Как понять тригонометрия: «Как начать понимать тригонометрию, если ты абсолютно ничего не понимаешь?» — Яндекс Кью

Содержание

«Как начать понимать тригонометрию, если ты абсолютно ничего не понимаешь?» — Яндекс Кью

Как понять тригонометрию | matanu.net

Привет.
Какое же страшное слово «тригонометрия». Её боятся многие школьники, даже не берутся порой решать задания на экзамене, где она присутствует. Порой это из-за неопределенности в том плане, какие сюрпризы вылезут при ее решении. Да и чтобы владеть ее языком, нужно знать и уметь замечать большое количество формул и свойств. Однако, все не с ней не так уж и сложно порой. Бывает достаточно знать всего пару простых формул, чтобы решать такие примеры. Да и хоть бывает, что она и сложна, но зато обладает своими красотой и шармом.

В этой статье не будут рассматриваться лишь основные определения, связанные с тригонометрией, поскольку тем, связанных с ней, сильно велико. Здесь мы вкратце познакомимся с тем, что такое тригонометрические функции и как они вводятся, а также узнаем основные формулы, которыми будет достаточно нам пользоваться для решения задач с ней.

Начнем с того, какие объекты входят в её язык и как они вводятся. Сразу приходят на ум такие штуки, как синус, косинус, тангенс и котангенс. Также есть еще некоторые функции, такие как секанс и косеканс. Вводятся все эти функции посредством соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Так синусом угла в таком треугольнике является отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе.

Косинусом же является отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс же это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. И если проделать некоторые вычисления, то получаем, следующее выражение:

Котангенс же это обратная функция тангенсу, то есть, это отношение прилежащего катета к противолежащему, или:

Соотношения же для таких функций, как секанс и косеканс следующие:

Далее, все мы знаем теорему Пифагора.

А давайте проделаем с ней некоторые преобразования — поделим и левую и правую части на гипотенузу. Получаем основное тригонометрическое тождество, одно из важнейших соотношений тригонометрии. Оно связывает синус и косинус одним выражением, что позволяет легко находить одно из другого, а также, позволяет упрощать некоторые выражения.

Далее, как мы видим, что тригонометрия в этом случае-очень удобный аппарат для нахождения сторон и углов прямоугольного треугольника. Однако, чтобы из, допустим, синуса угла найти сам угол, нам нужны обратные функции к ним. Такие функции есть. Это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс и т.д.. О них поговорим немного позднее. Однако, все же кое-что затронем. Запомнить все числовые значения тригонометрических функций — это довольно не простая задача. Да и вычисление порой даётся не легко, поскольку их никто вот так через треугольники не вычисляет, т.к. все же для этого нам нужно знать стороны этих треугольников. Их вычисляют другими способами.

И вычисленные значения лежат в таблице, называемой таблицей Брадиса, в которой можно легко посмотреть эти значения. Да и она не нужна сейчас, когда у всех под рукой калькуляторы. Ниже приведена таблица основных значений, которые достаточно знать наизусть. Видно корреляцию значений, что можно заметить, например, в том же самом основном тождестве. Также видно, что значение синуса 90 у нас 1, то есть, противолежащая сторона к углу в 90° — это гипотенуза, и при делении ее на саму себя будет 1. Из тождества косинус 90° будет 0. Некоторые значения тангенса и котангенса отсутствуют в ней вследствие деления на 0 в формулах выше.

Таблица Брадиса.

Далее, как можем заметить, мы располагали углами от 0 до 90 градусов. А чему же будет равен sin(91°)? Рассмотрим единичную окружность — окружность с радиусом в единицу. проведём этот радиус произвольным образом и опустим из точки пересечения радиуса с окружностью перпендикуляры на оси координат. Получаем прямоугольные треугольники, из которых видим, что координата х этого пересечения — это косинус нашего угла, а координата у в свою очередь — это синус.

Видно, что максимальное значение синуса, также, как и косинуса — это единица (при 90°). И что же будет при 91°? Как видно, синус будет уменьшаться вместе с координатой у точки пересечения, и он будет равен sin(89°). Координата х же, которой будет равен косинус, будет отрицательной, из-за чего получаем отрицательный косинус.

Единичная окружность.

Далее, на следующей картинке приведено то, какие будут иметь знаки наши тригонометрические функции в разных четвертях координатной плоскости.

Также для простоты вычисления синусов и других функций больших или отрицательных углов, есть следующие соотношения. Во-первых, так будут себя вести функции в случае отрицательного аргумента.

Во-вторых, для нахождения значений для больших углов, применяют формулы приведения: если к аргументу функции прибавляется число, кратное π/2, то мы меняем синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот. Далее нам следует проверить знак получившегося выражения по первоначальной функции: в какой четверти будет находиться значение аргумента первоначальной функции и по ней определить знак.

Эти правила, как видно, сильно упрощают нам нахождение таких значений.

Тригонометрия является очень удобным аппаратом во многих сферах науки и техники: математике, механике, квантовой физике, оптике, машиностроение… Да практически везде, где есть что-то связанное с физикой и производством, а также, где требуются расчеты, она присутствует. И от нее никуда не уйти, поскольку её язык удобен, в каком-то плане прост и универсален. Даже порой в совсем неожиданных местах она может вылезти. Волновые процессы, которые полностью пронизывают нас от сетей 4G до света лампочки дома, от гравитационных волн до звуков в комнате, все это описывается тригонометрией, это все её язык. И поэтому, она очень важна, и если вы свяжите свою жизнь с точными науками, знание тригонометрии вам безусловно понадобится.

Сегодня мы поговорили о такой интересной теме в математике, как тригонометрия. Далее мы разберём поподробнее некоторые аспекты, связанные с ней. Подписывайтесь на канал, ставьте лайки, пишите свои комментарии. Также предлагайте темы для будущих разборов.

Пока.

#школа #егэ #образование#образованиедетей#образованиевроссии#математика#матан

2$ описывает окружность. Конечно, если вы математический робот, уравнения достаточно. Остальные из нас, с органическим мозгом, наполовину занятым обработкой зрения, похоже, наслаждаются образами. А «ТОА» вызывает в памяти потрясающую красоту абстрактного соотношения.

Я думаю, ты заслуживаешь лучшего, и вот что заставило меня щелкнуть триггером.

Визуализация купола, стены и потолка
Триггерные функции процентов для трех форм

Мотивация: Trig Is Anatomy

Представьте себе, Боб Инопланетянин посещает Землю, чтобы изучить наш вид.

Без новых слов людей трудно описать: «Вверху есть сфера, которую время от времени царапают» или «Два удлиненных цилиндра обеспечивают передвижение».

После создания специальных терминов для анатомии Боб может записать типичные пропорции тела:

Размах рук (от кончиков пальцев до кончиков пальцев) примерно равен росту
Голова шириной 5 глаз
Взрослые 8 высоты головы

Чем это полезно?

Ну, когда Боб найдет куртку, он сможет ее поднять, вытянуть руки и оценить рост владельца. И размер головы. И ширина глаз. Один факт связан с множеством выводов.

Более того, человеческая биология объясняет человеческое мышление. У столов есть ножки, у организаций есть головы, у криминальных авторитетов есть мускулы. Наша биология предлагает готовые аналогии, которые появляются в искусственных творениях.

Теперь поворот сюжета: ты — инопланетянин Боб, изучающий существ в математической стране!

Общие слова, такие как «треугольник», не слишком полезны. Но обозначение синуса, косинуса и гипотенузы помогает нам заметить более глубокие связи. И ученые могут изучать гаверсин, экссеканс и гамсин, как биологи, которые находят связь между большеберцовой костью и ключицей.

А поскольку треугольники появляются в виде кругов…

…и круги появляются в виде циклов, наша терминология треугольников помогает описать повторяющиеся узоры!

Trig — книга по анатомии «математических» объектов. Если мы сможем найти метафорический треугольник, мы бесплатно получим армаду выводов.

Синус/Косинус: Купол

Вместо того, чтобы смотреть на треугольники сами по себе, как пещерный человек, застывший во льду, представьте их в сценарии, охотящихся на этого мамонта.

Представьте, что вы находитесь посреди купола и собираетесь повесить киноэкран. Вы указываете на какой-то угол «x», и на этом месте экран зависнет.

Угол, на который вы указываете, определяет:

sine(x) = sin(x) = высота экрана, висит как знак
cosine(x) = cos(x) = расстояние до экрана по земле [«cos» ~ насколько «близко»]
гипотенуза, расстояние до верха экрана, всегда одно и то же

Хотите самый большой экран? Направьте прямо вверх. Он в центре, у вас на макушке, но это большой черт возьми.

Хотите, чтобы экран был как можно дальше? Конечно. Наведите прямо, 0 градусов. Экран имеет «0 высоту» в этом положении, и он далеко, как вы и просили.

Высота и расстояние изменяются в противоположных направлениях: приблизите экран, и он станет выше.

Совет: Значения триггеров — это проценты

За годы учебы мне никто никогда не говорил: синус и косинус — это проценты . Они варьируются от +100% до 0 и -100%, или от максимального положительного до нулевого и максимального отрицательного.

Допустим, я заплатил 14 долларов в виде налога. Вы понятия не имеете, дорого ли это. Но если я скажу, что заплатил 95% налогов, вы понимаете, что меня обдирают.

Абсолютная высота бесполезна, но если значение синуса равно 0,95, я знаю, что ты почти на вершине своего купола. Довольно скоро вы достигнете максимума, а затем снова начнете снижаться.

Как рассчитать процент? Просто: разделите текущее значение на максимально возможное (радиус купола, он же гипотенуза).

Именно поэтому говорят: «Синус = противоположность / гипотенуза». Это чтобы получить процент! Лучшая формулировка: «Синус — это ваш рост в процентах от гипотенузы». (Синус становится отрицательным, если ваш угол указывает «под землю». Косинус становится отрицательным, когда ваш угол указывает назад.)

Давайте упростим вычисления, предположив, что мы находимся на единичной окружности (радиус 1). Теперь мы можем пропустить деление на 1 и просто сказать, что синус = высота.

Каждый круг на самом деле является единичным кругом, увеличенным или уменьшенным до различных размеров. Так что разработайте соединения на единичном круге и примените результаты к вашему конкретному сценарию.

Попробуйте: подключите угол и посмотрите, какой процент высоты и ширины он достигает:

Характер роста синуса не является ровной линией. Первые 45 градусов покрывают 70% высоты, а последние 10 градусов (от 80 до 90) покрывают только 2%.

В этом должен быть смысл: при 0 градусах вы движетесь почти вертикально, но когда вы добираетесь до вершины купола, ваша высота меняет уровень.

Касательная/Секущая: Стена

Однажды ваш сосед возводит стену рядом с вашим куполом. Акк, твой взгляд! Ваша стоимость перепродажи!

Но можем ли мы извлечь максимальную пользу из плохой ситуации?

Конечно. Что, если мы повесим наш киноэкран на стену? Вы указываете на угол (x) и вычисляете:

тангенс(х) = тангенс(х) = высота экрана на стене
расстояние до экрана: 1 (экран всегда на одном и том же расстоянии вдоль земли, верно?)
секанс(х) = сек(х) = «расстояние по лестнице» до экрана

У нас есть новые причудливые словарные термины. Представьте себе изображение Витрувианского «TAN GENTleman», проецируемое на стену. Вы поднимаетесь по лестнице, убеждаясь, что можете «ВИДЕТЬ, НЕ МОЖЕТЕ?». (Да, он голый… не забудете аналогию, а?)

Заметим несколько вещей, касающихся касательной, высоты экрана.

Он начинается с 0 и идет бесконечно высоко. Вы можете указывать на стену все выше и выше, чтобы получить бесконечно большой экран! (Это будет стоить тебе. )
Тангенс — это увеличенная версия синуса! Она никогда не становится меньше, и хотя синус «зашкаливает» по мере изгиба купола, тангенс продолжает расти.

Как насчет секанса, лестничного расстояния?

Секущая начинается с 1 (лестница от пола к стене) и растет оттуда
Секанс всегда длиннее тангенса. Наклонная лестница, используемая для установки экрана, должна быть длиннее самого экрана, верно? (При огромных размерах, когда лестница почти вертикальна, они близки. Но секущая всегда немного длиннее.)

Помните, значения составляют процентов . Если вы указываете под углом 50 градусов, тангенс (50) = 1,19. Ваш экран на 19% больше, чем расстояние до стены (радиус купола).

(Подставьте x=0 и проверьте свою интуицию, что tan(0) = 0, а sec(0) = 1.)

Котангенс/Косеканс: Потолок

Удивительно, но теперь ваш сосед решает построить потолок на вершине вашего купола, далеко за горизонтом. ( Что с этим парнем? О, инцидент с голым мужчиной на моей стене… )

Что ж, пора построить пандус к потолку и немного поболтать. Вы выбираете угол для построения и вычисляете:

котангенс(x) = cot(x) = насколько простирается потолок до того, как мы соединим
косеканс(x) = csc(x) = как долго мы идем по пандусу
пройденное расстояние по вертикали всегда равно 1

Тангенс/секанс описывают стену, а СОтангенс и СОсеканс описывают потолок.

Наши интуитивные факты схожи:

Если вы выберете угол равный 0, ваша рампа будет плоской (бесконечной) и никогда не достигнет потолка. облом.
Самая короткая «рампа» — это когда вы смотрите прямо вверх под углом 90 градусов. Котангенс равен 0 (по потолку мы не двигались), а косеканс равен 1 («длина ската» минимальна).

Визуализируйте связи

Недавно я сделал ноль «интуитивные выводы» о косекансе. Но с метафорой купол/стена/потолок, вот что мы видим:

Ого, это тот же треугольник, только увеличенный до стены и потолка. У нас есть вертикальные части (синус, тангенс), горизонтальные части (косинус, котангенс) и «гипотенусы» (секанс, косеканс). (Примечание: метки показывают, куда «поднимается» каждый элемент. Косеканс — это полное расстояние от вас до потолка.) 92$) мы видим, как связаны стороны каждого треугольника.

И из схожести отношения типа «высота к ширине» должны быть одинаковыми для этих треугольников. (Интуиция: отойдите от большого треугольника. Теперь он кажется меньше в вашем поле зрения, но внутренние отношения не могли измениться.)

Вот как мы находим «синус/косинус = тангенс/1».

Я всегда пытался запомнить эти факты, когда они просто бросаются в глаза при визуализации. SOH-CAH-TOA — хороший короткий путь, но сначала нужно разобраться!

Попался: помните другие углы

Psst … не зацикливайтесь на одной диаграмме, думая, что тангенс всегда меньше 1. Если мы увеличим угол, мы достигнем потолка раньше стены:

Связи Пифагора/подобия всегда верны, но относительные размеры могут варьироваться.

(Но вы могли заметить, что синус и косинус всегда наименьшие или связаны, так как они заперты внутри купола. Отлично!)

Резюме: Что мы должны помнить? 92$, за исключением глупых тестов, которые путают мелочи с пониманием. В этом случае нарисуйте диаграмму купола/стены/потолка, заполните метки (загорелый джентльмен, которого вы видите, не так ли?) и создайте для себя шпаргалку.

В продолжении мы узнаем о построении графиков, дополнениях и использовании формулы Эйлера, чтобы найти еще больше связей.

Приложение: Исходное определение касательной

Вы можете увидеть, что касательная определяется как длина касательной от окружности к оси X (любители геометрии могут это понять).

Как и ожидалось, в верхней части окружности (x=90) касательная никогда не может достичь оси x и имеет бесконечную длину.

Мне нравится эта интуиция, потому что она помогает нам запомнить название «тангенс», и вот хорошее интерактивное руководство по триггерам для изучения:

Тем не менее, очень важно расположить касательную вертикально и распознать, что это просто синусоидальная проекция на заднюю стенку (вместе с другими треугольными соединениями).

Приложение: Обратные функции

9{-1}$ или $\arcsin$ («арксинус») и часто пишется как как на различных языках программирования.

Если наша высота составляет 25% купола, каков наш угол?

Подстановка asin(.25) в калькулятор дает угол 14,5 градусов.

А как насчет чего-нибудь экзотического, вроде арксеканса? Часто он недоступен как функция калькулятора (даже тот, который я построил, вздох).

Глядя на нашу шпаргалку по триггерам, мы находим простое соотношение, в котором можно сравнить секанс с 1. Например, секанс с 1 (гипотенуза с горизонталью) равен 1 с косинусом:

Предположим, наш секанс равен 3,5, т.е. 350% радиуса единичного круга. Какой угол к стене?

Приложение: Несколько примеров

Пример: Найдите синус угла x.

Эх, какой скучный вопрос. Вместо «найти синус» подумайте: «Какова высота в процентах от максимума (гипотенузы)?».

Во-первых, обратите внимание, что треугольник перевернут. Это нормально. Он по-прежнему имеет высоту, в зеленом цвете.

Какова максимальная высота? По теореме Пифагора мы знаем

Хорошо! Синус — это высота в процентах от максимума, который равен 3/5 или 0,60.

Продолжение: Найдите угол.

Конечно. У нас есть несколько способов. Теперь, когда мы знаем, что синус = 0,60, мы можем просто сделать:

Вот еще один подход. Обратите внимание, что вместо синуса треугольник «упирается в стену», так что тангенс — вариант. Высота равна 3, расстояние до стены равно 4, поэтому высота касательной равна 3/4 или 75%. Мы можем использовать арктангенс, чтобы превратить процент обратно в угол:

Пример: Сможете ли вы добраться до берега?

Вы находитесь в лодке с достаточным количеством топлива, чтобы проплыть 2 мили. В настоящее время вы находитесь в 0,25 милях от берега. Какой самый большой угол вы могли бы использовать и все еще достичь земли? Кроме того, единственная доступная ссылка — это Hubert’s Compendium of Arccosines, 3rd Ed . (Воистину, адское путешествие.)

Хорошо. Здесь мы можем визуализировать пляж как «стену», а «расстояние от лестницы» до стены — это секущая.

Во-первых, нам нужно все нормализовать в процентах. У нас есть 2 / 0,25 = 8 «единиц гипотенузы» топлива. Итак, наибольшая секущая, которую мы можем допустить, равна 8-кратному расстоянию до стены.

Нам бы понравилось , чтобы спросить: «Какой угол имеет секанс 8?». Но мы не можем, так как у нас есть только книга арккосинусов.

Мы используем нашу шпаргалку, чтобы связать секанс с косинусом: А, я вижу, что «сек/1 = 1/косинус», поэтому

Секанс 8 подразумевает косинус 1/8. Угол с косинусом 1/8 равен arccos(1/8) = 82,8 градуса, это самый большой угол, который мы можем себе позволить.

Не так уж и плохо, правда? Если бы не аналогия с куполом/стеной/потолком, я бы утонул в беспорядке вычислений. Визуализация сценария позволяет легко и даже весело увидеть, какой напарник может нам помочь.

В своей задаче подумайте: меня интересует купол (sin/cos), стена (tan/sec) или потолок (cot/csc)?

Счастливая математика.

Обновление: Владелец Gray Matters собрал интерактивные диаграммы для аналогий (перетащите ползунок слева, чтобы изменить угол):

Синус/Косинус: Купол
Касательная/секущая: Стена
Котангенс/Косеканс: потолок
Комбинированная визуализация

Спасибо!

Другие сообщения из этой серии

Как интуитивно выучить тригонометрию
Тождества простых триггеров с формулой Эйлера
Интуиция по закону косинусов
Интуиция по закону синусов
Как выучить триггерные производные

Изучите тригонометрию за 5 шагов | Джон Марш

Чтение: 3 мин.

5 марта 2014 г.

Тригонометрия — раздел математики. Тригонометрия – это наука о треугольниках. Это очень легко, если подойти к этому правильно. Тригонометрия — это все о соотношении между сторонами и углами треугольников.

Прямоугольный треугольник

В этой статье мы обсудим, как изучить основы тригонометрии за 5 шагов.

Шаг 1: Проверьте все основы.

Практика манипулирования алгеброй. Это важный шаг в любой области математики. Практикуйте квадратное уравнение, линейное уравнение и т. д.
Практикуйте все основы геометрии. Геометрия тесно связана с тригонометрией.

Узнайте об углах.
a) Прямой угол: Прямой угол равен 90 градусам, а радиан прямого угла равен π/2

b) Прямой угол: Прямой угол равен 180 градусам, а радиан прямого угла равен π.

c) Полный оборот: Полный оборот составляет 360 градусов, а радиан полного вращения равен 2π.

Шаг 2: Начните с прямоугольных треугольников. Это трехсторонний треугольник, один из углов которого равен 90 градусов.

Прямой угол имеет три противоположные стороны, гипотенузу и прилежащую.

Гипотенуза — самая длинная сторона прямого угла.

В тригонометрии есть три основные функции синуса, косинуса и тангенса.
a)Sin θ = O/H
b)Cos θ = A/H
c)Tan θ = A/O

Эти функции можно запомнить таким образом,
а) SOH=> Sin(синус). Противоположная над гипотенузой.
б) CAH=> Cos(Косинус). Примыкает к гипотенузе.
c) TAO=> Tan(Tangent). Соседняя над противоположной.

Изучите теорему Пифагора.
Гипотенуза2 = Противоположная2+ Смежная2

Пример: Прямой угол имеет две стороны 5см и 3см найти гипотенузу.

Решение: Дано противоположное = 5 см и соседнее = 3 см

Используя теорему Пифагора
=>Гипотенуза2 = Противоположная2+ Смежная2
=>Гипотенуза2 =52+32
=>Гипотенуза2 =34
=>Гипотенуза=√34
Шаг 3: Пройдите через непрямоугольный треугольник. Эти треугольники не являются прямоугольными треугольниками.

Не использовать теорему Пифагора.

Функция синуса, косинуса и тангенса играет одинаковую роль.

Есть два важных правила,
а) Правило синусов: Это правило содержит отношение длины стороны к греху угла противоположной стороны. Она одинакова для всех трех сторон.
a/sin A= b/sin B = c/sin C

b) Правило косинуса: Пусть треугольник со сторонами a, b и c, угол, противоположный стороне c, равен C
, тогда, правило косинуса,
c2=a2+b2-2ab cos(C)

Шаг 4: Изучите другую важную функцию тригонометрии.

Узнайте об измерении угла в радианах. Это еще один способ измерения угла.

Например, 180 градусов в радианах равно π или 3,14.

Выучите три важных фундаментальных тождества,
а) sin2 θ +cos2 θ =1
b)1+tan2 θ =sec2 θ
c) 1+cot2 θ =cosec2 θ

Изучите три других наиболее важных соотношения.
a)cot θ =1/tan θ
b)sec θ =1/cos θ
c)cosec θ =1/sin θ

Шаг 5: Практика является ключом к любой области математики. Тригонометрию очень легко применять только тогда, когда учащиеся умеют пользоваться правилом и формулами.