Как найти определитель матрицы 3х4: Определитель матрицы онлайн с подробным решением

Найти ранг матрицы: способы и примеры

• Понятие ранга матрицы
• Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров
• Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)
• Найти ранг матрицы самостоятельно, а затем посмореть решение
• Ранг матрицы — онлайн калькулятор

Ранг матрицы используется при проверке условия совместности системы линейных уравнений.

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.

Можно открыть в новом окне материал о линейной независимости векторов.

Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.

Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям, а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это «сколько-то» должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это «сколько-то» должно быть одним и тем же числом.

Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое «сколько-то» (число строк и столбцов) обозначим через k.

Определение. Минор (r+1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r-го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.

Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы. Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).

При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.

Теорема 2 о ранге матрицы.

Если из элементов матрицы можно составить минор r-го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r.

При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:

— если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.

Например, дана матрица

.

Возьмём минор

,

окаймляющими будут такие миноры:

.

Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.

1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице (r =1).

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2).

3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём (r =2).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

Пример 1. Найти ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка .

Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:

,

,

,

.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (r =2).

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 2. Найти ранг матрицы

.

Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 3. Найти ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Пример 4. Найти ранг матрицы

.

Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.

Проверить решение можно на калькуляторе онлайн Вычисление ранга матрицы.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;

4) удаление «нулевых» строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;

5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.

Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B, то .

Используя эту теорему, отправляясь от любой матрицы A всегда можно прийти к такой матрице B, вычисление ранга которой не представляет затруднений. Для этого следует добиться, чтобы матрица B была трапециевидной.

Тогда ранг полученной матрицы будет равен числу строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Пример 5. Найти ранг матрицы

.

Решение. Подвергнем эту матрицу следующим преобразованиям. Ко второй строке прибавим третью, умноженную на — 2, а затем к третьей строке прибывам первую, умноженную на 2, и, наконец, из четвёртой вычтем первую. После этих трёх последовательно выполненных преобразований получим матрицу

.

Вычитая из четвёртой строки третью, а затем переставив местами вторую и третью строки, получаем матрицу

.

Получили трапециевидную матрицу. Ранг полученной матрицы равен трём (r=3), так как после вычёркивания последней строки, полностью состоящей из нулей, в ней останется три строки.

Желающие могут проверить это решение способом окаймляющих миноров (минор третьего порядка, находящийся в левом верхнем углу, не равен нулю, а все миноры четвёртого порядка равны нулю).

Пример 6. Найти ранг матрицы

.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти ранг матрицы

.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Назад

Листать

Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Матрицы

Поделиться с друзьями

Начало темы «Матрицы»

Понятие матрицы

Продолжение темы «Матрицы»

Обратная матрица

Произведение двух матриц

Умножение матрицы на число

Сложение матриц

Решение матричных уравнений

Другие темы линейной алгебры

Определители

Системы линейных уравнений

Ранг матрицы онлайн

Число r называется рангом матрицы A, если:
1) в матрице A есть минор порядка r, отличный от нуля;
2) все миноры порядка (r+1) и выше, если они существуют, равны нулю.
Иначе, ранг матрицы – это наивысший порядок минора, отличного от нуля.
Обозначения: rangA, r_A или r.
Из определения следует, что r – целое положительное число. Для нуль-матрицы считают ранг равным нулю.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения ранга матрицы. При этом решение сохраняется в формате Word и Excel. см. пример решения.

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Инструкция. Выберите размерность матрицы, нажмите

Далее. Выберите размерность матрицы 34567 x 34567

Определение. Пусть дана матрица ранга r. Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок r, называется базисным, а строки и столбцы его составляющие – базисными строками и столбцами.
Согласно этому определению, матрица A может иметь несколько базисных миноров.

Ранг единичной матрицы E равен n (количеству строк).

Пример 1. Даны две матрицы , и их миноры , . Какой из них можно принять в качестве базисного?
Решение. Минор M₁=0, поэтому он не может быть базисным ни для одной из матриц. Минор M₂=-9≠0 и имеет порядок 2, значит его можно принять в качестве базисного матриц A или / и B при условии, что они имеют ранги, равные 2. Поскольку detB=0 (как определитель с двумя пропорциональными столбцами), то rangB=2 и M₂ можно взять за базисный минор матрицы B. Ранг матрицы A равен 3, в силу того, что detA=-27≠0 и, следовательно, порядок базисного минора этой матрицы должен равняться 3, то есть M₂ не является базисным для матрицы A. Отметим, что у матрицы A единственный базисный минор, равный определителю матрицы A.

Теорема (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).
Следствия из теоремы.

1. Всякие (r+1) столбцов (строк) матрицы ранга r линейно зависимы.
2. Если ранг матрицы меньше числа ее строк (столбцов), то ее строки (столбцы) линейно зависимы. Если rangA равен числу ее строк (столбцов), то строки (столбцы) линейно независимы.
3. Определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно зависимы.
4. Если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку, (столбец) умноженную на любое число, отличное от нуля, то ранг матрицы не изменится.
5. Если в матрице зачеркнуть строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов), то ранг матрицы не изменится.
6. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).
7. Максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

Пример 2. Найти ранг матрицы .
Решение. Исходя из определения ранга матрицы, будем искать минор наивысшего порядка, отличный от нуля. Сначала преобразуем матрицу к более простому виду. Для этого первую строку матрицы умножим на (-2) и прибавим ко второй, затем ее же умножим на (-1) и прибавим к третьей:

Поскольку вторая и третья строки пропорциональны, то одну из них можно вычеркнуть, что не изменит ранг. Получаем , так как в матрице есть минор второго порядка, отличный от нуля, а миноры более высокого порядка отсутствуют.

Пример 3. Привести данную матрицу к ступенчатому виду и определить её ранг. .
Решение. Получим нули в первом столбце, оперируя первой строкой .
Третью строку вычеркиваем, поскольку она получается умножением второй строки на 2, а в последней строке отбросим общий множитель:

Калькулятор определителя матрицы — MathCracker.com

Инструкции: Используйте этот калькулятор определителя матрицы, чтобы вычислить заданный определитель матрицы, показывая все шаги. Сначала нажмите на один из кнопки ниже, чтобы изменить размер матрицы, если это необходимо.

Затем щелкните первую ячейку и введите значение, а затем перемещайтесь по матрице, нажимая «TAB» или щелкая соответствующие ячейки, чтобы определить ВСЕ значения матрицы.

В линейной алгебре и при использовании матриц понятие определителя матрицы \(A\) имеет глубочайшее значение.

Это потому что его использование связано почти со всеми важными операциями, которые вы захотите выполнить с матрицами, такими как проверка обратимости матриц, нахождение обратной матрицы или решение систем.

Итак, куда бы вы ни посмотрели при работе с матрицами, вы так или иначе найдете определители. Поэтому очень важно стать знаком с ними.

Как этот матричный калькулятор может помочь вам

1. Все, что вам нужно сделать, это ввести вашу матрицу
2. Это должна быть квадратная матрица, то есть матрица с одинаковым количеством строк и столбцов
3. Просто нажмите на кнопку и калькулятор покажет вам все шаги и конечное значение определителя
4. Работа над вычислением определителя может быть чрезвычайно трудоемкой и подверженной ошибкам. Этот калькулятор избавит вас от этих проблем

Как вычислить определитель матрицы?

Это может быть длинный ответ, потому что есть много способов вычислить определитель матрицы. Скажем сначала, что определитель есть только вычисления для квадратных матриц (это матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов).

Итак, наименьшая матрица, для которой мы можем вычислить определитель, это матрица 2×2. Давайте рассмотрим общую матрицу 2×2, как показано ниже:

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

Какова формула определителя? В этом случае определитель матрицы \(A\) просто вычисляется как \(\det(A) = a d — bc\)

Например, если бы у нас было:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 и 2 \\ 1 и 3 \end{bmatrix}\]

определитель матрицы \(A\) будет равен \(\det(A) = 1 \cdot 3 — 2 \cdot 1 = 3 — 2 = 1\). Легко, верно?

Как найти определитель матрицы 3×3?

Теперь для матриц большего размера строим вычисление определителя на основе подынтерминанта меньших матриц. Чтобы дать вам представление, давайте рассмотрим один из способов вычисления определителя матрицы 3×3. Учитывать

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]

В этом случае определитель матрицы 3×3 матрицы \(A\) вычисляется на основе действия нескольких определителей 2×2

\[\det(A) = a \det \begin{bmatrix}e & f \\ h & i \end{bmatrix} — b \det \begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix } + c \det\begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix}\] 93 = -1\) (отрицательно) и так далее.

Волшебство заключается в том, чтобы выбрать любую строку или столбец в качестве опорных. Каждая опорная точка будет иметь связанный знак (положительный или отрицательный) и субдетерминант, которые связаны с кофакторами матрицы.

Это поддетерминант — это фактический определитель исходной матрицы после удаления строки \ (i \) и столбца \ (j \) для опорной точки, которая находится в строке \ (i \) и столбец \(j\).

Наиболее логичное соглашение указывает на выбор строки или столбца с наибольшим количеством нулей для опорных точек, чтобы избежать вычисления некоторых из субдетерминанты, если это возможно.

Как найти определитель матрицы 3×4?

Вы не можете этого сделать. Матрица 3×4 не является квадратной матрицей, и, следовательно, нельзя вычислить определитель. Чтобы вычислить определитель, матрица должна иметь одинаковое количество строк и столбцов.

Калькулятор определителя 4×4

Для больших матриц используется та же методология: выберите одну строку или столбец для опорных точек, в идеале ту, в которой больше всего нулей. Найдите знак, соответствующий к каждому опорному элементу и найти соответствующие поддетерминанты.

Итак, вы сводите вычисление определителя матрицы 4×4 к операции из четырех определителей 3×3. И, в свою очередь, каждый из определителей 3х3 находится как действие нескольких определителей 2х2, для которого мы знаем формулу.

Так что запутаться можно очень быстро.

Пример вычисления определителя матрицы

Вопрос: Рассмотрим следующую матрицу:

\[ \begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&4\\2&3&8\end{bmatrix}\]

Вычислите определитель данной матрицы с указанием шагов.

Решение: Нам нужно вычислить определитель предоставленной матрицы \(3 \times 3\).

Используя формулу субдетерминанта, получаем:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 8 \right) — 3 \cdot \left(4 \right) \right) — 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) — 2 \cdot\влево(4\вправо)\вправо) + 3 \cdot \left( 3 \cdot \left( 3 \right) — 2 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -4 \right) — 2 \cdot \влево( 16 \вправо) + 3 \cdot \влево( 7 \вправо) = -15\]

Заключение : На основании приведенных выше вычислений установлено, что определитель матрицы равен \(\det A = \displaystyle -15\).

Другие полезные матричные калькуляторы, которые вы можете использовать

Вычисления матриц вручную трудоемки, поэтому вы можете воспользоваться преимуществами наших решателей линейной алгебры.

Во-первых, вы можете использовать этот калькулятор обратной матрицы, чтобы вычислить обратную матрицу, показывающую шаги, и вы можете сделать это либо сопряженным методом, либо с помощью редукции RREF.

линейная алгебра — Как определить, является ли эта матрица 3×4 линейно зависимой

Задавать вопрос

спросил 1 год, 5 месяцев назад

Изменено 1 год, 5 месяцев назад

Просмотрено 524 раза

$\begingroup$

У меня есть эта матрица ниже:

И у меня есть этот вопрос ниже:

Определяет, являются ли векторы-строки A линейно зависимыми.

Объясни!

Определите количество решения для системы уравнений

Я пытался найти решение, вы можете использовать определитель, но Google говорит, что 3×4 У матрицы нет определителя, поэтому я немного застрял?

А что такое количество решений для системы уравнений, это то же самое, что ядро ​​пространства?

Спасибо!

• линейная алгебра

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Можно получить ранг матрицы, который по определению

Ранг матрицы A — это размерность векторного пространства, порожденного (или натянутого) ее столбцами. Это соответствует максимальному числу линейно независимых столбцов A. Это, в свою очередь, идентично размерности векторного пространства, охватываемого его строками

Таким образом, используя исключение Гаусса, вы можете получить количество линейных независимых векторов-строк

$$A = \begin{bmatrix}1&-3&-1&0\\ \:-1&2&0&1\\ \:-1&1&-1&2\end{bmatrix }$$ Приведенная эшелонированная форма строки $A$ имеет вид $$\begin{bmatrix}1&0&2&-3\\ 0&1&1&-1\\ 0&0&0&0\end{bmatrix}$$

И поскольку он имеет одну нулевую строку, можно сказать, что векторы-строки a $A$ не являются линейно независимыми.

$\endgroup$

$\begingroup$

Несколько лет назад я изучал линейную алгебру, но, возможно, я смогу вам помочь. Согласно странице Wiki о линейной независимости: «… набор векторов называется линейно зависимым, если существует нетривиальная линейная комбинация векторов, равная нулевому вектору».