Иррациональное и рациональное число: Рациональные и иррациональные числа

Иррациональные числа: определение и примеры. Также примеры рациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел (рациональной дроби m/n). Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби, т. е. числа после запятой бесконечны и нет повторений в их последовательности.

Примеры:

• π = 3,1415926…
• √2 = 1,41421356…
• e = 2,71828182…
• √8 = 2.828427…
• -√11= -3.31662…

Множество иррациональных чисел обозначается буквой I.

Действительными (вещественными) числами являются все рациональные и иррациональные числа (положительные, отрицательные и нуль).

Рациональные числа

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби (делением двух целых чисел m/n).

Примеры:

• 0 — это 0/1;
• 5 — это 5/1;
• 0,3333333… — это 1/3;
• -3,16 — это -316/100.

Свойства иррациональных чисел

• результатом суммы иррационального числа и рационального будет иррациональное число;
• результатом умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) будет иррациональное число;
• результатом вычитания двух иррациональных чисел может стать иррациональное число или рациональное;
• результатом суммы или произведения двух иррациональных чисел может стать рациональное или иррациональное (например: √2*√8 = √16 = 4).

Узнайте также про Рациональные числа и Экспоненту.

Дата обновления 24/07/2020.

---

---

Другие значения и понятия, которые могут вас заинтересовать

Урок 8. иррациональные числа. понятие действительного числа. сравнение действительных чисел — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 8

Иррациональные числа. Понятие действительного числа.

Сравнение действительных чисел

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Иррациональные числа.
• Понятие действительного числа.
• Абсолютная величина (модуль) числа.
• Сравнение действительных чисел.

Тезаурус:

Число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, называют рациональным.

Бесконечная периодическая десятичная дробь – это бесконечная дробь, у которой одна цифра или группа цифр повторяются. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках.

Число, которое можно записать в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональным числом.

Рациональные и иррациональные числа называются действительными числами.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим положительную бесконечную непериодическую дробь 0,10110111011110…

После запятой записаны группы единиц, разделённые нулём. Эта дробь не может быть десятичным разложением какого – либо рационального числа.

Её называют иррациональным (нерациональным) числом.

Иррациональное число – бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Примеры иррациональных чисел:

0,010010001…

-17,1234567…

Самое знаменитое иррациональное число π = 3,1415926…

Понятие действительного числа:

Рациональные и иррациональные числа называют действительными.

Таким образом, любое действительное число можно представить в виде бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Если дробь периодическая – число рациональное.

Если дробь непериодическая – число иррациональное.

Число, образованное цифрами до запятой, называют целой частью, после запятой дробной частью.

Для записи произвольной бесконечной десятичной дроби, отличной от нуля, пользуются буквами:

α_0,α₁ α₂ α₃… α_n…, причем хотя бы одна из цифр отлична от нуля.

Противоположные числа

Противоположные числа отличаются только знаками:

α_0, α_1, α_2,

α_3,… α_n…, и — α_0,α_1, α_2, α_3,… α_n…,

Обозначают: а, если а положительное число,

-а, если а отрицательное число.

Абсолютная величина числа (модуль) числа

Абсолютной величиной числа (модулем) действительного числа называют:

• само число а, если а – положительное
• 0, если а = 0
• число -а, если а – отрицательное число.

Обозначается: а, если а > 0,

|а| = 0, если а = 0,

-а, если а < 0.

Примеры:

а = 0,10110111… |а| = 0,10110111…

b = -2,1234567…… |b| = 2,1234567…

c = 0,(0)

|c| = 0

Сравнение действительных чисел.

Правило 1.

Два действительных числа равны, если они имеют одинаковые знаки и их абсолютные величины имеют одинаковые целые и дробные части.

Правило 2.

Отрицательное число меньше 0 и меньше любого положительного числа.

Число 0 меньше любого положительного числа.

Правило 3.

Если целые части положительных чисел разные, то больше то, у которого целая часть больше.

Если целые части положительных чисел одинаковые, то больше то, у которого цифра в наименьшем разряде дробной части больше.

Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше.

Сравнение чисел обозначают с помощью знаков: > = <

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1.

Изобразите числовые множества с помощью кругов Эйлера.

Определите, какому множеству принадлежат числа: 2,(3) и 2,1234?

Решение:

Число 2,(3) принадлежит множествам рациональных и действительных чисел.

Число 2,1234 принадлежит множествам иррациональных и действительных чисел.

Задача 2.

Сравните числа:

1. 0,(27) > 0,2727, т. к. 0,(27) = 0,272727…
2. -3,(5) < -3,(4), т. к. абсолютная величина первого числа меньше.
3. 8,273273 > 8,(27), т. к. 8,273 и 8,272, первая отличная цифра в третьем разряде больше.

Что такое рациональные и иррациональные числа

От абстрактности математических понятий порой настолько веет холодом и отстраненностью, что невольно возникает мысль: «Зачем это всё?». Но, несмотря на первое впечатление, все теоремы, арифметические операции, функции и т.п. – не более, чем желание удовлетворить насущные потребности. Особенно чётко это можно заметить на примере появления различных множеств.

Всё началось с появления натуральных чисел. И, хотя, вряд ли сейчас кто-то сможет ответить, как точно это было, но скорее всего, ноги у царицы наук растут откуда-то из пещеры. Здесь, анализируя количество шкур, камней и соплеменников, человек открыл множество «чисел для счёта». И этого ему было достаточно. До какого-то момента, конечно же.

Дальше потребовалось шкуры и камни делить и отнимать. Так возникла потребность в арифметических операциях, а вместе с ними и рациональных числах, которые можно определить как дробь типа m/n, где, например, m — количество шкур, n – количество соплеменников.

Казалось бы, уже открытого математического аппарата вполне достаточно, чтобы радоваться жизнью. Но вскоре оказалось, что бывают случаи, когда результат не то, что не целое число, но даже не дробь! И, действительно, квадратный корень из двух никак иначе не выразить с помощью числителя и знаменателя. Или, например, всем известное число Пи, открытое древнегреческим учёным Архимедом, так же не является рациональным. И таких открытий со временем стало настолько много, что все неподдающиеся «рационализации» числа объединили и назвали иррациональными.

Рассмотренные ранее множества принадлежат набору фундаментальных понятий математики. Это означает, что их не получится определить через более простые математические объекты. Но это можно сделать с помощью категорий (с греч. «высказывания») или постулатов. В данном случае лучше всего было обозначить свойства данных множеств.

o Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.

o Каждое трансцендентное число является иррациональным.

o Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

o Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.

o Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории Бэра.

o Это множество упорядоченное, т. е. для каждых двух различных рациональных чисел a иb можно указать, какое из них меньше другого.
o Между каждыми двумя различными рациональными числами существует еще по крайней мере одно рациональное число, а следовательно, и бесконечное множество рациональных чисел.

o Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) над любыми двумя рациональными числами всегда возможны и дают в результате определенное рациональное же число. Исключением является деление на нуль, которое невозможно.

o Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной периодической).

Иррациональное число — Википедия

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m}  — целое число, n {\displaystyle n}  — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Таким образом множество иррациональных чисел есть разность R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} .^[1]

Свойства

• Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.^{[источник не указан 163 дня]}

Алгебраические и трансцендентные числа

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество алгебраических чисел является счётным множеством. Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел несчётно.

Множество иррациональных чисел является множеством второй категории.^[2]

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.

Иррациональные числа и непрерывные дроби

Иррациональное число представляются бесконечной непрерывной дробью. Пример, число e:

e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , … , 1 , 2 n , 1 , … ] . {\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].}

Квадратичным иррациональностям соответствуют периодические непрерывные дроби.

ϕ = 1 + 5 2 = [ 1 ; 1 , 1 , 1 , 1 , … ] . {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].}

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m}  — целое число, а n {\displaystyle n}  — натуральное число.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}} .

В каноническое разложение левой части равенства число 2 {\displaystyle 2} входит в чётной степени, а в разложение 2 n 2 {\displaystyle 2n^{2}}  — в нечётной. Поэтому равенство m 2 = 2 n 2 {\displaystyle m^{2}=2n^{2}} невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}  — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: log 2 ⁡ 3 {\displaystyle \log _{2}3} рационален, то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n}  — целые числа. Поскольку log 2 ⁡ 3 > 0 {\displaystyle \log _{2}3>0} , m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} могут быть выбраны положительными. Тогда

log 2 ⁡ 3 = m n ⇒ m = n log 2 ⁡ 3 ⇒ 2 m = 2 n log 2 ⁡ 3 ⇒ 2 m = 3 n {\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2}3}\Rightarrow 2^{m}=3^{n}}

Но 2 m {\displaystyle 2^{m}} чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Античность

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (приблизительно 750—690 года до нашей эры) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены^{[источник не указан 1091 день]}.

Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (приблизительно 470 год до нашей эры). Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок^{[источник не указан 1091 день]}.

Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы.^[3] Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал^[4] иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному^[5] предположению Жана Итара^[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один^[6].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. Десятая книга «Начал» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от неё, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемыми) дедекиндовыми сечениями множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей. В 1761 году Ламберт с помощю цепных дробей показал, что π {\displaystyle \pi } не является рациональным числом, а также что e x {\displaystyle e^{x}} и tg ⁡ x {\displaystyle \operatorname {tg} x} иррациональны при любом ненулевом рациональном x {\displaystyle x} . Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя — Клиффорда, показал, что π 2 {\displaystyle \pi ^{2}} иррационально, откуда иррациональность π {\displaystyle \pi } следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).

Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π {\displaystyle \pi } . Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

Примечания

Литература

Счётные множества
Вещественные числа и их расширения
Инструменты расширения числовых систем
Иерархия чисел	− 1 , 1 , 1 2 , 0 , 12 , 2 3 , … {\displaystyle -1,\;1,\;{\frac {1}{2}},\;\;0{,}12,{\frac {2}{3}},\;\ldots } Рациональные числа − 1 , 1 , 0 , 12 , 1 2 , π , 2 , … {\displaystyle -1,\;1,\;\;0{,}12,{\frac {1}{2}},\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots } Вещественные числа − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … {\displaystyle -1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots } Комплексные числа 1 , i , j , k , 2 i + π j − 1 2 k , … {\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;2i+\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots } Кватернионы 1 , i , j , k , l , m , n , o , 2 − 5 l + π 3 m , … {\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2-5l+{\frac {\pi }{3}}m,\;\dots } Октонионы 1 , e 1 , e 2 , … , e 15 , 7 e 2 + 2 5 e 7 − 1 3 e 15 , … {\displaystyle 1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}-{\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots } Седенионы
Другие числовые системы
См. также

Иррациональное число — Википедия

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m}  — целое число, n {\displaystyle n}  — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Таким образом множество иррациональных чисел есть разность R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} .^[1]

Свойства

• Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.^{[источник не указан 163 дня]}

Алгебраические и трансцендентные числа

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество алгебраических чисел является счётным множеством. Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел несчётно.

Множество иррациональных чисел является множеством второй категории.^[2]

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.

Иррациональные числа и непрерывные дроби

Иррациональное число представляются бесконечной непрерывной дробью. Пример, число e:

e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , … , 1 , 2 n , 1 , … ] . {\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].}

Квадратичным иррациональностям соответствуют периодические непрерывные дроби.

ϕ = 1 + 5 2 = [ 1 ; 1 , 1 , 1 , 1 , … ] . {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].}

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m}  — целое число, а n {\displaystyle n}  — натуральное число.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}} .

В каноническое разложение левой части равенства число 2 {\displaystyle 2} входит в чётной степени, а в разложение 2 n 2 {\displaystyle 2n^{2}}  — в нечётной. Поэтому равенство m 2 = 2 n 2 {\displaystyle m^{2}=2n^{2}} невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}  — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: log 2 ⁡ 3 {\displaystyle \log _{2}3} рационален, то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n}  — целые числа. Поскольку log 2 ⁡ 3 > 0 {\displaystyle \log _{2}3>0} , m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} могут быть выбраны положительными. Тогда

log 2 ⁡ 3 = m n ⇒ m = n log 2 ⁡ 3 ⇒ 2 m = 2 n log 2 ⁡ 3 ⇒ 2 m = 3 n {\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2}3}\Rightarrow 2^{m}=3^{n}}

Но 2 m {\displaystyle 2^{m}} чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Античность

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (приблизительно 750—690 года до нашей эры) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены^{[источник не указан 1091 день]}.

Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (приблизительно 470 год до нашей эры). Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок^{[источник не указан 1091 день]}.

Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы.^[3] Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал^[4] иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному^[5] предположению Жана Итара^[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один^[6].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. Десятая книга «Начал» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от неё, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемыми) дедекиндовыми сечениями множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей. В 1761 году Ламберт с помощю цепных дробей показал, что π {\displaystyle \pi } не является рациональным числом, а также что e x {\displaystyle e^{x}} и tg ⁡ x {\displaystyle \operatorname {tg} x} иррациональны при любом ненулевом рациональном x {\displaystyle x} . Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя — Клиффорда, показал, что π 2 {\displaystyle \pi ^{2}} иррационально, откуда иррациональность π {\displaystyle \pi } следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).

Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π {\displaystyle \pi } . Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

Примечания

Литература

Счётные множества
Вещественные числа и их расширения
Инструменты расширения числовых систем
Иерархия чисел	− 1 , 1 , 1 2 , 0 , 12 , 2 3 , … {\displaystyle -1,\;1,\;{\frac {1}{2}},\;\;0{,}12,{\frac {2}{3}},\;\ldots } Рациональные числа − 1 , 1 , 0 , 12 , 1 2 , π , 2 , … {\displaystyle -1,\;1,\;\;0{,}12,{\frac {1}{2}},\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots } Вещественные числа − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … {\displaystyle -1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots } Комплексные числа 1 , i , j , k , 2 i + π j − 1 2 k , … {\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;2i+\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots } Кватернионы 1 , i , j , k , l , m , n , o , 2 − 5 l + π 3 m , … {\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2-5l+{\frac {\pi }{3}}m,\;\dots } Октонионы 1 , e 1 , e 2 , … , e 15 , 7 e 2 + 2 5 e 7 − 1 3 e 15 , … {\displaystyle 1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}-{\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots } Седенионы
Другие числовые системы
См. также

Иррациональное число — Википедия. Что такое Иррациональное число

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m}  — целое число, n {\displaystyle n}  — натуральное число. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Таким образом множество иррациональных чисел есть разность R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} .^[1]

Свойства

• Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
• Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.^{[источник не указан 163 дня]}

Алгебраические и трансцендентные числа

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Множество алгебраических чисел является счётным множеством. Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел несчётно.

Множество иррациональных чисел является множеством второй категории.^[2]

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.

Иррациональные числа и непрерывные дроби

Иррациональное число представляются бесконечной непрерывной дробью. Пример, число e:

e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , … , 1 , 2 n , 1 , … ] . {\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].}

Квадратичным иррациональностям соответствуют периодические непрерывные дроби.

ϕ = 1 + 5 2 = [ 1 ; 1 , 1 , 1 , 1 , … ] . {\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].}

Примеры

Иррациональными являются:

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален, то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m}  — целое число, а n {\displaystyle n}  — натуральное число.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}} .

В каноническое разложение левой части равенства число 2 {\displaystyle 2} входит в чётной степени, а в разложение 2 n 2 {\displaystyle 2n^{2}}  — в нечётной. Поэтому равенство m 2 = 2 n 2 {\displaystyle m^{2}=2n^{2}} невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}  — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: log 2 ⁡ 3 {\displaystyle \log _{2}3} рационален, то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n}  — целые числа. Поскольку log 2 ⁡ 3 > 0 {\displaystyle \log _{2}3>0} , m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} могут быть выбраны положительными. Тогда

log 2 ⁡ 3 = m n ⇒ m = n log 2 ⁡ 3 ⇒ 2 m = 2 n log 2 ⁡ 3 ⇒ 2 m = 3 n {\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2}3}\Rightarrow 2^{m}=3^{n}}

Но 2 m {\displaystyle 2^{m}} чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

История

Античность

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (приблизительно 750—690 года до нашей эры) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены^{[источник не указан 1091 день]}.

Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (приблизительно 470 год до нашей эры). Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок^{[источник не указан 1091 день]}.

Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы.^[3] Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал^[4] иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному^[5] предположению Жана Итара^[fr], оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один^[6].

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. Десятая книга «Начал» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:

результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от неё, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы Вейерштрасса, Гейне, Кантора и Дедекинда. Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемыми) дедекиндовыми сечениями множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби, тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа. Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей. В 1761 году Ламберт с помощю цепных дробей показал, что π {\displaystyle \pi } не является рациональным числом, а также что e x {\displaystyle e^{x}} и tg ⁡ x {\displaystyle \operatorname {tg} x} иррациональны при любом ненулевом рациональном x {\displaystyle x} . Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя — Клиффорда, показал, что π 2 {\displaystyle \pi ^{2}} иррационально, откуда иррациональность π {\displaystyle \pi } следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).

Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π {\displaystyle \pi } . Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом.

См. также

Примечания

Литература

Счётные множества
Вещественные числа и их расширения
Инструменты расширения числовых систем
Иерархия чисел	− 1 , 1 , 1 2 , 0 , 12 , 2 3 , … {\displaystyle -1,\;1,\;{\frac {1}{2}},\;\;0{,}12,{\frac {2}{3}},\;\ldots } Рациональные числа − 1 , 1 , 0 , 12 , 1 2 , π , 2 , … {\displaystyle -1,\;1,\;\;0{,}12,{\frac {1}{2}},\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots } Вещественные числа − 1 , 1 2 , 0 , 12 , π , 3 i + 2 , e i π / 3 , … {\displaystyle -1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots } Комплексные числа 1 , i , j , k , 2 i + π j − 1 2 k , … {\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;2i+\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots } Кватернионы 1 , i , j , k , l , m , n , o , 2 − 5 l + π 3 m , … {\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2-5l+{\frac {\pi }{3}}m,\;\dots } Октонионы 1 , e 1 , e 2 , … , e 15 , 7 e 2 + 2 5 e 7 − 1 3 e 15 , … {\displaystyle 1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}-{\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots } Седенионы
Другие числовые системы
См. также

Определить является ли число иррациональным онлайн

Как известно, рациональное число возможно выразить обыкновенной дробью. Это относится и к целым числам, и к конечным десятичным и к бесконечным периодическим десятичным дробям. Бесконечные непериодические десятичные дроби невозможно выразить обыкновенными дробями, это — иррациональные числа. Числа, которые не относятся к рациональным, т.е. ни целые, ни дробные вида m/n (m — целое число, n – натуральное), считаются иррациональными. Например, корень из 2 = 1,414213…; число пи = 3,14159…; пи в n-ой степени, при этом n — число целое, не равное 0, и прочие. Всякое иррациональное число возможно выразить бесконечной непериодической десятичной дробью, как и любая непериодическая дробь представляет иррациональное число. Правда, иррациональные числа больше встречаются в виде логарифмов, корней, степеней и т.д. Обозначают множество иррациональных чисел — I, которое равняется I = R/Q. В данном выражении R обозначает множество действительных чисел, Q представляет множество рациональных чисел. Над множеством иррациональных чисел можно осуществлять все главные арифметические действия, в то же время, у этого множества отсутствует свойство замкнутости, т.е. при сложении, умножении и т.д. двух иррациональных чисел в результате может выйти рациональное число. Вместе иррациональные и рациональные числа представляют действительные числа.

Иррациональными числами не могут быть:
натуральные, целые, смешанные числа; бесконечные и конечные периодические десятичные и обыкновенные дроби; произведение, сумма, разность, частное от деления (кроме 0) 2-х рациональных чисел.

Если в арифметических операциях участвует хоть одно иррациональное число, в итоге получится иррациональное число. К примеру, 1 + 3,14… = 4,14… Если же арифметические действия осуществляются лишь с иррациональными числами, в результате можем иметь как иррациональное число, так и рациональное. Например, если л корень из 2 умножить на корень из 2 (т. е. два иррациональных числа), в результате будет рациональное число 2. А вот при умножении двух иррациональных чисел: (корень из 2 умноженный на корень из 3) в результате имеем иррациональное число корень из 6. Следует запомнить, что при умножении иррационального числа на 0 в результате будем иметь рациональное число 0.

В числах, представленных в виде корней, степеней и т. д. зачастую сложно определить иррациональное число.

Онлайн калькулятор поможет быстро определить, является ли это значение иррациональным числом и вычислить его до требуемой точности.

Определить является ли число иррациональным

Рациональные и иррациональные числа, объясненные с примерами и без примеров

Рациональные числа

Может быть выражено как отношение двух целых чисел (т. Е. Дроби) со знаменателем, отличным от нуля. Многие люди удивляются, узнав, что повторяющееся десятичное число — это рациональное число. На диаграмме Венна ниже показаны примеры всех различных типов рациональных, иррациональных чисел, включая целые числа, целые числа, повторяющиеся десятичные дроби и многое другое.

Набор действительных чисел Диаграмма Венна

Примеры рациональных чисел

.

5	Вы можете выразить 5 как $$ \ frac {5} {1} $$, что является частным от целого числа 5 и 1
2	Вы можете выразить 2 как $$ \ frac {2} {1} $$, что является частным от целого числа 2 и 1
$$ \ sqrt {9} $$	рационально, потому что вы можете упростить квадратный корень до 3, который является частным целого числа 3 и 1
$$.\ overline {11} $$	Все повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными. Сложнее показать, почему я сделаю это в другом месте
$$ .9 $$	является рациональным, поскольку его можно выразить как $$ \ frac {9} {10} $$ (все завершающие десятичные дроби также являются рациональными числами).
$$ .73 $$	рационально, потому что может быть выражено как $$ \ frac {73} {100} $$
$$ 1.5 $$	является рациональным, поскольку его можно выразить как $$ \ frac {3} {2} $$

Ir рациональные числа

Не может быть выражено как частное двух целых чисел (т.е. дробь), знаменатель которого не равен нулю

Примеры иррациональных чисел

$$ \ sqrt {7} $$	В отличие от $$ \ sqrt {9} $$, вы не можете упростить $$ \ sqrt {7} $$.
$$ \ frac {5} {0} $$	Если дробь имеет нулевой доминатор, то она иррациональна
$$ \ sqrt {5} $$	В отличие от $$ \ sqrt {9} $$, вы не можете упростить $$ \ sqrt {5} $$.
$$ \ pi $$	$$ \ pi $$ — наверное, самое известное иррациональное число!

Дополнительные примеры Ir рациональных чисел

.

$$ \ frac {\ sqrt {2}} {3} $$	Хотя это число может быть выражено дробью, нам нужно больше, чтобы число было рациональным. Числитель и знаменатель дроби должны быть целыми числами, а $$ \ sqrt {2} $$ нельзя выразить целым числом.
$$. 2020020002 … $$	Это непрерывное десятичное число не повторяется. Итак, как и $$ \ pi $$, он постоянно меняется и не может быть представлен как частное двух целых чисел

Практика Задачи

Проблема 1

Число $$ -12 $$ рационально или иррационально?

Покажи ответ

Рационально, потому что его можно записать как $$ — \ frac {12} {1} $$, частное двух целых чисел.

Задача 2

Число $$ \ sqrt {25} $$ рационально или иррационально?

Покажи ответ

Rational, потому что вы можете упростить $$ \ sqrt {25} $$ до целого числа $$ 5 $$, которое, конечно, можно записать как $$ \ frac {5} {1} $$, частное от двух целых чисел.

Задача 3

Число $$ 0,000

9 … $$ рационально или иррационально?

Покажи ответ

Это иррационально, многоточием обозначается $$ \ color {red} {…} $$ в конце числа $$ \ boxed {0.000

9 \ color {red} {…}} $$ означает, что

.

Иррациональные числа

Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть записано в виде простой дроби.

Нерациональные средства Нерациональные

Давайте посмотрим, что делает число рациональным или иррациональным …

Рациональные числа

A Rational Число может быть записано как Соотношение двух целых чисел (то есть простая дробь).

Пример: 1,5 рационально, потому что его можно записать как отношение 3/2

Пример: 7 является рациональным, потому что его можно записать как соотношение 7/1

Пример 0,333 … (3 повторения) тоже рациональный, потому что его можно записать как отношение 1/3

Иррациональные числа

Но некоторые числа нельзя записать как отношение двух целых чисел…

… их называют Иррациональные числа .

Пример: π (Пи) — известное иррациональное число.

π = 3,1415926535897932384626433832795 … (и более)

Мы не можем записать простой дробью, равной Пи.

Популярное приближение ²² / ₇ = 3,1428571428571 … близко, но неточно .

Еще одна подсказка заключается в том, что десятичная дробь продолжается бесконечно без повторения.

Не может быть записано в виде дроби

Это иррационально , потому что не может быть записано как отношение (или дробь),
не потому, что это безумие!

Итак, мы можем определить, является ли это рациональным или иррациональным, попытавшись записать число в виде простой дроби.

Пример: 9,5 можно записать в виде простой дроби, например:

9.5 = 19 2

Значит, это рациональное число (и не иррациональное )

Вот еще несколько примеров:

Число		В виде фракции		рационально или иррационально?
1,75		7 4		Rational
.001		1 1000		Rational
√2 (корень квадратный из 2)		?		Нерационально!

Квадратный корень из 2

Давайте более внимательно посмотрим на квадратный корень из 2.

Когда мы рисуем квадрат размером «1», какое расстояние по диагонали?

Ответ — квадратный корень 2 , что составляет 1.4142135623730950 … (и т. Д.)

Но это не число вроде 3, или пяти третей, или чего-то подобного …

… на самом деле мы не можем записать квадратный корень из 2, используя соотношение двух чисел

… Я объясняю , почему на Is It Irrational? стр.,

… и мы знаем, что это иррациональное число

Известные иррациональные числа

		Пи — известное иррациональное число.Люди вычислили Пи с точностью до квадриллиона десятичных знаков, но до сих пор нет никакой закономерности. Первые несколько цифр выглядят так: 3,1415926535897932384626433832795 (и другие …)
		Число e (число Эйлера) — еще одно известное иррациональное число. Люди также вычислили e с множеством десятичных знаков без какого-либо отображения образца.Первые несколько цифр выглядят так: 2.7182818284590452353602874713527 (и более …)
		Золотое сечение — иррациональное число. Первые несколько цифр выглядят так: 1.61803398874989484820 … (и многое другое …)
		Многие квадратные корни, кубические корни и т. Д. Также являются иррациональными числами.Примеры: √3 1.7320508075688772935274463415059 (и т. Д.) √99 9.9498743710661995473447982100121 и т. Д.

Но √4 = 2 (рациональное) и √9 = 3 (рациональное) …

… значит, не все корни иррациональны.

Замечание об умножении иррациональных чисел

Взгляните на это:

• π × π = π ² иррационально
• Но √2 × √2 = 2 является рациональным

Так что будьте осторожны … умножение иррациональных чисел может дать рациональное число!

Интересные факты ….

По-видимому, Гиппас (один из учеников Пифагора ) обнаружил иррациональные числа, пытаясь записать квадратный корень из 2 в виде дроби (предполагается, что с использованием геометрии).Вместо этого он доказал, что квадратный корень из 2 не может быть записан как дробь , поэтому это иррациональное .

Но последователи Пифагора не могли согласиться с существованием иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас был утоплен в море в наказание от богов!

,

Рациональные числа

Рациональное число можно получить путем деления двух целых чисел.
(Целое число — это число без дробной части.)

Пример:

1,5 — рациональное число , потому что 1,5 = 3/2 (3 и 2 — целые числа)

Большинство чисел, которые мы используем в повседневной жизни, — это рациональные числа.

Вот еще несколько примеров:

Номер	В виде фракции	Рационально?
5	1/5	Есть
1.75	7/4	Есть
.001	1/1000	Есть
-0,1	-1/10	Есть
0,111 …	1/9	Есть
√2 (корень квадратный из 2)	?	НЕТ!

Ой! Квадратный корень из 2 нельзя записать простой дробью! И таких чисел намного больше, и поскольку они не рациональны, их называют иррациональными.

Еще одно известное иррациональное число — это Пи (π):

.

Формальное определение рационального числа

Более формально мы говорим:

Рациональное число — это число, которое может иметь вид p / q
, где p и q — целые числа, а q не равно нулю.

Итак, рациональное число может быть:

Где q не равно нулю

Примеры:

п.	q	шт / кварт	=
1	1	1/1	1
1	2	1/2	0.5
55	100	55/100	0,55
1	1000	1/1000	0,001
253	10	253/10	25.3
7	0	7/0	Нет! «q» не может быть нулем!

Просто помните: q не может быть нулем

Использование рациональных чисел

Интересные факты ….

Древнегреческий математик Пифагор считал, что все числа рациональны, но один из его учеников Гиппас доказал (считается, используя геометрию), что можно записать квадратный корень из 2 как , а не . дробь, и так было иррационально .

Но последователи Пифагора не могли согласиться с существованием иррациональных чисел, и говорят, что Гиппас был утонул в море в наказание богов!

,

Это иррационально?

Здесь мы посмотрим, является ли квадратный корень иррациональным … или нет!

Рациональные числа

«Рациональное» число можно записать как «Отношение» или дробь.

Пример: 1,5 рационально, потому что его можно записать как соотношение 3/2

Пример: 7 рационально, потому что его можно записать как соотношение 7/1

Пример 0,317 является рациональным, так как его можно записать как соотношение 317/1000

Но некоторые числа нельзя записать как соотношение !

Их называют иррациональными (что означает «нерациональные» вместо «сумасшедшие!»)

Квадратный корень из 2

Квадратный корень из 2 равен иррациональному .Откуда мне знать? Позвольте мне объяснить …

В квадрате рационального числа

Во-первых, давайте посмотрим, что происходит, когда мы возводим в квадрат рационального числа:

Если рациональное число — a / b, то в квадрате получается ² / b ² .

Обратите внимание, что показатель степени равен 2 , что является четным числом .

Но чтобы сделать это правильно, мы действительно должны разбить числа на их простые множители (любое целое число больше 1 является простым или может быть получено путем умножения простых чисел):

Пример:

( 3 4 ) ² = ( 3 2 × 2 ) ² = 3 ² 2 ⁴

Обратите внимание, что показатели степени по-прежнему являются четными числами.У 3 показатель степени 2 (3 ² ), а у 2 показатель степени 4 (2 ⁴ ).

В некоторых случаях нам может потребоваться упростить дробь:

Пример: ( 16 90 ) ²

Сначала: 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 ⁴ и 90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3 ² × 5

( 16 90 ) ² = ( 2 ⁴ 2 × 3 ² × 5 ) ²

= ( 2 ³ 3 ² × 5 ) ²

= 2 ⁶ 3 ⁴ × 5 ²

Но одно становится очевидным: каждая экспонента — это четное число !

Итак, мы видим, что когда мы возводим в квадрат рациональное число, результат складывается из простых чисел, все показатели которых равны , даже чисел.

Когда мы возводим в квадрат рациональное число, каждый простой множитель имеет четную степень .

Вернуться к 2

Теперь давайте посмотрим на число 2: могло ли это произойти, возведя в квадрат рациональное число?

В качестве дроби 2 дает 2/1

Что составляет 2 ¹ /1 ¹ , и что имеет нечетных показателей !

Можно ли избавиться от нечетных показателей?

Мы могли бы записать 1 как 1 ² (чтобы он имел четный показатель степени), и тогда мы имеем:

2 = 2 ¹ /1 ²

Но все еще есть нечетная экспонента (на 2).

Мы можем упростить все до 2 ¹ , но все равно нечетный показатель степени.

Мы могли бы даже попробовать такие вещи, как 2 = 4/2 = 2 ² /2 ¹ , но мы все равно не можем избавиться от нечетной степени

О нет, всегда есть нечетная экспонента .

Значит, , а не , могло быть получено возведением в квадрат рационального числа!

Это означает, что значение, возведенное в квадрат для получения 2 (т.е. — квадратный корень из 2 ), не может быть рациональным числом.

Другими словами, квадратный корень из 2 равен иррациональному .

Попробуйте еще несколько чисел

Как насчет 3?

3 составляет 3/1 = 3 ¹

Но у 3 есть показатель степени 1, так что 3 также нельзя было получить возведением в квадрат рационального числа.

Квадратный корень из 3 равен иррационально

Как насчет 4?

4 равно 4/1 = 2 ²

Да! Показатель степени — четное число! Итак, 4 можно получить, возведя в квадрат рациональное число.

Квадратный корень из 4 дает рациональный

Эту идею можно распространить на кубические корни и т. Д.

Заключение

Чтобы определить, является ли квадратный корень из числа иррациональным, проверьте, все ли его простые множители имеют четных показателей .

Он также показывает нам, что должно быть иррациональных чисел (например, квадратный корень из двух) … на случай, если мы когда-либо в этом сомневались!

,

No related posts.