Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую. Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую Уравнение проекции точки на прямую
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.
1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0) и прямая L :
Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:
- построить прямую L 1 , проходящую через точку M 0 и перпендикулярную прямой L ,
- найти пересечение прямых L и L 1 (точка M 1)
Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0) имеет следующий вид:
Откроем скобки
| (5) |
Подставим значения x и y в (4):
где x 1 =mt» +x» , y 1 =pt» +y» .
Пример 1. Найти проекцию точки M 0 (1, 3) на прямую
Т.е. m =4, p =5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M» (x» , y» )=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x» =2, y» =-3. Подставим значения m, p, x 0 , y 0 , x», y» в (5″):
2. Пусть в трехмерном пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и прямая L :
Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:
- построить плоскость α , проходящую через точку M 0 и перпендикулярную прямой L ,
- найти пересечение плоскости α и прямой L (точка M 1)
Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) имеет следующий вид:
Откроем скобки
Подставим значения x и y в (9):
| m (mt +x» )+p (pt +y» )+l (lt +z» )−m x 0 −p y 0 −l z 0 =0 |
| m 2 t +mx» +p 2 t +py» +l 2 t +ly» −m x 0 −p y 0 −l z 0 =0 |
Проекция точки на прямую линию находится достаточно просто и при выполнении некоторых операций нулевое приближение вычисляется как проекция точки на касательную прямую.
Пусть дана прямая
и точка . Будем считать, что вектор прямой w имеет произвольную длину. Прямая линия проходит через точку , в которой параметр t равен нулю, и имеет направление вектора w. Требуется найти проекцию точки на прямую линию . Эта задача имеет единственное решение. Построим вектор из точки прямой в точку и вычислим скалярное произведение этого вектора и вектора прямой w. На рис. 4.5.1 показаны направляющий вектор прямой w, ее начальная точка Со и проекция ; заданной точки. Если разделим это скалярное произведение на длину вектора w, то получим длину проекции вектора на прямую линию.
Рис. 4.5.1. Проекция точки на прямую линию
Если же разделим это скалярное произведение на квадрат длины вектора w, то получим длину проекции вектора на прямую в единицах длины вектора w, т. е. получим параметр t для проекции точки на прямую линию.
Таким образом, параметр проекции точки на прямую линию и радиус-вектор проекции ; вычисляются по формулам
(4.
5.3)
Если длина вектора w равна единице, то в (4.5.2) не требуется выполнять деление на Расстояние от точки до ее проекции на кривую в общем случае вычисляется как длина вектора . Расстояние от точки до ее проекции на прямую линию можно определить, не вычисляя проекцию точки, а воспользовавшись формулой
Частные случаи.
Проекция точки на аналитические кривые также может быть найдена без привлечения численных методов. Например, чтобы найти проекцию точки на коническое сечение, нужно перевести проецируемую точку в местную систему координат конического сечения, спроецировать эту точку на плоскость конического сечения и найти параметр двухмерной проекции заданной точки.
Общий случай.
Пусть требуется найти все проекции точки на кривую линию Каждая искомая точка кривой удовлетворяет уравнению
(4.5.5)
Это уравнение содержит одну неизвестную величину — параметр t. Как было уже сказано, решение этой задачи разобьем на два этапа. На первом этапе определим нулевые приближения параметров проекций точки на кривую, а на втором этапе найдем точные значения параметров кривой, определяющие проекции заданной точки на кривую линию с
1-12.
о подставляем в параметрические уравне ния прямой и получаем искомые координаты точки
Р».
ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди нат проекции точки на прямую.
ПРИМЕР. Найти координаты проекции Р » точки Р(1,2,-1) на плоскость Зж — 2/4-22: — 4 = 0.
1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п =
Гл. 1. Ансиитическая геометрия | ||||
= {3, -1,2}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид | ||||
У-2 _ z-hl | ||||
2. Найдем координаты ТОЧЮЙ пересечения Р» этой прямой с задан | ||||
ной плоскостью. Положим | ||||
х-~1 __ у-2 __ Z + 1 _ | ||||
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид | ||||
3.
на плос-
4х + бу -f 4z —
2х + 6у»-2г-\-11
4 х — 5 2 / — г — 7
ж-f-42/+ З2: 4-5 = 0.
2х -h Юу + lOz —
2х -МО2/ -f- lOz —
Ответы. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2).
z
в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересе чение прямой и плоскости;
в) найденное значение to подставляем в параметрические уравне ния прямой и получаем искомые координаты точки Р».
2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан ной прямой, определяем из условий (1). Получаем
XQ = 2хр/ — Хр, yq = 2ур» — ур, ZQ = 22;р/ — zp.
ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди нат точки, симметричной данной, относительно плоскости.
ПРИМЕР. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, -1,2) относительно прямой
X — 1 _ у __ Z -\-1
Р ЕШЕНИЕ.
1. Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р». Для этого:
а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой: n = a = {1,0,-2}. Тогда
Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, на ходим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости: to = -1;
в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = -1, получаем
жр/ = О, г/р/ = О, zpr
= 1.
носителъно заданной прямой.
Проекция точки на наклонную плоскость. : Чулан (М)
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
| Быстрый |
| ||
03/12/06 |
| ||
| |||
| ИСН |
| |||
18/05/06 |
| |||
| ||||
| Быстрый |
| ||
03/12/06 |
| ||
| |||
04.2007, 18:09 | Someone |
| |||
23/07/05 |
| |||
| ||||
| Быстрый |
| ||
03/12/06 |
| ||
| |||
| Capella |
| |||
09/10/05 |
| |||
| ||||
| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 6 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
линейная алгебра — проецирование 3D точки на плоскость
Задавать вопрос
спросил
Изменено 2 месяца назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
У меня есть плоскость, заданная уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$. Он не проходит через источник.
Я спроецировал начало своей глобальной системы координат на плоскость, так что она находится в точке $(a, b, c)$.
У меня есть известная точка $P$ на плоскости в точке $(d, e, f)$.
Если я рассматриваю плоскость в квадрате как двумерное пространство, то я могу считать, что спроецированная исходная точка находится в $(0, 0)$. Таким образом, трехмерная точка $(a, b, c)$ становится двумерной $(0, 0)$.
Как найти двумерные координаты $(x, y)$ моей известной трехмерной точки $P$ $(d, e, f)$?
Извините, если моя терминология неверна.
Спасибо, Энди
- линейная алгебра
- геометрия
- 3d
$\endgroup$
$\begingroup$
Координаты точки P(d,e,f) станут (d-a,e-b) в 2D
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Это зависит от того, как вы интерпретируете «x» и как «y» в вашей 2D-плоскости. Здесь есть несколько подходов:
Используйте еще одну точку Q и определите, что «линия между проекцией Q на поверхность и началом поверхности составляет ось x, а Q находится на положительной стороне линии оси x». Тогда у вас есть это, и ось Y представляет собой определенную линию. Но тогда у вас все еще есть два возможных направления для вашей оси Y, в зависимости от того, с какой стороны вашей плоскости вы смотрите. Так что вы должны указать это, а также.
Вы берете проекции осей x и y в 3D-пространстве и помещаете их на 2D-поверхность. Однако проблема заключается в том, что если ваша плоскость перпендикулярна одной из этих линий, то ее проекция представляет собой всего лишь одну точку. Другая ось обязательно является линией в этой точке, поэтому вы можете с уверенностью сказать, на какой линии находится ваша первая ось, но тогда вам все равно нужно определить направление, в каком направлении она идет?
В конце концов, вы получите множество различных способов справиться с этим. 2} $. Теперь у вас есть расстояние, но нет угла, но угол зависит от вас. 92+C}} = 0$
Таким образом:
$k(Aa+Bb+Cc) + D = 0\\ k = -\frac {D}{Aa+Bb+Cc}$
Ваша спроецированная точка $(-\frac {Da}{Aa+Bb+Cc}, -\frac {Db}{Aa+Bb+Cc }, -\frac {Dc}{Aa+Bb+Cc}))$
Если вы хотите просмотреть плоскость «в квадрате», нам нужно преобразование координат, чтобы выровнять:
$(u,v, w) = \begin{bmatrix} -B&A&0\\-C& 0& A\\A&B&C\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end {bmatrix}$
Одно из таких преобразований:
Преобразованная плоскость теперь $w=D$
$\frac {D}{Aa+Bb+Cc}\begin{bmatrix} -B&A&0\\-C& 0& A\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b\\c\end {bmatrix}$
Будет отображением на плоскость в пространстве $uv$.
$\endgroup$
линейная алгебра — 3D точечная проекция на 2d плоскость с использованием вектора нормали и вектора проекции
Вы не предоставили достаточно информации для полного решения: вам нужно выбрать систему координат для плоскости. Вы также недоопределили саму плоскость — где она находится по отношению к началу координат? — но это незначительная проблема. Вот набросок того, как вы можете построить полную проекцию: Разделите задачу на ряд более простых преобразований: есть трехмерная параллельная проекция на плоскость, изменение системы координат на такую, в которой плоскость проекции является плоскостью координат. , и приведение к 2-D. Также может быть полезно выполнять преобразования системы координат по частям. 9T \mathbf s}\mathbf s,$$, поэтому вам нужно только вычислить пару скалярных произведений, умножить вектор на скаляр и сложить два вектора. Более того, если вы преобразуете много точек, одно из этих скалярных произведений нужно вычислить только один раз.
Следующим шагом является переход к системе координат, в которой первые две оси лежат на плоскости. Если вы выбираете пару ортогональных единичных векторов $\mathbf u_1$ и $\mathbf u_2$ для представления желаемых направлений двумерных осей $x$ и $y$, то это преобразование выполняется ортогональной матрицей $$\mathtt R = \begin{bmatrix} \mathbf u_1^T \\ \mathbf u_2^T \\ \mathbf n^T/\|\mathbf n\| \end{bmatrix},$$ т.