Матрица линейного оператора. преобразование подобия. собственные значения и собственные векторы линейного оператора. диагонализация матриц
Задание 1. Линейный оператор преобразует векторы , , в векторы , , . Найти матрицу линейного оператора.
Решение. Матрицы
, и
Связаны между собой соотношением , откуда .
Так как , то , а искомая матрица линейного оператора .
Ответ: .
Задание 2. Пусть линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если матрица является матрицей перехода от базиса к базису .
Решение. Матрицы и линейного оператора , заданного в разных базисах, связаны между собой соотношением . Так как , то
.
Ответ: .
Задание 3. Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если , .
Решение. Связь между матрицами и линейного оператора в разных базисах определяется формулой , где – матрица перехода от базиса к базису .
Составим матрицу : , тогда и, следовательно,
.
Ответ: .
Задание 4. Линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти матрицу этого линейного оператора в базисе , если , .
Решение. Матрицы и связаны между собой соотношением , где – матрица перехода от базиса к базису .
Составим матрицу : , тогда и, следовательно,
Ответ: .
Задание 5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей .
Решение. Для нахождения собственных значений линейного оператора составим характеристическое уравнение , т. е. . Раскрывая определитель, получим , т. е. , .
По определению называется собственным вектором линейного оператора , соответствующим собственному значению , если .
Найдём собственные векторы и , соответствующие собственным значениям и .
При получим: , что равносильно такой однородной системе уравнений:
Если – базисная переменная, а – свободная, то .
При : , что равносильно однородной системе уравнений
Пусть – базисная переменная, – свободная. Примем , тогда , а следовательно, .
Так как собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, то они должны быть линейно независимы. Проверим линейную независимость полученных собственных векторов и .
Составим матрицу . Так как , то собственные векторы и линейно независимы.
Ответ: собственные числа , ; собственные векторы , .
Задание 6. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.
Решение. Матрица линейного оператора будет диагональной в базисе из собственных векторов, если такой базис существует. Найдём собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Запишем характеристическое уравнение: , т. е. или , откуда получаем , .
Найдём собственные векторы И .
При получим: , что соответствует следующей однородной системе уравнений:
Пусть – базисная переменная, – свободная.
Полагая , получим .
При : . Соответствующая однородная система уравнений имеет вид:
Откуда . Пусть – базисная переменная, – свободная, примем тогда , а, следовательно, .
Собственные векторы и отвечают различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, т. е. могут составить базис. Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов и имеет диагональный вид: .
Можно проверить полученный результат. Так как , где матрица в случае перехода к базису из собственных векторов и имеет вид , следовательно,
,
Тогда
.
Ответ: .
Задание 7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей . Построить, если это возможно, базис из собственных векторов и найти матрицу этого линейного оператора в базисе из собственных векторов.
Решение. Запишем характеристическое уравнение:
,
Т. е. ,
, откуда получаем , , .
Найдём собственные векторы линейного оператора.
При : , тогда соответствующая однородная система уравнений примет вид:
или
Что равносильно такой системе:
Пусть и – базисные переменные, – свободная. Полагая , получим .
При : , или, переходя к однородной системе уравнений, получим
Пусть и – базисные переменные, – свободная. Если , то .
При получим: , и однородная система уравнений примет вид:
Пусть и – базисные переменные, – свободная. Тогда если , то . Найденные собственные векторы соответствуют различным собственным значениям, поэтому они линейно независимы, значит, существует базис из собственных векторов. Матрица перехода к такому базису , тогда
.
Матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов имеет вид: .
Можно сделать проверку полученных результатов:
.
Ответ: , , ; , , ; матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Алгебра — 11 класс.
Линейная алгебра. Углубленное изучение. СпецкурсАлгебра
9занятий 48:59
длительность 0
тестов
3533
- Учебный план
- Отзывы ( 0 )
- Вопросы и ответы ( 0 )
| 1. Как найти определитель матрицы 2х2, 3х3 и 4х4 | Длительность: 12 минут |
|---|---|
1. 1
Видео | Видео |
| 2. Что такое ранг матрицы | Длительность:
4
минуты |
|---|---|
| 2.1 Видео | Видео |
| 3. Как привести матрицу к ступенчатому виду | Длительность: 9 минут |
|---|---|
3. 1
Видео | Видео |
| 4. Решение системы уравнений методом обратной матрицы | Длительность: 5 минут |
|---|---|
| 4.1 Видео | Видео |
| 5. Как находить обратную матрицу | Длительность: 4 минуты |
|---|---|
5. 1
Видео | Видео |
| 6. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений | Длительность: 4 минуты |
|---|---|
| 6.1 Видео | Видео |
| 7. Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений | Длительность: 4 минуты |
|---|---|
7. 1
Видео | Видео |
| 8. Пример 63. Найти произведение матриц | Длительность: 5 минут |
|---|---|
| 8.1 Видео | Видео |
| 9. Операции с матрицами | Длительность: 5 минут |
|---|---|
9. 1
Видео | Видео |
Пока в этом курсе не задано ни одного вопроса
Задать вопрос
Описание курса
Курс линейной алгебры
Что будет изучено
Решение задач курса линейной алгебры матричным способом
Требования к обучаемому
11 класс
матриц — как найти матрицу А по решению?
спросил
Изменено 8 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 10 тысяч раз
$\begingroup$
, если нам нужно, например, найти ненулевую матрицу 3×3 A, такую, что нам дан вектор 3×1 как решение Ax = 0.
Какова общая процедура, которую мы можем выполнить, чтобы получить такую матрицу A?
Спасибо 🙂 92w\ne 0$.
Обратите внимание, что $A$ не определено однозначно, потому что у вас есть $3$ линейных уравнений на $9$ элементах матрицы.
$\endgroup$
$\begingroup$
Учитывая, что на самом деле мы ничего не знаем об A (кроме ненулевого значения), мы можем найти значения, удовлетворяющие уравнению, но оно вовсе не будет уникальным. Этот вопрос разбивается на систему из трех уравнений, но с 9 неизвестными. $$ \begin{pматрица} а и б и в \\ д & д & ж \\ г и ч и я \end{pматрица} \begin{pматрица} Икс \\ у \\ г \end{pматрица} знак равно \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pматрица} $$
Итак, все сводится к выбору значений, удовлетворяющих трем соответствующим уравнениям.
$$
\оставил\{
\begin{массив}{л л}
топор+by+cz=0\\
dx+ey+fz=0 \\
gx+hy+iz=0
\end{массив} \right\}.
$$
Опять же, эти значения не будут уникальными, но таким образом вы можете получить матрицу A, удовлетворяющую вашему уравнению.
$\endgroup$
$\begingroup$
Прежде всего, обратите внимание, что вы можете выбирать строки $A$ индивидуально и независимо. Это упрощает решаемую задачу.
Каждая строка $a$ матрицы $A$ является решением $ax=0$ (произведение матрицы $1\times 3$ на заданную матрицу $3\times1$ или скалярное произведение, если хотите). Это система $1$ однородного линейного уравнения с $3$ неизвестными, поэтому она будет иметь $2$-мерный набор решений (при условии, что $x$ сам по себе не является нулевым вектором), которые вы можете найти методом исключения Гаусса или еще проще методы. Из набора решений вы можете выбрать любые конкретные решения для каждой строки $A$.
Мораль: всякий раз, когда задача линейной алгебры может быть преобразована в решение системы линейных уравнений, делайте это и переходите к методу исключения Гаусса!
$\endgroup$
1
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Вопрос Видео: Нахождение неизвестной матрицы в уравнении с помощью обратной матрицы
Стенограмма видео
Рассмотрим матрицы 𝐴 равно 10, минус шесть, минус четыре, минус семь, 𝐴𝐵 равно 24, 72, 28 и минус 57 , Найдите матрицу 𝐵.
Мы знаем, что матрица 𝐴, умноженная на матрицу 𝐵, равна матрице произведения 𝐴𝐵. И мы пытаемся найти 𝐵. Чтобы узнать, что такое матрица 𝐵, нам нужно ее изолировать. Нам нужно получить его самостоятельно. Мы делаем это, умножая на обратную матрицу 𝐴 с обеих сторон уравнения. Обратная матрица 𝐴, умноженная на матрицу 𝐴, даст нам единичную матрицу, которая оставляет только 𝐵 в левой части. А это означает, что матрица 𝐵 равна обратной матрице 𝐴, умноженной на уже имеющуюся у нас матрицу произведения, 𝐴𝐵.
Обратная матрица два на два: если мы начнем с матрицы 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, ее обратной будет определенная над 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐. Затем мы меняем местами 𝑎 и 𝑑, а затем берем отрицательное 𝑏 и отрицательное 𝑐.
Инверсия 𝑎 будет обратна 10, минус шесть, минус четыре, минус семь. Детерминант будет равен единице на 10, умноженной на минус семь, минус 70, минус шесть раз на минус четыре, что будет положительным 24. Минус 70 минус 24 равно минус 94.
Наш детерминант равен минус один девяносто четвертых, минус один больше 94. Меняем местами отрицательную семерку и 10. Нужно взять отрицательное значение отрицательной шестерки, положительной шестерки. А отрицательное значение отрицательной четверки равно положительной четверке. Наша обратная матрица 𝐴 — это минус один девяносто четвертых, минус семь, шесть, четыре, 10. Помните, что для нахождения матрицы 𝐵 мы берем обратную матрицу 𝐴 и умножаем ее на 𝐴𝐵. Чтобы умножить эти две матрицы два на два вместе, мы найдем скалярное произведение первой строки и первого столбца. Это означает, что мы умножим отрицательное семь раз на 24. А затем мы добавим шесть раз 28. Отрицательное семь раз умножим на 124, что равно отрицательному 168. Шесть умножить на 28 равно положительному 168.
Когда мы сложим их вместе, мы получим ноль.
Переходя к следующей позиции, мы возьмем скалярное произведение первой строки и второго столбца: минус семь раз 72 плюс шесть раз минус 57. Минус семь раз 72 равно минус 504. Шесть раз минус 57 равно минус 342 Сумма этих двух значений равна отрицательной величине 846.
И мы готовы перейти к следующей позиции, второй строке, первому столбцу. Скалярное произведение будет четыре раза по 24 плюс 10 раз по 28. Четыре раза по 24 равно 96. 10 раз по 28 равно 280. А вместе они равняются 376. Теперь последняя позиция, вторая строка, второй столбец, четыре раза по 72 плюс 10 раз минус 57. Четыре раза по 72 равно 288. 10 раз минус 57 равно минус 570. Вместе эти два значения равны минус 282. Это заканчивает наше матричное умножение.
Но у нас все еще есть скаляр, на который нам нужно умножить. Мы должны умножить каждое значение в матрице на отрицательную единицу больше 94. Ноль умножить на отрицательную единицу больше 94 равно нулю.