Формулы математика корни: Формулы корней и их свойства

Применение формул корней квадратных уравнений 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Повторение формул корней квадратного уравнения

 

Рассматриваем квадратное уравнение . Вспомним, что на прошлом уроке методом выделения полного квадрата мы определили, что  (*), из чего следовала формула корней квадратного уравнения:

 

 или ,

где  дискриминант квадратного уравнения.

            Для корректного применения этих формул необходимо проанализировать знак дискриминанта. Поскольку в выражении, обозначенном (*), левая часть является полным квадратом, то она всегда неотрицательна , то же самое относится и к знаменателю правой части , то по знаку дискриминанта можно сделать некоторые выводы.

 

Количество корней квадратного уравнения

 

 

1. Если  , то корней нет.

 

Пример 1. Решите уравнение .

Решение.Выпишем коэффициенты этого квадратного уравнения  и вычислим его дискриминант . Следовательно, корней у этого уравнения нет.

Ответ. Корней нет.

2. Если  , то уравнение имеет один корень , т.к. из (*) следует, что .

Замечание. Если говорить строго, что при  квадратное уравнение имеет два одинаковых корня, на что в школьном курсе часто не обращают внимания.

Пример 2.Решите уравнение .

Решение. Выпишем коэффициенты этого квадратного уравнения  и вычислим его дискриминант . Следовательно, корень квадратного уравнения .

Ответ. 2,5.

Замечание. Если дискриминант квадратного уравнения нулевой, то соответствующий квадратный трехчлен можно разложить по формуле полного квадрата. Рассмотрим это на предыдущем примере.

 

Тогда . Получили тот же ответ. Продемонстрированный способ является одним из возможных вариантов решения, если вы сразу заметили возможность сворачивания выражения в полный квадрат.

3. Если , то уравнение имеет два различных корня .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Выпишем коэффициенты квадратного уравнения . Вычислим дискриминант , следовательно, есть два различных корня.

, т.е. .

Ответ..

 

Примеры с иррациональностью

 

 

Теперь рассмотрим различные примеры.

 

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Выпишем коэффициенты квадратного уравнения  и вычислим дискриминант , таким образом, у уравнения два различных корня. В отличие от предыдущего рассмотренного случая, дискриминант не является полным квадратом, поэтому записываем его в формулу корней под корнем.

 , т.е. .

Ответ..

Данный пример примечателен тем, что коэффициенты квадратного уравнения и его корни содержат иррациональность, однако это не должно смущать, т.к. формула для решения универсальна для всех действительных чисел.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Уравнение сначала может показаться очень нестандартным, т.к. в нем присутствует корень из переменной, однако следует обратить внимание, что он в квадрате, а это позволяет упростить выражение:

 при , ограничение вызвано областью определения квадратного корня. Запишем теперь уравнение в упрошенной форме с полученным ограничением (ОДЗ):

. Корни выписали из решения в предыдущем уроке, т.к. это уравнение уже рассматривалось. В данном случае обратим внимание на то, что полученное в ходе решения ограничение влияет на подходящие корни уравнения – корень  не подходит, т.к. , что не удовлетворяет условию. Остается один корень уравнения .

Ответ..

На следующем уроке мы рассмотрим алгоритм решения рациональных уравнений.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. School.xvatit.com (Источник).
2. Ido.rudn.ru (Источник).
3. Planetcalc.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. № 442, 443. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. При каких значениях параметра  имеет один корень уравнение ?
3. Решите уравнение: .
4. ^*Решите уравнение: .

 

Формулы корней квадратного уравнения. Урок математики в 8-м классе – NG-PRESS.BY

21.10.202220.10.2022 — 11:19Математика. Сценарии, Методичка

Формулы корней квадратного уравнения. Урок математики в 8-м классе  

Татьяна ТУРОВЕЦ,
учитель математики,
руководитель МО учителей математики, физики и информатики
ГУО «Средняя школа № 9 г. Мозыря»,
Гомельская область

 

 

Цель урока: формирование у учащихся знаний о нахождении корней квадратного уравнения, о применении формул корней квадратного уравнения для нахождения корней.

Задачи урока:

– образовательная: создать условия для формирования у учащихся знаний о нахождении корней квадратного уравнения;
– развивающая: содействовать развитию логического мышления, внимания, памяти учащихся, умения анализировать предложенный материал, продолжать формирование умений работать с математическим тренажером;
– воспитательная: способствовать расширению кругозора, формировать интерес к математике, толерантность через выполнение коллективных форм работы.

 

Эпиграф:
Уравнения как растения, могут иметь корни, а могут и не иметь…

 

Ход урока

1 Актуализация опорных знаний

– Какие уравнения называются квадратными?
– Что значит решить уравнение?
– Какие квадратные уравнения называются неполными?

 

2 Решение устных задач

Назовите коэффициенты уравнения и определите вид уравнения (полное или неполное):

Составьте уравнение по заданным коэффициентам и определите вид уравнения (полное или неполное):

3 Решение неполных квадратных уравнений

Решение уравнений из заданий из пункта 2, записанных на доске:

– Если уравнение полное, каким способом мы его решаем?
– Сколько корней имеет уравнение, если дискриминант больше нуля?

– Сколько корней имеет уравнение, если дискриминант равен нулю нуля?
– Сколько корней имеет уравнение, если дискриминант меньше нуля?

 

4 Найди ошибку

5 Вставь пропущенное число

6 Физкультминутка

Быстро встали, улыбнулись,
Выше-выше подтянулись.
Ну-ка, плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернитесь,
Рук коленями коснитесь.
Сели, встали, сели, встали,
И на месте побежали. 

 

7 Решение полных квадратных уравнений

Решаем уравнения из пункта 2 (решение полных квадратных уравнений, представленных на доске)

Каждое уравнение подобрано так, что в нем присутствует своя «изюминка». На нее следует обратить внимание учащихся и проанализировать каждое уравнение.

 

8 Работа с авторскими тренажерами по теме «Формулы корней квадратного уравнения»

Математические тренажеры. 8 класс: пособие для педагогов учреждений общего среднего образования / Т.С.Туровец, Е.Н.Герасименок. – Мозырь : Выснова, 2020. – 59, [1] с.: ил.

 

9 Рефлексия «Ромашка Блума»

     

 

Поделиться ссылкой:

Всю ответственность за содержание сведений в методических и информационных материалах, а также за соблюдение авторских прав несут авторы публикаций.

Самое красивое уравнение в математике | Джон Ламберт

Хотите увидеть самое красивое уравнение в математике? Я покажу тебе. Он начинается с корней единства.

Единица просто означает число 1. Начнем с квадратных корней из 1.

x ² = 1

Или какое число, умноженное само на себя, дает вам результат 1? Ответы просты:

x = 1, -1

Иногда за обманчиво простыми вопросами скрываются интересные ответы. Зададим аналогичный вопрос. Что такое кубические корни из 1? Или какое число, умноженное само на себя трижды, дает 1?

x³ = 1

Ну, 1 точно работает, но -1 уже не работает (-1 x -1 x -1 = -1)

Если вы немного помните математику, вы можете подумать, что это i — квадратный корень из отрицательной единицы. i x i x i = — i. Это не 1.

А как насчет — и ? — и х — и х — и = — я. Тоже не 1.

Как найти другие корни? Алгебра конечно!

Перепишите x³ = 1 в x³- 1³ = 0 и найдите x . Мы уже знаем, что x = 1 является корнем, поэтому:

( x -1)( x ² + x + 1) = 0

Чтобы решить второе слагаемое, используйте квадратичную формулу. Да, ту, которую тебе заставляли учить наизусть в старшей школе.

Квадратная формула

Здесь a, b, c равны 1, а после подстановки:

Что сводится к:

Что это за странные числа? Как мы перешли от такого простого вопроса к кубическим корням из 1 к числам, включающим дроби, радикалы и мнимые числа? Иногда, меняя систему отсчета, все становится яснее. Теперь мы перенесем этот сдвиг на комплексную плоскость для корней четвертой степени из 1,9.0003

Возьмем x⁴ = 1.

Мы знаем, что 1 — это корень. Когда мы наносим 1 на комплексную плоскость, это выглядит так:

1 на комплексной плоскости

Мы также можем записать 1 в комплексной записи как 1 + 0 i . 0 i означает отсутствие мнимой составляющей.

Как возвести число в степень на комплексной плоскости? Ключевым моментом является то, что возведение в степень на комплексной плоскости включает вращение. Поскольку мы говорим о четвертом корне, это четыре оборота. Вот еще три:

i на комплексной плоскости-1 на комплексной плоскости-i на комплексной плоскости

Четыре раза вокруг начала координат на комплексной плоскости вы получаете четыре корня из 1. Если вы посмотрите на метки на графиках, вы уже знаете 4 корня: { 1, i , -1 , — i }

Давайте еще немного изучим это:

Мы знаем это число как -1. В комплексной плоскости это можно записать как -1 + 0 i .

Еще одним способом записи комплексных чисел является следующая формула:

a + b i = r cos (θ) + i sin (θ)

Везде, где в игру вступают синус и косинус, должна присутствовать окружность. И мы уже видим это при вращении вокруг единичной окружности.

Перед тем, как вы постучите, давайте немного упростим. В этом случае мы используем единичный круг, поэтому r = 1. Чему равен угол θ? На графике — 180°. Другой способ написать это — π. Возможно, вы помните формулу длины окружности: 2π r и с r= 1, что упрощается до 2π . Мы прошли только половину круга, чтобы добраться до -1, поэтому мы прошли расстояние, равное π. Имея все это в виду, давайте перепишем его:

-1 + 0 i = 1 cos π+ i sin π

sin π

Давайте оценим это на секунду. Формула с синусом, косинусом, i и π равна скромному целому числу -1. Прохладный.

Вот формула, которую мы можем использовать для аккуратного преобразования. Она называется формулой Эйлера в честь знаменитого математика XVIII века Леонарда Эйлера:

Формула Эйлера

У нас уже есть то, что соответствует правой части. В нашем случае х = π. Давайте заменим это на

Мы почти закончили. Мы уже знаем, что правая часть равна -1. Следовательно:

Что можно переписать как:

Тождество Эйлера

Это также известно как тождество Эйлера. Это уравнение широко считается самым красивым уравнением в математике. Он связывает пять самых фундаментальных чисел в математике: 0, 1, 9.0007 e , i , π

В «Корнях единства» есть удивительная связь с геометрией. Если вы нанесете корни на комплексную плоскость, каждый корень нарисует многоугольник. Кубические корни очерчивают треугольник, четвертые корни — квадрат, пятые корни — пятиугольник и так далее.

Корни единства, нанесенные на комплексную плоскость

Кто мог подумать, что такая простая вещь, как корни числа один, может раскрыть всю эту математическую глубину? Воображаемые числа, и , π, синус, косинус, многоугольники, симметрия — все раскрывается Корнями Единства.

Надеюсь, сегодня вселенная показалась вам чуточку более увлекательной.

Тождество Эйлера

В математике тождество Эйлера (также известное как уравнение Эйлера) — это равенство, в котором тождество Эйлера названо в честь… .

Видео Брейди Харана

www.youtube.com

Mathologer

Войдите в мир Mathologer для действительно доступных объяснений сложной и красивой математики. В реальной жизни…

www.youtube.com

blackpenredpen

Я учитель. Я занимаюсь математикой для удовольствия. Я скучаю по Кобе.

www.youtube.com

3Blue1Brown

3Blue1Brown от Гранта Сандерсона представляет собой сочетание математики и развлечения, в зависимости от вашего настроения. Цель…

www.youtube.com

Майкл Пенн

Математические видеоролики, посвященные исчислению, дифференциальным уравнениям, теории чисел и многому другому

www.youtube.com

Как найти квадратный корень с помощью функции SQRT в Google Sheets

Формулы Google Sheets

В этой статье вы узнаете, как использовать формулу SQRT в Google Sheets. Эта формула поможет вам легко и быстро найти квадратный корень из числа.

‍

Как пользоваться функцией SQRT в Google Таблицах0237 →

«КОРЕНЬ» .

Введите число, ячейку, диапазон ячеек или формулу, из суммы которых вы хотите найти квадратный корень.

Как вставить формулу SQRT из строки меню

Общая формула выглядит следующим образом:

 =SQRT(значение) 

Давайте посмотрим на несколько примеров на снимке экрана ниже. Примеры (i) показывают, как выглядят формулы SQRT, если они содержат введенное вручную число. В примерах (ii) вы можете увидеть формулы, включающие ссылки на одну ячейку. Вы можете понять, как включить формулу(ы) и/или комбинацию ссылок на ячейки в функцию SQRT в примере (iii). Мы рекомендуем использовать ссылки на ячейки, показанные в примерах (ii) и (iii), потому что 

Как использовать формулу SQRT в Google Sheets с некоторыми примерами

‍

Как вы делаете математические формулы в Google Sheets?

Ознакомьтесь с этой статьей, чтобы узнать, как выполнять базовые математические вычисления в Google Sheets: Как выполнять математические вычисления в Google Sheets

‍

Как извлечь отрицательный квадратный корень в Google Sheets?

Вы можете получить отрицательный квадратный корень, умножив -1 на результат функции SQRT. Например, если вы хотите найти отрицательный квадратный корень из 25, формула может быть «=-1*КОРЕНЬ(25)».

‍

Как возвести число в квадрат в Google Таблицах?

Ознакомьтесь с этой статьей, чтобы узнать, как использовать формулу POWER в Google Sheets, где вы увидите не только то, как возвести число в квадрат, но и как вычислить X в степени N с помощью формулы: Как использовать функцию POWER в Google Листы

‍

Быстро анализируйте текущие финансовые данные

Вы изучаете эту формулу для обработки финансовых данных, построения финансовой модели или проведения финансового анализа? Если это так, LiveFlow может помочь вам автоматизировать ручные рабочие процессы и обновлять цифры в режиме реального времени. Например, вы можете легко сравнить свой бюджет с фактическим без какой-либо ручной работы. Кроме того, здесь вы можете получить доступ к более чем пятидесяти шаблонам, от простых шаблонов отчета о прибылях и убытках и операционных ключевых показателей эффективности до шаблонов мультивалютного консолидированного отчета о прибылях и убытках, балансового отчета и шаблонов движения денежных средств. Вы также можете настроить эти шаблоны по своему усмотрению, не нарушая автоматизированный поток данных.

‍

Чтобы узнать больше о LiveFlow, закажите демоверсию.

Автоматизируйте любую пользовательскую финансовую панель в Google Sheets с помощью LiveFlow

‍

Какие еще формулы связаны с математикой и статистикой

Если вы не нашли решение, которое искали в этой статье, или у вас есть дополнительные вопросы связанные с математикой или статистикой, вы можете найти ответы в следующих статьях.

‍

Перейдите к следующим статьям, чтобы изучить основные формулы в Google Таблицах.

Как выполнять математические операции в Google Sheets

Как использовать функцию SUM в Google Sheets

Функция ADD в Google Sheets: объяснение

Функция MINUS в Google Sheets: объяснение

Функция DIVIDE в Google Sheets: объяснение

Функция MULTIPLY в Google Таблицах: объяснение

Функция ПРОИЗВЕД в Google Таблицах: объяснение

Как использовать функцию СУММ в Google Таблицах

Как использовать формулу СУММПРОИЗВ в Google Таблицах

Как использовать функцию MAX в Google Sheets

Как использовать функцию MIN в Google Sheets

Как использовать функцию MEDIAN в Google Sheets

Как использовать формулу СРЕДНЕГО в Google Sheets

Как использовать функцию MODE в Google Sheets

Функция MOD в Google Sheets: Объяснение

‍

Перейдите на страницы ниже, чтобы узнать, как суммировать, считать или усреднять числа с условием или несколькими условиями.

Как использовать функцию СУММЕСЛИ в Google Sheets — суммировать числа, соответствующие критерию

Как использовать функцию СЧЁТЕСЛИ в Google Sheets — подсчитайте количество ячеек, соответствующих требованию

Как использовать функцию COUNTIFS в Google Sheets — подсчитайте количество ячеек, которые соответствуют нескольким требованиям

Функция AVERAGEIF в Google Sheets: Объяснение — усреднить значения, соответствующие стандарту

Функция СРЗНАЧЕСЛИМН в Google Таблицах: Объяснение — усреднение значений, соответствующих нескольким стандартам

СРЗНАЧ.ВЗВЕШЕННОЕ Функция в Google Таблицах: Объяснение — используйте эту формулу для расчета средневзвешенного значения

Функция MAXIFS в Google Sheets: объяснение — поиск максимального значения, отвечающего определенным критериям

Функция MINIFS в Google Sheets: объяснение — поиск минимального значения, отвечающего определенным критериям

‍

Посетите следующий пост, если вы интересно узнать, как подсчитать количество конкретных клеток.