Иррациональное число что это: Иррациональные числа — урок. Алгебра, 8 класс.

Иррациональные числа – примеры, обозначение (8 класс, математика)

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 612.

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 612.

Иррациональные числа не поддаются привычным математическим действиям. Чтобы правильно работать с этим подмножеством чисел в 6 классе требуется знание нескольких правил и законов. Именно об этих правилах и законах и пойдет речь сегодня.

Иррациональные числа

Все действительные числа делятся на рациональные и иррациональные.
К рациональным относятся:

• Натуральные числа, от 1 и до бесконечности. Дробные числа сюда не входят.
• Дробные числа с любым знаком.
• Целые числа: положительные, отрицательные целые числа и ноль.

К иррациональным числа относятся любые значения со знаком радикала. Подмножество иррациональных чисел имеет обозначение J.

Знак радикала

Что такое знак радикала? Это знак корня. Корень может быть любой степени, важен сам факт наличия радикала. Отдельно отметим, что корень, который можно вычислить нельзя считать иррациональным числом. Отличительным признаком иррационального числа является невозможность точного подсчета его значения.

Это значит, что если вбить значение корня в калькулятор, то получившееся значение будет бесконечно. Ярким примером иррационального числа будет $\sqrt{2}$

В точных математических расчетах иррациональное число считается вычисленным, если можно точно узнать любое количество знаков после запятой. Количество вычисленных иррациональных чисел на сегодняшний момент минимально. Число пи так же является иррациональным и не вычисленным до конца.

В школьных примерах можно оставлять действия с корнем на самый конец вычислений, а потом считать на калькуляторе приближенное значение. Округление до 0,01 считается приемлемы для учебных вычислений. Можно и вовсе просто оставить пример с не вычисленными корнями, особенно это касается задач на упрощение примеров.

3}}={\sqrt{8}}$$

• Из под корня можно выносит множители, выполняя действие корня

$${\sqrt{8}}={2*\sqrt{2}}$$

• Можно перемножать корни между собой

$${\sqrt{2}}*{\sqrt{2}}={\sqrt{2*2}}={\sqrt{4}}=2$$

При решении уравнений можно возводить обе части выражения в степень. Но в четные степени можно возводить только при условии разделения решения. С одной стороны нужно решить пример с условием, что подстепенное выражение будет отрицательным, с другой – не отрицательным.

Для иррациональных уравнений это не критично, поскольку значение корня всегда неотрицательно. Но это важно учитывать при решении квадратных, степенных и прочих неравенств и уравнений.

Что мы узнали?

Мы поговорили об иррациональных числах. Выяснили, чем они отличаются от рациональных. Поговорили о том, какое иррациональное число может считаться полностью посчитанным. Обговорили отдельно, как записываются иррациональные ответы в выражениях школьного курса.

Привели основные возможные действия с корнями.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Ирина Старновская

  5/5

• Сергей Косов

  5/5

• Надежда Французова

  5/5

Оценка статьи

4.4

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 612.

---

А какая ваша оценка?

О взаимосвязи простых и иррациональных чисел / Хабр

После некоторых моих исследований простых чисел, я обнаружил интересную связь с иррациональными числами. Эта связь дает ответ на вопрос, почему простые числа расположены столь «хаотично» и почему они так сложно устроены. Под катом объяснение этой связи и вариант улучшенного алгоритма RSA.

Введение

Рассмотрим множество . Теперь попробуем его упорядочить. То есть найти способ найти следующую пару чисел n и m, зная предыдущую. Очевидно, что: 2 + 2 + 2 = 3 + 3 и 2 + 2 > 3, 2 < 3. Таким образом, пары чисел распределены следующим образом:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (2,1), (4,0), (3,1), (5,0)…

Заметим, что четко прослеживается порядок и, соответственно, способ получения следующей пары чисел. Здесь нет никаких проблем и задача тривиальна.
Теперь рассмотрим множество . К сожалению или к счастью, но это множество не получится упорядочить в том смысле, как предыдущее:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (0,2), (2,1), (4,0), (3,1), (0,3)…

Если вы решили, что нашли точный порядок, то достройте эти пары дальше и увидите, что он нарушается. «Хаос» этих пар чисел напрямую связан с иррациональностью числа , доказанная Иоганном Ламбертом в 1761 году. Действительно, чтобы выстроить пары в ряд, мы вначале пытаемся уложить отрезок длиной 2 в отрезок длиной . Полученный остаток мы пытаемся уложить в отрезок длиной 2. Он вместится только один раз. Это означает, что наш остаток «сыграет» свою роль уже на отрезке длиной , где вместится уже не два отрезка длинной 2, а три.

Проделывая такую операцию и далее, становится понятно, что как только у нас складывается впечатление, что мы нашли порядок, он сломается через какое-то число шагов. Так как последний, еще не используемый, остаток рано или поздно «сыграет» свою роль и порядок поменяется. Стало быть, вопрос о нахождении «хорошего» алгоритма для этой задачи остается открытым.

Немного определений

Пусть , где — изоморфизм такой, что:

И, соответственно, для — обратной к :
.
Теперь определим интересующее нас множество:


И пусть . Тогда:

И — образ множества для отображения .
И, наконец, — множество простых чисел для операции .
Теперь легко пояснить эти определения на привычном нам примере. Для операции умножения, . А множество — это . Тут стоит остановиться и объяснить, почему это важно.

Сама связь

На самом деле, мы, используя изоморфизм, получили, что сложность всех задач про простые числа эквивалента задачам про суммы логарифмов, которые являются иррациональными. То есть, как мы убедились на примере с множеством из чисел и 2, именно иррациональность вносит хаос. Так же и тут, иррациональность логарифмов распределяет простые числа на числовой прямой практически хаотичным способом. Возникает сложность в упорядочивании пар n и m во множестве, например, . Другими словами, простота какого-нибудь числа напрямую зависит от, например, какого-то знака после запятой в числе . Но мы определили простые числа не только для умножения, а вообще для произвольной бинарной операции. Я это сделал для того, чтобы показать, что наши простые числа ничем не уникальны.

RSA

Для бинарной операции x + xy + y:
.
Хаотичность данного множества характеризуется иррациональными значениями изоморфизма на натуральных числах. К тому же, изоморфизм, по-видимому, не выражается через элементарные функции. Здесь мы по операции построили другие простые числа, распределение которых очевидным образом не зависит от распределения обычных простых чисел. Это дает нам возможность построения RSA на произвольной бинарной операции такой, чтобы изоморфизм был иррационален. Ведь функция логарифма слишком «хорошая» для криптоаналитиков. А здесь она ведет себя абсолютно непредсказуемым образом. Можно же и наоборот, построить изоморфизм, по которому будет определена коммутативная бинарная операция.

Взяв за основу произвольные простые числа, мы меняем задачу разложения составного числа на множители на задачу разложения практически произвольного иррационального числа на сумму двух других из заданного множества. Что-то мне подсказывает, что это задача должна относиться к классу NP.

В заключение

Человечество еще не решило много задач про простые числа, как математика подкидывает еще бесконечное число подобных задач. Естественно будет задаться вопросом, что с этим делать? Мое предложение заключается в том, чтобы рассматривать все теоремы из Теории чисел не для сложения и умножения, а для сложения и произвольной коммутативной бинарной операции, замкнутой на натуральных числах. Тогда каждое утверждение про простые числа, было бы лишь следствием определенных свойств операции. Например, бесконечность простых чисел была бы следствием монотонности операции и достаточно быстрым ее ростом. Но это уже тема для отдельной статьи. Спасибо за внимание.

Справка по алгебре

Студенты, нуждающиеся в помощи по алгебре, получат большую пользу от нашей интерактивной программы. Мы разбираем все ключевые элементы, чтобы вы могли получить адекватную помощь по предварительной алгебре. Имея под рукой обязательные концепции обучения и соответствующие практические вопросы, вы мгновенно получите много помощи по предварительной алгебре. Получите помощь сегодня с нашей обширной коллекцией необходимой информации Pre-Algebra.

Если алгебра — это дом мечты, который вы надеетесь когда-нибудь построить, то предварительная алгебра — это фундамент дома. После завершения строительства дома его не будет видно снаружи, и большинство людей не упоминают об этом в разговоре. Тем не менее, он обеспечивает структурную поддержку дома; без него дом рухнул бы на землю. Предварительную алгебру обычно преподают ученикам седьмого класса в Соединенных Штатах, и это тот этап, когда учащиеся переходят от базовой арифметики к таким понятиям, как целые числа, отрицательные числа, десятичные числа, дроби и абсолютное значение. Эти новые понятия заложили математический фундамент не только алгебры, но и всей высшей математики. Нужны ли вам репетиторство по алгебре в Буффало, репетиторство по алгебре в Кливленде или репетиторство по алгебре в Хьюстоне, работа один на один с экспертом может быть именно тем, что вам нужно для учебы.

Справочник по предварительному изучению алгебры, доступный с помощью средств обучения Varsity Tutors Learn by Concept, поможет вам создать эту основу. Всеобъемлющий материал размещен на веб-сайте в виде интерактивной программы с несколькими основными категориями и рядом более мелких тем. Нажав на эти темы, вы получите ряд примеров вопросов, которые проверят вас по рассматриваемой теме. Каждый пример вопроса включает в себя набор ответов с несколькими вариантами ответов. Просмотрев возможные ответы, вы можете поработать над проблемой, а затем выбрать правильный ответ, когда закончите. Затем вы сверяете свой ответ с правильным. Varsity Tutors предлагает такие ресурсы, как бесплатные пробные тесты по алгебре , которые помогут вам в самостоятельном обучении, или вы можете подумать о преподавателе по алгебре .

Что еще более важно, Learn by Concept не останавливается на достигнутом. Его наиболее полезной особенностью являются пошаговые объяснения, прилагаемые к каждому примерному вопросу, которые показывают, как прийти к правильному ответу. Независимо от того, определяете ли вы объем конуса или учитесь рисовать линии, вы можете увидеть, как прийти к правильному ответу на многошаговые задачи. Независимо от того, дали ли вы ответ правильно или нет, вы можете проверить свою работу — либо подтвердить, что вы выполнили работу правильно, либо найти, где вы сбились с пути и как вернуться на правильный курс. В дополнение к справочному разделу по предварительной алгебре и урокам по алгебре вы также можете рассмотреть некоторые из наших карточек по предварительной алгебре.

Вы можете использовать инструмент «Обучение по концепции» в качестве учебного пособия, чтобы подготовиться к предстоящему тесту, получить преимущество или просмотреть тему, по которой вам нужна помощь. Инструмент проведет вас через основные доалгебраические категории алгебраических уравнений, геометрии, построения графиков, теории чисел, операций и свойств и многочленов, а также углубится в конкретные темы, которые вам нужно будет охватить в каждой категории. Тысячи типовых вопросов означают, что учебный материал Pre-Algebra доступен для каждой возможной темы, которая может возникнуть.

Инструмент «Обучение по концепции» предназначен для использования вместе с другими доступными бесплатными инструментами обучения университетских преподавателей. Хорошим местом для начала является один из бесплатных полных практических тестов, которые охватывают различные темы предварительной алгебры, чтобы определить, в каких областях вам может понадобиться помощь. Существуют также сотни более коротких практических тестов предварительной алгебры, которые позволяют вам чтобы сосредоточиться на конкретных темах. После того, как вы ответили на примеры вопросов «Учитесь по концепции» в своих основных областях, вы можете получить дополнительную помощь в учебе с помощью карточек «Инструменты обучения» от преподавателей университетов. Вы можете настроить карточки для своих конкретных потребностей или следовать тем же категориям, что и в вопросах «Узнай по концепции». Во время занятий по предварительной алгебре вы можете использовать инструмент «Вопрос дня», чтобы ежедневно получать вопрос по случайной теме, что поможет вам понять ваше общее понимание предмета. Использование инструментов обучения Varsity Tutors может помочь вам сосредоточиться, пока вы закладываете основы высшей математики с Pre-Algebra.

• Предварительная алгебра

• Алгебраические уравнения

• Одношаговые уравнения

• Одношаговые уравнения с десятичными знаками

• Одношаговые уравнения с дробями

• Одношаговые уравнения с целыми числами

• Двухшаговые уравнения

• Двухшаговые уравнения с десятичными знаками

• Двухшаговые уравнения с дробями

• Двухшаговые уравнения с целыми числами

• Проблемы со словами

• Word Проблемы с одним неизвестным

• Задачи на слова с двумя неизвестными

• Геометрия

• Район

• Площадь круга

• Площадь параллелограмма

• Площадь прямоугольника или квадрата

• Площадь треугольника

• Периметр

• Длина окружности

• Периметр прямоугольника или квадрата

• Периметр треугольника

• Том

• Объем конуса

• Объем цилиндра

• Объем пирамиды

• Объем прямоугольного твердого тела

• Объем сферы

• Графики

• Анализ графиков и рисунков

• Графические линии

• Графические точки

• Теория чисел

• Целые числа и типы чисел

• Иррациональные числа

• Номер строки

• Реальные числа

• Операции и свойства

• Идентичности и свойства

• Свойство аддитивной идентификации

• Аддитивное обратное свойство

• Ассоциативное свойство дополнения

• Ассоциативное свойство умножения

• Коммутативное свойство сложения

• Коммутативное свойство умножения

• Распределительная собственность

• Свойство мультипликативной идентичности

• Мультипликативное обратное свойство

• Другие предалгебраические свойства

• Операции

• Абсолютное значение

• Сложение и вычитание

• Умножение и деление

• Отрицательные числа

• Порядок действий

• Полиномы

• Сложение и вычитание многочленов

• Умножение и деление многочленов

• Силовое правило экспонентов

• Продукт Правило экспонентов

• Решение многочленов

Иррациональные числа | Brilliant Math & Science Wiki

Эндрю Эллинор, Мэй Ли, Виктор Паес Плинио, и

способствовал

Содержимое

• История
• Примеры иррациональных чисел
• Свойства иррациональных чисел
• Иррациональность \(\ sqrt{2}\)
• Смотрите также 9{2}\), чтобы найти длину диагонали единичного квадрата. Это показало, что стороны квадрата несоизмеримы с его диагональю, и что эта длина не может быть выражена как отношение двух целых чисел. Другие пифагорейцы догматически считали, что могут существовать только положительные рациональные числа. Они были настолько напуганы идеей несоизмеримости, что выбросили Гиппаса за борт во время морского путешествия и поклялись хранить существование иррациональных чисел в официальной тайне своей секты. Однако есть веские основания полагать, что кончина Гиппаса — всего лишь апокрифический миф. Исторические документы, касающиеся этого инцидента, немногочисленны и написаны через 800 лет после времен Пифагора и Гиппаса. Лишь примерно через 300 лет после Гиппасса Евклид представил свое доказательство иррациональности \(\sqrt{2}.\)

  Вероятно, пифагорейцы вручную измерили диагональ единичного квадрата. Однако они расценили бы такое измерение как приближение, близкое к точному рациональному числу, которое дает истинную длину диагонали. До Гиппасса у пифагорейцев не было оснований подозревать, что существуют действительные числа, которые в принципе, а не только на практике, нельзя было измерить или сосчитать. Числа были для пифагорейцев духовной основой их философии и религии. Космология, физика, этика и духовность основывались на предпосылке, что «все есть число». Они верили, что все вещи — количество звезд на небе, высота музыкальных гамм и качества добродетели — все можно описать и постичь с помощью рациональных чисел.

  Иррациональные числа возникают в математике во многих случаях. Примеры включают следующее:

  1. Гипотенуза прямоугольного треугольника с основаниями длины 1 имеет длину \( \sqrt{2}\), что иррационально.
  2. В более общем смысле \( \sqrt{D}\) иррационально для любого целого числа \( D\), которое не является полным квадратом. Для демонстрации мы докажем, что \(\sqrt 2\) является иррациональным числом в более позднем разделе Иррациональность \(\sqrt 2\).
  3. Отношение \(\pi\) длины окружности к ее диаметру иррационально.
  4. Основание \(e\) натурального логарифма иррационально.

  Посмотрите следующий пример для лучшего понимания:

  \( \frac{ 7 \sqrt{2+4} }{\sqrt{2} } \) рационально или иррационально?

  ---

  У нас есть

  \[ \frac{ 7 \sqrt{2+4}} }{\sqrt{2} } = \frac{ 7 \sqrt{6} }{\sqrt{2} } = 7 \sqrt{3}. \]

  По свойству 2 выше, \(\sqrt{3}\) является иррациональным числом, поскольку 3 не является полным квадратом. Следовательно, \( 7 \sqrt{3} \) — иррациональное число. \(_\квадрат\)

  Попробуйте решить следующую задачу:

  Это рациональное число. Это иррациональное число.

  Что вы можете сказать о \(\sqrt{2+7}\times \sqrt 7?\)

  1. Взятие суммы иррационального числа и рационального числа дает иррациональное число. Чтобы понять, почему это так, предположим, что \(x\) иррационально, \(y\) рационально, а сумма \(x+y\) является рациональным числом \(z\). Тогда мы имеем \(x = z-y\), а поскольку разность двух рациональных чисел рациональна, отсюда следует, что \(x\) рационально. Противоречие, так как \(х\) иррационально. Следовательно, сумма \(x+y\) должна быть иррациональной.
  2. Умножение иррационального числа на любое ненулевое рациональное число дает иррациональное число. Мы рассуждаем, как и выше, чтобы показать, что если \(xy = z\) рационально, то \({x = \frac{z}{y}}\) рационально, что противоречит предположению, что \(x\) иррационально. Следовательно, произведение \(xy\) должно быть иррациональным.
  3. Наименьшее общее кратное (НОК) двух иррациональных чисел может существовать, а может и не существовать.
  4. Сумма или произведение двух иррациональных чисел может быть рациональным; например,

  \[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2.\]

  Следовательно, в отличие от множества рациональных чисел, множество иррациональных чисел не замкнуто относительно умножения.

  Вот несколько примеров, основанных на вышеуказанных свойствах:

  Является ли \( \sqrt{36} \) рациональным или иррациональным?

  ---

  Поскольку \( \sqrt{36} =6, \), это рациональное число. \(_\квадрат\)

  Покажите, что \( \sqrt{2} + \sqrt{3}\) нерационально.

  ---

  Докажем от противного. Если \( \sqrt{2}+\sqrt{3}\) рационально, то \( (3-2) \times \frac {1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt {3}-\sqrt{2}\), что означает, что \( \sqrt{3} — \sqrt{2}\) также рационально. Поскольку \( \big(\sqrt{3} + \sqrt{2}\big) — \big(\sqrt{3}-\sqrt{2}\big) = 2 \sqrt{2}\), мы получаем \( 2 \sqrt{2}\) рационально. Таким образом, \( 2 \sqrt{2} \times \frac {1}{2} = \sqrt{2}\) также рационально, что является противоречием. \(_\квадрат\) 9{\ frac {1} {m}} = a \) — целое число. \( _\квадрат\)

  Вот несколько задач, которые стоит попробовать:

  Верно Ложь

  Верно или неверно?

  Сумма двух иррациональных чисел всегда является иррациональным числом.

  1 1,5 2 2,5 3 Человек пока не может ответить. Ни один из них не соответствует действительности.

  Прочтите следующие утверждения:

  1) \(\frac { e }{ \pi } \) является рациональным числом.
  2) \(\frac { \pi }{ e } \) — иррациональное число.
  3) \(\frac { \pi+e }{ e } \) является рациональным числом.

  Дайте ответ как среднее значение порядковых номеров утверждений, которые верны.
  \(\big(\)Например, если все утверждения верны, ответ будет \(\frac { 1+2+3 }{ 3 } =2.\big)\)

  \(\)
  Детали и предположения:

  • \(e\) не обязательно может быть экспоненциальной константой и \(\pi \) не обязательно может быть равно 3,14159…

  0 1 \[е+\пи\] \[е\пи\] \[\frac { 22e }{ 7 } \] Трансцендентное число, которое нельзя показать с помощью стандартных математических констант и функций. Не существует.

  \[\Large \color{blue}{e},~~ \color{green}{\pi}\]

  Найдите наименьшее общее кратное (НОК) двух приведенных выше чисел.

  \(\)
  Детали и предположения :

  • Если вы считаете, что существование этого LCM неизвестно людям, укажите «Не существует» в качестве ответа.
  • Если вы считаете, что он очень близок к нулю, но не равен нулю, то вы можете нажать «0».
  • Если вы считаете, что очень близко к единице, но не к единице, то можете нажать «1».

  \[-6\пи\] \[-\Пи\] \[\Пи\] \[6\пи\] Не существует. Ничего из вышеперечисленного

  \[\large \color{orange}{-6\pi} \color{black},~~ \color{green}{\pi}\]

  Найдите наименьшее общее кратное (НОК) из двух чисел выше.

  Чтобы уточнить, НОК двух иррациональных чисел существует тогда и только тогда, когда их отношение рационально.

  ---

  Вдохновение

  Ниже вы можете увидеть доказательство иррациональности \(\sqrt{2}.

  No related posts.