Формула задачи на вероятность: Теория вероятностей: основы, примеры, задачи

Теория вероятностей: основы, примеры, задачи

Основы теории вероятностей

В этой статье мы расскажем кратко о том, что такое вероятность события. Дадим определение вероятности, введем понятия зависимых и независимых, совместных и несовместных событий. Объясним, что такое сумма событий и произведение событий.

Больше задач – в статье «Задание 2 Профильного ЕГЭ по математике. Теория вероятностей».

БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ

 

Случайным называется событие, которое невозможно точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Теория вероятностей изучает случайные события и их закономерности, а также случайные величины и действия над ними.

Благоприятным мы называем исход, способствующий наступлению данного события.

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Очевидно, что вероятность – величина положительная и не может быть больше единицы.

Например, перед экзаменом вы выучили 3 билета из 20. Вероятность вытянуть счастливый билет равна

Вот две простых задачи из вариантов ЕГЭ, где применяется определение вероятности:

1. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Иванов высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Иванову достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

В самолете 21+18=30 мест, удобных для Иванова. Всего в самолете 400 мест. Поэтому вероятность того, что пассажир Иванов получит удобное место, равна 30 : 300 = 0,1.

Просто применили определение вероятности.

2. В группе туристов 32 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист К. полетит пятым рейсом вертолёта.

Каждый рейс, в том числе и пятый, перевозит 4 человек из 32. Вероятность полететь пятым рейсом:

Ответ: 0,125.

События, взаимоисключающие друг друга в рамках данной задачи, называются несовместными. Появление одного из несовместных событий исключает появление других.

Например, вы бросаете монету. «Выпал орел» и «выпала решка» — несовместные события.

Сумма двух событий – термин, означающий, что произошло или первое событие, или второе, или оба сразу.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Вы бросаете игральную кость. Вероятность выпадения «тройки» равна Вероятность выпадения «шестерки» также равна
Вероятность выпадения числа, которое делится на 3,

Произведение двух событий – термин, означающий, что произошло и одно, и другое событие.

События А и В называют независимыми, если вероятность появления события А не меняет вероятности появления события В.

Для нескольких независимых событий вероятность того, что все они произойдут, равна произведению вероятностей.

3. Говорят, что в старину каждый десятый на Руси был Иван, а каждый двадцатый Петр. Если это верно, то кого было больше: Иванов Петровичей или Петров Ивановичей?

Можно по-разному решать эту задачу, и вероятностный подход здесь тоже применим. Посчитаем вероятности двух событий
Событие А. Случайно выбранного мужчину зовут Иван Петрович
Событие В. Мужчину зовут Петр Иванович.

Вероятность быть Иваном Петровичем для жившего в старину россиянина равна Мы перемножили вероятности того, что наш древнерусский житель – Иван и что его отца зовут Петр.

А вероятность оказаться Петром Ивановичем точно такая же:

4. (ЕГЭ) Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с ве-роятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Шахматист А. играет две партии, одну – белыми фигурами, другую – черными. События «выиграть белыми» и «выиграть черными фигурами» независимы. Вероятность того, что шахматист А. выиграет оба раза, равна произведению вероятностей выигрышей в каждой партии: 0,5 · 0,32 = 0,16.

5. (ЕГЭ) В классе 26 человек, среди них два друга — Андрей и Сергей. Класс случайным образом разбивают на 2 группы по 13 человек. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Пусть Андрей первым занял место в группе (неважно, в какой). И, кроме него, осталось еще 25 человек, среди которых его друг Сергей. Сколько у Сергея шансов оказаться в той же группе, что и Андрей? В группе должно быть 13 человек, то есть Андрей и еще 12. Значит, вероятность того, что Сергей окажется в той же группе, что и Андрей, равна , то есть 0,48.

Следующую задачу можно решить методами комбинаторики – например, с помощью формулы Бернулли. Однако в обычной школе не изучают комбинаторику, и тем не менее эта задача появилась в сборниках для подготовки к ЕГЭ.

Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей

ПОДРОБНЕЕ

 
6. Монету бросают 10 раз. Во сколько раз событие «Орел выпадет ровно 8 раз» более вероятно, чем событие «Орел выпадет ровно 9 раз»?

Начнем с числа возможных исходов. Если мы бросаем монету, возможных исходов два – орел или решка.
Бросим монету два раза (или две монеты одновременно, все равно). И вот уже 4 возможных исхода:
ОО
ОР
РО
РР
(буквой О обозначен выпавший «орел», буквой «р» — решка.
Каждый следующий бросок монеты увеличивает число возможных исходов в 2 раза (орел или решка).
Для 10 бросков монеты количество возможных исходов, очевидно, равно

По определению, вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Рассмотрим случай, когда орел выпадет ровно 9 раз из 10 бросков монеты. Это значит, что решка выпала ровно 1 раз.

Это могло произойти при первом броске, при втором, при третьем… и, наконец, при десятом, всего 10 благоприятных исходов. Вероятность выпадения решки ровно 1 раз из 10 бросков

Теперь случай, когда орел выпал ровно 8 раз из 10 бросков монеты. Значит, решка выпала ровно 2 раза.

Пронумеруем броски: 1,2,3…10.

Решка могла выпасть в первый и во второй раз. Обозначим эту комбинацию 12.

Могла также выпасть в первый и третий раз, в первый и четвертый… Эти комбинации обозначаем как 13, 14…

Пронумеруем таким образом все благоприятные исходы.

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1 10

23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 2 10

34, 35, 36, 37, 38, 39, 3 10

45, 46, 47, 48, 49, 4 10

56, 57, 58, 59, 5 10

67, 68, 69, 6 10

78, 79, 7 10

89, 8 10

9 10
Количество благоприятных исходов равно 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45.

Поделив на , получим, во сколько раз выпадение решки ровно 8 раз более вероятно, чем выпадение решки ровно 9 раз:

Ответ: 4,5.

Разберем какую-нибудь типовую задачу ЕГЭ по теме «Теория вероятностей». Такую, в которой мы рисуем «дерево» возможных исходов.

7. (ЕГЭ) Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Изобразим все возможные исходы.

По условию, купленное в магазине стекло для автомобильной фары оказалось бракованным. Как это могло получиться?

Стекло сделано либо на первой фабрике, либо на второй. Эти события несовместны.

Вероятность того, что стекло с первой фабрики, равна 0,45.

Вероятность того, что стекло сделано на второй фабрике, равна 0,55.

Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол. Значит, с вероятностью 0,03 стекло, произведенное на первой фабрике, бракованное.

Вторая фабрика выпускает 1% бракованных стекол.

Значит, с вероятностью 0,01 сделанное на ней стекло бракованное.

Покупатель купил бракованное стекло. Оно могло быть сделано на первой фабрике и оказалось бракованным. Это означает одновременное наступление, или произведение, двух независимых случайных событий – «стекло сделано на первой фабрике» и «стекло бракованное». Вероятность произведения этих двух событий равна

Или другой случай. Стекло могло быть со второй фабрики и также бракованное. Вероятность одновременного наступления этих двух событий равна События «стекло с первой фабрики» и «стекло со второй фабрики» несовместны – они не могут случиться одновременно.
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей.

Значит, вероятность купить бракованное стекло равна:

Ответ: 0,019.

Следующая задача будет интересна и старшеклассникам, и студентам. В самом деле – как быть, если вы пришли на экзамен, выучив всего 20 билетов из 30? Идти отвечать первым? Или вторым? Или предпоследним? В каком случае вероятность вытянуть билет, который ты выучил, будет наибольшей?

8. Экзамен проходит по следующей схеме: если некоторый билет уже был вытянут, то после ответа экзаменатор откладывает его в сторону. Студент выучил 20 билетов из 30. Когда ему выгоднее идти, первым или вторым, чтобы вероятность вынуть выученный билет была больше?

Назовем билеты, которые студент выучил, «счастливыми».
Если студент пошел отвечать первым, вероятность вытянуть «счастливый» билет равна

Если идти отвечать вторым, возможны два случая:

1) Первый билет, который вытянул кто-то другой, был «счастливым», и тогда «счастливых» билетов теперь 19.

2) Первый билет не был «счастливым», и «счастливых» билетов так и осталось 20.

Нарисуем схему возможных исходов, как всегда делаем в подобных задачах:

Вот наш студент идет отвечать вторым. Вероятность вытянуть «счастливый» билет равна Удивительный ответ! Та же самая вероятность! Значит, неважно, первым или вторым идти отвечать, если ты выучил 20 билетов из 30.

Конечно, это были самые простые задачи по теории вероятностей. Такие, которые встречаются на ЕГЭ по математике.

Продолжение:
Задание 2 Профильного ЕГЭ по математике. Теория вероятностей
Теория вероятностей. Парадокс Монти Холла

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Теория вероятностей» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Способы решать задачи по теории вероятности, а также формулы математики, используемые при их решении

Одна из дисциплин математики, называемая теорией вероятности, занимается изучением закономерностей, которые проявляются при наблюдении случайных процессов.

В настоящее время методы теории вероятности широко используются во всех отраслях статистики, во многих разделах теоретической и прикладной физики, в астрономии, в метеорологии, в целом ряде технических дисциплин, в теории стрельбы, во многих экономических дисциплинах.

Содержание:

• Относительная частота и вероятность случайных событий
• Объединение и совмещение событий
  • Объединение событий
  • Совмещение событий
• Последовательность действий при решении задач по теории вероятности
• Видео

Относительная частота и вероятность случайных событий

Пусть над появлением некоторого случайного процесса проводится серия испытаний, причем в результате каждого испытания исход U может либо осуществиться, либо не осуществиться. Пусть проведено n испытаний, в которых исход U осуществился m раз.

Относительной частотой (или вероятностью) случайного события (Р(U)) будем называть отношение числа появлений данного исхода (m) к общему количеству испытаний (n):

Р(U)=m/n

Эту математическую формулу называют классическим определением вероятности.

Относительная частота случайного исхода U всегда заключена на отрезке [0; 1]:

0 <= Р(U) <= 1

Решим следующую простейшую математическую задачу:

Задача 1. В колоде находится 36 карт четырех мастей. Наудачу выбирают одну карту. Чему равна вероятность того, что выбранная карта бубновой масти?

Общее число карт в колоде — 36, выбирают 1. Следовательно, общее число вероятных исходов n=36. Исход U состоит в том, что выбранная карта бубновой масти. Число карт с благоприятным исходом m=9. Тогда по полученной ранее формуле Р(U) = m/n = 9/36 = 0,25.

Объединение и совмещение событий

При решении математических задач на нахождении вероятности часто используются следующие операции:

• объединение событий;
• совмещение событий.

Два события U и V считаются несовместимыми, если осуществление при единичном испытании появление исхода U исключает возможность одновременного появления исхода V, и наоборот.

Объединение событий

Объединением событий U и V считают сложное событие, которое состоит в осуществлении либо исхода U, либо исхода V. Объединение событий U и V будем обозначать U+V.

Математическую формулу для нахождения вероятности объединения событий записываем таким образом:

Р (U+V) = Р (U) + Р (V)

Отыщем решение следующей задачи:

Задача 2. Бросается игральная кость. Найти относительную частоту что число появившихся очков кратно трем.

Возможные исходы: U — при бросании кости появилось 3 очка, V — при бросании кости появилось 6 очков. Р(U)=1/6, Р(V)=1/6. Отсюда находим Р(U+V)=1/6+1/6=1/3.

Совмещение событий

Совмещением событий U и V будем называть сложное событие, которое заключается в одновременном осуществлении при данном испытании обоих этих исходов. Совмещение событий U и V будем обозначать UV.

Математическую формулу для совмещения запишем так:

Р(UV) = Р(U) х Р(V)

Отыщем решение в следующем случае:

Задача 3. Какова относительная частота одновременного выпадения шестерок одновременно на двух игральных кубиках?

Возможные исходы: U — на одном кубике выпало 6. P(U)=1/6. V — на другом кубике тоже выпало 6. P(V)=1/6. Отсюда находим Р(UV) = Р(U) х Р(V) = 1/6 х 1/6 = 1/36.

Последовательность действий при решении задач по теории вероятности

Способ решения данного типа задач схож со способами решения большинства задач математики.

1. Сначала необходимо внимательно прочитать задачу для того, чтобы лучше понять процесс. Откуда какие карты извлекаются, какие кубики бросаются, какие шары из какого ящика вынимаются и т.п.
2. Записать основной вопрос наподобие «Найти вероятность того, что …» в виде события, относительную частоту которого требуется найти.
3. Необходимо разобраться к какой схеме изучаемой дисциплины относится задача для того, чтобы правильно выбрать математические формулы. То есть необходимо понять, происходит одно испытание или несколько, являются ли эти испытания независимыми или нет, бросается один кубик или несколько и т. п.
4. В выбранную математическую формулу подставляем исходные данные и получаем решение.

Найдем решение еще одного задания.

Задача 4. Монета бросается дважды. Найти относительную частоту того, что оба раза появится орел.

Относительная частота выпадения орла при одном бросании (первом или втором) P(U) = P(V) = 0,5. Выпадение орла при двух бросаниях происходит независимо друг от друга, поэтому имеет место совмещение двух исходов. По формуле для совмещения находим: Р(UV) = Р(U) х Р(V) = 0,5 х 0,5 = 0,25.

Иногда для нахождения вероятности удобно пользоваться понятием противоположного события. Так, для исхода U — выпал орел, противоположным будет исход NOT(U) — выпала решка. При этом для противоположных событий выполняется равенство:

Р(U) + Р(NOT(U)) = 1.

Найдем решение следующей задачи:

Задача 5. Монета бросается 2 раза. Требуется найти вероятность того, что орел появится хотя бы один раз.

Здесь возможные исходы: U — орел появился хотя бы один раз и NOT(U) — орел не выпал ни разу. Задачу можно решить теми методами, которые были рассмотрены раньше, т.е. посчитать вероятность того, что выпадут два орла, или в первый раз появится орел, а во второй раз появится решка, или в первый раз появится решка, а во второй раз появится орел, и потом эти вероятности сложить.

Но можно воспользоваться другой математической формулой. Посчитаем вероятность исхода NOT(U)- два раза появится решка. Р(NOT(U)) = 0,5 х 0,5 = 0,25.

В итоге получили Р(U) = 1-Р(NOT(U)) = 1 — 0,25 = 0,75.

Видео

Из видео вы узнаете основные понятия теории вероятности

Условная вероятность | Формулы | Расчет | Цепное правило

← предыдущее

следующее →

---

В этом разделе мы обсудим одно из самых фундаментальных понятий теории вероятностей. Здесь вопрос: по мере получения дополнительной информации, как следует обновлять вероятности событий? Для Например, предположим, что в каком-то городе $23$ процентов дней дождливые. Таким образом, если вы выберете случайный день, вероятность того, что в этот день пойдет дождь, составляет $23$ процента: $$P(R)=0,23, \textrm{где } R \textrm{ – событие, когда в случайно выбранный день идет дождь.}$$ Теперь предположим, что я выбираю случайный день, но я также говорю вам, что в выбранный день облачно. Теперь, когда у вас есть эта дополнительная информация, как обновить вероятность того, что идет дождь? тот день? Другими словами, какова вероятность того, что пойдет дождь учитывая, что облачно? Если $C$ — это событие, состоящее в том, что облачно, то мы записываем это как $P(R | C)$, условное выражение вероятность $R$ при условии, что произошло $C$ . Разумно предположить, что в этом Например, $P(R | C)$ должно быть больше исходного $P(R)$, что называется априорной вероятностью $R$. Но что именно должно быть $P(R | C)$? Прежде чем предоставить общую формулу, давайте рассмотрим простой пример.

---

Пример

Я правильно бросил кубик. Пусть $A$ — событие, когда исход — нечетное число, т. е. $A=\{1,3,5\}$. Также пусть $B$ быть событием, когда результат меньше или равен $3$, т. е. $B=\{1,2,3\}$. Какова вероятность $A$, $P(A)$? Какова вероятность $A$ при $B$, $P(A|B)$?

---

Теперь давайте посмотрим, как мы можем обобщить приведенный выше пример. Мы можем переписать вычисление, разделив числитель и знаменатель на $|S|$ следующим образом $$P(A|B)=\frac{|A \cap B|}{|B|}=\frac{\frac{|A \cap B|}{|S|}}{\frac{|B |}{|S|}}=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$ Хотя приведенный выше расчет был выполнен для конечного выборочного пространства с равновероятными исходами, получается, что полученная формула довольно общая и может применяться в любых условиях. Ниже мы формально предоставьте формулу, а затем объясните интуицию, стоящую за ней.

Если $A$ и $B$ — два события в выборочном пространстве $S$, то условная вероятность $A$ при $B$ определяется как $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \textrm{, когда } P(B)>0.$$

Вот интуиция, стоящая за формулой. Когда мы знаем, что произошло $B$, каждый результат, который находится за пределами $B$, следует отбросить. Таким образом, наше выборочное пространство сводится к множеству $B$ , Рисунок 1.21. Теперь единственный способ, которым может произойти $A$, — это когда результат принадлежит на множество $A \cap B$. Разделим $P(A \cap B)$ на $P(B)$, так что условная вероятность пространства новой выборки становится $1$, т. е. $P(B|B)=\frac{P(B \cap B)}{P(B)}=1$.

Обратите внимание, что условная вероятность $P(A|B)$ не определена, когда $P(B)=0$. Это нормально, потому что если $P(B)=0$, то это означает, что событие $B$ никогда не происходит, поэтому говорить о вероятность $A$ при $B$.

Рис. 1.21 – Диаграмма Венна для условной вероятности, $P(A|B)$.

Важно отметить, что условная вероятность сама по себе является вероятностной мерой, поэтому она удовлетворяет аксиомы вероятности. В частности,

• Аксиома 1: Для любого события $A$ $P(A|B) \geq 0$.
• Аксиома 2: Условная вероятность $B$ при заданном $B$ равна $1$, т. е. $P(B|B)=1$.
• Аксиома 3: Если $A_1, A_2, A_3, \cdots$ — непересекающиеся события, то $P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cdots|B)=P(A_1|B)+P(A_2|B)+P(A_3|B)+\cdots.$

На самом деле все правила, которые мы изучили до сих пор, можно распространить на условную вероятность. Например, формулы, приведенные в примере 1.10, можно переписать: Пример

Для трех событий $A$, $B$ и $C$ с $P(C)>0$ имеем 9с|С)=1-Р(А|С)$;

$P(\emptyset|C)=0$;

$P(A|C) \leq 1$;

$P(A-B|C)=P(A|C)-P(A \cap B|C)$;

$P(A \чашка B|C)=P(A|C)+P(B|C)-P(A \cap B|C)$;

если $A \subset B$, то $P(A|C) \leq P(B|C)$.

---

Рассмотрим некоторые частные случаи условной вероятности:

---

Пример

Я дважды бросаю игральную кость и получаю два числа $X_1=$ результат первого броска и $X_2=$ результат второго броска рулон. Учитывая, что я знаю $X_1+X_2=7$, какова вероятность того, что $X_1=4$ или $X_2=4$?

• Решение

  • Пусть $A$ — это событие, когда $X_1=4$ или $X_2=4$, а $B$ — это событие, когда $X_1+X_2=7$. Мы интересует $P(A|B)$, поэтому мы можем использовать $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Мы отмечаем, что $$A=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2) ,4),(3,4),(5,4),(6,4)\},$$ $$B=\{(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)\},$$ $$A \cap B= \{(4,3),(3,4)\}.$$ Мы заключаем $$P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ $$ = \ гидроразрыва {\ гидроразрыва {2} {36}} {\ гидроразрыва {6} {36}} $ $ $$=\frac{1}{3}.$$

---

Давайте посмотрим на знаменитая вероятностная задача, называемая проблемой двух детей. Было много версий этой проблемы. обсуждались [1] в литературе, и мы рассмотрим некоторые из них в этой главе. Мы предлагаем вам попробуйте угадать ответы, прежде чем решать задачу, используя формулы вероятности.

---

Пример

Рассмотрим семью с двумя детьми. Нас интересует пол детей. Наше тестовое пространство есть $S=\{(G,G),(G,B),(B,G),(B,B)\}$. Также предположим, что все четыре возможных исхода равновероятны.

1. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если первый ребенок девочка?
2. Спрашиваем отца: «У тебя есть хоть одна дочь?» Он отвечает: «Да!» Учитывая это дополнительная информация, какова вероятность того, что оба ребенка девочки? Другими словами, какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если мы знаем хотя бы одного из них это девушка?

• Раствор
  • Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что оба ребенка — девочки, т. е. $A=\{(G,G)\}$. Пусть $B$ будет случае, если первым ребенком будет девочка, т. е. $B=\{(G,G),(G,B)\}$. Наконец, пусть $C$ будет случае, когда хотя бы один из детей — девочка, т. е. $C=\{(G,G),(G,B),(B,G)\}$. С исходы равновероятны, мы можем написать $$P(A)=\frac{1}{4},$$ $$P(B)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},$$ $$P(C)=\frac{3}{4}.$$
    1. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если первый ребенок девочка? Это $P(A|B)$, поэтому мы можем записать

       $P(A|B)$	$= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
       	$= \frac{P(A)}{P(B)} \hspace{20pt}$	$(\textrm{так как} A \подмножество B)$
       	$=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$.

       
       
    2. Какова вероятность того, что оба ребенка девочки, если мы знаем, по крайней мере, одна из них девушка? Это $P(A|C)$, поэтому мы можем написать

       $П(А|С)$	$= \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$
       	$= \frac{P(A)}{P(C)} \hspace{20pt}$	$ (\textrm{так как} A \подмножество C)$
       	$=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$.

       
       

---

Обсуждение: При попытке угадать ответы в приведенном выше примере многие люди предположили бы, что и $P(A|B)$, и $P(A|C)$ должен составлять $50$ процентов. Однако, как мы видим, $P(A|B)$ составляет 50$ процентов, а $P(A|C)$ — всего 33$ процентов. Это пример, когда ответы могут показаться нелогичными. Чтобы понять результаты этой задачи, полезно отметить, что событие $B$ является подмножеством события. событие $С$. На самом деле он строго меньше: в него не входит элемент $(B,G)$, а в $C$ есть элемент. Таким образом, множество $C$ имеет больше исходов, не принадлежащих $A$, чем $B$, а это означает, что $P(A|C)$ должно быть меньше $P(A|B)$.

Часто полезно представлять вероятность в процентах. Например, чтобы лучше понять результаты этой проблемы, давайте представим, что есть семьи за 4000$, которые имеют двух детей. Поскольку результаты $(G,G),(G,B),(B,G)$ и $(B,B)$ равновероятны, у нас будет около 1000$ семей, связанных с каждым результатом, как показано на рисунке 1.22. Чтобы найти вероятность $P(A|C)$, мы выполняем следующий эксперимент: мы выбираем случайную семью из семей, в которых есть хотя бы одна дочь. Это семьи, показанные в рамке. Из этих семей есть 1000$ семей с двумя девочками и есть Семьи по $2000$, в которых ровно одна девочка. Таким образом, вероятность выбора семьи с двумя девочками равна $\frac{1}{3}$.

Рис.1.22 — Пример, помогающий понять $P(A|C)$ в примере 1.18.

Цепное правило для условной вероятности:

Запишем формулу для условной вероятности в следующем формате $$\hspace{100pt} P(A \cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) \hspace{100pt} (1. 5)$$ Этот формат особенно полезен в ситуациях, когда нам известна условная вероятность, но мы интересует вероятность пересечения. Мы можем интерпретировать эту формулу, используя дерево диаграмму, подобную той, что показана на рис. 1.23. На этом рисунке мы получаем вероятность в каждой точке путем умножения вероятностей на ветвях, ведущих к этой точке. Этот тип диаграммы может быть очень полезным для некоторых проблем.

Рис.1.23 — Древовидная диаграмма.

Теперь мы можем расширить эту формулу до трех или более событий: $$\hspace{70pt} P(A \cap B \cap C)=P\big(A \cap (B \cap C)\big)=P(A)P(B \cap C|A) \hspace {70pt} (1,6)$$ Из уравнения 1.5 $$P(B \cap C)=P(B)P(C|B).$$ Обусловливая обе части на $A$, получаем $$\hspace{110pt} P(B \cap C|A)=P(B|A)P(C|A,B)\hspace{110pt} (1.7)$$ Комбинируя уравнения 1.6 и 1.7, мы получаем следующее цепное правило: $$P(A \cap B \cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A,B).$$ Суть здесь в том, чтобы понять, как можно вывести эти формулы, и попытаться использовать интуицию. о них, а не запоминать их. Вы можете расширить дерево на рис. 1.22 до Это дело. Здесь у дерева будет восемь листьев. Общее утверждение цепного правила для $n$ события таковы:

Цепное правило для условной вероятности: $$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2,A_1) \cdots P(A_n|A_{n-1}A_{n -2} \cdots A_1)$$

---

Пример

На фабрике имеется $100$ единиц определенного товара, $5$ из которых неисправны. Мы выбираем три единицы из 100$ единиц случайным образом. Какова вероятность того, что среди них нет бракованных?

---

← предыдущая

следующая →

Печатная версия книги доступна на Amazon здесь.

Как рассчитать вероятность — математика GCSE

Введение

Как рассчитать вероятность

Рабочий лист расчета вероятности

Распространенные заблуждения

Практикуйтесь, как рассчитать вероятность вопросы

Расчет вероятности GCSE вопросы

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застрял

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE

Узнать больше

Введение

Как рассчитать вероятность

Рабочий лист расчета вероятности

Распространенные заблуждения

Практикуйтесь, как рассчитать вероятность вопросы

Расчет вероятности GCSE вопросы

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Еще застрял

Здесь мы научимся вычислять вероятность, включая базовую вероятность, взаимоисключающие события, независимые события и условную вероятность.

Существуют также листы расчета вероятности на основе экзаменационных вопросов Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что такое вероятность?

Вероятность — вероятность наступления события.

Чтобы найти вероятность события, используем формулу

\text{Вероятность}=\frac{\text{количество желаемых результатов}}{\text{общее количество результатов}}

Например,

Давайте посмотрим на вероятность выпадения четного числа при броске игральной кости.

Желаемый результат — получить четное число. На кубике 3 четных числа.

Общее количество возможных исходов равно 6, так как на кубике 6 чисел.

\text{Вероятность получения четного числа}=\frac{\text{количество желаемых результатов}}{\text{общее количество результатов}}=\frac{3}{6}

Диапазон вероятностей от \bf{0} до \bf{1}.

Если что-то имеет вероятность \bf{0}, то это невозможно , а если что-то имеет вероятность \bf{1}, то это достоверно .

Мы используем нотацию P(event) для представления вероятности события.

Например,

Если бы мы хотели записать вероятность получения 1, мы могли бы написать P (1).

Что такое вероятность?

Расчет вероятностей комбинированных событий

Иногда нам нужно найти вероятность того, что произойдет более одного события. Существуют различные правила вероятности, которые мы можем использовать.

• Взаимоисключающие события

Взаимоисключающие события — это два или более события, которые не могут произойти одновременно. Например, выпадение орла и решки при подбрасывании монеты или выпадении 2 и 3 на кубике.

Для взаимоисключающих событий: P(A или B) = P(A) + P(B)

Если у нас есть исчерпывающий список исходов, их вероятности в сумме равны 1. Например, вероятность получения четное или нечетное число на кубике.

Вероятность получения четного числа равна \frac{3}{6}

, а вероятность получения нечетного числа равна \frac{3}{6}.

Вероятность получения четного или нечетного числа равна \frac{3}{6}+\frac{3}{6}=\frac{6}{6}=1.

Поскольку получение четного или нечетного числа охватывает все возможные исходы, это исчерпывающий список, а вероятности в сумме дают 1.

Пошаговое руководство: Взаимоисключающие события (скоро)

• Независимые события

Независимые события — это события, на которые не влияет возникновение других событий. Например, если мы бросаем кубик дважды, результаты первого и второго бросков не влияют друг на друга — это независимые события.

Для независимых событий: P(A и B) = P(A) x P(B)

Пошаговое руководство: Независимые события (скоро)

• Условная вероятность
90 042

Условная вероятность – это вероятность того, что событие произойдет, исходя из возникновения другого события.

Для условной вероятности вероятности рассчитываются на основе того, что уже произошло.

Например, в мешочке 5 жетонов, 2 черных и остальные белые.

Счетчик выбирается случайным образом и не заменяется. Второй счетчик выбирается случайным образом. Вероятность того, что второй счетчик будет черным, зависит от того, какого цвета был первый счетчик.

Пошаговое руководство: Условная вероятность

Как рассчитать вероятность

Чтобы рассчитать вероятность:


1. Запишите основную вероятность
2. Решите задачу, используя правила AND или OR по мере необходимости .

Объясните, как рассчитать вероятность

Таблица «Как рассчитать вероятность»

Получите бесплатную таблицу «Как рассчитать вероятность», содержащую более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Как рассчитать таблицу вероятности

Получите бесплатную таблицу расчета вероятности, содержащую более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Примеры расчета вероятности

Пример 1: базовая вероятность

У Джейми есть следующие карты:

Карта выбирается случайным образом. Найдите вероятность того, что на карточке есть буква В.

1. Выпишите основную вероятность .

Мы можем записать основную вероятность, используя

\text{Вероятность}=\frac{\text{количество желаемых результатов}}{\text{общее количество результатов}} .

Количество карт с B равно 2, а общее количество карт равно 11.

\text{Вероятность}=\frac{\text{количество желаемых результатов}}{\text{общее количество результатов}}=\frac{2}{11}

2 Решите проблему, используя правила И или ИЛИ в зависимости от ситуации .

Не требуется, так как это основной вероятностный вопрос.

Пример 2: взаимоисключающие события

Какова вероятность выпадения 2 или 3 на следующем спиннере?

Запишите основную вероятность .

Мы можем записать вероятность получения 2 и вероятность получения 3.


P(2)=\frac{3}{8}


P(3)=\frac{2}{ 8}

Решите проблему, используя правила И или ИЛИ в зависимости от ситуации .

\begin{выровнено} \text{P(A или B)} &= \text{P(A)}+\text{P(B)}\\\\ \text{P(2 или 3)} &= \text{P(2)}+\text{P(3)}\\\\ \text{P(2 или 3)} &= \frac{3}{8}+\frac{2}{8} \\\\ &=\frac{5}{8} \end{выровнено}


Вероятность выпадения 2 или 3 равна \frac{5}{8}.

Пример 3: независимые события

Оливия подбрасывает монету и бросает кубик. Какова вероятность того, что монета выпадет орлом, а кубик выпадет на 1?

Выпишите основную вероятность .

\text{P(Голова)}=\frac{1}{2}


\text{P(1)}=\frac{1}{6}

Решите задачу, используя правила AND или OR в зависимости от ситуации .

\begin{выровнено} \text{P(A и B)}&=\text{P(A)} \times \text{P(B)}\\\\ \text{P(Голова и 1)}&=\text{P(Голова)} \times \text{P(1)}\\\\ \text{P(Голова и 1)}&=\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} \\\\ &= \фракция{1}{12} \end{выровнено}


Вероятность того, что монета выпадет орлом, а кубик выпадет 1, равна \frac{1}{12}.

Пример 4: использование древовидной диаграммы

Вероятность того, что Катя выиграет игру в теннис, равна 0,6. Вероятность того, что Билли выиграет партию в теннис, равна 0,7. Кейт играет матч в субботу, а Билли играет матч в воскресенье.

Найдите вероятность того, что один из них выиграет, а другой проиграет.

Выпишите основную вероятность .

Мы можем рассчитать вероятность того, что люди не выиграют свои игры в теннис.


\text{P(Кейт НЕ выиграла)}=1-0,6=0,4


\text{P(Билли НЕ выиграл)}=1-0,7=0,3

Решите задачу, используя И или ИЛИ как соответствующий .

Для этого вопроса мы собираемся нарисовать древовидную диаграмму, чтобы мы могли четко видеть различные результаты.


Если один из них выиграет, а другой проиграет, у нас может быть Кейт, выигравшая, и Билли проигравший, или Кейт проигравшая, и Билли выигравший.


\text{P(Кейт выигрывает, а Билли проигрывает)}=0,6 \times 0,3=0,18


\text{P(Кейт проигрывает, а Билли выигрывает)}=0,4 \times 0,7=0,28


\text{P(один выигрывает и один проигрывает)}=0,18+0,28=0,46


Вероятность того, что один из них выигрывает, а другой проигрывает 0,46.

Пример 5: условная вероятность

В мешке 7 красных и 5 синих шариков. 1 шарик выбирается случайным образом.

Мрамор красный. Выбирается второй шарик. Найдите вероятность того, что второй шарик тоже красный.

Запишите основную вероятность .

Это зависимые события. Первое событие влияет на вероятность второго события.


\text{P(первый шарик красный)}=\frac{7}{12}

Решите задачу, используя правила И или ИЛИ в зависимости от ситуации .

Учитывая, что был выбран один красный шарик, теперь всего 6 красных шариков и 11 шариков. Это условная вероятность.


\text{P(второй шарик красный)}=\frac{6}{11}


Вероятность того, что второй шарик красный, равна \frac{6}{11}.

Пример 6: использование диаграммы Венна

На приведенной ниже диаграмме Венна показано количество учащихся, сдавших пробные экзамены по английскому языку и математике.

Студент выбран случайным образом. Учитывая, что выбранный студент сдал математику, найдите вероятность того, что он сдал , а не экзамен по английскому языку.

Выпишите основную вероятность .

Это более сложный вероятностный вопрос. Однако мы можем выяснить, сколько учеников сдают математику.


12+9=21

Решите задачу, используя правила И или ИЛИ в зависимости от ситуации .

Это вопрос условной вероятности.


Желаемый результат – сдача учащимся математики, но , а не английского языка. Есть 9 студентов, которые сдают математику, но не английский. Условием является то, что они сдают математику, поэтому нам нужно учитывать всех учащихся, сдавших математику. Мы знаем, что математику сдает 21 ученик.


Следовательно, вероятность того, что учащийся не сдал экзамен по английскому языку при условии, что он сдал математику, равна \frac{9{21}.

Пример 7: использование двустороннего стола

Двустороннее отображение информации о поле и цвете глаз детей в 6-м классе.

Ребенок выбирается случайным образом. Какова вероятность того, что у ребенка зеленые глаза, если он мальчик?

Выпишите основную вероятность .

Это более сложный вероятностный вопрос. Однако мы можем выяснить, сколько детей мужского пола.


2+9+4=15

Решите проблему, используя правила И или ИЛИ в зависимости от ситуации .

Это вопрос условной вероятности.


Желаемый результат: у ребенка зеленые глаза, но он мальчик. Есть 2 детей с зелеными глазами, мальчики. Условие состоит в том, что они мужского пола, поэтому нам нужно рассмотреть всех детей мужского пола. Мы знаем, что 15 детей мужского пола.


Следовательно, вероятность того, что у ребенка зеленые глаза, если он мальчик, равна \frac{2}{15}.

Распространенные заблуждения

• Сложение вероятностей вместо их умножения Для взаимоисключающих событий P(A \ или \ B) = P(A) + P(B).
  • Неправильное умножение или деление дробей

  Чтобы умножить дроби, умножьте числители и умножьте знаменатели.

  Чтобы разделить дроби, переверните вторую и умножьте на 9.0003

  • Неправильное сложение дробей

  Помните, дроби можно складывать и вычитать, только если они имеют общий знаменатель.

  • Не изменить вероятность второго выбора при выборе двух предметов (условная вероятность)

  Например, если у вас есть мешок, содержащий 3 синих шара и 7 желтых шаров, вероятность выбора синего шара на первый выбор равен \frac{3}{10}, а вероятность выбора желтого шара при первом выборе равна \frac{7}{10}. Вероятность того, что выпадет второй шар, зависит от того, будет ли первый шар возвращен в мешок или нет.

  Практика расчета вероятности вопросы

  \frac{1}{13}

  \frac{1}{4}

  \frac{1}{52}

  \frac{4}{13}

  В колоде карт 4 короля. Всего 52 карты.

   

  \text{Вероятность}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}

  Р(А\или\В) = Р(А) + Р(В)

   

  P(черный\или\серый) = 0,1+0,2 = 0,3

  \frac{2}{25}

  \frac{4}{25}

  \frac{4}{5}

  \frac{2}{25}

  P(A \ и \ B) = P(A) \times P(B)

   

  P (поздно \ и \ поздно) = \ frac {2} {5} \ times \ frac {2} {5} = \ frac {4} {25}

  \frac{9}{19}

  \frac{10}{20}

  \frac{9}{20}

  \frac{10}{19}

  Как только Эдди взял красный носок, будет 9красные носки остались и всего 19 носков осталось. Следовательно, вероятность равна \frac{9}{19}.

  \frac{1}{3}

  \frac{6}{10}

  \frac{11}{24}

  \frac{1}{2}

  светлые волосы, рост менее 120 см. Таких учеников 6 человек.

   

  Условие: рост учащегося не превышает 120 см. Всего 12 учеников ростом до 120 см.

   

  Вероятность \frac{6}{12}=\frac{1}{2} . 9Ра Чел может выбрать два красные шары или два синих шара.

   

  P(красный \ и \ красный) =\frac{4}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{16}{81}

   

  P(синий \ и \ синий) =\frac{5}{9} \times \frac{5}{9}=\frac{25}{81}

   

  P(тот же \ цвет) =\frac{16}{81}+\frac{25}{81}=\frac{41}{81}

   

  Общая вероятность равна \frac{41}{81} .

  Как рассчитать вероятность Вопросы GCSE

  1. Джейсон случайным образом выбирает одну из следующих карточек.

   

   

  (a) Найдите вероятность того, что Джейсон выберет H.

   

  (b) Найдите вероятность того, что Джейсон выберет M или A.

   

  (в) Найдите вероятность того, что Джейсон не выбирает M.

   

  (3 балла)

  Показать ответ

  (a)  \frac{1}{11}

  (1)

   

  (b)  \frac{2}{11}+\frac{2}{11}=\ frac{4}{11}

  (1)

   

  (c)  \frac{9}{11}

  (1)

  2. (a) конструкции Yasmin игра, в которой игроки должны бросьте кубик и выберите карту из набора карт, содержащих числа от 1 до 10, по одному разу каждая. Игроки выигрывают, если они выбрасывают число, кратное 3, и выбирают карту, число которой кратно 5.

  Найдите вероятность того, что игрок выиграет игру.

   

  (b) В игру играют 150 человек.

  Ясмин берет с игроков 1 фунт стерлингов за игру, а победители получают приз в размере 5 фунтов стерлингов. На какую прибыль должна рассчитывать Ясмин?

   

  (6 баллов)

  Показать ответ

  (a)

   

  \text{P(кратное 3)}=\frac{1}{3} \text{ или P(кратное 5)} = \frac{1}{5}

  (1)

  \text{P(win)}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15}

  (1)

   

  (б)

   

  150 умножить на £1=£150

  (1)

  Количество победителей = \frac{1}{15} \times 150=10

  (1)

  10 умножить на 5 фунтов стерлингов = 50 фунтов стерлингов

  (1)

  Прибыль = £150-£50=£100

  (1)

  с.

  No related posts.