| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
исчисление — Найдите координаты точки Q на графике $\sin (x) + \cos (y) = 0,5$ при условии, что градиент ее касательной перпендикулярен точке P.
Обратите внимание, что кривая (один бесконечного числа таких «петель», удовлетворяющих данному уравнению) симметричен относительно точки $ \ \left(\frac{\pi}{2} \ , \ 0 \right) \ ; $ это следствие свойств тригонометрической функции $ \ \cos (-y) \ = \ \cos y \ $ и $ \ \sin \left(\frac{\pi}{2} + \xi \right) \ = \ \sin\left(\frac{\pi}{2} — \xi\right) \\ . $ Если мы используем эту последнюю симметрию для определения координат $ \ x \ = \ \frac{\pi}{2} + \xi \\Rightarrow \ \xi \ = \ x — \frac{\pi}{2} \ \ , $, то уравнение кривой принимает вид $ \ \sin \left(\frac{\pi}{2} + \xi \right) + \cos y \ = \ 0,5 \ $ на интервалах $ \ \frac{-2 \pi}{3} \ \le \ \xi \ , \ y \ \le \ \frac{2\pi}{3} \ \ . $ Наклон касательной в точке $\P(x,y)\$ тогда равен
$$ \frac{dy}{dx}|_P \ \ = \ \ \frac{dy}{d \xi}|_P \ \ = \ \ \frac{\cos\left(\frac{\pi} {2} + \xi_P \right)}{\sin (y_P)} $$
, а наклон нормальной линии (который равен наклону касательной в $ \ Q \ $ ) равен
$ $ \ frac {dy} {dx} | _ Q \ \ = \ \ — \ frac {\ sin (y_P)} {\ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} + \ xi_P \ right)} \ \ = \ \ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \xi_Q \right)}{\sin (y_Q)} \\ , $$
Формула «сложения углов» для косинуса дает $ \ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \xi_Q \right) \ = \ \cos\left(\frac{\pi}{2} \right)·\cos \xi_Q \ — \\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) ·\sin \xi_Q $ $ = \ -\sin \xi_Q \\ , $ и аналогично $ \\cos\left(\frac{\ pi}{2} + y_Q \right) \ = \ -\sin y_Q \ \ .
$ Таким образом, мы можем написать
$$ \frac{dy}{dx}|_Q \ \ = \ \ \frac{-\sin \xi_Q}{-\cos\left(\frac{\pi}{2} + y_Q \right)} \ \ = \ \ \ frac {\ sin \ xi_Q} {\ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} + y_Q \ right)} \ \ = \ \ — \ frac {\ sin (y_P)} {\ cos \left(\frac{\pi}{2} + \xi_P \right)} \ \ , $$
который теперь предлагает, как сделать соответствия между координатами.
Вы идентифицировали $ \ P \ $ как одну из точек пересечения $ \ y-$ $ \ (x_P \ = \ 0 \Rightarrow \ \xi_P \ = \ -\frac{\pi}{2} ) \ $ кривая, которая имеет $ \ \ cos (y_P) \ = \ 0,5 \ \ Rightarrow \ y_P \ = \ \ frac {\ pi} {3} \ \ . $ Тогда мы можем взять $$ \sin(y_P) \\ = \\\frac{\sqrt3}{2} \\ = \\\sin(\xi_Q) \\\ , \\\\cos\left(\frac{\pi} {2} + \xi_P \right) \ \ = \ \ 1 \ \ = \ \ -\cos\left(\frac{\pi}{2} + y_Q \right) \ \ , $$ или $$ \sin(y_P) \\ = \\\frac{\sqrt3}{2} \\ = \\ -\sin(\xi_Q) \\\ , \\\\cos\left(\frac{\pi {2} + \xi_P \right) \ \ = \ \ 1 \ \ = \ \ \cos\left(\frac{\pi}{2} + y_Q \right) \ \ . $$
Первая пара уравнений дает нам $ \ \sin(\xi_Q) \ = \ \frac{\sqrt3}{2} \\Rightarrow \ \xi_Q \ = \ \frac{\pi}{3} \ , \ \frac{2\pi}{3} \ \Rightarrow \ x_Q \ = \ \frac{5\pi}{6} \ , \ \frac{7\pi}{6} \ $ и $ \ \cos\left (\ frac {\ pi} {2} + y_Q \ right) \ = \ -1 \ \ Rightarrow \ \ frac {\ pi} {2} + y_Q \ = \ \ pi \ \ Rightarrow \ y_Q \ = \ \ frac {\пи} {2} \ \ ; $ из этих двух точек, $ \ \sin \left( \frac{5\pi}{6} \right) \ + \ \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) \ = \ 0,5 \ $ удовлетворяет уравнению кривой.
Это говорит нам о том, что положение точки $ \ Q \ $ равно $ \ \left(\frac{5\pi}{6} \ , \ \frac{\pi}{2} \right) \ \ . $ Мы также нашли, как и следовало ожидать из симметрии этой петли относительно $ \ \left(\frac{\pi}{2} \ , \ 0 \right) \ , $, что существует вторая точка $ \ Q ‘ \ \left(\frac{\pi}{6} \ , \\frac{-\pi}{2} \right) \ $, в которой касательная перпендикулярна касательной в точке $ \ P \ \ . $
Аналогичным образом мы также можем показать, что существует точка $ \ P’ \ \left( \pi \ , \ \frac{-\pi}{3} \right) \ $ с касательной 