Х под корнем производная: Производная корня из х, sqrt(x)’

Производная корня икс — онлайн справочник для студентов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная корня икс равна единице, деленной на два таких же корня.

Данную формулу можно получить из формулы производной степенной функции , представив корень в виде дробного показателя:

Примеры решения задач по теме «Производная корня»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции

Решение

Искомая производная

По правилам дифференцирования производная суммы равна сумме производных. То есть тогда

Производная первого слагаемого, как константы, равна 0:

Найдем производную второго слагаемого

Вначале по правилу дифференцирования вынесем константу за знак производной:

Далее находим производную от корня по формуле . И так как подкоренное выражение есть сложная функция (оно отлично от просто x), то еще дробь нужно будет умножить на производную от подкоренного выражения:

Производная от суммы равна сумме производных:

Первая производная от независимой переменной равна единице, а производная от константы 2 равна нулю, то есть имеем:

Итак,

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции

Решение

Искомая производная

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня. Но так как подкоренное выражение является сложной функцией (под корнем стоит не просто x, а sin x ), то еще надо домножить на производную от подкоренного выражения, то есть синуса. Производная от синуса равна косинусу . Тогда имеем:

Ответ

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Производная частного Производная произведения Производная разности Производная суммы

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Mathway | Популярные задачи

1	Множитель	x^2-4
2	Множитель	4x^2+20x+16
3	График	y=-x^2
4	Вычислить	2+2
5	Множитель	x^2-25
6	Множитель	x^2+5x+6
7	Множитель	x^2-9
8	Множитель	x^3-8
9	Вычислить	квадратный корень из 12
10	Вычислить	квадратный корень из 20
11	Вычислить	квадратный корень из 50
12	Множитель	x^2-16
13	Вычислить	квадратный корень из 75
14	Множитель	x^2-1
15	Множитель	x^3+8
16	Вычислить	-2^2
17	Вычислить	квадратный корень из (-3)^4
18	Вычислить	квадратный корень из 45
19	Вычислить	квадратный корень из 32
20	Вычислить	квадратный корень из 18
21	Множитель	x^4-16
22	Вычислить	квадратный корень из 48
23	Вычислить	квадратный корень из 72
24	Вычислить	квадратный корень из (-2)^4
25	Множитель	x^3-27
26	Вычислить	-3^2
27	Множитель	x^4-1
28	Множитель	x^2+x-6
29	Множитель	x^3+27
30	Множитель	x^2-5x+6
31	Вычислить	квадратный корень из 24
32	Множитель	x^2-36
33	Множитель	x^2-4x+4
34	Вычислить	-4^2
35	Множитель	x^2-x-6
36	Множитель	x^4-81
37	Множитель	x^3-64
38	Вычислить	4^3
39	Множитель	x^3-1
40	График	y=x^2
41	Вычислить	2^3
42	Вычислить	(-12+ квадратный корень из -18)/60
43	Множитель	x^2-6x+9
44	Множитель	x^2-64
45	График	y=2x
46	Множитель	x^3+64
47	Вычислить	(-8+ квадратный корень из -12)/40
48	Множитель	x^2-8x+16
49	Вычислить	3^4
50	Вычислить	-5^2
51	Множитель	x^2-49
52	Вычислить	(-20+ квадратный корень из -75)/40
53	Множитель	x^2+6x+9
54	Множитель	4x^2-25
55	Вычислить	квадратный корень из 28
56	Множитель	x^2-81
57	Вычислить	2^5
58	Вычислить	-8^2
59	Вычислить	2^4
60	Множитель	4x^2-9
61	Вычислить	(-20+ квадратный корень из -50)/60
62	Вычислить	(-8+ квадратный корень из -20)/24
63	Множитель	x^2+4x+4
64	Множитель	x^2-10x+25
65	Вычислить	квадратный корень из -16
66	Множитель	x^2-2x+1
67	Вычислить	-7^2
68	График	f(x)=2^x
69	Вычислить	2^-2
70	Вычислить	квадратный корень из 27
71	Вычислить	квадратный корень из 80
72	Множитель	x^3+125
73	Вычислить	-9^2
74	Множитель	2x^2-5x-3
75	Вычислить	квадратный корень из 40
76	Множитель	x^2+2x+1
77	Множитель	x^2+8x+16
78	График	y=3x
79	Множитель	x^2+10x+25
80	Вычислить	3^3
81	Вычислить	5^-2
82	График	f(x)=x^2
83	Вычислить	квадратный корень из 54
84	Вычислить	(-12+ квадратный корень из -45)/24
85	Множитель	x^2+x-2
86	Вычислить	(-3)^3
87	Множитель	x^2-12x+36
88	Множитель	x^2+4
89	Вычислить	квадратный корень из (-8)^2
90	Множитель	x^2+7x+12
91	Вычислить	квадратный корень из -25
92	Множитель	x^2-x-20
93	Вычислить	5^3
94	Множитель	x^2+8x+15
95	Множитель	x^2+7x+10
96	Множитель	2x^2+5x-3
97	Вычислить квадратный корень	квадратный корень из 116
98	Множитель	x^2-x-12
99	Множитель	x^2-x-2
100	Вычислить	2^2

Производная корня x по первому принципу

28 января 2023 г. 5 июня 2022 г. от promath

Присоединяйтесь к нашему каналу Telegram

Производная от корня x: Квадратный корень из x — очень важная функция в математике. В этом посте мы найдем производную квадратного корня из x, используя первый принцип производных и степенное правило производных.

Сначала находим производную корня x по предельному определению, то есть вычисляем производную от y=√x по первому принципу.

Производная корня x по первому принципу

Первый принцип производных гласит, что производная функции $f(x)$ определяется выражением

$\dfrac{d}{dx}(f(x))$ $=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Возьмем $f(x)=\sqrt{x}.$

Итак мы получаем, что производная квадратного корня из $x$ равна

$\dfrac{d}{dx}(\sqrt{x})$ $=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{ x+h}-\sqrt{x}}{h}$

Теперь мы рационализируем числитель \dfraction, участвующий в приведенном выше пределе. Итак, мы получаем 92}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$=\lim\limits_{h \to 0}$ $\dfrac{x+h-x}{h(\sqrt{ x+h}+\sqrt{x})}$

$=\lim\limits_{h \to 0}$ $\dfrac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x} )}$

Сокращая $h$ из числителя и знаменателя, получаем, что

$=\lim\limits_{h \to 0}$ $\dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\ sqrt{x}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{ x}}$

$=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Итак, производная от корня x равна 1/2root(x), и это получается по первому принципу производных. 9{1/2}}$

$=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Таким образом, производная от $\sqrt{x}$ равна $\dfrac{1}{2\sqrt{ x}}$, и это получается по степенному правилу производных.

Читайте также:

Производная e ^3x из первого принципа

Производная log(sin x) из первого принципа

9000 2 Производная от корня (1+x) из первого начала

Производное log(cos x) из первого принципа

Производная корня sin x из первого принципа

Производная корня cos x из первого принципа

Часто задаваемые вопросы

Q1: Какова производная корня x?

Ответ: Производная корня x равна 1/2root(x).

Распространяйте любовь

Производная квадратного корня из x | Корень x Производная

Производная корня x. Квадратный корень из х — важная функция в математике. Поэтому естественно изучать производную квадратного корня из х. Для его нахождения воспользуемся формулой степенного правила производных. Мы также оценим производную квадратного корня из x по предельному определению. 9{1/2}}$

$=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$=\dfrac{1}{2\sqrt{x} }$

Таким образом, производная квадратного корня из $x$ по степенному правилу производных равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, то есть

\[\dfrac{d }{dx}(\sqrt{x})=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.\]

Альтернативный метод: Затем мы найдем производную x ^1/2 по формуле метод замещения.

Пусть $y=\sqrt{x}.$

Возьмем квадраты с обеих сторон. Таким образом, мы получаем 92=x$

Дифференцируя по $x$,

$2y \dfrac{dy}{dx}=1$

$\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2y }$

Подставляя значение y, то есть y=√x, получаем, что

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. $

In Другими словами, мы можем сказать, что

$\dfrac{d}{dx}(\sqrt{x})=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.$

Теперь найдем производную корня x по первому принципу.

Производная квадратного корня из x из первого принципа

Производная корня x по первому принципу. Пусть f(x)=√x. Нам нужно найти производную от $f(x).$ Из первого принципа производных имеем

$\frac{d}{dx}(f(x)) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}} {h}$

$=\lim\limits_{h \to 0}[\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \times \frac{\sqrt{x+h} }+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}]$

$=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{x+h-x}{h \sqrt {x+h}+\sqrt{x}}$

$=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{h}{h\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$

$=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}$

$=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Таким образом, производная квадратного корня из x по первой принцип $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная корня x с помощью логарифмического дифференцирования

Теперь найдем производную от √x с помощью логарифмической производной. Напишите

y= √x

⇒ y = x ^1/2

Взяв натуральный логарифм (по основанию e) обеих частей, получим, что

ln y = 1/2 ln x

Различное в отношении x, имеем

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

⇒ $\frac{ dy}{dx} =\frac{y}{2x}$ $= \frac{\sqrt{x}}{2x}$ $=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Таким образом, по логарифмическому дифференцированию производная корня x равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Применение производной квадратного корня из x

Мы оценили производную корня $x$ выше и получили, что

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x})$ $=\frac{ 1}{2\sqrt{x}}$ $\cdots (i)$

Используя этот факт, мы можем найти производные многих функций, содержащих квадратные корни, используя цепное правило производных. Производная квадратного корня из 3x+2 будет вычисляться следующим образом:

Пример 1: Найти $\dfrac{d}{dx}(\sqrt{3x+2})$

Пусть $z=3x +2$

∴ $\dfrac{d}{dx}(\sqrt{3x+2})$ $=\dfrac{d}{dx}(\sqrt{z})$

$=\dfrac{d}{ dz}(\sqrt{z}) \cdot \dfrac{dz}{dx}$ (по цепному правилу)

$=\dfrac{1}{2\sqrt{z}} \cdot \dfrac{d} {dx}(3x+2)$ по уравнению (i)

$=\dfrac{1}{2\sqrt{z}} \cdot 3$

$=\dfrac{3}{2\sqrt{3x +2}}$  $[\because z=3x+2]$

Ниже мы вычисляем производную квадратного корня из sin x.