required! | Cloudflare – как вывести забытую тригонометрическую формулу?

alexxlab / / Разное

как вывести забытую тригонометрическую формулу?

На олимпиаде по математике с большой степенью вероятности, а на внешнем независимом тестировании – уж наверняка встретятся задания по тригонометрии. Тригонометрию часто не любят за необходимость зубрить огромное количество трудных формул, кишащих синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами. На сайте уже когда-то давались советы, как вспомнить забытую формулу, на примере формул Эйлера и Пиля.

А в этой статье мы постараемся показать, что достаточно твёрдо знать всего пять простейших тригонометрических формул, а об остальных иметь общее представление и выводить их по ходу дела. Это как с ДНК: в молекуле не хранятся полные чертежи готового живого существа. Там содержатся, скорее, инструкции по его сборке из имеющихся аминокислот. Так и в тригонометрии, зная некоторые общие принципы, мы получим все необходимые формулы из небольшого набора тех, которые нужно обязательно держать в голове.

Будем опираться на следующие формулы:

  1. Основное тригонометрическое тождество: sin2a+cos2a = 1
  2. Определение тангенса:
  3. Определение котангенса:
  4. Формула синуса суммы: sin(a+b) = sinacosb+cosasinb
  5. Формула косинуса суммы: cos(a+b) = cosacosb—sinasinb

Из формул синуса и косинуса сумм, зная о чётности функции косинуса и о нечётности функции синуса, подставив -b вместо b, получаем формулы для разностей:

  1. Синус разности    : sin(a-b) = sinacos(-b)+cosasin(-b) = sinacosb—cosasinb
  2. Косинус разности: cos(a-b) = cosacos(-b)—sinasin(-b) = cosacosb+sinasinb

Поставляя в эти же формулы a = b, получаем формулы синуса и косинуса двойных углов:

  1. Синус двойного угла: sin2a = sin(a+a) = sinacosa+
    cos    asina = 2sinacosa
  2. Косинус двойного угла: cos2a = cos(a+a) = cosacosa—sinasina = cos2a—sin2a

Аналогично получаются и формулы других кратных углов:

  1. Синус тройного угла: sin3a = sin(2a+a) = sin2acosa+cos2asina = (2sinacosa)cosa+(cos2a—sin2a)sin
    a = 2sinacos2a+sinacos2a—sin3a = 3sinacos2a—sin3a = 3sina(1-sin2a)-sin3a = 3sina-4sin3a
  2. Косинус тройного угла: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa—sin2asina = (cos2a—sin2a)cosa-(2sinacosa)sina = cos3a-
    sin    2acosa-2sin2acosa = cos3a-3sin2acosa = cos3a-3(1-cos2a)cosa = 4cos3a-3cosa

Прежде чем двигаться дальше, рассмотрим одну задачу.
Дано: угол — острый.
Найти его косинус, если
Решение, данное одним учеником:
Т.к. , то sina = 3,а cosa = 4.
(Из математического юмора)

Итак, определение тангенса связывает эту функцию и с синусом, и с косинусом. Но можно получить формулу, дающую связь тангенса только с косинусом. Для её вывода возьмём основное тригонометрическое тождество: sin

2a+cos2a = 1 и разделим его на cos2a. Получим:

  1. Связь тангенса и косинуса:

Так что решением этой задачи будет:

(Т.к. угол острый, при извлечении корня берётся знак +)

  1. Аналогично получаем связь котангенса и синуса:

Формула тангенса суммы – ещё одна, тяжело поддающаяся запоминанию. Выведем её так:

  1. Формула тангенса суммы: . Разделив числитель и знаменатель на произведение косинусов, получим:

Сразу выводится и

  1. Формула тангенса двойного угла:

Из формулы косинуса двойного угла можно получить формулы синуса и косинуса для половинного. Для этого к левой части формулы косинуса двойного угла:

cos2a = cos2a—sin2a
прибавляем единицу, а к правой – тригонометрическую единицу, т.е. сумму квадратов синуса и косинуса.
cos2a+1 = cos2a—sin2a+cos2a+sin2a
2cos2a = cos2a+1
Выражая cosa через cos2a и выполняя замену переменных, получаем:

  1. Косинус половинного угла:

Знак берётся в зависимости от квадранта.

Аналогично, отняв от левой части равенства единицу, а от правой — сумму квадратов синуса и косинуса, получим:

cos2a-1 = cos2a—sin2a—cos2a—sin2a
2sin2a = 1-cos2a

  1. Cинус половинного угла:

И, наконец, чтобы преобразовать сумму тригонометрических функций в произведение, используем следующий приём. Допустим, нам нужно представить в виде произведения сумму синусов sina+sinb. Введём переменные x и y такие, что a = x+y, b+x-y. Тогда
sina+sinb = sin(x+y)+sin(x-y) = sinxcosy+cosx

siny+sinxcosy-cosxsiny = 2sinxcosy. Выразим теперь x и y через a и b.

Поскольку a = x+y, b = x-y, то . Поэтому

  1. Представление суммы синусов в виде произведения:

Сразу же можно вывести

  1. Формулу для разбиения произведения синуса и косинуса в сумму: sinacosb = 0.5(sin(a+b)+sin(a-b))

Рекомендуем потренироваться и вывести самостоятельно формулы для преобразования в произведение разности синусов и суммы и разности косинусов, а также для разбиения в сумму произведений синусов и косинусов. Проделав эти упражнения, вы досконально освоите мастерство вывода тригонометрических формул и не потеряетесь даже на самой сложной контрольной, олимпиаде или тестировании.

Тригонометрические формулы. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества

  • sin² α + cos² α = 1
  • tg α · ctg α = 1
  • tg α = sin α ÷ cos α
  • ctg α = cos α ÷ sin α
  • 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
  • 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулы сложения

  • sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
  • sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
  • cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
  • cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β
  • tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 — tg α · tg β)
  • tg (α — β) = (tg α — tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
  • ctg (α + β) = (ctg α · ctg β — 1) ÷ (ctg β + ctg α)
  • ctg (α — β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β — ctg α)

Формулы двойного угла

  • cos 2α = cos² α — sin² α
  • cos 2α = 2cos² α — 1
  • cos 2α = 1 — 2sin² α
  • sin 2α = 2sin α · cos α
  • tg 2α = (2tg α) ÷ (1 — tg² α)
  • ctg 2α = (ctg² α — 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла

  • sin 3α = 3sin α — 4sin³ α
  • cos 3α = 4cos³ α — 3cos α
  • tg 3α = (3tg α — tg³ α) ÷ (1 — 3tg² α)
  • ctg 3α = (3ctg α — ctg³ α) ÷ (1 — 3ctg² α)

Формулы понижения степени

  • sin² α = (1 — cos 2α) ÷ 2
  • sin³ α = (3sin α — sin 3α) ÷ 4
  • cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
  • cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
  • sin² α · cos² α = (1 — cos 4α) ÷ 8
  • sin³ α · cos³ α = (3sin 2α — sin 6α) ÷ 32

Переход от произведения к сумме

  • sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α — β))
  • sin α · sin β = ½ (cos (α — β) — cos (α + β))
  • cos α · cos β = ½ (cos (α — β) + cos (α + β))

Переход от суммы к произведению

Другие заметки по алгебре и геометрии

определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

Синус острого угла α (sin α) – это отношение противолежащего катета (a) к гипотенузе (c) в прямоугольном треугольнике.

sin α = a / c

Синус острого угла

Например:
a = 3
c = 5
sin α = a / c = 3 / 5 = 0.6

График синуса

Функция синуса пишется как y = sin (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

График синуса

Свойства синуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства синуса с формулами:

Свойство Формула
Симметричностьsin (-α) = -sin α
Симметричностьsin (90°- α) = cos α
Пифагорейская тригонометрическая идентичностьsin2 α + cos2 α = 1
sin α = cos α tg α
sin α = 1 / csc α
Синус двойного углаsin 2α = 2 sin α cos α
Синус суммы угловsin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β
Синус разности угловsin (α-β) = sin α cos β — cos α sin β
Сумма синусовГрафик синуса
Разность синусовГрафик синуса
Произведение синусовГрафик синуса
Произведение синуса и косинусаГрафик синуса
Закон синусаa / sin α = b / sin β = c / sin γ
Производная синусаsin’ x = cos x
Интеграл синуса∫ sin x dx = -cos x + C
Формула Эйлераsin x = (eix — e—ix) / 2i

microexcel.ru

Обратная к синусу функция

Арксинус x – это обратная функция к синусу x, при -1≤x≤1.

Если синус угла у равняется х (sin y = x), значит арксинус x равен у:

arcsin x = sin-1 x = y

Таблица синусов

x (°) x (рад) sin x
-90° -π/2 -1
-60° -π/3 -√3/2
-45° -π/4 -√2/2
-30° -π/6 -1/2
0° 0 0
30° π/6 1/2
45° π/4 √2/2
60° π/3 √3/2
90° π/2 1

microexcel.ru

Основные формулы тригонометрии

  • Главная
  • Справочник
  • Тригонометрия
  • Основные формулы тригонометрии

Тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Их всего четыре:

  • Синус \( \displaystyle sin\left( x \right) \)
  • Косинус \( \displaystyle cos\left( x \right) \)
  • Тангенс \( \displaystyle tg\left( x \right) \)
  • Котангенс \( \displaystyle ctg\left( x \right) \)

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ — с использованием формул.

\( \displaystyle A \)\( \displaystyle a \)\( \displaystyle -1 \)\( \displaystyle 0 \)\( \displaystyle 1 \)
\( \displaystyle \sin x=A \)\( \displaystyle {{\left( -1 \right)}^{n}}\arcsin \alpha +\pi n \)\( \displaystyle -\dfrac{\pi }{2}+2\pi n \)\( \displaystyle \pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+2\pi n \)
\( \displaystyle \cos x=A \)\( \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n \)\( \displaystyle \pi +2\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \)\( \displaystyle 2\pi n \)
\( \displaystyle tgx=A \)\( \displaystyle arctg\alpha +\pi n \)\( \displaystyle -\dfrac{\pi }{4}+\pi n \)\( \displaystyle \pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)
\( \displaystyle ctgx=A \)\( \displaystyle arcctg\alpha +\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{3\pi }{4}+\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{2}+\pi n \)\( \displaystyle \dfrac{\pi }{4}+\pi n \)

Второй способ — через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Основные формулы Тригонометрии:

Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)

\[ \displaystyle si{{n}^{2}}a+co{{s}^{2}}a=1 \]

Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)

\[ \displaystyle tg\ \alpha =\dfrac{sin\ \alpha }{cos\ \alpha } \]

Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)

\[ \displaystyle ctg\ \alpha =\dfrac{cos\ \alpha }{sin\ \alpha }=\dfrac{1}{tg\ \alpha } \]

Синус суммы и разности:

\[ \displaystyle \sin \left( \alpha \pm \beta \right)=sin\alpha \cdot cos\beta \pm cos\alpha \cdot sin\beta \]

Косинус суммы и разности:

\[ \displaystyle \cos \left( \alpha \pm \beta \right)=cos\alpha \cdot cos\beta \mp sin\alpha \cdot sin\beta \]

Тангенс суммы и разности:

\[ \displaystyle tg\left( \alpha \pm \beta \right)=\dfrac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha \cdot tg\beta } \]

Формулы понижения степени:

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

\[ \displaystyle si{{n}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{2} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{2}}\alpha =\dfrac{1+cos2\alpha }{2} \]

\[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]

\[ \displaystyle t{{g}^{2}}\alpha =\dfrac{1-cos2\alpha }{1+cos2\alpha },\alpha \ne \dfrac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z \]

\[ \displaystyle si{{n}^{3}}\alpha =\dfrac{3sin\alpha -sin3\alpha }{4} \]

\[ \displaystyle co{{s}^{3}}a=\dfrac{3cosa+cos3a}{4} \]

Из данных формул можно в частности вывести формулы тройного угла:

\[ \displaystyle sin3\alpha =3sin\alpha -4si{{n}^{3}}\alpha \]

\[ \displaystyle cos3a=4co{{s}^{3}}a-3cosa \]

\[ \displaystyle tg3\alpha =\dfrac{3tg\alpha -t{{g}^{3}}\alpha }{1-3t{{g}^{2}}\alpha } \]

\[ \displaystyle ctg3\alpha =\dfrac{3ctg\alpha -ct{{g}^{3}}\alpha }{1-3ct{{g}^{2}}\alpha } \]

Формулы преобразования суммы функций

Данная группа формул позволяет преобразовать произведение в сумму и сумму в произведение.

\[ \displaystyle sin\alpha \pm sin\beta =2sin\dfrac{\alpha \pm \beta }{2}cos\dfrac{\alpha \mp \beta }{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha +cos\beta =2cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}cos\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha -cos\beta =-2sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}sin\dfrac{\alpha -\beta }{2} \]

\[ \displaystyle tg\alpha \pm tg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \alpha \pm \beta \right)}{cos\alpha cos\beta } \]

\[ \displaystyle ctg\alpha \pm ctg\beta =\dfrac{\text{sin}\left( \beta \pm \alpha \right)}{sin\alpha sin\beta } \]

Формулы преобразования произведений функций

\[ \displaystyle sin\alpha sin\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)-\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

\[ \displaystyle sin\alpha cos\beta =\dfrac{\sin \left( \alpha +\beta \right)+\text{sin}\left( \alpha -\beta \right)}{2} \]

\[ \displaystyle cos\alpha cos\beta =\dfrac{\cos \left( \alpha -\beta \right)+\text{cos}\left( \alpha +\beta \right)}{2} \]

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!