Как найти интервал сходимости степенного ряда: Интервал сходимости степенного ряда

Радиус и интервал сходимости степенного ряда

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

Конструирование Математика

• Главная
/
• Статьи
/
• Математика

(30.2.) Сформулируем понятия области и интервала сходимости ряда, укажем способ определения радиуса сходимости, на примере обозначим специфику нахождения радиуса и интервала сходимости ряда, запишем гармонический расходящийся ряд и знакочередующийся ряд, сходящийся условно.

В соответствии с теремой Абеля отметим: при условии, чтоявляется точкой сходимости ряда (30.2) ряд предполагает сходимость абсолютно во всех точках интервалаЕслиесть точка расходимости (30.2), то во всех точках интерваловряд расходится. Тогда заключим: имеется такое число, что наряд (30.2) сходится абсолютно, а нарасходится. В этом случае справедлива нижеобозначенная теорема.

Т: Область сходимости ряда (30.2) — это интервалпредполагается расходимость ряда.

Интервалопределен в качестве его радиуса сходимости. Существуют некоторые ряды, для которых интервал сходимости вырождается в точку, при этом, имеются и такие ряды, для которых интервал охватывает всю ось. Если, то ряд может расходиться и сходиться. Это зависит от конкретного ряда.

Запишем способ нахождения радиуса сходимости ряда (30.2). Исследуем ряд, составленный их абсолютных величин его членови используем по отношению к нему признак Даламбера:

 

 

При условии, что(иначе выражаясь,) ряд из абсолютных величин членов (30. 2) сходится и ряд (30.2) сходится абсолютно. Запишем

 

(30.4)

 

Если, то ряд (30.2) расходится, поскольку общий член рядане стремится кПолучается, что формула (30.4) обеспечивает радиус сходимости.

Пример: Определить радиус и интервал сходимости ряда

 

 

 

интервал абсолютной сходимостиНа концах интеграла: если, топредставляет собой гармонический расходящийся ряд, в случае же когда — это знакочередующийся ряд, который предполагает условную сходимость. Промежутокесть область сходимости обозначенного ряда.

Ряд (30.1) можно свести к ряду (30.2) посредством осуществления замены переменной

Если ряд, то ряд (30.1) сходится абсолютно для, иначе выражаясь, сходимость имеется на интервале

Нравится

Твитнуть

Теги Математика

Сюжеты Математика

Понятие об автоматах, их задание графами

(38. 4.) Сформулируем понятие конечного автомата, обозначим входной алфавит, выходной алфавит, алфавит состояний, функцию переходов, функцию выходов, на рисунке изобразим граф переходов.

4093 0

Некоторые классы графов

(38.3.) Большинство графов, которые используются в приложениях (например, графы сортировок, классификаций) предполагают наличие диаграмм, именуемых деревьями. Связный неориентированный граф без циклов, в частности, предполагающий отсутствие петель и кратных ребер, именуют деревом. Несвязный неориентированный граф без цикла — лес, его связные компоненты являются деревьями.

10092 0

Маршруты, цепи и циклы

(38.2.) В рамках обозначенной темы рассмотрим случай определения связного неориентированного мультиграфа в качестве эйлерова и гамильтонова графа.

13594 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

13. Решение типовых задач (вариант контрольной)

Вариант № 0

0.1. Найти частные производные функции

Решение.

Ответ:

0.2. Найти экстремумы функции

Решение.

1) Определяем критические точки. Для этого находим частные производные и решаем систему

Решение этой системы: , значит – критическая (стационарная) точка.

2) Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Находим частные производные 2-го порядка:

Вычисляем

Так как и то – точка максимума.

3) Экстремум функции – это значение функции в точке экстремума . Вычисляем это значение:

Ответ:

0.3. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж области.

Решение. Линия Y = – X2 – это парабола, а Y = – 5 – горизонтальная прямая. Найдем точки их пересечения. Для этого решим систему уравнений:

Изобразим область D В координатной плоскости.

Расставим пределы интегрирования

Вычислим двукратный интеграл

Интеграл вычисляется в предположении, что X – Константа.

Ответ:

0.4. Вычислить ,

Где – дуга параболы от точки A(0;0) до точки B(1;1).

Решение. В данном случае АВ задана в виде: , где , тогда . Получим

.

Ответ:

0.5. Найти интервал и область сходимости степенного ряда: .

Решение. Фиксируем X и составляем ряд из модулей. .

Применяем признак Даламбера для этого ряда:

при ; |x + 1| < 9: –9 < x + 1 < 9; –10 < x < 8.

Значит, (–10, 8) – интервал абсолютной сходимости исходного ряда.

Исследуем поведение данного ряда на концах интервала сходимости.

При Х = –10: – этот ряд знакочере­дующийся. Применяем признак Лейбница:

1) так как ;

2) .

Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница. Точка х = –10 входит в область сходимости степенного ряда , в этой точке ряд сходится условно.

При Х = 8: – этот ряд ведет себя так же, как гармонический ряд , который расходится. Действительно, по пре­дельному признаку . Значит, ряд расходится. Точка х = 8 не входит в область сходимости степенного ряда .

Областью сходимости ряда является интервал [–10, 8).

Ответ: интервал сходимости ряда (–10, 8),

Область сходимости ряда [–10, 8).

0.6. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,01:

.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. При решении используем разложение:

,

В котором вместо X возьмем X5. Тогда

.

Интеграл примет вид:

Для достижения указанной точности обычно оставляют первые несколько слагаемых ряда так, чтобы последнее из них было меньше этой точности. При вычислении оставляют на несколько знаков после запятой больше, чем требуется. В окончательном ответе округляют до указанной точности.

Ответ: .

0.7. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке

.

Решение. Здесь .

Вычислим коэффициенты Фурье:

Ряд Фурье для данной функции запишется в виде

Ответ:

0.8. Вероятность изготовления детали высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 9 наудачу взятых деталей будет от 5 до 7 де­талей высшего качества. Вычисления производить с точностью до 0,001.

Решение.

Эта задача подчиняется схеме повторений испытаний, в которой событие А состоит в выборе детали высшего качества. Здесь N=9; P=0,8; K1=5; K2=7. Требуется найти вероятность того, что событие А произойдет от K1 до K2 раз в этих N испытаниях – . Так как N < 30, то применим формулу Бернулли:

Ответ: вероятность равна 0,544.

0.9. Приводится статистический ряд случайной величины Х, имеющей нормальное распределение. Требуется:

1) найти точечные оценки параметров А и σ нормального распределения;

2) интервал , содержащий все наблюдаемые значения , разделить на 5 равных частей и построить гистограмму относительных частот. В ка­честве и выбрать такие целые числа, чтобы интервал имел наи­меньшую длину;

3) записать функцию плотности распределения и построить её на од­ном чертеже с гистограммой.

Все вычисления и построения в данной задаче допускается делать с ис­пользованием приложения MS Excel.

Результаты необходимо округлить до 0,001.

	ХI	1,3	1,9	2,5	3,1	3,7	4,3	4,9	5,5	6,1	6,7
Ni	2	10	17	21	26	25	24	18	14	3

Решение. 1) Объём выборки .

Параметры нормального распределения А и равны математическому ожи­данию и среднему квадратическому отклонению соответственно:

Оценками для них являются выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Найдем их:

,

,

, .

2) Выберем =1, =7. тогда . Составим Группированный статистический ряд:

Интервалы
Ni	12	38	51	42	17

Для построения гистограммы составим вспомогательную таблицу

Интервалы
	0,062	0.198	0.266	0.219	0.088

Строим гистограмму:

3) Запишем функцию плотности распределения

.

Построим её на одном чертеже с гистограммой. Для этого вычислим зна­чения функции в серединах интервалов, отметим эти точки на графике и соединим их плавной линией.

Ответ: 1) , 3) .

< Предыдущая

n\text{ который сходится на } \left\{\begin{массив}}{l}( \frac{cj-a}{j},\frac{cj+a}{j}),a\in\mathbb{R}\клин b\ge0\клин k=1 \клин j\neq0 \\ [\frac{cj-a}{j},\frac{cj+a}{j}),a>0\клин -1\le b<0\клин k=1 \клин j\neq0 \\ (\frac{cj-a}{j},\frac{cj+a}{j}],a<0\клин -1\le b<0\клин k=1 \клин j\neq0 \\ [\frac{cj-a}{j},\frac{cj+a}{j}],a\in\mathbb{R}\клин b<-1\клин k=1 \клин j\neq0 \\ [c,c],b\in\mathbb{N},a\in\mathbb{R}\клин k>1 \клин j\neq0 \\\вточки \\ (-\infty,\infty),a\in\mathbb{R}\клин b\in\mathbb{N},k\in\mathbb{R},j=0 \end{массив}\right.$$ 9n$$

Используйте формулу $3.$ Поскольку $a=7,b=-1,c=2$, мы можем заключить, что: $$\text{интервал сходимости равен }[c-a,c+a)=[-5,9)$$

---

Но опять же, я их еще не доказывал, так что могут быть контрпримеры.. скажите пожалуйста меня, если есть какие-либо книги говорили об этом.

Будем признательны за любую помощь или предложение.

исчисление — Найти интервал сходимости для заданного ряда

$\begingroup$

$\require{отмена}$ Найдите интервал сходимости для: 9\infty a_n$ расходится.

Как определить, сходится конечная точка или нет? Должен ли он сходиться (при этом значении $x$) абсолютно или условно?

• исчисление
• последовательности-и-ряды
• сходимость-расхождение

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Как и было предложено, я отправляю свой комментарий в качестве ответа, чтобы мы могли убрать этот вопрос с тарелки.

Готово, интервал равен $[−5,1)$. Он не обязательно должен сходиться абсолютно в конечных точках, и обычно это не так, он часто сходится только условно в конечных точках, если вообще сходится, но это не меняет интервал сходимости.