Как найти х в квадратном уравнении: Квадратные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Как решать квадратные уравнения | Бери и Делай

Решение квадратных уравнений — это важная тема в школьном курсе алгебры. Если хотите освежить знания, помочь подросткам с уроками или впервые знакомитесь с этим вопросом, воспользуйтесь нашей простой инструкцией, где собраны несколько способов решения квадратных уравнения.

Мы в «Бери и Делай» постарались максимально просто и понятно объяснить эту тему, а в конце статьи добавили бонус, благодаря которому вы сможете за секунды решать подобные уравнения.

Что такое уравнение

Уравнение — это равенство, где есть переменная, чье значение нужно найти. Выражение 3 + x = 9 — это уравнение с переменной x. Именно ее значение нужно найти. Корнем уравнения называют такое значение переменной, при подстановке которого уравнение превращается в верное равенство. Если в вышеуказанное уравнение мы подставим вместо x число 5, то получим 3 + 5 = 8, что противоречит правой части уравнения. Если вместо x взять число 6, то получим 3 + 6 = 9, а значит, 6 является корнем уравнения. Решая уравнения, мы ищем все его корни или доказываем, что их не существует.

Что такое квадратное уравнение

Это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где корнем является значение переменной x, обращающее квадратный трехчлен в 0, а само квадратное уравнение — в верное равенство. Другими словами, благодаря наличию x2 это уравнение является квадратным. Квадратное уравнение содержит коэффициенты:

• а — старший или первый коэффициент, не равный 0 (иначе это линейное уравнение)
• b — второй коэффициент
• c — свободный член

Не всегда новичкам легко определить коэффициенты уравнения, потому что b и c вместе или по отдельности могут равняться 0. Обратите внимание, как могут выглядеть квадратные уравнения и их коэффициенты:

О чем важно знать:

• В уравнении x2 + 7x + 1 = 0 старший коэффициент равен 1. Такие квадратные уравнения называются приведенными. Если старший коэффициент отличается от 1, например равен 2, как в примере 2×2 + 7x + 1 = 0, то это неприведенное квадратное уравнение.
• По условию в квадратном уравнении a ≠ 0. Но другие коэффициенты могут равняться 0, например x2 + 5x = 0, или 5×2 = 0, или x2 + 5 = 0. Если коэффициенты b и c равны по отдельности или вместе 0, то квадратное уравнение называется неполным. Соответственно, у полного квадратного уравнения все коэффициенты отличны от нуля.
• Как привести уравнение к виду ax2 + bx + c = 0? Допустим, у нас есть уравнение x2 — 3x — 5 = 11 — 3x. В этом случае нужно сделать так, чтобы в правой части остался только 0: x2 — 3x — 5 — 11 + 3x = 0. Полученное уравнение можно сократить до x2 — 16 = 0. Получилось приведенное неполное квадратное уравнение, где коэффициенты а = 1, b = 0, c = —16.

Как решать неполные квадратные уравнения

Существует 3 типа неполных квадратных уравнений:

• ax2 = 0, где коэффициенты b = 0 и c = 0
• ax2 + c = 0, при b = 0
• ax2 + bx = 0, при c = 0

• Как решить уравнение типа ax2 = 0

У этого уравнения коэффициенты b и c равны 0, но а ≠ 0. Если уравнение ax2 = 0 разделить на некое число a (которое по условию не равняется 0), то получим x2 = 0. Получается, что корнем уравнения является 0, так как 02 = 0. Других корней у уравнения нет. Значит, любое неполное квадратное уравнение ax2 = 0 имеет только один корень x = 0. На картинке выше в качестве примера мы решили уравнение —8×2 = 0 и выяснили, что корень x = 0. Вывод: уравнение типа ax2 = 0 имеет только один корень x = 0.

• Как решить уравнение типа ax2 + с = 0

В этом типе уравнения b = 0, но c ≠ 0 и а ≠ 0. Преобразуем уравнения, перенеся свободный член в правую часть: ax2 = —c. Теперь разделим обе части на первый коэффициент a и получим x2 = —c/а. Если c/а < 0, то уравнение x2 = —c/а не имеет корней, потому что квадрат любого числа равен неотрицательному числу. Если же c/а > 0, то уравнение имеет 2 корня. На картинке выше мы решили уравнение 8×2 + 5 = 0, выяснив, что у него нет корней. Вывод: уравнение типа ax2 + с = 0 не имеет корней или имеет 2 корня, которые при возведении в квадрат дают x2 = —c/а.

• Как решить уравнение типа ax2 + bx = 0

В таком типе уравнения c = 0, но а ≠ 0. Чтобы решить его, можно использовать метод разложения на множители. Возьмем многочлен в левой части и разложим его на множители, убрав за скобки общий множитель х. Получим: x × (ax + b) = 0. Отсюда получаем, что х = 0 или ax + b = 0. Во втором случае мы имеем уже линейное уравнение, чей корень равен x = −b/a. Получается, что у уравнения ax2 + bx = 0 имеется 2 корня: x₁ = 0 и x₂= −b/a. На картинке выше мы решили уравнение 8×2 + 8x = 0, определив два корня: x₁ = 0 и x₂ = −1. Вывод: уравнение типа ax2 + bx = 0 имеет 2 корня, это x₁ = 0 и x₂= −b/a.

Что такое дискриминант и формула для нахождения корней

Определить количество корней квадратного уравнения можно и не решая его, с помощью выражения дискриминанта (обозначается буквой D), в которое подставляют коэффициенты квадратного уравнения. Свойства дискриминанта подскажут, сколько корней имеет уравнение:

• если D < 0, корней нет
• если D = 0, то есть один корень. Вычислить его можно по формуле х = −b/2a
• если D > 0, то есть 2 различных корня. В этом случае их можно вычислить по формуле:

Обратите внимание, что в этой формуле тоже есть дискриминант, он находится под корнем. Это универсальная формула для нахождения корней квадратного уравнения. Как ею пользоваться?

Допустим, нужно вычислить корни уравнения x2 — 5x + 6 = 0. Шаг № 1: Запишем квадратное уравнение и определим его коэффициенты. В данном случае мы имеем: a = 1, b = —5, c = 6. Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 — 4ac. Получим, что D = 1. Получается, у нашего уравнения 2 корня.

Шаг № 2: Найдем корни уравнения через формулу с дискриминантом, подставив в нее коэффициенты.

Шаг № 3: Произведем вычисления и получим значения двух корней. Получаем, что уравнение x2 — 5x + 6 = 0 имеет 2 корня: x₁ = 3 и x₂ = 2. Готово!

Как решить квадратное уравнение, разложив его на множители

Мы уже пользовались этим способом выше, когда решали неполное уравнение типа ax2 + bx = 0. Разложить на множители можно любое квадратное уравнение, но этим стоит заниматься только в том случае, если это облегчит расчеты. Например, попробуем решить уравнение х2 + 10х — 24 = 0. Сначала разложим левую часть на множители и получим х2 + 10х — 24 = х2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2). Теперь наше уравнение можно записать как (х + 12)(х — 2) = 0. Получается, что хотя бы один из множителей равен нулю. Если (х + 12) = 0, то х = —12. Если (х — 2) = 0, то х = 2. Тогда уравнение х2 + 10х — 24 = 0 имеет 2 корня: x₁ = −12 и x₂ = 2.

Как быстро решать квадратные уравнения с помощью теоремы Виета

Согласно теореме Виета, сумма корней x₁ и x₂ в уравнении x2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение этих же корней равняется свободному члену или c (мы изобразили это на картинке выше). Другими словами, получается, что корни уравнения фактически спрятаны внутри коэффициентов уравнения. Благодаря этому, если вы имеете дело с приведенным квадратным уравнением (у которого a = 1), то эта теорема может помочь вам быстро найти корни уравнения. В качестве примера возьмем уравнение x2 — 8x + 15 = 0. Это приведенное квадратное уравнение (т. е. старший коэффициент равен 1), а D = 4, а значит, корня точно 2. Воспользуемся теоремой Виета и получим следующие равенства: x₁ + x₂ = 8 x₁ × x₂ = 15 Нам надо найти такие 2 числа, которые в сумме дают 8, а их произведение равно 15. Методом подстановки получаем x₁ = 3 и x₂ = 5. На всякий случай проверим, решив уравнение с помощью формулы для нахождения корней. Подставим коэффициенты в формулу, произведем вычисления и получим: х₁ = (8 — 2) / 2 = 3 и x₂ = (8 + 2) / 2 = 5. Все верно! Важно: использовать теорему Виета следует в тех случаях, когда это облегчит расчеты.

Бонус: хитрость, которая позволяет быстро находить корни квадратного уравнения

Попробуем пошагово быстро решить квадратное уравнение 27×2 — 12х + 1 = 0 с помощью этой хитрости: Шаг № 1: В уравнении 27×2 — 12х + 1 = 0 обратим внимание на второй коэффициент, который равен —12. Шаг № 2: Подберем 2 таких числа, которые в сумме дают —12. При этом их произведение должно равняться числу 27, которое является произведением a и с, т. е. это 27 × 1 = 27. В нашем случае это числа —9 и —3. Шаг № 3: Теперь поменяем у этих чисел знаки на противоположные, получив 9 и 3. И разделим каждое из них на число первого коэффициента уравнения, т. е. в нашем случае на 27. Получим 2 числа: это 9/27 и 3/27. Эти числа можно сократить, получив 1/3 и 1/9. Они и являются корнями уравнения, т. е. уравнение 27×2 — 12х + 1 = 0 имеет 2 корня: x₁ = 1/3 и x₂ = 1/9. На всякий случай можно проверить себя, решив уравнение с помощью формулы для нахождения корней.

Квадратные уравнения онлайн тест. Решение квадратных уравнений

Словари. Энциклопедии. История. Литература. Русский язык » Религия » Квадратные уравнения онлайн тест. Решение квадратных уравнений

В работе представлено 4 теста по теме «Квадратные уравнения» в двух вариантах. Каждый тест состоит из двух частей (с выбором ответа; с записью полного решения). К каждому тесту представлена таблица ответов.

Скачать:

Предварительный просмотр:

1 вариант.

А) 1-12х=0 Б) 7х 2 -13х+5=0 В) 48х 2 +х 3 -9=0 Г) = 0

2. В квадратном уравнении -3х 2 +10х+5=0 укажите старший коэффициент:

А) 10 Б) 5 В) -5 Г) -3

3. В уравнении -6х-5х 2 +9=0

А) Старший коэффициент равен -6, второй коэффициент равен -5, свободный член равен 9.

Б) Старший коэффициент равен 9, второй коэффициент равен -6, свободный член равен -5.

В) Старший коэффициент равен -5, второй коэффициент равен -6, свободный член равен 9.

Г) Невозможно определить.

4. Какое из квадратных уравнений является приведённым:

А) 12-х 2 +3х=0 Б) х 2 -7х+16=0 В) -15х 2 +4х-2=0 Г) 4х 2 +х-1=0

5. Какое из квадратных уравнений является неполным:

А) 16х 2 -9=0 Б) 3-х 2 +х=0 В) –х 2 -х-1=0 Г) 7-7х-7х 2 =0

6. Какое из чисел является корнем квадратного уравнения 5х 2 =0

А) 5 Б) 0 В) -5 Г) 25

2 +6х+9=0:

А) 0 Б) 3 В) 1 Г) -3

8. В каком из квадратных уравнений свободный член равен 0:

А) 5х 2 +2х=0 Б) х 2 -9=0 В) 2-х-х 2 =0 Г) 4х 2 +5х-3=0

9. Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен 10, второй коэффициент равен — , свободный член равен 0,6.

10. Являются ли числа 1 и -0,6 корнями квадратного уравнения 5х 2 -8х+3=0?

Тема «Квадратные уравнения. Основные понятия».

Инструкция: В заданиях с 1 по 8 выберите один ответ из предложенных.

В заданиях 9 и 10 запишите решение и ответ.

2 вариант.

1. Какое из уравнений является квадратным:

А) = 0 Б) 15х-3=0 В) 6х 4 +х 2 =0 Г) 4х 2 +3х-1=0

2). В квадратном уравнении 3х 2 +5х-9=0 укажите свободный член:

А) 9 Б) -9 В) 3 Г) 5

3. В уравнении 3+5х-7х 2 =0

А) Старший коэффициент равен -7, второй коэффициент равен 5, свободный член равен 3.

Б) Старший коэффициент равен 3, второй коэффициент равен 5, свободный член равен -7.

В) Старший коэффициент равен 7, второй коэффициент равен 3, свободный член равен 5.

Г) Невозможно определить.

4. Какое из квадратных уравнений является неприведённым:

А) х 2 +3х-5=0 Б) 7х+16+х 2 =0 В) 12х 2 +4х-2=0 Г) х 2 +х=0

5. Какое из квадратных уравнений является полным:

А) 16х 2 -9=0 Б) 3х 2 +х=0 В) 6х 2 -х-15=0 Г) -7х 2 =0

6. Какое из чисел является корнем квадратного уравнения 8х 2 =0

А) -8 Б) 8 В) 64 Г) 0

7. Какое из чисел является корнем квадратного уравнения х 2 -6х+9=0:

А) 0 Б) 3 В) -3 Г) 1

8. В каком из квадратных уравнений второй коэффициент равен 0:

А) х 2 -9=0 Б) 5х 2 +2х=0 В) 2-х-х 2 =0 Г) 4х 2 +5х-3=0

9. Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен 0,4, второй коэффициент равен , свободный член равен — 13.

10. Являются ли числа -1 и -0,5 корнями квадратного уравнения 2х 2 +3х+1=0?

Таблица верных ответов

№ задания
1 вариант									10х 2 -х+0,6=0	Да
2 вариант									0,4х 2 +х – 13=0	Да

Предварительный просмотр:

Инструкция: В заданиях с 1 по 8 выберите один ответ из предложенных.

В заданиях 9 и 10 запишите решение и ответ.

1 вариант

А) 4х+3=0 Б) 5х 2 -10=0 В) 7х 2 +4х-3=0 Г) х 2 +х-1=0

2. Какое из квадратных уравнений является неполным приведённым уравнением:

А) х 2 +7=0 Б) х 2 +14х-6=0 В) 9х 2 +10=0 Г) -х 2 -3х=0

3. Решите уравнение х 2 +5х=0

А) корней нет Б) 0; 5 В) 5; -5 Г) 0; -5

4. Решите уравнение х 2 -64=0

А) 8; -8 Б) 0; 64 В) корней нет Г) 8

5. Решите уравнение 6х 2 =0

А) 0 Б) ; — В) -6 Г) корней нет

6. Найдите сумму корней уравнения -2х 2 -18=0

А) 0 Б) корней нет В) 18 Г) 81

7. Найдите произведение корней уравнения 2х 2 -9х=0

А) корней нет Б) 4,5 В) -4,5 Г) 0

8. Какая пара чисел является корнями уравнения 3х 2 -75=0

А) 0; 25 Б) 25; -25 В) 0; -5 Г) 5; -5

9. Составьте квадратное уравнение, которое является неполным неприведённым.

10. Решите уравнение 4х 2 -3х+7=2х 2 +х+7.

Тема «Неполные квадратные уравнения»

Инструкция: В заданиях с 1 по 8 выберите один ответ из предложенных.

В заданиях 9 и 10 запишите решение и ответ.

2 вариант

1. Какое из уравнений является неполным квадратным уравнением:

А) 4х 2 +3х=0 Б) 5х-10=0 В) х 2 +х-3=0 Г) -х 2 +х-5=0

2. Какое из квадратных уравнений является неполным неприведённым уравнением:

А) 20х 2 +8=0 Б) х 2 +14х=0 В) х 2 +10х-5=0 Г) х 2 -3=0

3. Решите уравнение х 2 -25=0

А) 0; 25 Б) корней нет В) 5; -5 Г) 5

4. Решите уравнение 15х 2 =0

А) -15 Б) 0 В) корней нет Г)

5. Решите уравнение 9х-х 2 =0

А) корней нет Б) 0; -9 В) 0; 9 Г) 3; -3

6. Найдите сумму корней уравнения 4х 2 +16=0

А) 10 Б) 4 В) 0 Г) корней нет

7. Найдите произведение корней уравнения 5х 2 +12х=0

А) -2,4 Б) 0 В) корней нет Г) 7

8. Какая пара чисел является корнями уравнения 2х 2 +14х=0

А) 0; -7 Б) 0; 7 В) 7; -7 Г) корней нет

9. Составьте квадратное уравнение, которое является неполным приведённым.

10. Решите уравнение 1-2х+3х 2 =х 2 -2х+9.

Таблица верных ответов

№ задания
1 вариант									Уравнение ученика	0; 2
2 вариант									Уравнение ученика	2; — 2

Предварительный просмотр:

Инструкция: В заданиях с 1 по 8 выберите один ответ из предложенных.

В заданиях 9 и 10 запишите решение и ответ.

1 вариант

А) 5х 2 =0 Б) 8-2х+3х 2 =0 В) 7х 2 +1=0 Г) 6х-х 2 =0

2 +5х-6=0 равен:

А) 0 Б) 49 В) 1 Г) 16

2 +6х+9=0

А) 1 Б) 2 В) нет корней Г) определить невозможно

4. Решите уравнение х 2 -2х-15=0

А) корней нет Б) 3; -5 В) 1 Г) 5; -3

5. Решите уравнение 3х 2 -3х+4=0

6. Найдите наибольший корень уравнения –х 2 -5х+14=0

А) 2 Б) 7 В). 38 Г) корней нет.

2 +7х+1=0

А) 1 Б) -1 В) — Г) корней нет

2 +3х-5=0:

А) -2,5 Б) -1,5 В) 2,5 Г) корней нет.

9. Решите уравнение 2х(х-8)= -х-18.

10. Решите уравнение х 4 -2х 2 -8=0.

Тема «Решение квадратных уравнений по формуле»

Инструкция: В заданиях с 1 по 8 выберите один ответ из предложенных.

В заданиях 9 и 10 запишите решение и ответ.

2 вариант

1. Какое из квадратных уравнений является полным:

А) 5х 2 -2х+3=0 Б) 4х+9х 2 =0 В) 10х 2 =0 Г) 6-х 2 =0

2. Дискриминант квадратного уравнения х 2 -8х+7=0 равен:

А) 92 Б) -36 В) 0 Г) 36

3. Сколько корней имеет квадратное уравнение х 2 +5х+9=0

А) 2 Б) нет корней В) 1 Г) определить невозможно

4. Решите уравнение х 2 +2х-15=0

А) Корней нет Б) 3; -5 В) 1 Г) 5; -3

5. Решите уравнение 4х 2 -4х+1=0

А) 1 Б) 0; 4 В) корней нет Г) 0,5

6. Найдите наименьший корень уравнения –х 2 +7х-10=0

А) -5 Б) 2 В) корней нет Г) 5

7. Найдите сумму корней уравнения 6х 2 -7х+1=0

А) 1,16 Б) корней нет В) 1 Г)

8. Найдите произведение корней уравнения 2х 2 +3х-2=0

А) -1 Б) корней нет В) -2,5 Г) -10

9. Решите уравнение 6х(2х+1)= 5х+1.

10. Решите уравнение х 4 -8х 2 -9=0.

Таблица верных ответов

№ задания
1 вариант									6; 1,5	2; — 2
2 вариант										3; — 3

Предварительный просмотр:

Тема «Теорема Виета.

Разложение квадратного трёхчлена на множители»

Инструкция: В заданиях с 1 по 6 выберите один ответ из предложенных.

В заданиях 7 и 8 запишите решение и ответ.

1 вариант

1. Найдите сумму и произведение корней квадратного уравнения х 2 -10х+9=0

А) — 10; 9 Б) 10; 9 В) 10; — 9 Г) – 10; — 9

2. Найдите сумму и произведение корней квадратного уравнения х 2 -2х-8=0

А) 2; — 8 Б) — 2; — 8 В) 2; 8 Г) – 2; 8

3. У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней равна -2, а произведение корней равно — 15:

А) х 2 -2х-15=0 Б) х 2 -15х-2=0 В) х 2 +15х-2=0 Г) х 2 +2х-15=0

4. Разложите на множители квадратный трёхчлен х 2 -х-30

А) (х-6)(х+5) Б) (х+6)(х-5) В) разложить невозможно Г) (х+11)(х-11)

5. Разложите на множители квадратный трёхчлен 2х 2 -3х-2

А) (х-2)(х+ ) Б) 2(х+2)(х- ) В) 2(х-2)(х+ ) Г) разложить невозможно

В ашему вниманию предлагается тематический тест для 8 класса по квадратным уравнениям. Репетитор по математике может включить его в план урока или оставить в качестве он-лайн домашнего задания. Современные дети часами не отходят от компьютера и виртуальную работу выполняют с большим удовольствием.

Контрольный вариант репетитора математики располагает несколькими уровнями сложности. В первых номерах предложены несколько простых вопросов вводного характера (на распознание вида квадратного уравнения), затем идут основные задачи на поиск корней, а два последних уравнения ориентированы на сильного восьмиклассника, способного не растеряться при работе с иррациональными коэффициентами левой части.

Варианты ответов подобраны с учетом наиболее типичных для среднего возраста ошибок. Старайтесь их не допускать. Если у Вас или у Вашего ребенка возникают глобальные проблемы с решением квадратных уравнениями, — обратитесь к репетитору по математике за живой помощью.

Несмотря на схожую структуру задач, они так или иначе отличаются друг от друга. Где-то ответом, а где то решением или предварительным преобразованием.

Напутствие репетитора по математике :
Для успешного прохождения теста вам необходимы: знания формул дискриминанта и корней квадратного уравнения, вычислительные навыки, навыки раскрытия скобок, некоторые формулы сокращенного умножения, приведение подобных слагаемых и перенос их из одной части равенства в другую. Не забудьте, что
эти слагаемые могут быть специально репетитором переставлены (чтобы Вас запутать). Перед тем как найти дискриминант, посмотрите, равна ли правая часть нулю. Удачи!

Формулы для теста :
Квадратное уравнение в том случае, когда его дискриминант подчиняется условию находятся по формулам . Если D Дополнительно понадобятся следующие формулы сокращенного умножения:

Решение квадратных уравнений

№1 . Какое из уравнений не является квадратным?

Выберите ответ:

№3 . Какое квадратное уравнение является неполным?

Выберите ответ:

№4 . Укажите корни уравнения

Выберите ответ:

№5 . Укажите корни уравнения 2x(x-1)=x 2 -3x+2

Выберите ответ:

№6 Укажите корни уравнения (x-2) 2 -(2x+1)(1-2x)=4x 2

Выберите ответ:

№7. Укажите корни уравнения

Выберите ответ:

№8 . Решите уавнение и укажите его корни:

ТЕСТЫ по теме «Квадратные уравнения»

8 класс, 6 вариантов

Вариант № 1

(х + 1) 2 = х 2 – 4х

3) Решите уравнение 4х 2 + 3х. = 0

Корней нет

Х 2 + 3х + 4 = 0

4х 2 + 3х – 1 = 0

16х 2 – 3х = 0

2х 2 – 3х + 2 = 0

5) Решите уравнение: х 2 — 3х – 18 = 0.

6) Найдите сумму корней уравнения: 4х 2 + 17х + 4 = 0.

Другой ответ

7) Найдите произведение корней уравнения: 2х 2 + х +3 = 0.

Другой ответ

8) При каком d уравнение 8х 2 + d х + 8 = 0 имеет корень 2?

Вариант № 2

1) Какое из данных уравнений является квадратным?

(х – 3) 2 = 2х 2 + 3

(х – 2) 2 = х 2

2) Найдите коэффициенты a , b и c квадратного уравнения 5х + х 2 — 4 = 0.

3) Решите уравнение 5х 2 = 9х.

Корней нет

х 2 — 9х — 1 = 0

2х 2 — 7х + 4 = 0

4х 2 – 7х + 2 = 0

4х 2 + 7х + 2 = 0

5) Решите уравнение: х 2 + 2х – 24 = 0.

6) Найдите сумму корней уравнения: 2х 2 + 11х — 6 = 0.

Другой ответ

Другой ответ

8) При каком c уравнение 4х 2 + c х — 16 = 0 имеет корень 4?

9) Выделите квадрат двучлена: х 2 — 6х + 7 = 0.

(х + 3 ) 2 + х

ТЕСТ «Квадратные уравнения» 8 класс

Вариант № 3

1) Какое из данных уравнений является квадратным?

х(х – 1) = х 2 – 2х

2/х 2 = 3/х + 4

2х 2 – 3х = х + 5

3) Решите уравнение: 17х = 10х 2 .

Корней нет

4) Дискриминант какого из уравнений равен 25?

4 х 2 — 3х + 1 = 0

2х 2 — 3х + 2 = 0

2х 2 + 3х -2 = 0

х 2 + 3х + 25 = 0

5) Решите уравнение: х 2 — 2х – 15 = 0.

6) Найдите сумму корней уравнения: 2х 2 — х + 7 = 0.

Другой ответ

Другой ответ

8) При каком a уравнение 3х 2 + a х + 24 = 0 имеет корень 3?

(х – 3) 2 — 14

(х – 3) 2 + 4

ТЕСТ «Квадратные уравнения» 8 класс

Вариант № 4

1) Какое из данных уравнений является квадратным?

4/х + х 2 + 1 = 0

х 2 + 3х = 4х — 2

х 2 =(х – 2)(х + 1)

2) Найдите коэффициенты a , b и c квадратного уравнения.7 — 3х 2 + х = 0.

3) Решите уравнение 2х 2 — 7х. = 0

корней нет

5х 2 + 3х + 2 = 0

2х 2 — 3х – 5 = 0

3х 2 – 3х – 7 = 0

2х 2 – 3х + 5 = 0

5) Решите уравнение: х 2 + х — 20 = 0

6) Найдите сумму корней уравнения: 5х 2 — 9 х — 2 = 0.

другой ответ

7) Найдите произведение корней уравнения: 5х 2 — 3 х +2 = 0.

другой ответ

8) При каком b уравнение 2х 2 + b х — 10 = 0 имеет корень 5?

9) Выделите квадрат двучлена: х 2 + 4х + 3 = 0.

(х + 2) 2 – 1

ТЕСТ «Квадратные уравнения» 8 класс

Вариант № 5

1) Какое из данных уравнений является квадратным?

(х + 1) 2 = х 2 – 4х

3х 2 = 4х 2 + 8

2) Найдите коэффициенты a , b и c квадратного уравнения.3 – х 2 – 6х = 0.

3) Решите уравнение 5х 2 — 9х. = 0

корней нет

4) Дискриминант какого из уравнений равен 49?

5 х 2 + 3х + 2 = 0

2х 2 — 3х – 5 = 0

3х 2 – 3х — 7 = 0

2х 2 – 3х + 5= 0

5) Решите уравнение: х 2 — 3х – 18 = 0

6) Найдите сумму корней уравнения: 2х 2 + 11х – 6 = 0.

Другой ответ

7) Найдите произведение корней уравнения: 2х 2 — 13х -7 = 0.

Другой ответ

8) При каком b равнение 8х 2 + b х + 8 = 0 имеет корень 2?

9) Выделите квадрат двучлена: х 2 + 2х – 10 = 0.

ТЕСТ «Квадратные уравнения» 8 класс

Вариант № 6

1) Какое из данных уравнений является квадратным?

х(х – 1) = х 2 – 2х

2/х 2 = 3/х + 4

2х 2 – 3х = х + 5

2) Найдите коэффициенты a , b и c квадратного уравнения — х + 9.+ 2х 2 = 0.

3) Решите уравнение: 18х = 10х 2 .

Корней нет

4) Дискриминант какого из уравнений равен 81?

х 2 – 9х– 1 = 0

2х 2 – 7х + 4 = 0.

4х 2 – 7х + 2 = 0.

4 х 2 + 7х + 2 = 0.

5) Решите уравнение: х 2 — 2х — 15 = 0.

6) Найдите сумму корней уравнения: 5х 2 — 9х + 2 = 0.

другой ответ

7) Найдите произведение корней уравнения: 2х 2 + 3х + 6 = 0.

другой ответ

8) При каком p уравнение 3х 2 + p х + 24 = 0 имеет корень 3?

9) Выделите квадрат двучлена: х 2 — 6х – 5 = 0.

(х – 3) 2 — 14

(х – 3) 2 + 4

ВАРИАНТ № 1
ВАРИАНТ № 2

В А Р И А Н Т № 3

+

+

+

+

+

+

+

+

+

В А Р И А Н Т № 4

+

+

+

+

+

+

+

+

+

В А Р И А Н Т № 5

+

+

+

+

+

+

+

+

+

В А Р И А Н Т № 6

+

+

+

+

+

+

+

+

Квадратные уравнения 1 — вариант

1. Какое из данных уравнений является квадратным? 1) х 3 + 2х = 0; 2) 3х — 9 = 0; 3) 5х 2 — 4х = 0; 4) — 9 = 0. 2 . Укажите старший коэффициент квадратного уравнения -х 2 -5х + 1 = 0. 1) 5; 2) -1; 3) 1; 4) -5. 3 . Какое из следующих квадратных уравнений является приведённым? 1) 2х 2 — 5х +6 = 0; 2) 10 — 5х + х 2 = 0; 3) 6 — х 2 + 7х = 0; 4) 12х 2 + х — 1 = 0. 4 . Какие из данных квадратных уравнений являются полными? 1) х 2 +2х =0; 2) 8х 2 -5 = 0; 3) х 2 +14х — 23 = 0; 4) 5х — х 2 +7 = 0. 5 . Решить уравнение: 2х 2 — 5х = 0. 1) 0 ; 2,5. 2) 2; -5. 3) 0; 5. 4) -2,5; 0. 6 . Найдите дискриминант квадратного уравнения: -2х 2 +5х + 3 = 0. 1) 49; 2) 1; 3)- 49; 4) 25. 7. Определить число корней квадратного уравнения: 4х 2 +х + 66 = 0. 1) 2 различных корня; 2) 2 одинаковых корня; 3)корней нет. 8 . Решите уравнение: 10х 2 -13х -3 = 0. 1) 1; 0,3. 2) — 1; — 0,3. 3) 1,5; — 0,2. 4)1,5; 0,2. 9. У какого из данных уравнений сумма корней равна -7, а произведение — 12? 1) х 2 — 7х +12 = 0; 2) х 2 + 7х -12 = 0; 3) х 2 -12х -7 = 0; 4) х 2 +12х — 7 = 0. 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4. 10. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 3 и 5. 1) х 2 +8х — 15 = 0; 2) х 2 +8х + 15 = 0; 3) х 2 -8х + 15 = 0; 4) х 2 +15х + 8 = 0;

Квадратные уравнения 2 — вариант

1. Какое из данных уравнений является квадратным? 1) х + 2х = 0; 2) 3х 2 — 9 = 0; 3) 5х 3 — х = 0; 4) — 5 = 0. 2 . Укажите старший коэффициент квадратного уравнения -х 2 +3х +11 = 0. 1) 3; 2) -1; 3) 11; 4) 1. 3. Какое из следующих квадратных уравнений является приведённым? 1) 2х 2 — 7х +6 = 0; 2) 12 — 5х — х 2 = 0; 3) 6 + х 2 + 7х = 0; 4) 12х 2 + х — 8 = 0. 4 . Какие из данных квадратных уравнений являются полными? 1) х 2 +3х =0; 2) 8х -5х +2х 2 = 0; 3) х 2 +14 = 0; 4) 5х — х 2 +7 = 0. 5. Решить уравнение: -2х 2 — 5х = 0. 1) 0 ; 2,5. 2) -2; -5. 3) -2,5; 5. 4) -2,5; 0. 6 . Найдите дискриминант квадратного уравнения: -3х 2 +2х + 1 = 0. 1) 4; 2) 8; 3)16; 4) -16. 7. Определить число корней квадратного уравнения: 3х 2 + х — 61 = 0. 1) 2 различных корня; 2) 2 одинаковых корня; 3)корней нет. 8 . Решите уравнение: 14х 2 +5х -1 = 0. 1) -2. 3)- 4) 9 . У какого из данных уравнений сумма корней равна -5, а произведение -14? 1) х 2 — 5х +14 = 0; 2) х 2 + 5х -14 = 0; 3) х 2 -14х -5 = 0; 4) х 2 +14х — 5 = 0. 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4. 10. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2 и 6. 1) х 2 + 8х — 12 = 0; 2) х 2 + 8х + 12 = 0; 3) х 2 — 8х + 12 = 0; 4) х 2 +12х — 8 = 0;

Тест по алгебре

Квадратные уравнения 8 класс

А) 2 Б) 23 В) 4 Г) 0

А) 12 Б)3 В) -3 Г) -4

А) -3 Б) -13 В) 3 Г) 10

А) 4 Б) -1 В)2 Г) 1

А) 2 Б) -3 В) -2 Г) 3

ключи

№ задания

Кустова Людмила Анатольевна

Тест по алгебре

Квадратные уравнения 8 класс

1. Какое из квадратных уравнений является полным:

А) 4х2-6х+8=0 Б) 9х+9х2=0 В) -6х2=0 Г) 9+х2=0

2. Дискриминант квадратного уравнения х2-4х+3=0 равен:

А) 2 Б) 23 В) 4 Г) 0

5. Выберите коэффициенты -х2-3х+7=0

А) 1,-3,7 Б) -1,-3,7 В) -1,-3,-7 Г) -1,-3,-7

4. Решите уравнение х2-3х-10=0

А) Корней нет Б) 2; -5 В) 6 Г) -5; -2

5. Решите уравнение 9х2-6х+1=0

А) 1,3 Б) 0; 3 В) корней нет Г) 1/3

6 . Найдите произведение корней уравнения: х2-4х+3=0 .

А) 12 Б)3 В) -3 Г) -4

7 . Найдите сумму корней уравнения: х2-3х-10=0.

А) -3 Б) -13 В) 3 Г) 10

8 . Найдите значение коэффициента а, если в уравнении ах2+3х-5=0:

один из корней уравнения равен 1.

А) 4 Б) -1 В)2 Г) 1

9. Найдите значение коэффициента b , если в уравнении х2+вх-15=0

Один из корней уравнения равен -5

А) 2 Б) -3 В) -2 Г) 3

10. Решите уравнение 3х(х-5)= 0

А) 1,5 Б) 0; 5 В) корней нет Г) 3,5

ключи

№ задания

Кустова Людмила Анатольевна

Учитель математики МКОУ «Орловская СОШ»

П.Орловка,Хохольского района,Воронежской области

Тест по алгебре

Квадратные уравнения 8 класс

1. Какое из квадратных уравнений является полным:

А) 4х2-6х+8=0 Б) 9х+9х2=0 В) -6х2=0 Г) 9+х2=0

2. Дискриминант квадратного уравнения х2-4х+3=0 равен:

А) 2 Б) 23 В) 4 Г) 0

5.Выберите коэффициенты -х2-3х+7=0

А) 1,-3,7 Б) -1,-3,7 В) -1,-3,-7 Г) -1,-3,-7

4. Решите уравнение х2-3х-10=0

А) Корней нет Б) 2; -5 В) 6 Г) -5; -2

5. Решите уравнение 9х2-6х+1=0

А) 1,3 Б) 0; 3 В) корней нет Г) 1/3

А) 12 Б)3 В) -3 Г) -4

А) -3 Б) -13 В) 3 Г) 10

Один из корней уравнения равен 1.

А) 4 Б) -1 В)2 Г) 1

Один из корней уравнения равен -5

А) 2 Б) -3 В) -2 Г) 3

10. Решите уравнение 3х(х-5)= 0

А) 1,5 Б) 0; 5 В) корней нет Г) 3,5

ключи

№ задания12345678910

АВ Б Б Г Б В В АБ

Кустова Людмила Анатольевна

Учитель математики МКОУ «Орловская СОШ»

П.Орловка,Хохольского района,Воронежской области

Тест по алгебре

Квадратные уравнения 8 класс

1. Какое из квадратных уравнений является полным:

А) 4х2-6х+8=0 Б) 9х+9х2=0 В) -6х2=0 Г) 9+х2=0

2. Дискриминант квадратного уравнения х2-4х+3=0 равен:

А) 2 Б) 23 В) 4 Г) 0

5.Выберите коэффициенты -х2-3х+7=0

А) 1,-3,7 Б) -1,-3,7 В) -1,-3,-7 Г) -1,-3,-7

4. Решите уравнение х2-3х-10=0

А) Корней нет Б) 2; -5 В) 6 Г) -5; -2

5. Решите уравнение 9х2-6х+1=0

А) 1,3 Б) 0; 3 В) корней нет Г) 1/3

6. Найдите произведение корней уравнения: х2-4х+3=0 .

А) 12 Б)3 В) -3 Г) -4

7. Найдите сумму корней уравнения: х2-3х-10=0.

А) -3 Б) -13 В) 3 Г) 10

8. Найдите значение коэффициента а, если в уравнении ах2+3х-5=0:

Один из корней уравнения равен 1.

А) 4 Б) -1 В)2 Г) 1

9. Найдите значение коэффициента b, если в уравнении х2+вх-15=0

Один из корней уравнения равен -5

А) 2 Б) -3 В) -2 Г) 3

10. Решите уравнение 3х(х-5)= 0

А) 1,5 Б) 0; 5 В) корней нет Г) 3,5

ключи

№ задания12345678910

АВ Б Б Г Б В В АБ

Кустова Людмила Анатольевна

Учитель математики МКОУ «Орловская СОШ»

П. Орловка,Хохольского района,Воронежской области

Тест по алгебре

Квадратные уравнения 8 класс

1. Какое из квадратных уравнений является полным:

А) 4х2-6х+8=0 Б) 9х+9х2=0 В) -6х2=0 Г) 9+х2=0

2. Дискриминант квадратного уравнения х2-4х+3=0 равен:

А) 2 Б) 23 В) 4 Г) 0

5.Выберите коэффициенты -х2-3х+7=0

А) 1,-3,7 Б) -1,-3,7 В) -1,-3,-7 Г) -1,-3,-7

4. Решите уравнение х2-3х-10=0

А) Корней нет Б) 2; -5 В) 6 Г) -5; -2

5. Решите уравнение 9х2-6х+1=0

А) 1,3 Б) 0; 3 В) корней нет Г) 1/3

6 . Найдите произведение корней уравнения: х2-4х+3=0 .

А) 12 Б)3 В) -3 Г) -4

7 . Найдите сумму корней уравнения: х2-3х-10=0.

А) -3 Б) -13 В) 3 Г) 10

8 . Найдите значение коэффициента а, если в уравнении ах2+3х-5=0:

один из корней уравнения равен 1.

А) 4 Б) -1 В)2 Г) 1

9. Найдите значение коэффициента b , если в уравнении х2+вх-15=0

Один из корней уравнения равен -5

А) 2 Б) -3 В) -2 Г) 3

10. Решите уравнение 3х(х-5)= 0

А) 1,5 Б) 0; 5 В) корней нет Г) 3,5

ключи

№ задания

Кустова Людмила Анатольевна

Учитель математики МКОУ «Орловская СОШ»

П.Орловка,Хохольского района,Воронежской области

Тест по алгебре

Квадратные уравнения 8 класс

1. Какое из квадратных уравнений является полным:

А) 4х2-6х+8=0 Б) 9х+9х2=0 В) -6х2=0 Г) 9+х2=0

2. Дискриминант квадратного уравнения х2-4х+3=0 равен:

А) 2 Б) 23 В) 4 Г) 0

5.Выберите коэффициенты -х2-3х+7=0

А) 1,-3,7 Б) -1,-3,7 В) -1,-3,-7 Г) -1,-3,-7

4. Решите уравнение х2-3х-10=0

А) Корней нет Б) 2; -5 В) 6 Г) -5; -2

5. Решите уравнение 9х2-6х+1=0

А) 1,3 Б) 0; 3 В) корней нет Г) 1/3

6 . Найдите произведение корней уравнения: х2-4х+3=0 .

А) 12 Б)3 В) -3 Г) -4

7 . Найдите сумму корней уравнения: х2-3х-10=0.

А) -3 Б) -13 В) 3 Г) 10

8 . Найдите значение коэффициента а, если в уравнении ах2+3х-5=0:

один из корней уравнения равен 1.

А) 4 Б) -1 В)2 Г) 1

9. Найдите значение коэффициента b , если в уравнении х2+вх-15=0

Один из корней уравнения равен -5

А) 2 Б) -3 В) -2 Г) 3

10. Решите уравнение 3х(х-5)= 0

А) 1,5 Б) 0; 5 В) корней нет Г) 3,5

ключи

№ задания

Кустова Людмила Анатольевна

Учитель математики МКОУ «Орловская СОШ»

П.Орловка,Хохольского района,Воронежской области

Тест по алгебре

Квадратные уравнения 8 класс

1. Какое из квадратных уравнений является полным:

А) 4х2-6х+8=0 Б) 9х+9х2=0 В) -6х2=0 Г) 9+х2=0

2. Дискриминант квадратного уравнения х2-4х+3=0 равен:

А) 2 Б) 23 В) 4 Г) 0

5.Выберите коэффициенты -х2-3х+7=0

А) 1,-3,7 Б) -1,-3,7 В) -1,-3,-7 Г) -1,-3,-7

4. Решите уравнение х2-3х-10=0

А) Корней нет Б) 2; -5 В) 6 Г) -5; -2

5. Решите уравнение 9х2-6х+1=0

А) 1,3 Б) 0; 3 В) корней нет Г) 1/3

6 . Найдите произведение корней уравнения: х2-4х+3=0 .

А) 12 Б)3 В) -3 Г) -4

7 . Найдите сумму корней уравнения: х2-3х-10=0.

А) -3 Б) -13 В) 3 Г) 10

8 . Найдите значение коэффициента а, если в уравнении ах2+3х-5=0:

один из корней уравнения равен 1.

А) 4 Б) -1 В)2 Г) 1

9. Найдите значение коэффициента b , если в уравнении х2+вх-15=0

Один из корней уравнения равен -5

А) 2 Б) -3 В) -2 Г) 3

10. Решите уравнение 3х(х-5)= 0

А) 1,5 Б) 0; 5 В) корней нет Г) 3,5

ключи

№ задания

Кустова Людмила Анатольевна

Учитель математики МКОУ «Орловская СОШ»

П.Орловка,Хохольского района,Воронежской области

Как найти точки пересечения X и Y квадратных уравнений

••• Comstock/Comstock/Getty Images

Обновлено 25 апреля 2017 г.

Берт Маркграф

Квадратные уравнения образуют параболу при графическом отображении. Парабола может открываться вверх или вниз, а может смещаться вверх, вниз или по горизонтали, в зависимости от констант уравнения, когда вы записываете его в виде y = ax в квадрате + bx + c. Переменные y и x нанесены на оси y и x, а a, b и c являются константами. В зависимости от того, как высоко расположена парабола на оси y, уравнение может иметь ноль, одну или две точки пересечения по оси x, но всегда будет иметь одну точку пересечения с осью y.

Убедитесь, что ваше уравнение является квадратным, записав его в виде y = ax в квадрате + bx + c, где a, b и c — константы, а a не равно нулю. Найдите точку пересечения y для уравнения, приравняв x к нулю. Уравнение принимает вид y = 0x в квадрате + 0x + c или y = c. Обратите внимание, что точка пересечения y квадратного уравнения, записанного в форме y = ax в квадрате + bx = c, всегда будет константой c.

Чтобы найти точки пересечения x квадратного уравнения, пусть y = 0. Запишите новое уравнение ax в квадрате + bx + c = 0 и квадратную формулу, которая дает решение как x = -b плюс или минус квадратный корень из (b в квадрате — 4ac), все делится на 2a. Квадратичная формула может давать ноль, одно или два решения.

Решите уравнение 2x в квадрате — 8x + 7 = 0, чтобы найти два пересечения по оси x. Поместите константы в квадратную формулу, чтобы получить -(-8) плюс или минус квадратный корень из (-8 в квадрате — 4 умножить на 2 умножить на 7), все разделить на 2 умножить на 2. Вычислить значения, чтобы получить 8 +/- квадрат корень (64 — 56), все разделить на 4. Упростите расчет, чтобы получить (8 +/- 2,8)/4. Рассчитайте ответ как 2,7 или 1,3. Обратите внимание, что это представляет собой параболу, пересекающую ось x при x = 1,3 при уменьшении до минимума, а затем снова пересекающую при x = 2,7 при увеличении.

Изучите квадратичную формулу и обратите внимание на два решения из-за члена под квадратным корнем. Решите уравнение x в квадрате + 2x +1 = 0, чтобы найти точки пересечения x. Вычислите член под квадратным корнем квадратной формулы, квадратный корень из 2 в квадрате — 4 раза 1 раз 1, чтобы получить ноль. Вычислите оставшуюся часть квадратной формулы, чтобы получить -2/2 = -1, и обратите внимание, что если член под квадратным корнем квадратной формулы равен нулю, квадратное уравнение имеет только одну точку пересечения по оси x, где парабола только касается ось х.

Из квадратной формулы обратите внимание, что если член под квадратным корнем отрицателен, формула не имеет решения, и соответствующее квадратное уравнение не будет иметь точек пересечения по оси x. Увеличьте c в уравнении из предыдущего примера до 2. Решите уравнение 2x в квадрате + x + 2 = 0, чтобы получить отрезки x. Используйте квадратную формулу, чтобы получить -2 +/- квадратный корень из (2 в квадрате — 4 умножить на 1 умножить на 2), все разделить на 2 умножить на 1. Упростить, чтобы получить -2 +/- квадратный корень из (-4), все разделить на 2. Обратите внимание, что квадратный корень из -4 не имеет действительного решения, поэтому квадратичная формула показывает, что нет пересечений по оси x. Постройте график параболы, чтобы увидеть, что увеличение c поднимает параболу выше оси x, так что парабола больше не касается и не пересекает ее.

• Нарисуйте несколько парабол, изменяя только одну из трех констант, чтобы увидеть, как каждая из них влияет на положение и форму параболы.

Предупреждения

• Если вы перепутаете оси x и y или переменные x и y, параболы будут горизонтальными, а не вертикальными.

Статьи по теме

Ссылки

• Государственный университет Кеннесо: Квадратичные функции
• Университет Западного Техаса A&M: Графики квадратичных функций

Советы

• Нарисуйте несколько парабол, изменяя только одну из трех констант, чтобы увидеть, как каждая из них влияет на положение и форму параболы.

Предупреждения

• Если вы перепутаете оси x и y или переменные x и y, параболы будут горизонтальными, а не вертикальными.

Об авторе

Берт Маркграф (Bert Markgraf) — независимый писатель с большим научным и инженерным опытом. Он писал для научных публикаций, таких как Информационный бюллетень HVDC и Журнал Energy and Automation. Он много писал в Интернете по связанным с наукой темам по математике, физике, химии и биологии и публиковался на таких сайтах, как Digital Landing и Reference. com. Он имеет степень бакалавра наук Университета Макгилла. 92+bx+cf(x)=ax2+bx+c

.

Цели обучения

Описать критерии и свойства квадратичных функций

Ключевые выводы

Ключевые моменты

Ключевые термины

• зависимая переменная : На нее влияет изменение входных данных, т. е. она изменяется в зависимости от значения входных данных.
• независимая переменная : Вход функции, который можно свободно изменять.
• вершина : точка минимума или максимума квадратичной функции. 92+bx+cf (x) = ax2+bx+c

  , где

  AAA

  ,

  BBB

  и

  CCC

  являются константами и

  XXX

  — независимая переменная. Константы

  bbb

  и

  ccc

  могут принимать любое конечное значение, а

  aaa

  может принимать любое конечное значение, отличное от

  000

  .

  Квадратное уравнение представляет собой частный случай квадратичной функции, при этом функция равна нулю: 92+bx+c=0ax2+bx+c=0

  Когда все константы известны, можно решить квадратное уравнение, чтобы найти решение

  xxx

  . Такие решения называются нулями. Есть несколько способов найти

  xxx

  , но эти способы будут рассмотрены позже.

  Различия между квадратичными и линейными функциями

  Квадратные уравнения отличаются от линейных функций несколькими ключевыми моментами.

  • Линейные функции либо всегда уменьшаются (если они имеют отрицательный наклон), либо всегда возрастают (если они имеют положительный наклон). Все квадратичные функции как возрастают, так и убывают.
  • При линейной функции каждый вход имеет индивидуальный уникальный выход (при условии, что выход не является константой). С квадратичной функцией пары уникальных независимых переменных будут давать одну и ту же зависимую переменную, только с одним исключением (вершина) для данной квадратичной функции.
  • Наклон квадратичной функции, в отличие от наклона линейной функции, постоянно меняется.

  Формы квадратичных функций

  Квадратичные функции могут быть выражены в различных формах. Форма, написанная выше, называется стандартной формой. Дополнительно 92+kf(x)=a(x−h)2+k

  , где

  hhh

  и

  kkk

  — соответственно координаты вершины, точки, в которой функция достигает максимума (если

  aaa

  отрицательный) или минимум (если

  aaa

  положительный).

  Квадратичная формула

  Нули квадратного уравнения можно найти, решив квадратную формулу.

  Цели обучения

  Найдите корни квадратичной функции, используя квадратичную формулу 92-4(2)(3)}}{2(2)}x=2(2)−5±52−4(2)(3)

  x=−5±25−244x= \dfrac{-5 \pm \sqrt{25-24}}{4}x=4−5±25−24

  x=−5±14x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{ 1}}{4}x=4−5±1

  x=−54+14\displaystyle x = \frac{-5}{4} + \frac{1}{4}x=4 −5​+41​

  , 

  −54−14\displaystyle \frac{-5}{4} — \frac{1}{4}4−5​−41​

  x=−34x = \ dfrac{-3}{4}x=4−3​

  , 

  −64\dfrac{-6}{4}4−6​

  x=−34x=\dfrac{-3}{4} х=4−3​

  ,

  −32\dfrac{-3}{2}2−3​

  Дискриминант

  Дискриминант многочлена — это функция его коэффициентов, которая раскрывает информацию о корнях многочлена.

  Цели обучения

  Объясните, как и почему можно использовать дискриминант для нахождения числа действительных корней квадратного уравнения. можно применить к полиномам.

• ноль : Также известен как корень; значение x, при котором функция x равна нулю.
• Дискриминант : Выражение, дающее информацию о корнях многочлена.

Дискриминант квадратичной функции — это функция ее коэффициентов, которая раскрывает информацию о ее корнях. Корень — это значение координаты

xxx

, где функция пересекает ось

xxx

. То есть это 92-4acΔ=b2−4ac

— часть квадратной формулы под квадратным корнем.

Положительный дискриминант

Если

Δ{\Delta}Δ

положительно, квадратный корень в квадратной формуле положителен, и решения не содержат мнимых чисел.

x=−b±положительное число2ax={\dfrac{-b \pm \sqrt{\text{положительное число}}}}{2a}}x=2a−b±положительное число

Поскольку сложение и вычитание положительного числа приведет к различным значениям, положительный дискриминант приводит к двум различным решениям и двум различным корням квадратичной функции.

Нулевой дискриминант

Если

Δ{\Delta}Δ

равно нулю, квадратный корень в квадратной формуле равен нулю:

x=−b±02ax={\dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{ 2a}}x=2a−b±0

Поскольку добавление нуля и вычитание нуля в квадратном уравнении приводят к одному и тому же результату, существует только один отдельный корень квадратной функции.

Отрицательный дискриминант

Если

Δ{\Delta}Δ

меньше нуля, значение под квадратным корнем в квадратной формуле отрицательное: 92 — х — 2f(x)=x2−x−2

. Поскольку значение больше 0, функция имеет два различных действительных нуля. График показывает, что она явно имеет два корня: функция пересекает ось

xxx

в точках

x=−1x=-1x=−1

и

x=2x=2x=2

.

Другие уравнения в квадратичной форме

Многие уравнения без членов нечетной степени могут быть сведены к квадратным уравнениям и решены теми же методами, что и квадратичные уравнения.

92p=x2

).

Значения

ppp

можно найти с помощью графика, разложения на множители, возведения в квадрат или использования формулы квадрата. Их квадратные корни (положительные и отрицательные) — это значения

xxx

, которые удовлетворяют исходному уравнению.

Уравнения более высокого порядка могут быть решены с помощью аналогичного процесса, который включает уменьшение их показателей. Требование состоит в том, чтобы существовали два члена числа

xxx

, такие, что отношение старшего показателя степени числа

xxx

в меньшую

2:12:12:1

.

Ключевые термины

• ноль : Также известен как корень; значение

  xxx

  , при котором функция

  xxx

  равна нулю.
• biquadratic : Когда многочлен включает только вторую и четвертую степени переменной.
• Функция четвертого порядка : Любая полиномиальная функция, наибольший показатель которой имеет степень четыре.

Полиномиальные уравнения более высоких степеней могут быть очень сложными для решения. Однако в некоторых особых ситуациях их можно сделать более управляемыми, уменьшив их показатели путем замены. Если можно сделать такую ​​замену, что многочлен более высокого порядка примет форму квадратного, то можно применить любой метод решения квадратного уравнения. 92+bp+c0=ap2+bp+c

С помощью подстановки мы смогли свести полином более высокого порядка к квадратному уравнению. Теперь его можно решить любым из множества методов (с помощью графика, разложения на множители, возведения в квадрат или с помощью квадратичной формулы).

Как только значения

ppp

найдены, каждое положительное значение временной переменной

ppp

 можно использовать для поиска двух значений

xxx

 таких, что: =р 92p=x2

, мы можем использовать каждое значение

ppp

для решения двух значений

xxx

:

x=±2x=\pm \sqrt 2x=±7 0

и 3

x=±10x= \pm \sqrt 10x=±1

​0

Аналогичную процедуру можно использовать для решения уравнений более высокого порядка. Требуется наличие двух членов числа

xxx

, таких, что отношение старшего показателя числа

xxx

к меньшему равно 9.0003

2:12:12:1

.

Лицензии и авторство

Контент под лицензией CC, совместно используемый ранее

• Курирование и пересмотр. Автор : Boundless.com. Лицензия : Общественное достояние: Не известно Авторские права

Лицензионный контент CC, конкретное указание авторства

• Квадратное уравнение. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Квадратичная функция. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• вершина. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• квадратичный. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• квадратичная функция. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Доказательство квадратного уравнения. Предоставлено : Академией Хана. Лицензия : Общественное достояние: неизвестно Авторские права
• Квадратное уравнение. Предоставлено : Википедия. Расположен по адресу : https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• парабола. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Безграничный. Предоставлено : Безграничное обучение. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Дискриминант. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Безграничный. Предоставлено : Безграничное обучение. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• дискриминант. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• квадратичный. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Оригинальная фигура Жюльена Койна. Лицензия CC BY-SA 4.0. Предоставлено : Жульеном Койном. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Функция Quartic. Предоставлено : Википедия. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• биквадратный. Предоставлено : Викисловарь. Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Безграничный.

  No related posts.