Как найти площадь криволинейной трапеции: Использование интеграла при вычислении площади — урок. Алгебра, 11 класс.

{2}$).

**/ ?>

Содержание

Площадь криволинейной трапеции.

Алгебра. 11 класс. Параграф 56. Тест 2.

Если f(x) непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е. S = F(b) — F(a).

Вариант 1.

Вычислить площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

1. f(x)=x²; x=3; x=6; y=0.

A) 18; B) 24; C) 36; D) 63.

2. y=(x-1)²; y=0; x=0. В ответе укажите значение 6·S.

A) 12; B) 6; C) 2; D) 3.

3. y=(x+3)²-4 и у=0.

4. y=1-2sinx; x=π; x=3π/2; y=0.

A) π; B)

2π; C) π/2 + 2; D) π + 2.

5. y=x²+4x+7 и y=x+7.

A) 6; B) 4,5; C) 9; D) 5,5.

7. у=(х+2)²; х=0; у=0. В ответе указать значение 6·S.

A) 10; B) 12; C) 16; D) 14.

8. y=x²-x и y=0. В ответе указать значение 3·S.

A) 2; B) 1,5; C) 1; D) 0,5.

9. y=4x-x²; y=0; x=5. Указание: применить формулы 1) и 2).

A) 10; B) 11; C) 12; D)

13.

10. y=x²; y=4; y=9; x=0. Указание: применить формулу 4).

11. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями y=x²; у=0; х=а, равна 9?

A) 3; B) 6; C) 9; D) 12.

Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=(x-3)²; x=4; x=5. Указание: применить формулу 6).

A) 6π; B) 6,2π; C) 6,5π; D) 7,5π.

Вариант 2.

Вычислить площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

1. f(x)=x³; x=2; x=4; y=0.

A) 58; B) 64; C)

60; D) 63.

2. y=(x-2)²; y=0; x=0. В ответе укажите значение 3·S.

A) 8; B) 6; C) 4; D) 10.

3. y=(x-2)²-1 и у=0. В ответе укажите значение 12·S.

A) 14; B) 12; C) 14; D) 16.

4. y=2-sinx; x=3π/2; x=2π; y=0.

A) π; B) π+1; C) π/2 +1; D) π — 1.

5. y=x²-2x+3 и y=x+3.

A) 6; B) 4,5; C) 9; D) 5,5.

7. у=(х-3)²; х=0; у=0.

A) 7; B) 8;

C) 6; D) 9.

8. y=x²-2x и y=0. В ответе указать значение 3·S.

A) 4; B) 2,5; C) 3; D) 4,5.

9. y=-x²-2х+3; y=0; x=2. Указание: применить формулы 1) и 2).

A)10; B) 11; C)12; D) 13.

10. y=x²; y=9; y=16; x=0. Указание: применить формулу 4).

11. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной линиями y=x³; у=0; х=а, равна 4?

A) 3; B) 1; C) 2; D) 15.

12. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=(x-2)

2; x=3; x=5. Указание: применить формулу 6).

A) 48,4π; B) 46,2π; C) 42,5π; D) 44,6π.

Сверить ответы.

Поделиться новостью в соцсетях

Что такое трапеция? Трапеция или трапеция – это четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон. Параллельные стороны называются основаниями. Когда две другие стороны непараллельны, их называют сторонами или боковыми сторонами. В противном случае есть две пары оснований. Примерами из реальной жизни, где вы можете увидеть область трапеций, являются сумки, банки из-под попкорна и цимбалы, похожие на гитару. Площадь трапеции – это полное пространство, ограниченное четырьмя ее сторонами. Существует два подхода к нахождению площади трапеций.

Первый метод — это прямой метод, использующий прямую формулу для нахождения площади трапеции с известными размерами (см. пример 1)
Для второго метода, во-первых, если нам дана длина всех сторон, мы разбиваем трапецию на меньшие многоугольники, такие как треугольники и прямоугольники. Далее найдем площади треугольников и прямоугольников по отдельности. Наконец, мы добавим площадь многоугольников, чтобы получить общую площадь трапеции. (см. пример 2 для более точного понимания)
Какая формула используется для расчета площади трапеций?
Мы можем вычислить площадь трапеции, если знаем длину ее параллельных сторон и расстояние (высоту) между параллельными сторонами. Формула площади трапеции:
A = ½ (a + b) h
Здесь (A) – площадь трапеции.
‘a’ и ‘b’ — параллельные стороны трапеции
‘h’ — высота, т. е. перпендикулярное расстояние между параллельными сторонами.
Пример площади трапеции
Вот пример площади трапеции с использованием прямой формулы и пример площади трапеции с альтернативным методом.
Пример 1: Найдите площадь трапеции, если длины параллельных сторон 22 см и 12 см соответственно. Высота 5 см.
Решение: Дано: Основания: а = 22 см; б = 10 см; высота h = 5 см.
Площадь трапеции = A = ½ (a + b) h
A = ½ (22 + 10) × (5)
A = ½ (32) × (5)
A = ½ × 160
A = 80 см ²
Пример 2 : Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 10 см и 16 см соответственно, а непараллельные стороны равны 5 см каждая.
Решение: Поскольку в этом вопросе у нас нет высоты трапеции, мы выполним следующие шаги, чтобы вычислить площадь трапеции.
Дано: а =10 см; б =16 см; непараллельные стороны = 5 см каждая
Шаг 1: Чтобы найти высоту трапеции, сначала начертим высоту трапеции с обеих сторон. Теперь мы видим, что трапеция состоит из прямоугольника ABQP и двух прямоугольных треугольников APD и BQC.
Шаг 2 : Теперь нам нужно найти длину DP и QC.
Так как ABQP является прямоугольником, AB = PQ
DC = 16 см (Дано)
Итак, PQ = AB
Мы можем найти общую длину DP + QC следующим образом
DC – PQ = 16 – 10 = 6 см Итак, DP + КК = 6
6 ÷ 2 = DP = QC
3 см = DP = QC
Шаг 3 : AP = BQ (противоположные и равные стороны прямоугольника)
AD = BC = 5 см
(Дано) Итак, мы можем рассчитать высоты AP и BQ по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике ADP
AP = √(AD ² – DP ² )
AP = √(5 ² – 3 ² )
AP = √(25 – 9) = √16 = 4 см
Так как ABQP прямоугольник, то его противоположные стороны равны. Итак, АР = BQ = 4 см.
Шаг 4 : Теперь мы знаем все размеры трапеции. Мы можем вычислить площадь, используя формулу.
Площадь трапеции = ½ (a + b) h; где h = 4 см, a = 10 см b = 16 см
При подстановке значений получаем:
Площадь = ½ (10 + 16) × 4
Площадь = ½ × 26 × 4
Площадь = 52 см ²
Мы можем рассчитать, сложив площадь прямоугольника и двух треугольников
Площадь трапеции = площадь ABPQ + площадь ADP + площадь BQC
Площадь трапеции = (l × b) + 2(ab/2)
Площадь трапеции = (10 × 4) + 2(3 × 4/2)
A = 40 + 12
A = 52 см ²
Трапециевидная призма
9 0002 Трапециевидная призма — это объемная фигура. из двух равных трапеций, соединенных четырьмя прямоугольниками. Трапеции расположены сверху и снизу. Таким образом, они образуют основу для призм и имеют многоугольники, образующие их основания. Четыре прямоугольника образуют боковые грани призмы-трапеции.

Итак, трапециевидная призма состоит из-
Шесть граней
Восемь вершин
Двенадцать ребер
Площадь поверхности трапециевидной призмы
Площадь трапециевидной призмы представляет собой сумму поверхностей призмы. Эта площадь равна площади всех граней трапециевидной призмы. Поскольку трапециевидная призма имеет две трапециевидные грани и четыре прямоугольные грани, сумма их площадей даст площадь поверхности призмы. Однако существует простая и прямая формула для расчета площади поверхности трапециевидной призмы. Формула:
Площадь поверхности трапециевидной призмы = h (b + d) + l (a + b + c + d) квадратных единиц.
Здесь h = высота
b и d — длины основания
a + b + c + d — периметр
l — площадь боковой поверхности трапециевидной призмы
Вывод площади поверхности a Трапециевидная призма
Основание трапециевидной призмы имеет форму трапеции. Здесь
b и d — параллельные стороны трапеции
H = расстояние между параллельными сторонами
l = длина трапециевидной призмы
Таким образом, общая площадь поверхности трапециевидной призмы (TSA) = 2 × площади основания + площадь боковой поверхности ————- (1)
Площадь трапеции = ½ (основание 1 + основание 2) высоты
Итак, площадь основания трапеции = h (b + d)/2 ——————— (2)
Площадь боковой поверхности трапеции трапециевидная призма (ЛПП) = сумма площадей каждой прямоугольной поверхности
Итак, ЛПП = (a × l) + (b × l) + (c × l) + (d × l) ——————- (3)
Подставив значения из уравнения (2) и уравнения (3) в уравнение 1, т. е. формулу TSA, мы получим:
(TSA) = 2 × h (b + d)/2 + (a × l) + (b × l) + (c × l) + (d × l)
TSA = h (b + d) + [(a × l) + (b × l) + (c × l) + (d × l) l)]
Суммарная площадь поверхности трапециевидной призмы = h (b + d) + l (a + b + c + d)
Таким образом, TSA трапециевидной призмы = h (b + d) + l ( a + b + c + d) единичный квадрат
Как найти площадь поверхности трапециевидной призмы?
Вот шаги, как найти площадь поверхности трапециевидной призмы.
Шаг 1 : Найдите четыре стороны трапеции – a, b, c и d. Они представляют собой ширину четырех прямоугольников. Сложение этих 4 значений даст периметр P.
Шаг 2 : Найдите длину h призмы.
Шаг 3 : Найдите боковую площадь трапециевидной призмы.
Шаг 4: Определите b1, b2 и h трапеции. Теперь найдите площадь основания B, используя формулу (b1 + b2) h/2
Шаг 5: Наконец, подставьте значения в формулу = 2B + Площадь боковой поверхности, чтобы вычислить общую площадь поверхности трапециевидной призмы.
Рассмотрим следующий пример площади поверхности трапециевидной призмы для лучшего понимания.
Пример 1: Найдите общую площадь поверхности равнобедренной трапециевидной призмы с параллельными ребрами основания 8 см и 12 см. Ножки основания по 5 см, высота основания 4 см, высота призмы 10 см.
Решение : Периметр основания = сумма длин сторон.
p=8+5+12+5=30 см
Учитывая, что основание равнобедренной трапеции, следовательно, площадь = 1/2h(b1+b2)
Площадь основания =1/2(4)(8+ 12)=40 см ²
T.S.A.= ph+2B
T.S.A. = 30(10)+2(40)
T.S.A =300+80 =380 см ² 9000 3
Площадь трапеций: Формула, Types & Equation
Вы можете встретить трапеции, когда видите тачку в саду или когда проходите по мосту и смотрите на его фермы. Эти геометрические формы важны в приложениях архитектуры и строительства. Возможно, вы уже знакомы с тем, как вычислять площадь треугольников, что будет полезно для этой статьи, когда мы рассмотрим формулу площади трапеции и несколько примеров ее использования.
Начнем с того, что вспомним, что такое трапеция.
Трапеция Определение
Трапеция – это четырехугольник (четырехсторонняя плоская фигура), имеющий ровно одну пару параллельных сторон.
Следующая фигура представляет собой трапецию.
Рис. 1. Иллюстрация трапеции.
На приведенном выше рисунке параллельных сторон (в данном случае $\overline{AD}$ и $\overline{BC}$) называются основаниями трапеции . 92\) и т. д.
Формула площади трапеции
Рассмотрим следующую трапецию:
Рис. 2. Трапеция с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h\ ).
Площадь трапеции определяется по формуле:
\[\text{Площадь} = \frac{1}{2} h (a + b)\]
где: \Стрелка вправо$ высота трапеции (перпендикулярное расстояние между основаниями),
$a, b \стрелка вправо$ длины оснований.
Как мы получили эту формулу, спросите вы? Давайте покажем вам.
Напомним, что площадь треугольника определяется по формуле:
\[\text{Площадь} = \frac{1}{2} \text{основание} \cdot \text{высота}\]
Мы можем разделить эту трапецию на два треугольника по любой из диагоналей. Возьмем диагональ $\overline{BD}$ и разделим трапецию на треугольники $\triangle{BAD}$ и $\triangle{BCD}$.
Рис. 3. Трапеция, разделенная диагональю $\overline{BD}$ на $\треугольник{BAD}$ и $\треугольник{BCD}$.
Тогда мы можем сказать, что
\[\begin{align}\text{Площадь трапеции ABCD} & = \text{Площадь } \triangle{BAD} + \text{Площадь } \triangle{BCD} \\ \\& = \frac{1}{2} b \cdot h + \frac{1}{2} a \cdot h \\ \\& = \frac{1}{2} h (a + b )\end{align}\]
Представьте себе параллелограмм, у которого обе пары противоположных сторон параллельны. Вы можете применить приведенную выше формулу, чтобы вывести формулу площади параллелограмма.
\[\begin{align}\text{Area} & = \frac{1}{2} h (a + b) \\ \\& = \frac{1}{2} h (b + b) \qquad \text{Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину} \\ \\& = \frac{1}{2} h (2b) \\ \\& = b \cdot h\end{align}\]
Это формула площади параллелограмма.
Примеры площади трапеции
Теперь давайте рассмотрим некоторые примеры, связанные с площадью трапеции.
Трапеция имеет длины оснований $10\,\text{см}$ и $15\,\text{см}$. Перпендикулярное расстояние между основаниями равно $8\,\text{см}$. Найдите площадь трапеции.
Решение
Чтобы решить эту задачу, нам просто нужно подставить значения длин оснований и высоты в формулу площади трапеции. 92\).
Теперь давайте рассмотрим пример с использованием координатной плоскости.
Найдите площадь следующей трапеции.
Рис. 4. Трапеция на координатной плоскости.
Решение
В этом случае, чтобы найти площадь вышеуказанной трапеции, нам нужно найти длину оснований и высоту трапеции.
Эти значения не даны, но мы можем использовать координатную плоскость для их расчета.
Нам нужно рассчитать расстояние между каждой из точек, как мы можем это сделать?
Расстояние между точками $B(6, 2)$ и $C(9, 2)$ можно рассчитать, найдя абсолютное значение разницы между их координатами x, используя $|x_2 — х_1|$. То же самое относится и к расстоянию между точками $A(2, 7)$ и $D(10, 7)$.
Расстояние между точками $B(6, 2)$ и $E(6, 7)$ можно рассчитать, найдя абсолютное значение разницы между их координатами y, используя $|y_2 — у_1|$.
\[\begin{align}a &= \overline{BC} = |x_2 — x_1| = |92\) имеет базы длин, $3\,\text{m}$ и $4\,\text{m}$. Найдите расстояние между параллельными сторонами.
Решение
Расстояние между параллельными сторонами равно высоте трапеции. Итак, давайте подставим значения, которые у нас есть, в формулу площади трапеции, а затем найдем $h$.
\[\begin{align}\text{Area} & = \frac{1}{2} h (a + b) \\ \\35 & = \frac{1}{2} \cdot h (3 + 4) \\ \\35 & = \frac{7 \cdot h}{2} \\ \\h & = \frac{35 \cdot 2}{7} \\ \\& = \frac{70} {7} \\ \\& = 10\,\text{m}\end{align}\]
Высота трапеции равна $10\, \text{м}$.
Площадь трапеции без известной высоты
Если вам дана трапеция с длинами всех ее оснований и катетов, но не указана высота, то вам нужно сначала вычислить ее высоту, чтобы иметь возможность найти площадь трапеция. Давайте посмотрим на пример, чтобы показать вам, что делать в этом случае.
Найдите площадь следующей трапеции.
Рис. 5. Пример трапеции без высоты.
Обратите внимание, что стороны трапеции имеют одинаковую длину $6\, \text{м}$, следовательно, это равнобедренная трапеция , и мы можем вычислить ее высоту следующим образом.
Рис. 6. Высота трапеции по Пифагору.
Обратите внимание, что у нас есть прямоугольный треугольник с каждой стороны. Основания каждого треугольника рассчитывались путем нахождения разницы между $18$ и $10$, а затем деления результата на $2$.
\[18 — 10 = \frac{8}{2} = 4\, \text{m}\]
Теперь мы можем вычислить высоту, используя теорему Пифагора , которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике 92\).
Площадь трапеции при заданных диагоналях
Еще один интересный сценарий, когда вам нужно вычислить площадь трапеции, когда заданы только длины ее диагоналей и угол между ними.
No related posts.