Формулы перестановок: Перестановки — урок. Алгебра, 11 класс.

Функция ПЕРЕСТ — Служба поддержки Майкрософт

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ПЕРЕСТ в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает количество перестановок для заданного числа объектов, которые выбираются из общего числа объектов. Перестановка — это любое множество или подмножество объектов или событий, в котором важен внутренний порядок. Перестановки отличаются от сочетаний, для которых внутренний порядок не имеет значения. Эта функция используется, например, для вычисления вероятностей в лотереях.

Синтаксис

ПЕРЕСТ(число;число_выбранных)

Аргументы функции ПЕРЕСТ описаны ниже.

• Число    Обязательный. Целое число, задающее количество объектов.

• Число_выбранных    Обязательный. Целое число, задающее количество объектов в каждой перестановке.

Замечания

• Оба аргумента усекаются до целых.

• Если число или number_chosen не является числом, то #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• org/ListItem»>

  Если число ≤ 0 или number_chosen < 0, то #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Если число < number_chosen, то переНУТ возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

• Уравнение для числа перестановок имеет следующий вид:

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные	Описание
100	Количество объектов
3	Количество объектов в каждой перестановке
Формула	Описание	Результат
=ПЕРЕСТ(A2;A3)	Количество возможных перестановок для аргументов, указанных в диапазоне A2:A3.	970200
=ПЕРЕСТ(3;2)	Количество возможных перестановок для группы из 3 объектов, 2 из которых выбраны.	6

13. Перестановки с повторениями

При перестановке букв в слове «толпа» получается P5 = 5! = 120 «слов». Если же переставлять буквы в слове «топот», то получится меньше различных «слов», потому что ни перестановка двух букв «т», ни перестановка двух букв «о» не изменяют «слова»; всего перестановок в данном случае будет . Мы имеем здесь дело с перестановками с повторениями.

Общую задачу сформулируем следующим образом.

Имеется n элементов k различных типов: n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа, …, nk элементов k-го типа, . Сколько можно составить различных перестановок из этих элементов?

Число перестановок c повторениями обозначают . Сколько же их? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В первой группе элементы (первого типа) можно переставлять друг с другом n1! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют n2! перестановок элементов во второй группе и т. д. Перестановки элементов в разных группах можно делать независимо друг от друга. Поэтому (из принципы умножения) элементы можно переставлять друг с другом способами так, что она остаётся неизменной.

Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно

, (11.1) где .

Замечание. Отметим, что формула числа сочетаний из n элементов по k элементов совпадает с формулой для числа перестановок с повторениями из k элементов одного типа и n–k элементов другого типа:

.

Пример 11.1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем

.

Пример 11.2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:

.

Пример 11.3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем

.

Пример 11. 4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?

Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим

.

Б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить способами. Всего получаем способа.

Упражнения

11.1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?

Ответ: .

11.2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

11.3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?

Ответ: .

11. 4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?

Ответ: .

11.5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?

Ответ: .

11.6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?

Ответ: .

11.7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

Ответ: .

11.8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

Ответ: .

11.9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать способами. Всего способов.

< Предыдущая		Следующая >

Определение перестановки, формула, 4 типа и примеры

Оглавление

Содержание

• Что такое перестановка?

• Понимание перестановок

• Перестановки и комбинации

• Типы

• Примеры

• Часто задаваемые вопросы о перестановках

• Суть

К

Раджив Дхир

Полная биография

Раджив Дхир — писатель с более чем 10-летним опытом работы в качестве журналиста с опытом работы в вещательных, печатных и цифровых службах новостей.

Узнайте о нашем редакционная политика

Обновлено 27 июля 2022 г.

Рассмотрено

Хадиджа Хартит

Рассмотрено Хадиджа Хартит

Полная биография

Хадиджа Хартит — эксперт по стратегии, инвестициям и финансированию, а также преподаватель финансовых технологий и стратегических финансов в ведущих университетах. Она была инвестором, предпринимателем и консультантом более 25 лет. Она является держателем лицензий FINRA Series 7, 63 и 66.

Узнайте о нашем Совет финансового контроля

Факт проверен

Сюзанна Квилхауг

Факт проверен Сюзанна Квилхауг

Полная биография

Сюзанна — контент-маркетолог, писатель и специалист по проверке фактов. Она имеет степень бакалавра финансов в Государственном университете Бриджуотер и помогает разрабатывать контент-стратегии для финансовых брендов.

Узнайте о нашем редакционная политика

Что такое перестановка?

Термин перестановка относится к математическому расчету количества способов, которыми можно упорядочить конкретный набор. Проще говоря, перестановка — это слово, описывающее количество способов упорядочения или расположения вещей. При перестановках порядок расположения имеет значение. Существует три разных типа перестановок, в том числе один без повторения и один с повторением. Перестановки отличаются от комбинаций, где данные выбираются из группы и порядок не имеет значения.

Основные выводы

• Перестановка — это количество способов упорядочить набор или количество способов упорядочить вещи.
• При перестановке важен порядок чисел.
• Основными типами перестановок являются перестановки с повторением и без повторения, хотя к другим менее распространенным типам относятся перестановки с множественными наборами и циклические перестановки.
• Из одной комбинации можно получить несколько перестановок.
• Перестановки отличаются от комбинаций, которые представляют собой выборку данных из группы, где порядок не имеет значения.

Понимание перестановок

Перестановки — это понятия, используемые в математике. Они представляют различные договоренности, которые могут быть возможны в группе. Порядок очень важен, когда дело доходит до перестановок. Это отличает его от комбинации, в которой порядок не имеет значения. В какой-то степени перестановки представляют собой форму упорядоченных комбинаций. Мы обсудим комбинации более подробно ниже.

Есть способ вычислить перестановки по формуле. Эта формула:

Р(п, г) = п! ÷ (н-р)!

где

• n = общее количество предметов в наборе;
• r = элементы, взятые для перестановки;
• «!» обозначает взятие факториала

Обобщенное выражение формулы таково: «Сколькими способами можно расположить r из набора n, если порядок имеет значение?»

Перестановку также можно рассчитать вручную, выписав все возможные перестановки. В комбинации, которую иногда путают с перестановкой, может быть любой порядок элементов.

Простой подход к визуализации перестановки — это количество способов, которыми можно упорядочить последовательность трехзначной клавиатуры. Используя цифры от нуля (0) до девяти (9) и используя определенную цифру только один раз на клавиатуре, количество перестановок равно:

Р(10,3) = 10! ÷ (10-3)! = 10! ÷ 7! = 10 х 9 х 8 = 720

Порядок здесь имеет значение, потому что перестановка дает количество входов цифр, а не комбинацию.

Перестановки и комбинации

И перестановки, и комбинации включают группу элементов. Для перестановок важен порядок данных. Рассмотрим порядок комбинации для сейфа. У вас должен быть правильный ордер, чтобы открыть его. Таким образом, он должен быть введен точно в соответствии со сценарием, иначе он не будет работать.

Однако пример сбивает с толку, поскольку безопасные комбинации на самом деле не являются комбинациями. Комбинации не зависят от порядка или последовательности, что означает, что данные в группе могут быть упорядочены любым способом, даже случайным образом. Сказав это, нет никакого намерения, когда дело доходит до установки комбинаций. Они совершенно случайны. Подумайте о том, чтобы выбрать блюда из обеденного меню в местной закусочной.

Другое ключевое различие между перестановками и комбинациями заключается в типе данных. Перестановки опираются на список вещей, поэтому порядок имеет значение. Это могут быть цифры, буквы или люди. Комбинации, с другой стороны, полагаются на группу вещей, таких как меню в вашей любимой закусочной. Поэтому порядок вообще не имеет значения. Так что это может означать подбор людей из спортивной команды или выбор блюд из меню ресторана.

Различия между перестановками и комбинациями
Перестановки	Комбинации
Данные выбираются из списка	Данные выбираются из группы
Есть расположение данных	Идет выборка данных
Порядок имеет значение	Порядок не имеет значения
Из одной комбинации возможны множественные перестановки	Из одной перестановки возможна одна комбинация

Типы перестановок

Существуют различные виды перестановок. Два основных типа перестановок:

• Перестановки с повторением. При повторении можно составлять разные комбинации с разными предметами. Данные не ограничены тем, сколько раз они могут появляться, поэтому вы можете использовать данные более одного раза.
• Перестановки без повторения. В этом случае один элемент удаляется из списка каждый раз, когда вам приходится придумывать новую перестановку. Проще говоря, доступные варианты перестановок истощаются по мере продвижения.

Существуют и некоторые другие, менее распространенные типы перестановок, в том числе перестановки с использованием мультимножеств (которые включают элементы в списке, которые не являются отдельными), а также циклические или круговые перестановки или количество способов, которыми ряд элементов может быть расположен по кругу.

Примеры перестановок

Вот несколько примеров, показывающих, как работают перестановки. Первые два относятся к финансам и бизнесу. Предположим, управляющий портфелем отобрал 100 компаний для нового фонда, который будет состоять из 25 акций. Эти 25 холдингов не будут иметь равного веса, а значит, произойдет упорядочение. Количество способов заказа фонда будет:

Р(100,25) = 100! ÷ (100-25)! = 100! ÷ 75! = 3,76E + 48

Это оставляет портфельному управляющему много работы по созданию своего фонда.

Более простым примером может быть ситуация, когда компания хочет построить свою складскую сеть по всей стране. Компания возьмет на себя обязательства по трем локациям из пяти возможных. Порядок имеет значение, потому что они будут построены последовательно. Количество перестановок равно:

Р(5,3) = 5! ÷ (5-3)! = 5! ÷ 2! = 60

В реальном мире существует множество примеров перестановок.

• Как отмечалось выше, безопасные комбинации на самом деле являются перестановками. Это потому, что порядок чисел имеет значение. Вы не можете открыть сейф или шкафчик, если у вас нет правильного заказа.
• Другим распространенным примером является анаграмма, в которой вы составляете разные слова из одного и того же корневого слова. Опять же, порядок имеет значение, потому что вы должны быть в состоянии составить реальное слово, а не просто случайную последовательность букв.
• Выбор порядка, в котором люди финишируют в гонке. Вы можете использовать факториалы, чтобы определить, кто займет первое, второе и третье место, не говоря уже о порядке остальных участников.
  

Что означает перестановка?

Перестановка — это понятие в математике, которое описывает количество способов, которыми можно упорядочить определенный набор данных. Проще говоря, это количество способов упорядочения данных. Эти данные обычно берутся из списка. При перестановках порядок набора данных имеет значение, как в случае с комбинацией сейфа или шкафчика.

Какие существуют 4 типа перестановок?

Четыре типа перестановок: перестановки с повторением, перестановки без повторения, перестановки с множественными наборами и круговые перестановки.

В чем разница между перестановкой и комбинацией?

Существует несколько ключевых различий между перестановками и комбинациями. В то время как перестановка — это расположение данных, зависящее от порядка, комбинация — это выбор данных, порядок которых не имеет значения. Данные для перестановок обычно выбираются из списка, в то время как данные для комбинации поступают из группы элементов — подумайте о списке гонщиков для перестановок и группе членов команды для комбинации.

Итог

Математические понятия довольно легко понять. Перестановка — это концепция, представляющая расположение множества наборов данных из большого списка данных. А порядок очень важен. Перестановки часто путают с комбинациями, которые представляют собой выборку данных из группы вещей. Перестановки могут быть полезны как финансистам, так и инвесторам при выборе инвестиций для портфеля.

Перестановки и комбинации | Описание, примеры и формула

Связанные темы:

математика расстройство проблема перечисления формула подсчета

См. весь связанный контент →

перестановки и комбинации , различные способы выбора объектов из набора, как правило, без замены, для формирования подмножеств. Этот выбор подмножеств называется перестановкой, когда порядок выбора является фактором, и комбинацией, когда порядок не является фактором. Французские математики Блез Паскаль и Пьер де Ферма, рассмотрев отношение количества искомых подмножеств к количеству всех возможных подмножеств для многих азартных игр XVII века, дали толчок развитию комбинаторики и теории вероятностей.

Понятия и различия между перестановками и комбинациями можно проиллюстрировать, исследуя все различные способы выбора пары объектов из пяти различимых объектов, таких как буквы A, B, C, D и E. Если учитываются как выбранные буквы, так и порядок выбора, то возможны следующие 20 исходов:

Викторина «Британника»

Числа и математика

Каждый из этих 20 различных возможных вариантов называется перестановкой. В частности, их называют перестановками пяти предметов, взятых по два одновременно, а количество возможных таких перестановок обозначается символом ₅ P ₂ читать «5 перестановка 2». В общем, если имеется 90 249 n 90 250 объектов, доступных для выбора, и перестановки (90 249 P 90 250 ) должны быть сформированы с использованием 90 249 k 90 250 объектов одновременно, количество возможных различных перестановок обозначается символом 90 247. н П _к . Формула для его оценки: _n P _k = n !/( n − k )! Выражение n ! — читаемое как « n факториал» — указывает, что все последовательные положительные целые числа от 1 до n включительно должны быть умножены вместе, и 0! определяется равным 1. Например, используя эту формулу, количество перестановок пяти объектов, взятых по два за раз, равно

(Для k = n , _n P _k = п ! Таким образом, на 5 объектов приходится 5! = 120 аранжировок.)

Для комбинаций k объектов выбираются из набора n объектов для создания подмножеств без упорядочения. В отличие от предыдущего примера перестановки с соответствующей комбинацией, подмножества AB и BA больше не являются отдельными выборками; при исключении таких случаев остается только 10 различных возможных подмножеств — AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE и DE.

Количество таких подмножеств обозначается _n C _k , читать « n выбрать k ». Для комбинаций, поскольку к объектов имеют к ! аранжировки, есть к ! неразличимые перестановки для каждого выбора из к объектов; следовательно, разделив формулу перестановки на k ! дает следующую формулу комбинации:

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Это то же самое, что ( n , k ) биномиальный коэффициент ( см. биномиальную теорему; эти комбинации иногда называют k -подмножествами). Например, количество комбинаций из пяти объектов, взятых по два, равно

.