Интеграл от x 2 dx – Mathway | Популярные задачи

alexxlab / / Разное

∫ Найти интеграл от y = f(x) = dx/(x^2+4) (d х делить на (х в квадрате плюс 4))

Решение

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  + 4   
 |           
/            
0

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dx
 |  2       
 | x  + 4   
 |          
/

Перепишем подинтегральную функцию

  1            1       
------ = --------------
 2         /     2    \
x  + 4     |/-x \     |
         4*||---|  + 1|
           \\ 2 /     /

или

  /           
 |            
 |   1        
 | ------ dx  
 |  2        =
 | x  + 4     
 |            
/             
  
  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- dx
 |      2       
 | /-x \        
 | |---|  + 1   
 | \ 2 /        
 |              
/               
----------------
       4

В интеграле

  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- dx
 |      2       
 | /-x \        
 | |---|  + 1   
 | \ 2 /        
 |              
/               
----------------
       4

сделаем замену

тогда

интеграл =

  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     4            4

делаем обратную замену

  /                       
 |                        
 |     1                  
 | ---------- dx          
 |      2                 
 | /-x \                  
 | |---|  + 1             
 | \ 2 /               /x\
 |                 atan|-|
/                      \2/
---------------- = -------
       4              2

Решением будет:

        /x\
    atan|-|
        \2/
C + -------
       2   
  1                      
  /                      
 |                       
 |    1         atan(1/2)
 |  ------ dx = ---------
 |   2              2    
 |  x  + 4               
 |                       
/                        
0

$${{\arctan \left({{1}\over{2}}\right)}\over{2}}$$

Численный ответ

[LaTeX]

Ответ (Неопределённый)

[LaTeX]

  /                    /x\
 |                 atan|-|
 |   1                 \2/
 | ------ dx = C + -------
 |  2                 2   
 | x  + 4                 
 |                        
/

$${{\arctan \left({{x}\over{2}}\right)}\over{2}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = x*e^(x^2)*dx (х умножить на e в степени (х в квадрате) умножить на d х)

Решение

  1           
  /           
 |            
 |     / 2\   
 |     \x /   
 |  x*E     dx
 |            
/             
0

$$\int_{0}^{1} e^{x^{2}} x\, dx$$

Подробное решение

[LaTeX]

  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

    Метод #1

    1. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

        Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

    Метод #2

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

        Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

  2. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                     
  /                     
 |                      
 |     / 2\             
 |     \x /        1   E
 |  x*E     dx = - - + -
 |                 2   2
/                       
0

$${{E}\over{2\,\log E}}-{{1}\over{2\,\log E}}$$

Численный ответ

[LaTeX]

Ответ (Неопределённый)

[LaTeX]

  /                      
 |                   / 2\
 |    / 2\           \x /
 |    \x /          e    
 | x*E     dx = C + -----
 |                    2  
/

$${{E^{x^2}}\over{2\,\log E}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = x^2/(x+2) dx (х в квадрате делить на (х плюс 2))

Решение

  1         
  /         
 |          
 |     2    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  x + 2   
 |          
/           
0

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x + 2}\, dx$$

Подробное решение

[LaTeX]

  1. Перепишите подынтегральное выражение:

  2. Интегрируем почленно:

    1. Интеграл есть :

    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл есть .

        Если сейчас заменить ещё в:

      Таким образом, результат будет:

    Результат есть:

  3. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                                      
  /                                      
 |                                       
 |     2                                 
 |    x                                  
 |  ----- dx = -3/2 - 4*log(2) + 4*log(3)
 |  x + 2                                
 |                                       
/                                        
0

$${{8\,\log 3-3}\over{2}}-4\,\log 2$$

Численный ответ

[LaTeX]

Ответ (Неопределённый)

[LaTeX]

  /                                      
 |                                       
 |    2            2                     
 |   x            x                      
 | ----- dx = C + -- - 2*x + 4*log(2 + x)
 | x + 2          2                      
 |                                       
/

$$4\,\log \left(x+2\right)+{{x^2-4\,x}\over{2}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = (1-x)/(2*x+1) dx ((1 минус х) делить на (2 умножить на х плюс 1))

Решение

  1           
  /           
 |            
 |   1 - x    
 |  ------- dx
 |  2*x + 1   
 |            
/             
0

$$\int_{0}^{1} \frac{- x + 1}{2 x + 1}\, dx$$

Подробное решение

[LaTeX]

  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

    Метод #1

    1. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть .

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

    Если сейчас заменить ещё в:

    Метод #2

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть .

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      Результат есть:

    Метод #3

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл есть .

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

      Таким образом, результат будет:

    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл есть .

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл есть .

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

    Результат есть:

  2. Теперь упростить:

  3. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                            
  /                            
 |                             
 |   1 - x         1   3*log(3)
 |  ------- dx = - - + --------
 |  2*x + 1        2      4    
 |                             
/                              
0

$${{3\,\log 3-2}\over{4}}$$

Численный ответ

[LaTeX]

Ответ (Неопределённый)

[LaTeX]

  /                                    
 |                                     
 |  1 - x           x   3*log(-1 - 2*x)
 | ------- dx = C - - + ---------------
 | 2*x + 1          2          4       
 |                                     
/

$${{3\,\log \left(2\,x+1\right)}\over{4}}-{{x}\over{2}}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = (2-x)^2*dx ((2 минус х) в квадрате умножить на d х)

Решение

  1            
  /            
 |             
 |         2   
 |  (2 - x)  dx
 |             
/              
0

$$\int_{0}^{1} \left(- x + 2\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

[LaTeX]

  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

    Метод #1

    1. пусть .

      Тогда пусть и подставим :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Интеграл есть :

        Таким образом, результат будет:

      Если сейчас заменить ещё в:

    Метод #2

    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл есть :

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Интеграл есть :

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Результат есть:

  2. Теперь упростить:

  3. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                  
  /                  
 |                   
 |         2         
 |  (2 - x)  dx = 7/3
 |                   
/                    
0

$${{7}\over{3}}$$

Численный ответ

[LaTeX]

Ответ (Неопределённый)

[LaTeX]

  /                          
 |                          3
 |        2          (2 - x) 
 | (2 - x)  dx = C - --------
 |                      3    
/

$${{x^3}\over{3}}-2\,x^2+4\,x$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

∫ Найти интеграл от y = f(x) = x^2/(x-2) dx (х в квадрате делить на (х минус 2))

Решение

  1         
  /         
 |          
 |     2    
 |    x     
 |  ----- dx
 |  x - 2   
 |          
/           
0

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x — 2}\, dx$$

Подробное решение

[LaTeX]

  1. Перепишите подынтегральное выражение:

  2. Интегрируем почленно:

    1. Интеграл есть :

    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл есть .

        Если сейчас заменить ещё в:

      Таким образом, результат будет:

    Результат есть:

  3. Добавляем постоянную интегрирования:

Ответ:

  1                          
  /                          
 |                           
 |     2                     
 |    x                      
 |  ----- dx = 5/2 - 4*log(2)
 |  x - 2                    
 |                           
/                            
0

$${{5}\over{2}}-4\,\log 2$$

Численный ответ

[LaTeX]

Ответ (Неопределённый)

[LaTeX]

  /                                       
 |                                        
 |    2            2                      
 |   x            x                       
 | ----- dx = C + -- + 2*x + 4*log(-2 + x)
 | x - 2          2                       
 |                                        
/

$${{x^2+4\,x}\over{2}}+4\,\log \left(x-2\right)$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *