Математика: Справ. материалы
Математика: Справ. материалы
ОглавлениеСЛОВО К УЧАЩИМСЯГЛАВА I. ЧИСЛА § 1. Натуральные числа 2. Арифметические действия над натуральными числами. 3. Деление с остатком. 4. Признаки делимости. 5. Разложение натурального числа на простые множители. 6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел. 7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел.  8. Употребление букв в алгебре. Переменные. § 2. Рациональные числа 10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 11. Приведение дробей к общему знаменателю. 12. Арифметические действия над обыкновенными дробями. 13. Десятичные дроби. 14. Арифметические действия над десятичными дробями. 15. Проценты. 16. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь. 17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. 18. Координатная прямая. 19. Множество рациональных чисел. § 3. Действительные числа 21. Действительные числа. Числовая прямая. 22 Обозначения некоторых числовых множеств. 23. Сравнение действительных чисел. 25. Числовые промежутки. 26. Модуль действительного числа. 27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой. 28. Правила действий над действительными числами. 29. Свойства арифметических действий над действительными числами.  30. Пропорции. 31. Целая часть числа. Дробная часть числа. 32. Степень с натуральным показателем. 33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем. 34. Стандартный вид положительного действительного числа. 35. Определение арифметического корня. 36. Корень нечетной степени из отрицательного числа. 37. Степень с дробным показателем. 38. Свойства степеней с рациональными показателями. 39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности. 40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку. 41. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа. 42. Понятие о степени с иррациональным показателем. 43. Свойства степеней с действительными показателями. § 4. Комплексные числа 45. Арифметические операции над комплексными числами. 47. Отыскание комплексных корней уравнений. ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 49.  3.112. Построение графика функции y = f(x-m)+n 113. График квадратичной функции. 114. Способы построения графика квадратичной функции 115. Построение графика функции y = f(kx). 116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций. 117. График гармонического колебания ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма 119. Определение логарифма положительного числа по данному основанию. 120. Свойства логарифмов. 121. Переход к новому основанию логарифма. 122. Логарифмирование и потенцирование. 123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. § 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений 125. Формулы сложения и вычитания аргументов. 126. Формулы приведения. 127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. 128. Формулы двойного угла. 129. Формулы понижения степени.  130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение. 131. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 132. Преобразование выражения a cos t + b sin t к виду A sin (t + a). 133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ § 14. Уравнения с одной переменной 135. Равносильность уравнений. 136. Линейные уравнения. 137. Квадратные уравнения. 138. Неполные квадратные уравнения. 139. Теорема Виета. 140. Системы и совокупности уравнений. 141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. 143. Уравнения с переменной в знаменателе. 144. Область определения уравнения. 145. Рациональные уравнения. 146. Решение уравнения p(x) = 0 методом разложения его левой части на множители. 147. Решение уравнений методом введения новой переменной. 148. Биквадратные уравнения.  149. Решение задач с помощью составления уравнений. 150. Иррациональные уравнения. 151. Показательные уравнения. 152. Логарифмические уравнения. 153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений. 154. Простейшие тригонометрические уравнения. 155. Методы решения тригонометрических уравнений. 156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений). 157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений). 158. Графическое решение уравнений. 159. Уравнения с параметром. § 15. Уравнения с двумя переменными 161. График уравнения с двумя переменными. 162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. § 16. Системы уравнений 164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. 165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения. 167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. 168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными.  169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления. 170. Системы показательных и логарифмических уравнений. 171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными. 172. Системы трех уравнений с тремя переменными. 173. Решение задач с помощью составления систем уравнений. § 17. Решение неравенств с переменной 175. Графическое решение неравенств с одной переменной. 176. Линейные неравенства с одной переменной. 177. Системы неравенств с одной переменной. 178. Совокупность неравенств с одной переменной. 179. Дробно-линейные неравенства. 180. Неравенства второй степени. 181. Графическое решение неравенств второй степени. 182. Неравенства с модулями. 183. Решение рациональных неравенств методом промежутков. 184. Показательные неравенства. 185. Логарифмические неравенства. 186. Иррациональные неравенства. 187. Решение тригонометрических неравенств. 188.  Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.§ 18. Доказательство неравенств 190. Синтетический метод доказательства неравенств. 191. Доказательство неравенств методом от противного. 192. Использование неравенств при решении уравнений. ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА § 19. Числовые последовательности 194. Способы задания последовательности. 195. Возрастание и убывание последовательности. 196. Определение арифметической прогрессии. 197. Свойства арифметической прогрессии 198. Определение геометрической прогрессии. 199. Свойства геометрической прогрессии. 200. Понятие о пределе последовательности. 201. Вычисление пределов последовательностей. 202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| § 20. Предел функции 204. Вычисление пределов функции при х->оо. 205. Предел функции в точке. Непрерывные функции. 206. Вертикальная асимптота. 207. Вычисление пределов функций в точке. § 21.  Производная и ее применения209. Определение производной. 210. Формулы дифференцирования. Таблица производных. 212. Сложная функция и ее дифференцирование. 213. Физический смысл производной. 214. Вторая производная и ее физический смысл. 215. Касательная к графику функции. 216. Применение производной к исследованию функций на монотонность. 217. Применение производной к исследованию функций на экстремум. 218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке. 219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке. 220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин. 221. Применение производной для доказательства тождеств. 222. Применение производной для доказательства неравенств. 223. Общая схема построения графика функции. § 22. Первообразная и интеграл 225. Таблица первообразных. 226.  Правила вычисления первообразных.227. Интеграл. 228. Связь между интегралов и первообразной (формула Ньютона—Лейбница). 229. Правила вычисления интегралов. 230. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур. ГЕОМЕТРИЯ. ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ НА ПЛОСКОСТИ 2. Точка. Прямая. 3. Определения. Аксиомы. Теоремы. § 2. Основные свойства простейших геометрических фигур 5. Луч. 6. Окружность. Круг. 7. Полуплоскость. 8. Угол. Градусная мера угла. 9. Смежные и вертикальные углы. 10. Центральные и вписанные углы. 11. Параллельные прямые. 12. Признаки параллельности прямых. 13. Перпендикулярные прямые. 14. Касательная к окружности. 15. Треугольники. 16. Равенство треугольников. 17. Равнобедренный треугольник. 18. Сумма углов треугольника. 19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. 20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника. § 3. Геометрические построения на плоскости  Простейшие задачи на построение.23. Геометрическое место точек на плоскости. § 4. Четырехугольники 25. Параллелограмм. 26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. 27. Трапеция. § 5. Многоугольники 29. Выпуклые многоугольники. 30. Правильные многоугольники. 31. Длина окружности. § 6. Решение треугольников 33. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. 34. Теорема косинусов. Теорема синусов. 35. Решение треугольников. § 7. Площади плоских фигур 37. Площади многоугольников. 38. Площади подобных фигур. 39. Площадь круга. ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве § 9. Параллельность прямых и плоскостей 42. Параллельность прямой и плоскости. 43. Параллельные плоскости. § 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей 45. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. 46. Перпендикулярность плоскостей. ГЛАВА III. ТЕЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 11. Многогранники 48. Многогранные углы. Многогранники.  49. Призма. Параллелепипед. Куб. 50. Пираприда. 51. Правильные многогранники. § 12. Тела вращения 53. Конус. 54. Шар. § 13. Изображение пространственных фигур на плоскости 56. Ортогональное проектирование. 57. Геометрическое место точек в пространстве. § 14. Объемы тел 59. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды. 60. Объем цилиндра и конуса. 61. Общая формула объемов тел вращения. § 15. Площади поверхностей тел 63. Понятие площади поверхности. 64. Площади поверхностей тел вращения. ГЛАВА IV. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ § 16. Координаты на плоскости и в пространстве 66. Координаты середины отрезка. § 17. Уравнения фигур на плоскости 68. Пересечение двух окружностей. 69. Уравнение прямой. 70. Пересечение прямой и окружности. § 18. Уравнения фигур в пространстве 72. Уравнение сферы. 73. Взаимное расположение сферы и плоскости. 74. Пересечение двух сфер. ГЛАВА V. РЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР 76.  Понятие движения.§ 20. Подобие фигур 78. Подобные фигуры. ГЛАВА VI. ВЕКТОРЫ 80. Понятие вектора. 81. Координаты вектора. § 22. Операции над векторами 83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. 84. Скалярное произведение векторов. ПРИЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЯ |
Ответы | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||
09.21
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука
| Похожие вопросы |
По графику зависимости скорости от времени найди ускорение a и пройденный путь S за отрезок времени от 0,4 до 4,7 с.
2+3x-3,A-матрица 2 1
3 5 .Помогите пожалуйста
Квадрат ABCD и трапеция KMNL не лежат в одной плоскости. Точки А и D — середины отрезков КМ и NL соответственно. а) Докажите, что KL || ВС. б) Найдите ВС, если KL = 10 см, MN = 6 см. 2. Плоскость
школьники трёх классов помогали в уборке картофеля один класс собрал 230 кг картофеля другой на 20 кг больше чем первый но оба класса собрали вместе…
Пользуйтесь нашим приложением
Как найти домен и диапазон (видео и практические вопросы)
TranscriptPractice
Привет и добро пожаловать в это видео о домене и диапазоне ! В этом видео мы увидим:
- Что такое домен и диапазон
- И как найти домен и диапазон функции
Помните, функция представляет собой отношение между двумя наборами чисел, входом и выход.
Каждый элемент ввода создает уникальный элемент вывода.
Домен функции — это набор всех возможных входов функции. Это означает, что это любое число, которое вы можете вставить в функцию. Для большинства функций это будет любое число, которое вы можете подставить вместо буквы x . Почти каждый раз в вашем домене будут все действительные числа, за исключением нескольких особых случаев, таких как функций квадратного корня из и рациональных чисел.
Диапазон функции — это набор всех возможных выходов функции. Обычно это обозначается буквой 9.0021 и или \(f(x)\). Диапазон — это любое число, которое вы можете получить, подставив любое число для x .
Давайте рассмотрим простую линейную функцию: \(y = 4x + 3\). Мы найдем домен и диапазон, используя только уравнение, просмотрев график и таблицу.
Давайте на минутку подумаем об этом алгебраически. Домен — это любое число, которое мы можем поставить вместо x .
Вы можете поставить 1, 2, -7, 84 или любое другое число вместо 9.0021 х . Это означает, что домен: \(-\infty\leq x\leq\infty\). Другой способ сказать это состоит в том, что область определения — это набор всех действительных чисел.
Что насчет нашего ассортимента? Что ж, если я подставлю 1 для x , я получу 7, а если я подставлю 2 для x , я получу 11. Но я также могу подставить 1,5 для x , что даст мне 9 или 1,25. для x , что дало бы мне 8. Я могу подставить любое десятичное число, поэтому для этого уравнения я также могу получить любое число для y путем поиска правильного x .
Диапазон этой функции также является набором всех действительных чисел.
Теперь я хочу проверить это графически. Если изобразить эту функцию на графике, мы увидим, что это линия. Линии продолжаются через каждое значение x и каждое значение y . Это совпадает с тем, что мы выяснили, обдумав это алгебраически.
{2}-4x+3\)?
Домен — это список номеров, которые можно подключить к x . Вы можете подставить любое число для x , поэтому домен представляет собой набор всех действительных чисел.
Что насчет нашего ассортимента? Давайте разберемся в этом, взглянув на график уравнения.
Помните, наш диапазон включает все возможные значения для y . Если мы посмотрим на наш график, то увидим, что это парабола , которая открывается вершиной в точке \((2, -7)\).
Это означает, что наш диапазон равен \(y\geq-7\).
Попробуем еще один пример, на этот раз с таблицей для функции \(y=2x–1\).
| X | Y |
| 7 | 13 |
| 14 | 27 |
| 21 | 41 |
| 28 | 55 |
Какими будут наш домен и диапазон с учетом этой таблицы? Наш домен будет {7, 14, 21 и 28}, а наш диапазон будет {13, 27, 41 и 55}.
Если бы нам нужен был домен и диапазон для всей функции, мы бы подумали, какие числа мы можем подставить для x и какие соответствующие значения y мы получим. Что ж, мы можем подставить любое число вместо x , и это линейная функция, поэтому мы можем получить любое число вместо y . Следовательно, область определения и область значений этой функции — все действительные числа.
Помните, если вы находите область определения и область значений функции алгебраически, подумайте, какие числа вы можете подставить для x и получившиеся числа вы получите для y . Если вы находите домен и диапазон данных на графике, проследите пальцем по графику и посмотрите, какие значения x он охватывает и какие значения y он охватывает. Наконец, если вы смотрите на таблицу, домен — это список чисел, введенных для x , а диапазон — это список чисел, которые являются выходами этих входных данных x , чисел в столбце y .
Примеры доменов и диапазонов и ответы
Надеюсь, это видео о домене и диапазоне было полезным! Спасибо за просмотр и удачной учебы!
Практические вопросы
Вопрос №1:
Линейное уравнение \(y=2x+3\) показано ниже. Используйте график, чтобы определить домен и диапазон. Помните, что красная линия бесконечно продолжается за пределами страницы в обоих направлениях.
Домен: числа меньше 10 | Диапазон: все действительные числа
Домен: все действительные числа | Диапазон: все действительные числа
Домен: значения больше 10 | Диапазон: все действительные числа
Домен: нет решений | Диапазон: все действительные числа
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ Домен: все действительные числа | Диапазон: все действительные числа. Домен относится ко всем возможным входам, которые вы можете подключить к функции.
В этом случае красная линия на графике показывает, что любое значение можно подставить вместо 9.2+4x+3\) на графике ниже. Используйте график, чтобы определить домен и диапазон.
Домен: x ≥ -1 | Диапазон: нет решений
Домен: x ≥ 3 | Диапазон: все действительные числа
Домен: нет решения | Диапазон: y ≥ -3
Домен: все действительные числа | Диапазон: y ≥ -1
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ Домен: все действительные числа | Диапазон: у ≥ -1. На графике видно, что все значения x представлены где-то на красной линии, потому что линия тянется влево и вправо и не заканчивается. Это означает, что домен состоит из действительных чисел. Однако, глядя на диапазон, обратите внимание, что красная линия останавливается на -1 для и значения. Это означает, что значения для y равны или выше -1, что соответствует y ≥ -1.
Скрыть ответ
Вопрос № 3:
В таблице ниже представлены только первые четыре члена функции.
Это лишь небольшая часть данных, которые можно представить на графике \(y=-2x+7\). Какие значения представляют диапазон?
| А | Б |
| 1 | 5 |
| 2 | 3 |
| 3 | 1 |
| 4 | -1 |
Column A
Column B
Show Answer
Answer:
Правильный ответ — столбец B. Это можно определить, подставив значение слева в уравнение. Результатом является значение справа. Каждое значение слева является входом, а каждое значение справа — выходом. Например, если мы подставим 1 вместо x , мы получаем 5 в качестве вывода для y .
Скрыть ответ
Вопрос №4:
Найдите область определения и диапазон для линейного уравнения \(y=5x+7\).
Домен: все действительные числа | Диапазон: все действительные числа
Домен: все действительные числа | Диапазон: y ≥ 7
Домен: x ≥ 5 | Диапазон: y > 5
Домен: нет реальных решений | Диапазон: все действительные числа
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ: Домен: все действительные числа | Диапазон: все действительные числа. Область определения и область значений этого линейного уравнения можно определить алгебраически. Нет ничего, что мешало бы подставить любое значение для x , поэтому домен состоит из действительных чисел. Значения y, или выходные данные, являются просто отражением того, что вводится. Так как любое значение может быть подставлено и это линейное уравнение, значения для и также не ограничены. Значения для x не ограничены, как и значения для y , поэтому диапазон также состоит из действительных чисел.
Скрыть ответ
Вопрос № 5:
Какая таблица показывает правильный домен и диапазон для линейного уравнения \(y=2x+3\)?
Показать ответ
Ответ:
Правильный ответ: B. Входные значения представлены как x , а f(x) представляют выходные значения, или y . Таблицу B можно проверить алгебраически, чтобы убедиться, что каждое входное значение приводит к соответствующему выходному значению. Если 1 подключен вместо x , результат равен 5. Если 2 подставить вместо x , результат будет 7. В таблице B показаны входные и выходные значения, соответствующие данному уравнению.
Скрыть ответ
Вернуться к видео Algebra II
778133788133
Найти область определения функции, заданной уравнением | Колледж Алгебра |
В разделе Функции и обозначения функций мы познакомились с понятиями домена и диапазона .
В этом разделе мы попрактикуемся в определении доменов и диапазонов для конкретных функций. Имейте в виду, что при определении доменов и диапазонов нам необходимо учитывать, что физически возможно или значимо в реальных примерах, таких как продажи билетов и год в приведенном выше примере с фильмом ужасов. Мы также должны рассмотреть, что математически разрешено. Например, мы не можем включать какое-либо входное значение, которое приводит к извлечению четного корня из отрицательного числа, если домен и диапазон состоят из действительных чисел. Или в функции, выраженной в виде формулы, мы не можем включить какое-либо входное значение в область определения, которая привела бы к делению на 0,9.0003
Рисунок 2
Мы можем представить домен как «зону хранения», содержащую «сырье» для «функциональной машины», а ассортимент — как еще одну «зону хранения» для продуктов машины.
Мы можем записать домен и диапазон в интервальной нотации , которая использует значения в квадратных скобках для описания набора чисел.
В обозначении интервала мы используем квадратную скобку [ когда набор включает конечную точку, и круглую скобку (, чтобы указать, что конечная точка либо не включена, либо интервал не ограничен. Например, если у человека есть 100 долларов, которые он может потратить, он или она нужно выразить интервал, который больше 0 и меньше или равен 100 и написать
(0, 100]\left(0,\text{ }100\right](0, 100]
. Обозначение интервалов мы обсудим позже более подробно.
Обратимся к поиску области определения функции, уравнение которой приведено. Часто для нахождения области определения таких функций необходимо запомнить три разные формы. Во-первых, если функция не имеет знаменателя или четного корня, подумайте, могут ли доменом быть все действительные числа. Во-вторых, если в уравнении функции есть знаменатель, исключите значения в области значений, при которых знаменатель равен нулю. В-третьих, если есть четный корень, рассмотрите возможность исключения значений, которые сделали бы подкоренное число отрицательным.
Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим правила записи интервалов:
- Первым записывается наименьший член интервала.
- Самый большой член в интервале пишется вторым после запятой.
- Круглые скобки ( или ) используются для обозначения того, что конечная точка не включена, что называется исключительным.
- Скобки [ или ] используются для указания того, что конечная точка включена, что называется включением.
В таблице ниже приведены сводные данные об обозначении интервалов.
Пример 1. Нахождение области определения функции как набора упорядоченных пар
Найдите область определения следующей функции:
{(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}\left\{\left(2, \text{ }10\вправо),\влево(3,\text{ }10\вправо),\влево(4,\text{ }20\вправо),\влево(5,\text{ }30\вправо) ,\left(6,\text{ }40\right)\right\}{(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}
.
Раствор
Сначала определите входные значения. Входное значение — первая координата в заказал пару . Ограничений нет, так как упорядоченные пары просто перечислены. Область определения — это множество первых координат упорядоченных пар.
{2,3,4,5,6}\влево\{2,3,4,5,6\вправо\}{2,3,4,5,6}
Попробуйте 1
Найдите область определения функции:
{(−5,4),(0,0),(5,−4),(10,−8),(15,−12)}\left\{\left(- 5,4\право),\лево(0,0\право),\лево(5,-4\право),\лево(10,-8\право),\лево(15,-12\право)\ вправо\}{(−5,4),(0,0),(5,−4),(10,−8),(15,−12)}
Решение 9{2}-1f(x)=x2−1
.
Решение
Входное значение, показанное переменной
xxx
в уравнении, возводится в квадрат, а затем результат уменьшается на единицу. Любое действительное число можно возвести в квадрат, а затем уменьшить на единицу, поэтому ограничений на область определения этой функции нет.
Домен — это множество действительных чисел.
В интервальной форме область определения
fff
равна
(−∞,∞)\left(-\infty ,\infty \right)(−∞,∞)
9{3}f(x)=5−x+x3.
Решение
Как: Дана функция, записанная в виде уравнения, включающего дробь, найти область определения.
- Определите входные значения.
- Определите любые ограничения на ввод. Если в формуле функции есть знаменатель, приравняйте знаменатель к нулю и найдите
xxx
. Если формула функции содержит четный корень, установите подкоренное число больше или равное 0, а затем решите. - Запишите домен в форме интервала, исключив из домена любые ограниченные значения.
Пример 3. Нахождение области определения функции, содержащей знаменатель (рациональная функция)
Найдите область определения функции
f(x)=x+12−xf\left(x\right)=\frac{x+1}{2-x}f(x)=2−xx+1
.
Решение
Когда есть знаменатель, мы хотим включить только значения ввода, которые не заставляют знаменатель быть равным нулю. Итак, мы установим знаменатель равным 0 и решим для
ххх
.
{2−x=0−x=−2x=2\begin{cases}2-x=0\qquad \\ -x=-2\qquad \\ x=2\qquad \end{cases}⎩
⎨
⎧2−x=0−x=−2x=2
Теперь мы исключим 2 из домена. Все ответы представляют собой действительные числа, где
x<2x<2x<2
или
x>2x>2x>2
. Мы можем использовать символ, известный как объединение,
∪\cup ∪
, чтобы объединить два множества. В интервальной записи запишем решение:
(-∞,2)∪(2,∞)\влево(\mathrm{-\infty},2\вправо)\чашка \влево(2,\infty \вправо)(-∞,2)∪(2 ,∞)
.
Рис. 3 (2,\infty\right)(−∞,2)∪(2,∞)
.
Попробуйте 3
Найдите область определения функции:
f(x)=1+4x2x−1f\left(x\right)=\frac{1+4x}{2x — 1}f(x)=2x−11+4x
.
Решение
Как: Дана функция, записанная в виде уравнения, включая четный корень, найти область определения.
- Определите входные значения.
- Поскольку имеется четный корень, исключите все действительные числа, которые приводят к отрицательному числу в подкоренном члене. Установите подкоренную часть больше или равной нулю и найдите
xxx
. - Решение(я) являются областью определения функции. Если возможно, запишите ответ в интервальной форме.
Пример 4. Нахождение области определения функции с четным корнем
Найдите область определения функции
f(x)=7−xf\left(x\right)=\sqrt{7-x}f(x)=7−x
.
Решение
Если в формуле есть четный корень, мы исключаем все действительные числа, которые приводят к отрицательному числу в подкоренном.
Установите подкоренную часть больше или равной нулю и найдите
xxx
.
{7−x≥0−x≥−7x≤7\begin{cases}7-x\ge 0\qquad \\ -x\ge -7\qquad \\ x\le 7\qquad \end{cases }⎩
⎨
⎧7−x≥0−x≥−7x≤7
Теперь мы исключим из домена любое число больше 7. Все ответы представляют собой действительные числа, меньшие или равные
777
или
(−∞,7]\left(-\infty ,7\right](−∞,7]
.
Попробуйте 4
Найдите область определения функции
f(x)=5+2xf\left(x\right)=\sqrt{5+2x}f(x)=5+2x
.
Решение
Вопросы и ответы
Могут ли быть функции, в которых домен и диапазон вообще не пересекаются?
Да. Например, функция f(x)=−1xf\left(x\right)=-\frac{1}{\sqrt{x}}f(x)=−x 1
Лицензии и атрибуции
Контент с лицензией CC, совместно используемый ранее
- Precalculus. Автор : Джей Абрамсон и др. Предоставлено : OpenStax.
