Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮГЛАВА XIII.  (n) = f(x)§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости § 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка § 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства § 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка § 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами § 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков § 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний § 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний § 28. Вынужденные колебания § 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений § 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 31.  Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки§ 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса § 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Упражнения к главе XIII ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 2. Вычисление двойного интеграла § 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение) § 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов § 5. Двойной интеграл в полярных координатах § 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай) § 9. Момент инерции площади плоской фигуры § 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры § 11. Тройной интеграл § 12. Вычисление тройного интеграла § 13. Замена переменных в тройном интеграле § 14.  Момент инерции и координаты центра масс тела§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра Упражнения к главе XIV ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ § 2. Вычисление криволинейного интеграла § 3. Формула Грина § 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования § 5. Поверхностный интеграл § 6. Вычисление поверхностного интеграла § 7. Формула Стокса § 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения Упражнения к главе XV ГЛАВА XVI. РЯДЫ § 1. Ряд. Сумма ряда § 2. Необходимый признак сходимости ряда § 3. Сравнение рядов с положительными членами § 4. Признак Даламбера § 5. Признак Коши § 6. Интегральный признак сходимости ряда § 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница § 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость § 9. Функциональные ряды § 10. Мажорируемые ряды § 11. Непрерывность суммы ряда § 12. Интегрирование и дифференцирование рядов § 13.  Степенные ряды. Интервал сходимости§ 14. Дифференцирование степенных рядов § 15. Ряды по степеням x-a § 16. Ряды Тейлора и Маклорена § 17. Примеры разложения функций в ряды § 18. Формула Эйлера § 19. Биномиальный ряд § 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов § 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов § 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов § 24. Ряды с комплексными членами § 25. Степенные ряды с комплексной переменной § 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций) § 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении § 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения Упражнения к главе XVI ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ § 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье § 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье § 4.  Ряды Фурье для четных и нечетных функций§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l § 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье § 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена § 8. Интеграл Дирихле § 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке § 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье § 11. Практический гармонический анализ § 12. Ряд Фурье в комплексной форме § 13. Интеграл Фурье § 14. Интеграл Фурье в комплексной форме § 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций § 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов Упражнения к главе XVII ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Основные типы уравнений математической физики § 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах § 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье) § 4.  Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи§ 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей § 7. Распространение тепла в неограниченном стержне § 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач § 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях § 10. Решение задачи Дирихле для круга § 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Упражнения к главе XVIII ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ § 1. Начальная функция и ее изображение § 2. Изображение функций … § 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at § 4. Свойство линейности изображения § 5. Теорема смещения § 6. Изображение функций … § 7.  Дифференцирование изображения§ 8. Изображение производных § 9. Таблица некоторых изображений § 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения § 11. Теорема разложения § 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом § 13. Теорема свертывания § 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей § 15. Решение дифференциального уравнения колебаний § 16. Исследование свободных колебаний § 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы § 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса § 19. Теорема запаздывания § 20. Дельта-функция и ее изображение Упражнения к главе XIX ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ § 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей  Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей§ 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события § 4. Умножение вероятностей независимых событий § 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность § 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса § 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины § 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях § 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины § 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах § 11. Функции от случайных величин § 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал § 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей § 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины § 15.  Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения§ 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения § 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона § 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка § 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа § 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок § 21. Среднеарифметическая ошибка § 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок § 24. Нормальный закон распределения на плоскости § 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения § 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания § 27.  Задачи математической статистики. Статистический материал§ 28. Статистический ряд. Гистограмма § 29. Определение подходящего значения измеряемой величины § 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа Упражнения к главе XX ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные преобразования. Матрица § 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы § 3. Обратное преобразование § 4. Действия над матрицами. Сложение матриц § 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы § 6. Обратная матрица § 7. Нахождение матрицы, обратной данной § 8. Матричная запись системы линейных уравнений § 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом § 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы § 11. Собственный вектор линейного преобразования § 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами § 13.  Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому§ 14. Квадратичные формы и их преобразования § 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений § 16. Дифференцирование и интегрирование матриц § 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами § 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка § 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи Упражнения к главе XXI ПРИЛОЖЕНИЯ |
Помогите решить / разобраться (М)
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
Посмотреть правила форума
| ioleg19029700 |
| ||
21/12/16 |
| ||
| |||
12.2017, 23:48 | Otta |
| |||
09/05/13 |
| |||
| ||||
12.2017, 23:57 | ioleg19029700 |
| ||
21/12/16 |
| ||
| |||
| Otta |
| |||
09/05/13 |
| |||
| ||||
| ioleg19029700 |
| ||
21/12/16 |
| ||
| |||
| Otta |
| |||
09/05/13 |
| |||
| ||||
| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 6 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
Видео с вопросами: Определите, является ли ряд абсолютно сходящимся — условно сходящимся или расходящимся
Стенограмма видео
Рассмотрим ряд как сумму от 𝑛 равной единице до ∞ отрицательной единицы к 𝑛 прибавьте две степени к четырем 𝑛 минус один. Определите, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся.
Начнем с напоминания о том, что означает для ряда быть абсолютно сходящимся или условно сходящимся. Ряд сумма 𝑎 𝑛 абсолютно сходится, если сходится ряд сумма абсолютных значений 𝑎 𝑛. И он условно сходится, если ряд модулей расходится, но сам ряд все равно сходится.
Итак, начнем с проверки, сходится ли ряд абсолютно или нет. Это означает проверку на сходимость ряда суммы от 𝑛 равной единице до ∞ абсолютного значения отрицательной единицы к 𝑛 добавить две степени четырех 𝑛 минус один. Следует отметить, что отрицательная единица к степени прибавления двух 𝑛 всегда дает нам либо единицу, либо отрицательную единицу, в зависимости от значения 𝑛.
Таким образом, взятие абсолютного значения отрицательной единицы в степени прибавления двух 𝑛 всегда даст нам единицу. Кроме того, для значений 𝑛, больших или равных единице, четыре 𝑛 минус один всегда будут положительными. Таким образом, мы можем на самом деле переписать этот ряд как сумму от 𝑛, равной единице до ∞ одного на четыре 𝑛 минус один. Поэтому нам нужно проверить это на сходимость. Мы можем сделать это с помощью теста сравнения, который говорит нам, что для двух рядов 𝑎 𝑛 и 𝑏 𝑛 обе положительные последовательности с 𝑎 𝑛 меньше или равны 𝑏 𝑛, то если ряд 𝑏 𝑛 сходится, ряд 𝑎 𝑛 также сходится . Но если ряд 𝑎 𝑛 расходится, то расходится и ряд 𝑏 𝑛.
Мы могли бы сравнить наш ряд с рядом от 𝑛 равно единице до ∞ одного из четырех 𝑛. Мы можем видеть, что это меньше или равно ряду сумма от 𝑛 равна единице до ∞ от одного на четыре 𝑛 минус один. Это работает для всех положительных 𝑛. Если мы обнаружим, что ряд, в котором сумма от 𝑛 равна единице до ∞ одного по четырем 𝑛, расходится, то мы можем заключить, что наш ряд также расходится. И на самом деле, мы можем переписать ряд, где сумма от 𝑛 равна единице до ∞ одного на четыре 𝑛, используя правило умножения на константу. Это то же самое, что один на четыре, умноженный на ряд, где сумма от 𝑛 равна единице до ∞ единицы по 𝑛. И это серия, которую мы узнаем. Это просто гармонический ряд. И мы знаем, что это расходится. Следовательно, ряд, который мы рассматриваем, также расходится по сравнительному тесту.
Итак, поскольку ряд абсолютных значений расходится, исходный ряд в вопросе не является абсолютно сходящимся. Хотя этот ряд не является абсолютно сходящимся, он все же может быть условно сходящимся. Так что это то, что мы проверим дальше. Поэтому я просто освобожу место для этого. Чтобы проверить условную сходимость, мы проверяем, сходится ли исходный ряд или нет. Одна вещь, которую следует отметить в этой серии, заключается в том, что отрицательное значение в 𝑛 степени добавления двух создает эффект чередования между положительными и отрицательными значениями. Таким образом, мы можем использовать тест переменного ряда.
Испытания знакопеременных рядов говорят, что для ряда сумма 𝑎 𝑛, где 𝑎 𝑛 равно отрицательной единице, к 𝑛 прибавить одну степень, умноженную на 𝑏 𝑛, где 𝑏 𝑛 больше или равно нулю для всех 𝑛, если предел при приближении 𝑛 к ∞ из 𝑏 𝑛 равен нулю, а последовательность 𝑏 𝑛 является убывающей, то ряд 𝑎 𝑛 сходится.
Для этой серии это отрицательная единица к 𝑛 прибавляет две степени, что создает переменный эффект. Итак, наше 𝑏 𝑛 равно единице на четыре 𝑛 минус один. Нам нужно проверить, что когда 𝑛 приближается к ∞, это даст нам ноль и что это убывающая последовательность. Итак, когда 𝑛 приближается к ∞, четыре 𝑛 минус один будут приближаться к ∞. Таким образом, предел, когда 𝑛 приближается к ∞, равный единице на четыре 𝑛 минус один, равен нулю.
Мы также можем видеть, что, глядя на первые несколько членов этой последовательности, это убывающая последовательность. Таким образом, мы можем заключить, что ряд сумма от 𝑛 равна единице до ∞ отрицательной единицы к 𝑛 добавить две степени над четырьмя 𝑛 минус один сходится. Таким образом, мы обнаружили, что ряд сходится, но не абсолютно сходится. Значит, ряд условно сходится.
Абсолютная и условная сходимость | Исчисление II
РЕЗУЛЬТАТЫ ОБУЧЕНИЯ
- Объяснить значение абсолютной сходимости и условной сходимости 9{3}+1\right)}[/latex] сходится абсолютно, сходится условно или расходится.
Показать решение
Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть работающее решение вышеизложенного Попробуйте.
Вы можете просмотреть стенограмму этого сегментированного клипа «5.5.3» здесь (откроется в новом окне). 9{n+1}}{n}[/латекс]. Покажем, что можно переставить члены так, чтобы новый ряд расходился. Конечно, если мы переставим члены конечной суммы, сумма не изменится. Однако когда мы работаем с бесконечной суммой, могут происходить интересные вещи.
Начните с добавления достаточного количества положительных членов, чтобы получить сумму, которая больше некоторого действительного числа [latex]M>0[/latex].
Например, пусть [latex]M=10[/latex] и найдите целое число [latex]k[/latex], такое что[латекс]1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{2k — 1}>10[/latex]. 9{\infty}\frac{1}{\left(2n — 1\right)}[/latex] расходится в бесконечность.) Затем вычтите [latex]\frac{1}{2}[/latex]. Затем добавляйте больше положительных членов, пока сумма не достигнет 100. То есть найдите другое целое число [latex]j>k[/latex], такое что
[латекс]1+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2k — 1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2k+1}+\ cdots +\frac{1}{2j+1}>100[/latex].
Затем вычтите [латекс]\frac{1}{4}[/латекс]. Продолжая в том же духе, мы нашли способ переставить члены в чередующемся гармоническом ряду так, чтобы последовательность частичных сумм для перестроенного ряда была неограниченной и, следовательно, расходилась.
Члены в чередующемся гармоническом ряду также можно переставить так, чтобы новый ряд сходился к другому значению. В следующем примере мы покажем, как переставить члены, чтобы создать новый ряд, который сходится к [латекс]3\текст{ln}\frac{\left(2\right)}{2}[/latex].