Интегралы стандартные: Таблица интегралов, таблица основных интегралов для школьников и студентов

Интегрирование по частям. Первая часть.

Высшая математика » Неопределённые интегралы » Интегрирование по частям » Первая часть.

Первая часть

Вторая часть

В этой теме мы подробно поговорим вычислении неопределённых интегралов с помощью так называемой «формулы интегрирования по частям». Нам понадобится таблица неопределенных интегралов и таблица производных. В первой части будут разобраны стандартные примеры, которые большей частью встречаются в типовых расчётах и контрольных работах. Более сложные примеры разобраны во второй части.

Постановка задачи в стандартном случае следующая. Допустим, под интегралом у нас расположены две функции разной природы: многочлен и тригонометрическая функция, многочлен и логарифм, многочлен и обратная тригонометрическая функция и так далее. В этой ситуации выгодно отделить одну функцию от другой. Грубо говоря, имеет смысл разбить подынтегральное выражение на части, – и разобраться с каждой частью по отдельности.

Отсюда и название: «интегрирование по частям». Применение этого метода основано на следующей теореме:

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на некотором промежутке, и на этом промежутке существует интеграл $\int v \; du$. Тогда на этом же промежутке существует и интеграл $\int u \; dv$, при этом верно следущее равенство:

$$ \begin{equation} \int u \; dv=u\cdot v-\int v\; du \end{equation} $$

Формулу (1) и называют «формулой интегрирования по частям». Иногда, применяя вышеуказанную теорему, говорят о использовании «метода интегрирования по частям». Нам будет важна суть этого метода, которую и рассмотрим на примерах. Существует несколько стандартных случаев, в которых явно применима формула (1). Именно эти случаи и станут темой данной страницы. Пусть $P_n(x)$ – многочлен n-й степени. Введём два правила:

Правило №1

Для интегралов вида $\int P_n(x) \ln x \;dx$, $\int P_n(x) \arcsin x \;dx$, $\int P_n(x) \arccos x \;dx$, $\int P_n(x)\arctg x \;dx$, $\int P_n(x) \arcctg x \;dx$ принимаем $dv=P_n(x)dx$.

2+14x-5)$. Т.е. запись $\ln x$ нужно воспринимать как своего рода обобщение.

Ещё один момент. Бывает, что формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз. Об этом поговорим подробнее в примерах №4 и №5. Теперь перейдём непосредственно к решению типичных задач. Решение задач, уровень которых чуть выше стандартных, разбирается во второй части.

Пример №1

Найти $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$.

Решение

Под интегралом расположен многочлен $3x+4$ и тригонометрическая функция $\cos (2x-1)$. Это классический случай для применения формулы (1), поэтому возьмём заданный интеграл по частям. Формула (1) требует, чтобы интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ был представлен в форме $\int u \; dv$. Нам нужно выбрать выражения для $u$ и для $dv$. Можно в качестве $u$ принять $3x+4$, тогда $dv=\cos (2x-1)dx$. Можно взять $u=\cos (2x-1)$, тогда $dv=(3x+4)dx$. Чтобы сделать правильный выбор обратимся к правилу №2. Заданный интеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ подпадает под вид $\int P_n(x) \cos x \;dx$ (многочлен $P_n(x)$ в нашем интеграле имеет вид $3x+4$).

Согласно правилу №2 нужно выбрать $u=P_n(x)$, т.е. в нашем случае $u=3x+4$. Так как $u=3x+4$, то $dv=\cos(2x-1)dx$.

Однако недостаточно просто выбрать $u$ и $dv$. Нам еще понадобятся значения $du$ и $v$. Так как $u=3x+4$, то:

$$ du=d(3x+4)=(3x+4)’dx=3dx.$$

Теперь разберёмся с функцией $v$. Так как $dv=\cos(2x-1)dx$, то согласно определению неопределённого интеграла имеем: $ v=\int \cos(2x-1)\; dx$. Чтобы найти нужный интеграл применим внесение под знак дифференциала:

$$ v=\int \cos(2x-1)\; dx=\frac{1}{2}\cdot \int \cos(2x-1)d(2x-1)=\frac{1}{2}\cdot \sin(2x-1)+C=\frac{\sin(2x-1)}{2}+C. $$

Однако нам нужно не всё бесконечное множество функций $v$, которое описывает формула $\frac{\sin(2x-1)}{2}+C$. Нам нужна какая-то одна функция из этого множества. Чтобы получить искомую функцию нужно вместо $C$ подставить какое-либо число. Проще всего, разумеется, подставить $C=0$, получив при этом $v=\frac{\sin(2x-1)}{2}$.

Итак, соберём всё вышеизложенное воедино. Мы имеем: $u=3x+4$, $du=3dx$, $dv=\cos(2x-1)dx$, $v=\frac{\sin(2x-1)}{2}$. Подставляя всё это в правую часть формулы (1) будем иметь:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx. $$

Осталось, по сути, только найти $\int\frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx$. Вынося константу (т.е. $\frac{3}{2}$) за знак интеграла и применяя метод внесения под знак дифференциала, получим:

$$ (3x+4)\cdot \frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx= \\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\int \sin(2x-1) \;d(2x-1)= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. $$

Итак,

$$\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C.

$$

В сокращенном виде процесс решения записывают так:

$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\left | \begin{aligned} & u=3x+4; \; du=3xdx.\\ & dv=\cos(2x-1)dx; \; v=\frac{\sin(2x-1)}{2}. \end{aligned} \right |=\\ =(3x+4)\cdot\frac{\sin(2x-1)}{2}-\int \frac{\sin(2x-1)}{2}\cdot 3dx= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{2}\int \sin(2x-1) \;dx=\\ =\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}-\frac{3}{4}\cdot (-\cos (2x-1))+C= \frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C. $$

Неопределённый интеграл по частям найден, осталось лишь записать ответ.

Ответ: $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\frac{(3x+4)\cdot\sin(2x-1)}{2}+\frac{3}{4}\cdot \cos (2x-1)+C$.

Полагаю, здесь не обойдётся без вопроса, поэтому попробую сформулировать его и дать ответ.

Вопрос

Почему мы приняли именно $u=3x+4$ и $dv=\cos(2x-1)dx$? Да, интеграл был решён. Но, может быть, если бы мы взяли $u=\cos (2x-1)$ и $dv=(3x+4)dx$ интеграл тоже был бы найден!

Ответ

Нет, если принять $u=\cos (2x-1)$ и $dv=(3x+4)dx$, то ничего хорошего с этого не выйдет, – интеграл не упростится. 2\cdot\cos(3x+1)}{3} +\frac{2x\sin(3x+1)}{9}-\frac{43\cos(3x+1)}{27}+C$.

Применение метода интегрирования по частям в несколько нестандартных случаях, не подпадающих под действие правил №1 и №2, будет дано во второй части.

Первая часть

Вторая часть

Вернуться к списку тем

Задать вопрос на форуме

Записаться на занятия

Онлайн-занятия по высшей математике

Открытое образование — Многомерный анализ, интегралы и ряды для поступающих в магистратуру

Данная дисциплина призвана дать обучающимся математический аппарат, который будет использоваться в дальнейшем при изучении естественно-научных дисциплин и в научно-исследовательской работе.

Основными задачами данного ММОК являются:

– формирование у обучающихся базовых знаний по многомерному анализу, работе с неопределенными, неопределенными и несобственными интегралами, а также с числовыми и функциональными рядами;

– формирование общематематической культуры: умение логически мыслить, проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические связи между понятиями;

– формирование умений и навыков применять полученные знания для решения математических задач, самостоятельного анализа полученных результатов.

Студентам МФТИ для получения бесплатного доступа к тестовым заданиям и экзамену необходимо написать на [email protected] письмо с указанием названия курса, логина на openedu, и скриншотом личного кабинета, на котором виден статус обучения.

 

Экзамус.

Уважаемые слушатели, Вы можете сдать экзамен с прокторингом, который будет проходить на курсе раз в 2-3 месяца. Рассылка о предстоящих экзаменах будет приходить Вам на почту заранее.

Ближайшие даты экзамена с 16 по 23 марта 2023 года.

 

Курс разработан кафедрой высшей математики МФТИ

В состав курса входят видеолекции на русском языке продолжительностью 5-15 минут, видеосеминары с разбором задач по темам лекций на русском языке продолжительностью 5-15 минут, материалы для самостоятельного изучения пользователями, упражнения для самостоятельного решения.

Разделы курса завершаются тестами на понимание материала (задачи на понимание материала и задачи к модулю).

Основная литература

1. Дымарский Я.М. “Лекции по математическому анализу. Часть 2” Москва, МФТИ. 2020.
2. Бесов О.В. “Лекции по математическому анализу.” Москва, Физматлит, 2016.
3. Иванов Г.Е. “Лекции по математическому анализу. Часть 1” Москва, МФТИ, 2017.
4. Петрович А.Ю. “Лекции по математическому анализу. Часть 2” Москва, МФТИ. 2017
5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. “Сборник задач по математическому анализу. Т. 1-3. Предел, непрерывность, дифференцируемость.” 2е изд., перераб. М.: Физматлит, 2019.

Интернет-источники

1. https://mipt.ru/education/chair/mathematics/study/uchebniki/ — сайт кафедры высшей математики МФТИ, на котором есть указанные выше учебники.

2. https://mipt.ru/education/chair/mathematics/exams/exams.php — варианты экзаменационных контрольных МФТИ прошлых лет с ответами по математическим дисциплинам.

3.https://www.youtube.com/watch?v=vXr7qtDXuvk&list=PLocvKxfon41Wvzo9ArMgWKnYlLe83TFb3 – курс семинаров Скубачевского А.

А. на YouTube.

4. http://www.exponenta.ru  – образовательный математический сайт.

5. http://mathnet.ru  – общероссийский математический портал.

6. http://www.edu.ru  – федеральный портал «Российское образование».

7. http://benran.ru  –библиотека по естественным наукам Российской академии наук.

8. http://www.i-exam.ru  – единый портал Интернет-тестирования в сфере образования.

Курс рассчитан на круг участников, ознакомленных со школьным курсом дисциплин: алгебра, геометрия.

Курс рассчитан на круг участников, ознакомленных с вузовскими дисциплинами: введение в математический анализ, аналитическая геометрия, линейная алгебра.

Курс состоит из 9 уроков

Урок 1. Неопределенный интеграл

01.01 Неопределенный интеграл

01.02 Основные правила интегрирования

01.03 Замена переменной и занесение под знак дифференциала

01.04 Тригонометрическая замена переменной

01.05 Интеграл от тригонометрической функции

01. 06 Выделение полного квадрата в знаменателе

01.07 Интегрирование по частям. Часть 1

01.08 Интегрирование по частям. Часть 2

01.09 Интеграл от дробно-рациональной функции. Часть 1

01.10 Интеграл от дробно-рациональной функции. Часть 2

01.11 Интегрирование иррациональной функции

01.12 Подстановка Эйлера

01.13 Метод Остроградского

01.14 Замена переменной при интегрировании иррациональной функции

01.15 Замена переменной в интегрировании с помощью универсальной тригонометрической подстановки

Урок 2. Дифференцирование функций нескольких переменных

02.01 Вспомогательные понятия

02.02 Предел функции

02.03 Существование предела функции

02.04 Повторный предел

02.05 Понятие дифференцируемости

02.06 Необходимое условие дифференцируемости

02.07 Достаточное условие дифференцируемости

02.08 Связь дифференцируемости, существования частных производных и непрерывности

02. 09 Исследование на дифференцируемость и непрерывную дифференцируемость

02.10 Исследование на дифференцируемость с помощью формулы Тейлора. Пример 1

02.11 Исследование на дифференцируемость с помощью формулы Тейлора. Пример 2

02.12 Исследование на дифференцируемость с помощью замены переменных и формулы Тейлора

02.13 Дифференциал функции

02.14 Дифференциал неявно заданной функции. Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Урок 3. Экстремум функции многих переменных

03.01 Неявная функция

03.02 Теорема о неявной функции

03.03 Понятие локального экстремума

03.04 Классификация квадратичных форм

03.05 Достаточные условия локального экстремума

03.06 Нахождение локального экстремума функции двух переменных. Пример 1

03.07 Нахождение локального экстремума функции двух переменных. Пример 2

03.08 Нахождение локального экстремума функции двух переменных, заданной неявно

03. 09 Понятие условного экстремума

03.10 Необходимые условия условного экстремума. Функция Лагранжа

03.11 Достаточные условия условного экстремума

03.12 Процедура нахождения точек условного экстремума

03.13 Нахождение условного экстремума функции многих переменных

03.14 Нахождение условного экстремума функции многих переменных с помощью дифференцирования уравнений связи

Урок 4. Определенный интеграл

04.01 Определение интеграла по схеме Дарбу

04.02 Определение интеграла по схеме Римана

04.03 Свойства определенного интеграла

04.04 Интегральные неравенства

04.05 Формула Ньютона-Лейбница

04.06 Определенный интеграл с переменным верхним пределом

04.07 Вычисление площади поверхности вращения

04.08 Вычисление длины кривой

Урок 5. Несобственный интеграл

05.01 Определение несобственного интеграла

05.02 Основные свойства несобственных интегралов. Критерий Коши

05.03 Несобственные интегралы от знакопостоянных функций

05.04 Несобственный интеграл от знакопостоянных функций. Признаки сравнения

05.05 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопостоянной функции. Пример 1

05.06 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопостоянной функции. Пример 2

05.07 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопостоянной функции. Пример 3

05.08 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопостоянной функции. Пример 4

05.09 Несобственные интегралы от знакопеременных функций

05.10 Основные теоремы для исследования на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции

05.11 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции. Четырехступенчатая схема

05.12 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции. Пример 1

05.13 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции. Пример 2

05.14 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции. Пример 3

05.15 Исследование на сходимость несобственного интеграла от знакопеременной функции. Пример 4

Урок 6. Числовые ряды

06.01 Сходимость числового ряда

06.02 Знакопостоянные ряды

06.03 Исследование знакопостоянного числового ряда на сходимость с помощью признака Коши

06.04 Исследование знакопостоянного числового ряда на сходимость с помощью признака Даламбера

06.05 Сумма ряда

06.06 Признаки сравнения для знакопостоянных числовых рядов

06.07 Знакопеременные ряды

06.08 Признак Дирихле для числовых рядов

06.09 Исследование числового ряда на сходимость с помощью формулы Тейлора

06.10 Абсолютная и условная сходимость числовых рядов

Урок 7. Функциональные последовательности и ряды

07.01 Функциональные последовательности

07.02 Свойства равномерной сходимости

07. 03 Исследование функциональной последовательности на поточечную и равномерную сходимость

07.04 Исследование функциональной последовательности на поточечную и равномерную сходимость с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

07.05 Равномерная сходимость функционального ряда

07.06 Достаточные признаки равномерной сходимости функционального ряда

07.07 Исследование функционального ряда на поточечную и равномерную сходимость

07.08 Исследование функционального ряда на поточечную и равномерную сходимость с помощью критерия Коши. Пример 1

07.09 Исследование функционального ряда на поточечную и равномерную сходимость с помощью критерия Коши. Пример 2

Урок 8. Степенные ряды

08.01 Круг сходимости степенного ряда

08.02 Действительные степенные ряды

08.03 Ряд Тейлора

08.04 Ряды Маклорена основных элементарных функций

08.05 Разложение дробно-рациональной функции в ряд Тейлора

08. 06 Разложение логарифмической функции в ряд Тейлора

08.07 Представление функции в виде степенного ряда с помощью почленного дифференцирования и интегрирования. Пример 1

08.08 Представление функции в виде степенного ряда с помощью почленного дифференцирования и интегрирования. Пример 2

 Урок 9. Итоговое тестирование

09.01 Итоговый тест

Курс направлен на формирование общекультурных компетенций:

УК-1 — способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач

УК-2 – способностью определять круг задач в рамках поставленной цели и выбирать оптимальные способы их решения, исходя из действующих правовых норм, имеющихся ресурсов и ограничений

Курс направлен на формирование общепрофессиональных компетенций:  

ОПК-1 — способностью применять фундаментальные знания, полученные в области физико-математических наук и (или) естественных наук, и использовать их в профессиональной деятельности, в том числе в сфере педагогической деятельности

ОПК-2 — способностью использовать современные информационные технологии и программные средства при решении задач профессиональной деятельности, соблюдая требования информационной безопасности

ОПК-4 — способностью осуществлять сбор и обработку научно-технической и (или) технологической информации для решения фундаментальных и прикладных задач

– понятия неопределенного интеграла и интеграла Римана

– определения частной производной, дифференцируемости и дифференциала функции нескольких переменных

– необходимые и достаточные условия экстремума функции многих переменных

– определение несобственного интеграла и теоремы, необходимые для исследования несобственных интегралов на сходимость

– понятие числового ряда и теоремы, необходимые для исследования рядов на сходимость

– отличие понятий поточечной и равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов

– вычислять неопределенные и определенные интегралы

– вычислять частные производные и исследовать функции многих переменных на дифференцируемость

– исследовать на экстремум функции многих переменных

– исследовать на сходимость несобственные интегралы и числовые ряды

– исследовать на поточечную и равномерную сходимость функциональные последовательности и ряды

– использования стандартных методов и моделей многомерного анализа и их применения к решению прикладных задач.

сложных стандартных интегралов | Пособие для начинающих по математике для 12-х классов, расширение 2

Интеграция — сложный процесс. Расширение 2 Maths предлагает вам более сложные стандартные интегралы для решения. В этой статье мы обсудим, с какими вопросами вы столкнетесь, как с ними справиться, и предложим вопросы, чтобы проверить себя.

 

В этой статье мы обсудим

• Результаты программы NESA
• Предполагаемые знания
• Более твердые стандартные интегралы
• Разделение фракций
• Завершение квадрата
• Замена и тригонометрическая замена
• Рационализация числителя
• Вопросы для проверки концепции
• Решения для проверки концепции

Отработайте широкий спектр вопросов по более сложным стандартным интегралам

 

 

Загрузите бесплатный рабочий лист по сложным стандартным интегралам

Этот рабочий лист имеет 4 уровня сложности для проверки ваших знаний

Класс 12.

Математика. Дополнение 2: Более сложные стандартные интегралы

Понимание и освоение методов интегрирования играют решающую роль в последующих четырехтемах, поскольку интеграция часто встречается в различных темах.

Интеграция не простой процесс, мы можем дифференцировать любую функцию, мы не можем просто интегрировать любую функцию.

Следовательно, учащимся становится важно распознать тип заданного интеграла до того, как будут предприняты какие-либо шаги для его решения.

 

 

Результаты программы NESA

NESA предоставило следующие результаты по этой теме:

• Понимание и использование различных представлений чисел и функций для моделирования, проверки результатов и поиска решений проблем в различных контекстах
• Применяет методы интеграции к структурированным и неструктурированным проблемам
• Применяет различные математические методы и концепции для моделирования и решения структурированных, неструктурированных и многошаговых задач
• Сообщает и обосновывает абстрактные идеи и отношения, используя соответствующий язык, обозначения и логические аргументы

 

 

Предполагаемые знания

Учащиеся должны иметь четкое представление об интеграции и различных типах методов, используемых для их решения из 3 модуля.

Это включает в себя знакомство со всеми стандартными интегралами из справочного листа и способность узнавать их, когда они представлены в вопросе интегрирования.

Читателям рекомендуется повторить основные математические понятия, такие как рационализация дробей, деление неправильных дробей и составление квадрата, поскольку мы будем использовать их в этой статье.

 

 

Более сложные стандартные интегралы

Стандартные интегралы подробно рассматриваются в курсах Maths Advanced и Ext 1.

В Ext 2 мы рассмотрим некоторые более сложные стандартные интегралы, так как иногда их сложно распознать как стандартные интегралы.

Часто требуются специальные методы для преобразования или упрощения их в стандартную интегральную форму, которую мы уже знаем до их оценки.

На протяжении всей этой статьи вы часто обнаружите, что многие из этих методов нелогичны и обычно делают интеграл запутанным, но после некоторого упрощения он в конечном итоге превращается в стандартный интеграл.

Начнем с одного из самых нелогичных методов:

 

 

Разделение дробей 93x +c\\

\end{align*}

 

 

Рационализация числителя

Пример 1:

Вычислить \(\int \sqrt{ \frac{1-x}{1+x} } \ dx\)

 

Решение:

Нас всегда учили рационализировать знаменатель, чтобы мы могли упростить дробь. Но теперь мы хотим рационализировать числитель? Иногда мы увидим, что, сохраняя сурд в знаменателе, он постепенно превращается в стандартный интеграл.

94 +c\)

 

 

Учитесь у наших экспертов HSC, чтобы освоить более сложные стандартные интегралы

На онлайн-курсах Matrix+ мы предлагаем структурированные и четкие видеоуроки, проводимые экспертами HSC, исчерпывающие ресурсы, отправленные вам по почте, и индивидуальную помощь на досках вопросов и ответов. Узнайте больше прямо сейчас.

Нужна помощь с математикой Ext 2?

Опытные учителя, еженедельные викторины, индивидуальная помощь! Получите высший балл по математике Ext 2 с помощью Matrix+ Online.

© Matrix Education и www.matrix.edu.au, 2023. Несанкционированное использование и/или копирование этого материала без письменного разрешения автора и/или владельца этого сайта строго запрещено. Выдержки и ссылки могут быть использованы при условии, что Matrix Education и www.matrix.edu.au полностью и четко указаны с соответствующим и конкретным указанием на исходный контент.

Задачи на стандартных интегралах

Задача 1:

Оценка

∫1/(1+9x ² ) DX

Решение:

= ∫1/(1+3 ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 ) dx}

Данное в точности соответствует формуле

∫1/(a ² +x ² ) dx = 1/a tan ^-1

2 (x/a)1 + c

= 1/(1+(3x) ² ) dx

= 1/3 tan ^-1 (3x/1) + C

= 1/3 TAN ^-1 (3x) + C

Задача 2:

Оценка

∫1/(1-9X ² ) DX

. Решение: 9

). 1/(1-3 ² x ² ) dx

Данное точно соответствует формуле

∫1/(a ² -x ² ) dx = (1/2a) [ log a+x)/(a-x)] + c

a = 1 и x = 3x

= (1/2) [log(1+3x)/(1-3x)] + C

Задача 3:

Оценка

∫1/(1+x ² /16) DX

Решение:

= ∫1/((1+ (x/4) ² ) DX

точно соответствует формуле 

∫1/(a ² + x ² ) dx  =  (1/a) tan ^-1 (x/a) + c

a  =  1 и x  =  x/ 4

= 1 тангенс ^-1 ((x/4)/1) + C

= тангенс ^-1  (x/4) + C

Задача 4 :

Оценитьрешение точно соответствует формуле

∫1/(x ² -a ² ) dx =  (1/2a) [log (x-a)/(x+a)] + c

x =  x+2 и a  =  2

=  (1/2⋅2) [log(x+2-2)/(x+2+2)] + C

=  (1/4) [log(x/(x+ 4))] + C

Задача 5 :

Вычислить

∫1/√(25-x ² ) DX

Решение:

= ∫1/√ (5 ² -x ² ) DX

Данное совпадает с формулой

∫1/√ (A 41 241 241 241 241 292424241 (A

292424242. -x ² ) dx = sin ^-1 (x/a) + c

a = 5 и x = x

= sin ^-1 (x/5) + c

6 Задача

Оценить 

1/√(4x ² -25) dx

Решение:

  =  ∫ 1/√((2x ∫ 1/√)0341 2 -5 ² ) dx

Данное точно соответствует формуле

∫1/√(x ² -a ² ) dx = 903 4 4 3 90 2 )]+C

a = 5 и x = 2x

= (1/2) log[2x+√(4x ² -25)] + C

Задача 7 : 9003 Оценка 0 0 0003 ∫1/√(9x ² +16) dx

Решение:

  =   ∫1/√((3x) ² +4 ² ) 03 9 dx

Данное точно соответствует формуле

∫1/√(a ² +x ² ) dx = log[x+√(a ² +x ² )] 3 + c 90 0023 х 9 и A = 4

= log [3x+√ (9x ² +4 ² )+C

= log [3x+√ (9x ² +16)+c

Проблема 8:

9

9

9

9

.

No related posts.