Как отрицательную степень сделать положительной: Отрицательная степень чисел и дробей

4 ^-3/2 = 1/4 ^3/2

= 1 / (2 ² ) ^3/2

= 1 / 2 ³

= 1/8

Умножение отрицательных показателей

Умножение отрицательных показателей такое же, как умножение любого другого числа. Как мы уже обсуждали, отрицательные показатели степени могут быть выражены в виде дробей, поэтому их можно легко решить после преобразования в дроби. После этого преобразования мы умножаем отрицательные показатели, используя то же правило умножения, которое мы применяем для умножения положительных показателей. Давайте разберемся с умножением отрицательных показателей на следующем примере. 9{3} \раз 4}\)

Как решать отрицательные показатели?

Чтобы решить выражения с отрицательными показателями, сначала преобразуйте их в положительные показатели, используя одно из следующих правил, и упростите:

• a ^-n = 1/a ⁿ
• 1/a ^-n = a ⁿ

Пример : Решите: (7 ³ ) × (3 9{4}}\)

Используйте правило: a ^m × a ⁿ = a ^(m+n) , чтобы объединить общее основание (7).

Важные примечания об отрицательных показателях степени:

• Степень или степень означает, сколько раз нужно умножить основание само на себя.
  a ^м = a × a × a ….. m раз
  a ^-m = 1/a × 1/a × 1/a ….. m раз
• a ^-n также известен как мультипликативная инверсия ⁿ .
• Если a ^-m = a ^-n , то m = n.
• Отношение между показателем степени (положительные степени) и отрицательным показателем (отрицательной степенью) выражается как ^x = 1/a ^-x

☛ Похожие темы:

• Калькулятор отрицательных показателей
• Калькулятор правил экспоненты
• Калькулятор экспоненты

Примеры отрицательных показателей

1. Пример 1: Найдите решение данного выражения (3 ² + 4 ² ) ^-2 .

   Решение:

   Данное выражение:

   (3 ² + 4 ² ) ^-2 = (9 + 16) ^{-26 = (25) -2
   = 1/25 2 (по правилу отрицательной степени)
   = 1/625.
   Следовательно, (3 2 + 4 2 ) -2 = 1/625}

   Ответ: 1/625

2. Пример 2: Найдите значение x в 27/3 ^-x = 3 ⁶

   Решение:

   Здесь у нас есть отрицательные показатели степени с переменными.

   27/3 ^-x = 3 ⁶
   3 ³ /3 ^-x = 3 ⁶
   3 ³ × 3 ^× = 3 ⁶
   3 ^{(3 + x)} = 3 ⁶

   Если основания одинаковые, то степени должны быть равны, поэтому 3 + x = 6. Решая это, x = 3.

   Ответ: x = 3

3. Пример 3: Упростите следующее, используя правила отрицательной степени: (2/3) ^-2 + (5) ^-1

   Решение:

   Используя правила отрицательной степени, мы можем написать (2 /3) ^-2 как (3/2) ² и (5) ^-1 как 1/5. Таким образом, мы можем упростить данное выражение как,
   = (3/2) ² + 1/5
   = 9/4 + 1/5
   После взятия LCM получаем, (45 + 4)/20
   49/20
   Следовательно, (2/3) ^-2 + (5) ^-1 упрощается до 49/20.

   Ответ: 49/20.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами.

Часто задаваемые вопросы об отрицательных показателях

Что означают отрицательные показатели?

Отрицательные показатели степени означают отрицательные числа, которые присутствуют вместо показателей степени. Например, в числе 2 ^-8 , -8 — отрицательная степень основания 2.

Приводят ли отрицательные степени к отрицательным числам?

Нет, отрицательные показатели степени не обязательно должны давать отрицательные числа. Например, 2 ^-3 = 1/8, что является положительным числом.

Как рассчитать отрицательные показатели?

Отрицательные показатели рассчитываются с использованием тех же законов показателей, которые используются для вычисления положительных показателей. Например, чтобы решить: 3 ^-3 + 1/2 ^-4 , сначала мы преобразуем их в обратную форму: 1/3 ³ + 2 ⁴ , затем упростите 1/27 + 16. Взяв НОК, [1+ (16 × 27)]/27 = 433/27.

Каково правило для отрицательных показателей?

Есть два основных правила, полезных при работе с отрицательными показателями:

• a ^-n = 1/a ⁿ
• 1/a ^-n = a ⁿ

Как решать дроби с отрицательными показателями?

Дроби с отрицательными показателями можно решить, взяв обратную дробь. Затем найдите значение числа, взяв положительное значение данного отрицательного показателя степени. Например, (3/4) ^-2 = (4/3) ² = 4 ² /3 ² . Это приводит к 16/9, что является окончательным ответом.

Как разделить отрицательные степени?

Деление степеней с одинаковым основанием приводит к вычитанию степеней. Например, чтобы решить y ⁵ ÷ y ^-3 = y ^5-(-3) = y ⁸ . Это также можно упростить альтернативным способом. т. е. y ⁵ ÷ y ^-3 = y ⁵ /y ^-3 , сначала мы меняем отрицательный показатель степени (y ^-3 ) на положительный, написав его обратный. Получается: у ⁵ × у ³ = у ⁽⁵⁺³⁾ = у ⁸ .

Как умножать отрицательные степени?

При умножении отрицательных степеней сначала нам нужно преобразовать их в положительные степени, записав соответствующие числа в обратной форме. Как только они преобразуются в положительные, мы умножаем их, используя те же правила, что и для умножения положительных показателей. Например, у ^-5 × y ^-2 = 1/год ⁵ × 1/год ² = 1/год ⁽⁵⁺²⁾ = 1/год ⁷

Почему отрицательные экспоненты?

Когда нам нужно изменить отрицательную экспоненту на положительную, мы должны написать обратную величину данного числа. Итак, отрицательный знак степени косвенно означает обратную величину данного числа, точно так же, как положительный показатель степени означает многократное умножение основания.

Сколько будет 10 в отрицательной степени числа 2?

10 в отрицательной степени 2 представляется как 10 ^-2 , что равно (1/10 ² ) = 1/100.

Отрицательные числа: 8 вещей, которые должны знать ваши ученики

Многие ученики уже с трудом понимают отрицательные числа, правила возведения в степень и дроби. Итак, что произойдет, если вы прибавите к уравнению отрицательных показателя степени ?

Полный хаос.

Ну, не совсем так. Но понимание отрицательных показателей равно является важным строительным блоком для математических курсов средней школы, и эта концепция также вызывает затруднения у многих учащихся. Когда вы постепенно наращиваете знания своих учеников, вы гарантируете, что они готовы решать сложные задачи в классе и вне его.

Если вы не знаете, с чего начать, эта запись в блоге поможет вам превратить ваш модуль по отрицательным показателям в положительный опыт для вас и ваших учеников!

Как и все остальное на уроках математики, отрицательные показатели должны подчиняться правилам. Если вам нужно напоминание, вот краткий обзор семи правил возведения в степень:

1. Произведение степеней : Сложение степеней при умножении одинаковых оснований
2. Правило отношения степеней : Вычитание степеней при делении одинаковых оснований
3. Правило степени степеней : Умножение степеней вместе при возведении степени в другую степень
4. Правило степени произведения : Распределить мощность по каждому основанию при возведении нескольких переменных в степень
5. Степень правила частного : Распределить мощность по каждому основанию при возведении нескольких переменных в степень
6. Правило нулевой степени : Любое основание, возведенное в степень нуля становится единицей
7. Правило отрицательного показателя степени : Чтобы изменить отрицательный показатель степени на положительный, превратите его в обратную.

Напомните учащимся, что с отрицательными показателями правила остаются теми же — просто может потребоваться выполнить несколько дополнительных шагов.

Отрицательные числа требуют определенного абстрактного мышления, которое не всегда приходит само собой. Но без четкого понимания отрицательных чисел учащиеся не будут готовы решать отрицательные показатели.

Вот краткий обзор:

Отрицательное число — это любое число меньше нуля.

Отрицательные числа выражаются знаком минус. Например, -4 на четыре меньше нуля.

Полезно думать, что отрицательные числа существуют на числовой прямой:

Когда вы складываете и вычитаете отрицательные числа, вы перемещаетесь либо вправо, либо влево от числовой строки.

Когда вы вычитаете отрицательное число, вы перемещаетесь влево от числовой строки, потому что это то же самое, что складывать положительное число. Если вы добавляете отрицательное число, вы перемещаетесь вправо, потому что это то же самое, что вычитание положительного числа.

При умножении отрицательного числа на положительное (или наоборот) произведение будет отрицательным. Если вы умножите два отрицательных числа или два положительных числа, результат будет положительным.

Умножение разных знаков всегда дает отрицательное произведение, а умножение одинаковых знаков дает положительное произведение. Всегда считать число положительным, если перед ним нет знака.

Мы уже знаем, что положительные показатели степени — это способ выражения многократного умножения. Например:

Есть несколько разных способов представления отрицательных показателей, но в целом отрицательные показатели противоположны положительным.

Все отрицательные показатели могут быть выражены как их положительные обратные . Обратная дробь — это дробь, в которой числитель и знаменатель меняются местами.

Как что-то можно превратить в обратное, если оно не было дробью для начала?

Мы знаем, что числа могут быть выражены более чем одним способом. Например, восемь также можно записать как:

Таким образом, отрицательные показатели степени можно выразить как положительную обратную величину основания, умноженного на себя x раз.

Чем больше отрицательный показатель, тем меньше число, которое он представляет. В то время как положительные показатели степени указывают на многократное умножение, отрицательные степени представляют повторяющееся деление. Вот почему 2-3 больше, чем 2-6.

В большинстве вопросов вам будет предложено решить отрицательные показатели, представив их в виде положительных уравнений . Вот как:

Превратите основание и показатель степени в обратную величину, затем найдите знаменатель. Разделите числитель на знаменатель, чтобы найти последнее десятичное число.

Мы уже рассмотрели умножение степеней, но вот краткий обзор того, как умножать и делить отрицательные степени.

Хорошие новости! Правила умножения показателей одинаковы, даже если показатель степени отрицательный.

Если основания совпадают, добавьте показатели степени. Помните о правилах сложения и вычитания отрицательных чисел.

Если основания разные, но степени одинаковые, умножьте основания и оставьте степени такими, какие они есть.

Если ничего общего нет, сразу переходим к решению уравнения. Переверните показатели в их обратные числа, затем умножьте.

Если вам нужно напоминание, ознакомьтесь с нашим постом о том, как умножать дроби.

Деление отрицательных степеней почти то же самое, что и их умножение, за исключением того, что вы делаете обратное: вычитаете там, где вы должны были бы сложить, и делите там, где вы должны были бы умножать.

Если основания одинаковые, вычтите степени.

Не забудьте перевернуть экспоненту и сделать ее положительной, если это необходимо.

Если степени одинаковы, но основания разные, сначала разделите основания.

Если ничего общего нет, сразу переходим к решению уравнения.

Чтобы освежить в памяти информацию о делении дробей, ознакомьтесь с нашей записью в блоге «Как разделить дроби».

Что произойдет, если вместо показателей степени будет отрицательное основание?

Если показатель степени положительный, работайте с ним так же, как и с обычным показателем степени, но помните две вещи:

• Если основание отрицательное, а показатель степени — четное число, конечный продукт всегда будет положительным числом.
• Если основание отрицательное, а показатель степени — нечетное число, конечным произведением всегда будет — отрицательное число.

Если отрицательное основание заключено в круглые скобки, степень применяется ко всему уравнению, включая отрицательный знак. Если скобок нет, степень относится только к основанию, а не к отрицательному знаку.

Поскольку первый пример возводится в четную степень, два отрицательных знака сокращаются, и у вас остается положительное произведение. Если бы показатель степени был нечетной степенью, произведение было бы отрицательным, потому что было бы одно число, которое не могло бы сократиться.

Во втором примере положительная степень относится только к четырем, а не к отрицательному знаку. В этом случае отрицательный знак говорит вам, что произведение будет отрицательным независимо от того, четная или нечетная степень.

Умножение, деление и понимание отрицательных показателей — это первый шаг к упрощению выражений с отрицательными показателями.

Помните: все описанные выше шаги остаются в силе, независимо от сложности выражения.

Начнем с умножения отрицательных показателей на переменные.

В этом примере степень применяется только к основанию x, а не к 4. Чтобы сделать выражение положительным, переверните x на обратное число и оставьте 4 сверху.

Попробуем что-нибудь посложнее.

Переменные здесь одинаковые, поэтому в соответствии с правилом первой степени мы можем умножать числа, сохраняя основание и складывая степени.

Умножьте 6 и 4, чтобы получить произведение 24. Затем сложите показатели степени, чтобы умножить переменные x.

Как насчет деления отрицательных показателей на переменные?

Начнем с простого примера:

Чтобы отрицательный показатель степени стал положительным, переместите ???? в начало уравнения и умножить.

Вот пример отрицательного показателя степени с несколькими переменными:

Поскольку отрицательный показатель степени применяется только к переменной, переместите 𝑥-4 в конец уравнения, чтобы сделать его положительным, и оставьте 6 на месте.

Вот и ваше упрощенное уравнение!

Попробуем еще.

Сначала перераспределите мощность внутри скобок, следуя правилу третьего порядка.

Затем измените переменные 𝑥 с отрицательными показателями на их обратные значения.

Наконец, умножьте переменные 𝑥, складывая степени вместе.

Давайте еще раз.

Для начала либо возведите уравнение в квадрат, либо сначала переместите скобки. Мы начнем с возведения верхней скобки в квадрат и перераспределения мощности.

Затем переместите отрицательные показатели вниз или вверх, в зависимости от их положения. Отрицательная экспонента сверху может быть приведена к низу, так что это будет обратная величина, и наоборот. Закончите упрощением.

Часто существует несколько способов упростить выражения с отрицательным показателем степени. Поскольку показатели степени представляют собой многократное умножение, и вы можете умножать числа в любом порядке, разные шаги могут привести к одному и тому же результату.

Мы знаем, что делать с целыми числами с отрицательными показателями, но как насчет дробей с отрицательными показателями?

Чтобы упростить дроби с отрицательными показателями, преобразуйте их в обратные, умножьте и уменьшите .

Учащимся понравится практиковаться в отрицательных показателях с Prodigy: бесплатной математической платформой, адаптированной к учебному плану, с экзотическими домашними животными, веселыми заданиями и образовательными приключениями.

Отрицательные показатели — важная концепция, которую учащиеся должны усвоить перед поступлением в среднюю школу, но многие учащиеся испытывают затруднения с ключевыми концепциями. Используя мощные инструменты отчетности на панели управления учителя , вы увидите, какие темы освоили ваши ученики и где им нужно больше практики.

Функции Prodigy Assignments, Plans и Test Prep позволяют назначать целевую математическую практику учащимся, которые испытывают трудности с или превосходно. Вы будете получать данные в режиме реального времени, пока ученики играют, и сможете давать дифференцированные задания, соответствующие тому, что вы преподаете в классе. Вы можете использовать Prodigy, чтобы:

• проводить спиральные оценки
• готовиться к стандартным тестам
• усиливать уроки в классе (например, отрицательные показатели!)

Лучший из всех? Эти инструменты совершенно бесплатны для преподавателей и студентов.

Чтобы узнать больше о согласовании Prodigy с вашим классом, узнайте, как вы можете использовать индивидуальные планы для улучшения содержания вашего урока.

Если вы хотите больше попрактиковаться с показателями степени в целом, наш рабочий лист правил показателей степени дает учащимся возможность лучше ознакомиться с тем, как работают показатели степени.