Как решать действия со степенями: Свойства степеней, действия со степенями

Содержание

Действия со степенями и корнями

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Действия со степенями и корнями

«Пусть кто-нибудь попробует
вычеркнуть из математики
степени, и он увидит, что
без них далеко не уедешь»
М.В. Ломоносов

2. Цели урока:

отработка умений
систематизировать, обобщать знания
о степени с действительным
показателем, закрепить и
усовершенствовать навыки
простейших преобразований
выражений, содержащих степени и
корни, решать уравнения.

3. ВАЖНО ДЛЯ ВАС

• А чтобы на экзаменах у вас не было стресса,
вы должны уже сейчас свободно выполнять
задания из материалов ЕГЭ, уметь жёстко
работать по времени, контролировать свою
деятельность, уметь методом прикидки и
минимальной подстановки выполнять
проверку и тогда вы будете уверенными в
себе.
4
( 11 )
7 ( 3)
8
4
6
8
64
2
8 /2
2
(( 2 ) )
0,4
243
2
3 2
2
16
5
4
2
3
4
уровень уровень уровень
1b

1b
2b
2b

6. ИНТЕРЕСНО

Какие витамины и минералы
необходимы человеку, чтобы быть
здоровым?
Давайте вычислим суточную
потребность организма в витаминах
В1, В2 , Fe, в миллиграммах.

7. ЭТО НАДО ЗНАТЬ

• Дефицит витамина В1 может привести к
нарушению обмена углеводов.
• Витамин В2 отвечает за состояние
зрения, он необходим для построения
защитного слоя сетчатки.
• Дефицит железа сказывается на росте и
устойчивости к инфекциям. От железа
зависит построение гемоглобина –
переносчика кислорода ко всем органам.

8. История степеней.

ИСТОРИЯ СТЕПЕНЕЙ.
Понятие степени с натуральным показателем
сформировалось ещё у древних народов. Квадрат
и куб числа использовались для вычисления
площадей и объемов. Степени некоторых чисел
использовались при решении отдельных задач
учеными Древнего Египта и Вавилона.
В III веке вышла книга греческого ученого
Диофанта “Арифметика”, в которой было
положено начало введению буквенной
символики. Диофант вводит символы для
первых шести степеней неизвестного и
обратных им величин. В этой книге квадрат
обозначается знаком с индексом r; куб –
знаком k c индексом r и т.д.
1) Все началось с Древнегреческого
ученого Пифагора. У него была целая
школа, и всех его учеников называли
пифагорейцами. Они придумали, что
каждое число можно представить в
виде фигур. Например, числа 4, 9 и 16
они составляли в виде квадрат
XVI век. В этом веке понятие степени
расширилось: его стали относить не только
к конкретному числу, но и к переменной.
Как тогда говорили «к числам вообще»
Английский математик С. Стевин
придумал запись для обозначения
степени: запись 3(3)+5(2)–4
обозначала такую современную
запись
33 + 52 – 4.
С. Стевин
В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не
только переменных, но и их коэффициентов. Он применял
сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней.
Но современные обозначения (типа
4
5
в XVII в ввел Рене Декарт.
Франсуа Виет.
Рене Декарт.
Современные определения и обозначения
степени с нулевым, отрицательным и дробным
показателем берут начало от работ английских
математиков
Джона Валлиса (1616–1703) и
Исаака Ньютона
(1643–1727).

14. История степеней.

ИСТОРИЯ СТЕПЕНЕЙ.
Понятие степени с натуральным показателем
сформировалось ещё у древних народов. Квадрат
и куб числа использовались для вычисления
площадей и объемов. Степени некоторых чисел
использовались при решении отдельных задач
учеными Древнего Египта и Вавилона.
В III веке вышла книга греческого ученого
Диофанта “Арифметика”, в которой было
положено начало введению буквенной
символики. Диофант вводит символы для
первых шести степеней неизвестного и
обратных им величин. В этой книге квадрат
обозначается знаком с индексом r; куб –
знаком k c индексом r и т.д.

English     Русский Правила

5}$$$

Правила экспоненты | Законы экспонент

Правила экспоненты — это те законы, которые используются для упрощения выражений с экспонентами. Многие арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, можно удобно выполнять быстрыми шагами, используя законы экспоненты. Эти правила также помогают упростить числа со сложными степенями, включая дроби, десятичные дроби и корни.

Давайте узнаем больше о различных правилах степеней, включая различные виды чисел для основания и степеней.

1. Что такое правила экспоненты?
2. Законы экспонентов
3. Закон произведения экспонент
4. Частный закон показателей
5. Нулевой закон экспонент
6. Отрицательный закон показателей
7. Степень степенного закона показателей
8. Сила произведения Правило показателей
9. Степень частного правила показателей
10. Правило дробных показателей
11. Таблица правил экспоненты
12. Часто задаваемые вопросы о правилах экспонента

Что такое правила экспоненты?

Правила экспоненты , также известные как «законы экспоненты» или «свойства экспоненты», упрощают процесс упрощения выражений, включающих экспоненты.

Эти правила помогают упростить выражения, в которых в качестве показателей используются десятичные дроби, дроби, иррациональные числа и отрицательные целые числа.

Например, если нам нужно решить 3 4 × 3 2 , мы можем легко сделать это, используя одно из правил экспоненты, которое гласит: a m × a n = a m + n . Используя это правило, мы просто сложим показатели степени, чтобы получить ответ, при этом основание останется прежним, то есть 3 4 × 3 2 = 3 4 + 2 = 3 6 . Точно так же выражения с более высокими значениями показателей можно удобно решать с помощью правил показателей степени. Вот список правил экспоненты.

  • и 0 = 1
  • 1
    =
  • a м × a n = a m+n
  • a м / a n = a m−n
  • а −м ​​ = 1/а м
  • м ) н = а мн
  • (ab) м = а м б м
  • (а/б) м = а м м

Законы экспонентов

Различные правила показателей степени также известны как законы показателей степени (или) свойства показателей степени . Законы экспонент уже упоминались в предыдущем разделе. Большинство из них имеют конкретные названия, такие как правило произведения показателей, правило частных показателей, правило нулей показателей, отрицательное правило показателей и т. д.

Давайте сейчас подробно изучим каждое из них.

Закон произведения экспонентов

Правило произведения показателей степени используется для умножения выражений с одинаковыми основаниями. Это правило гласит: «Чтобы умножить два выражения с одним и тем же основанием, сложите показатели степени, сохраняя при этом одно и то же основание». Это правило включает в себя сложение степеней с одинаковым основанием. Здесь правило полезно для упрощения двух выражений с операцией умножения между ними.

Рассмотрим следующий пример.

Использование правила произведения экспонент Без использования правила
2 3 × 2 5 = 2 (3 + 5) = 2 8 2 3 × 2 5 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 2 8

Это показывает, что без использования закона выражение требует больше вычислений.

Частный закон показателей

Частное соотношение показателей используется для деления выражений с одинаковыми основаниями. Это правило гласит: «Чтобы разделить два выражения с одинаковым основанием, вычтите показатели степени, оставив основание одинаковым». Это полезно при решении выражения без фактического выполнения процесса деления. Единственное необходимое условие состоит в том, что два выражения должны иметь одну и ту же основу.

Вот пример.

Использование частного закона показателей Без использования закона
2 5 /2 3 = 2 5 — 3 = 2 2 2 5 /2 3 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)/(2 × 2 × 2) = 2 2

Мы можем ясно видеть, что без использования закона выражение требует больше вычислений.

Нулевой закон экспонент

Нулевой закон степеней применяется, когда показатель степени выражения равен 0. Это правило гласит: «Любое число (кроме 0), возведенное в 0, равно 1». Обратите внимание, что 0 0 не определено, это неопределенная форма. Это поможет нам понять, что независимо от основания значение нулевого показателя всегда равно 1.

Вот пример.

Использование нулевого закона экспонент Без использования закона
2 0 = 1 2 0 = 2 5 — 5 = 2 5 /2 5 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)/(2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 1 

Используя закон, мы просто получаем 2 0 = 1. В качестве альтернативы, не используя закон, мы можем понять тот же закон с большим количеством шагов.

Отрицательный закон показателей

Отрицательный закон показателей степени используется, когда показатель степени является отрицательным числом. Это правило гласит: «Чтобы преобразовать любую отрицательную экспоненту в положительную, нужно взять обратную». Выражение переводится из числителя в знаменатель с изменением знака значений показателей степени.

Вот пример.

Использование отрицательного закона показателей Без использования закона
2 -2 = 1/(2 2 ) 2 -2 = 2 0-2 = 2 0 /2
2
= 1/(2) 2

Используя закон, мы можем решить это за один раз, например 2 -2 = 1/(2 2 ). В противном случае, без использования закона процесс будет длительным.

Степень степенного закона показателей

«Степень степенного закона показателей» используется для упрощения выражений вида (a m ) n . Это правило гласит: «Если у нас есть одно основание с двумя показателями степени, просто умножьте показатели степени». Два экспонента доступны друг над другом. Их можно удобно умножить, чтобы получить один показатель степени.

Вот пример.

Использование степени степенного закона показателей Без использования закона
(2 2 ) 3 = 2 6 (2
2
) 3 =(2 2 )(2 2 )(2 2 ) =(2 · 2) (2 · 2) (2 · 2) = 2 6 6

Использование этого закона сокращает процесс расчета.

Сила продукта Правило показателей

«Правило степени произведения показателей» используется для нахождения результата произведения, возведенного в степень. Этот закон гласит: «Распределите показатель степени на каждое множимое произведения».

Вот пример.

Использование правила степени произведения степени Без использования правила
(ху) 3 = х 3 . у 3 (xy) 3 =(xy).(xy).(xy) = (x.x.x).(y.y.y) x 3 .y 3

Используя закон, (xy) 3 = x 3 .y 3 . С другой стороны, одно и то же можно выразить несколькими шагами, не используя закон. (xy) 3 =(xy).(xy).(xy) = (x.x.x).(y.y.y) x 3 .y 3

Сила частного правила показателей

Сила правила отношения показателей степени используется для нахождения результата возведения частного в степень. Этот закон гласит: «Распределите показатель степени как в числителе, так и в знаменателе». Здесь основания разные, а показатели степени одинаковы для обоих оснований.

Вот пример приведенного выше правила экспоненты.

Использование степени частного правила показателей Без использования правила
(х/у) 3 = х 3 3 (х/у) 3 = х/у . х/у. х/у = х 3 3

Мы можем использовать закон и просто решить, и мы также можем решить то же самое выражение без закона, который включает в себя несколько шагов.

Дробные показатели степени Правило

Согласно правилу дробных показателей, a 1/n = n √a. т. е. когда у нас есть дробный показатель, это приводит к радикалам. Например, a 1/2 = √a, a 1/3 = ∛a и т. д. Это правило дополнительно расширяется для комплексных дробных показателей, таких как m/n . Используя степень степенного правила показателей (которое мы изучали в одном из предыдущих разделов),

a m/n = (a m ) 1/n

Теперь, используя дробное правила степени, эта дробная степень превращается в радикал.

a m/n = n √(a m )

Это также используется как альтернативная форма правила дробных показателей. Таким образом, это правило определяется двумя способами:

  • a 1/n = n √a
  • а м/н = н √(а м )

Таблица правил экспоненты

Объясненные выше правила экспоненты можно обобщить в таблице, как показано ниже.

Имя экспонента Правила Правило
Правило нулевого порядка а 0 = 1
Правило экспоненты идентичности 1 =
Правило продукта a м × a n = a m+n
Правило частных а м н = а м-н
Отрицательные степени Правило а = 1/а м ; (а/б) = (б/а) м
Сила силы Правило м ) н = а мн
Сила продукта Правило (ab) м = а м б м
Правило степени частного (a/b) м = a м /b м

Советы по правилам экспоненты:

  • Если дробь имеет отрицательный показатель степени, то мы берем обратную дробь, чтобы показатель степени был положительным, т. е. (a/b) -m = (b /а) м
  • Мы можем преобразовать радикал в показатель степени, используя следующее правило: a 1/n = n √a

☛ Статьи по теме

  • Экспоненциальные уравнения
  • Иррациональные Показатели
  • Калькулятор правил экспоненты

 

Примеры правил экспоненты

  1. Пример 1: Упростите выражение, используя законы экспоненты: 10 -3 × 10 4

    Решение:

    Согласно правилам экспоненты, чтобы умножить два выражения с одинаковым основанием, мы сложите показатели, а основание останется прежним. Это означает, 10 -3 × 10 4 = 10 (-3 + 4) = 10 1 = 10

    Ответ: 10

  2. Пример 2: Упростите заданное выражение и выберите правильный вариант, используя законы показателей: 10 15 ÷ 10 7

    (A) 10 8

    (B) 10 22

    (B) 10 22

    99936

    (B) 10 22

    39

    (B) 10 22

    (B) 10 22

    (B) 10 22

    (B) 10. Решение:

    Согласно правилам экспоненты, когда мы делим два выражения с одинаковым основанием, мы вычитаем экспоненты. Это означает, 10 15 /10 7 = 10 15 — 7 = 10 8 .

    Следовательно, правильный вариант (а) 10 8

    Ответ: Вариант (а)

  3. Пример 3: Используя правила экспоненты, укажите, верны или нет следующие утверждения.

    (a) Если дробь имеет отрицательный показатель степени, то мы берем обратную дробь, чтобы показатель степени был положительным, т. е. (a/b) -m = (b/a) m

    (b) 672 0 = 0

    Решение:

    дробь, чтобы показатель степени был положительным, т. е. (a/b) -m = (b/a) m

    (b) False, согласно нулевому правилу показателей степени, любое число в нулевой степени равно всегда равно 1. Итак, 672 0 = 1

    Ответ: (a) Верно (b) Ложно

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Хотите создать прочную основу в математике?

Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними. Испытайте Cuemath и приступайте к работе.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по правилам экспоненты

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о правилах экспонента

Что такое экспоненциальные правила в математике?

Правила экспоненты — это те законы, которые используются для упрощения выражений с экспонентами. Эти законы также помогают упростить выражения, в которых в качестве показателей используются десятичные дроби, дроби, иррациональные числа и отрицательные целые числа. Например, если нам нужно решить 34 5 × 34 7 , мы можем использовать правило экспоненты, которое гласит: × 34 7 = 34 5 + 7 = 34 12 . Несколько правил экспонент перечислены ниже:

  • Правило произведения: a m × a n = a m+n ;
  • Частное правило: a m /a n = a m-n ;
  • Правило отрицательных показателей: a -m = 1/a m ;
  • Сила силы Правило: (a m ) n = a mn .

Что такое 8 законов показателей?

8 законов показателей могут быть перечислены следующим образом:

  • Закон нулевой степени: a 0 = 1
  • Закон экспоненты тождества: a 1 = a
  • Закон произведения: a m × a n = a m+n
  • Частный закон: a m /a n = a m-n
  • Закон отрицательных показателей: a -m = 1/a m
  • Сила Силы: (a m ) n = a mn
  • Сила продукта: (ab) м = а м б м
  • Степень частного: (a/b) m = a m /b m

Какова цель правил экспоненты?

Назначение правил экспоненты — упростить экспоненциальные выражения за меньшее количество шагов. Например, без использования правил экспоненты выражение 2 3 × 2 5 записывается как (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 2 8 . Теперь, с помощью экспоненциальных правил, это можно упростить всего за два шага, как 2 3 × 2 5 = 2 (3 + 5) = 2 8 .

Как доказать законы экспонент?

Законы экспоненты можно легко доказать, расширив члены. Экспоненциальное выражение расширяется путем записи основания столько раз, сколько значение мощности. Показатель формы a n записывается как a × a × a × a × a × …. n раз. Далее, при умножении мы можем получить окончательное значение показателя степени. Например, решим 4 2 × 4 4 . Используя «закон произведения» показателей степени, который гласит: . Это можно расширить и проверить как (4 × 4) × (4 × 4 × 4 × 4) = 4096. Мы знаем, что значение 4 6 также равно 4096. Следовательно, правила экспоненты можно доказать, разложив заданные условия.

Каковы правила экспоненты при одинаковых основаниях?

При одинаковых основаниях применимы все законы показателей степени. Например, чтобы решить 3 12 ÷ 3 4 , мы можем применить «Правило частного» для показателей степени, в котором степени вычитаются. Итак, 3 12 ÷ 3 4 станет 3 12-4 = 3 8 . Точно так же, чтобы решить 4 9 × 4 4 , мы применяем «правило произведения» показателей степени, в котором степени складываются. Это приведет к 4 9+4 = 4 13 .

Каковы правила экспоненты, когда основания разные?

Когда основания и степени разные, то каждое слагаемое решается отдельно и тогда переходим к дальнейшему расчету. Например, добавим 4 2 + 2 5 = (4 × 4) + (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 16 + 32 = 48. Этот процесс применим к сложению, вычитанию, умножению и делению. В другом примере, если перемножаются выражения с разными основаниями и разными степенями, каждый член оценивается отдельно, а затем перемножается. Например, 10 3 × 6 2 = 1000 × 36 = 36000.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *