Действия со степенями и корнями
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
1. Действия со степенями и корнями
«Пусть кто-нибудь попробуетвычеркнуть из математики
степени, и он увидит, что
без них далеко не уедешь»
М.В. Ломоносов
2. Цели урока:
отработка уменийсистематизировать, обобщать знания
о степени с действительным
показателем, закрепить и
усовершенствовать навыки
простейших преобразований
выражений, содержащих степени и
корни, решать уравнения.
3. ВАЖНО ДЛЯ ВАС
• А чтобы на экзаменах у вас не было стресса,вы должны уже сейчас свободно выполнять
задания из материалов ЕГЭ, уметь жёстко
работать по времени, контролировать свою
деятельность, уметь методом прикидки и
минимальной подстановки выполнять
проверку и тогда вы будете уверенными в
себе.
4
( 11 )
7 ( 3)
8
4
6
8
64
2
8 /2
2
(( 2 ) )
0,4
243
2
3 2
2
16
5
4
2
3
4
уровень уровень уровень
1b
1б
1b
2b
2b
2б
6. ИНТЕРЕСНО
Какие витамины и минералынеобходимы человеку, чтобы быть
здоровым?
Давайте вычислим суточную
потребность организма в витаминах
В1, В2 , Fe, в миллиграммах.
7. ЭТО НАДО ЗНАТЬ
• Дефицит витамина В1 может привести кнарушению обмена углеводов.
• Витамин В2 отвечает за состояние
зрения, он необходим для построения
защитного слоя сетчатки.
• Дефицит железа сказывается на росте и
устойчивости к инфекциям.
От железазависит построение гемоглобина –
переносчика кислорода ко всем органам.
8. История степеней.
ИСТОРИЯ СТЕПЕНЕЙ.Понятие степени с натуральным показателем
сформировалось ещё у древних народов. Квадрат
и куб числа использовались для вычисления
площадей и объемов. Степени некоторых чисел
использовались при решении отдельных задач
учеными Древнего Египта и Вавилона.
В III веке вышла книга греческого ученого
Диофанта “Арифметика”, в которой было
положено начало введению буквенной
символики. Диофант вводит символы для
первых шести степеней неизвестного и
обратных им величин. В этой книге квадрат
обозначается знаком с индексом r; куб –
знаком k c индексом r и т.д.
1) Все началось с Древнегреческого
ученого Пифагора. У него была целая
школа, и всех его учеников называли
пифагорейцами. Они придумали, что
каждое число можно представить в
виде фигур. Например, числа 4, 9 и 16
они составляли в виде квадрат
XVI век.
В этом веке понятие степенирасширилось: его стали относить не только
к конкретному числу, но и к переменной.
Как тогда говорили «к числам вообще»
Английский математик С. Стевин
придумал запись для обозначения
степени: запись 3(3)+5(2)–4
обозначала такую современную
запись
33 + 52 – 4.
С. Стевин
В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не
только переменных, но и их коэффициентов. Он применял
сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней.
Но современные обозначения (типа
4
5
в XVII в ввел Рене Декарт.
Франсуа Виет.
Рене Декарт.
Современные определения и обозначения
степени с нулевым, отрицательным и дробным
показателем берут начало от работ английских
математиков
Джона Валлиса (1616–1703) и
Исаака Ньютона
(1643–1727).
14. История степеней.
ИСТОРИЯ СТЕПЕНЕЙ.Понятие степени с натуральным показателем
сформировалось ещё у древних народов.
Квадрати куб числа использовались для вычисления
площадей и объемов. Степени некоторых чисел
использовались при решении отдельных задач
учеными Древнего Египта и Вавилона.
Диофанта “Арифметика”, в которой было
положено начало введению буквенной
символики. Диофант вводит символы для
первых шести степеней неизвестного и
обратных им величин. В этой книге квадрат
обозначается знаком с индексом r; куб –
знаком k c индексом r и т.д.
English Русский Правила
5}$$$Правила экспоненты | Законы экспонент
Правила экспоненты — это те законы, которые используются для упрощения выражений с экспонентами. Многие арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, можно удобно выполнять быстрыми шагами, используя законы экспоненты. Эти правила также помогают упростить числа со сложными степенями, включая дроби, десятичные дроби и корни.
Давайте узнаем больше о различных правилах степеней, включая различные виды чисел для основания и степеней.
| 1. | Что такое правила экспоненты? |
| 2. | Законы экспонентов |
| 3. | Закон произведения экспонент |
| 4. | Частный закон показателей |
| 5. | Нулевой закон экспонент |
| 6. | Отрицательный закон показателей |
| 7. | Степень степенного закона показателей |
| 8. | Сила произведения Правило показателей |
| 9. | Степень частного правила показателей |
| 10. | Правило дробных показателей |
| 11. | Таблица правил экспоненты |
| 12. | Часто задаваемые вопросы о правилах экспонента |
Что такое правила экспоненты?
Правила экспоненты , также известные как «законы экспоненты» или «свойства экспоненты», упрощают процесс упрощения выражений, включающих экспоненты.
Например, если нам нужно решить 3 4 × 3 2 , мы можем легко сделать это, используя одно из правил экспоненты, которое гласит: a m × a n = a m + n . Используя это правило, мы просто сложим показатели степени, чтобы получить ответ, при этом основание останется прежним, то есть 3 4 × 3 2 = 3 4 + 2 = 3 6 . Точно так же выражения с более высокими значениями показателей можно удобно решать с помощью правил показателей степени. Вот список правил экспоненты.
- и 0 = 1
- 1 =
- a м × a n = a m+n
- a м / a n = a m−n
- а −м = 1/а м
- (а м ) н = а мн
- (ab) м = а м б м
- (а/б) м = а м /б м
Законы экспонентов
Различные правила показателей степени также известны как законы показателей степени (или) свойства показателей степени .
Законы экспонент уже упоминались в предыдущем разделе. Большинство из них имеют конкретные названия, такие как правило произведения показателей, правило частных показателей, правило нулей показателей, отрицательное правило показателей и т. д.
Давайте сейчас подробно изучим каждое из них.
Закон произведения экспонентов
Правило произведения показателей степени используется для умножения выражений с одинаковыми основаниями. Это правило гласит: «Чтобы умножить два выражения с одним и тем же основанием, сложите показатели степени, сохраняя при этом одно и то же основание». Это правило включает в себя сложение степеней с одинаковым основанием. Здесь правило полезно для упрощения двух выражений с операцией умножения между ними.
Рассмотрим следующий пример.
| Использование правила произведения экспонент | Без использования правила |
|---|---|
| 2 3 × 2 5 = 2 (3 + 5) = 2 8 | 2 3 × 2 5 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 2 8 |
Это показывает, что без использования закона выражение требует больше вычислений.
Частный закон показателей
Частное соотношение показателей используется для деления выражений с одинаковыми основаниями. Это правило гласит: «Чтобы разделить два выражения с одинаковым основанием, вычтите показатели степени, оставив основание одинаковым». Это полезно при решении выражения без фактического выполнения процесса деления. Единственное необходимое условие состоит в том, что два выражения должны иметь одну и ту же основу.
Вот пример.
| Использование частного закона показателей | Без использования закона |
|---|---|
| 2 5 /2 3 = 2 5 — 3 = 2 2 | 2 5 /2 3 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)/(2 × 2 × 2) = 2 2 |
Мы можем ясно видеть, что без использования закона выражение требует больше вычислений.
Нулевой закон экспонент
Нулевой закон степеней применяется, когда показатель степени выражения равен 0.
Это правило гласит: «Любое число (кроме 0), возведенное в 0, равно 1». Обратите внимание, что 0 0 не определено, это неопределенная форма. Это поможет нам понять, что независимо от основания значение нулевого показателя всегда равно 1.
Вот пример.
| Использование нулевого закона экспонент | Без использования закона |
|---|---|
| 2 0 = 1 | 2 0 = 2 5 — 5 = 2 5 /2 5 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)/(2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 1 |
Используя закон, мы просто получаем 2 0 = 1. В качестве альтернативы, не используя закон, мы можем понять тот же закон с большим количеством шагов.
Отрицательный закон показателей
Отрицательный закон показателей степени используется, когда показатель степени является отрицательным числом.
Это правило гласит: «Чтобы преобразовать любую отрицательную экспоненту в положительную, нужно взять обратную». Выражение переводится из числителя в знаменатель с изменением знака значений показателей степени.
Вот пример.
| Использование отрицательного закона показателей | Без использования закона |
|---|---|
| 2 -2 = 1/(2 2 ) | 2 -2 = 2 0-2 = 2 0 /2 |
Используя закон, мы можем решить это за один раз, например 2 -2 = 1/(2 2 ). В противном случае, без использования закона процесс будет длительным.
Степень степенного закона показателей
«Степень степенного закона показателей» используется для упрощения выражений вида (a m ) n . Это правило гласит: «Если у нас есть одно основание с двумя показателями степени, просто умножьте показатели степени».
Два экспонента доступны друг над другом. Их можно удобно умножить, чтобы получить один показатель степени.
Вот пример.
| Использование степени степенного закона показателей | Без использования закона |
|---|---|
| (2 2 ) 3 = 2 6 | (2 2 ) 3 =(2 2 )(2 2 )(2 2 ) =(2 · 2) (2 · 2) (2 · 2) = 2 6 6 |
Использование этого закона сокращает процесс расчета.
Сила продукта Правило показателей
«Правило степени произведения показателей» используется для нахождения результата произведения, возведенного в степень. Этот закон гласит: «Распределите показатель степени на каждое множимое произведения».
Вот пример.
| Использование правила степени произведения степени | Без использования правила |
|---|---|
(ху) 3 = х 3 . у 3 | (xy) 3 =(xy).(xy).(xy) = (x.x.x).(y.y.y) x 3 .y 3 |
Используя закон, (xy) 3 = x 3 .y 3 . С другой стороны, одно и то же можно выразить несколькими шагами, не используя закон. (xy) 3 =(xy).(xy).(xy) = (x.x.x).(y.y.y) x 3 .y 3
Сила частного правила показателей
Сила правила отношения показателей степени используется для нахождения результата возведения частного в степень. Этот закон гласит: «Распределите показатель степени как в числителе, так и в знаменателе». Здесь основания разные, а показатели степени одинаковы для обоих оснований.
Вот пример приведенного выше правила экспоненты.
| Использование степени частного правила показателей | Без использования правила |
|---|---|
| (х/у) 3 = х 3 /у 3 | (х/у) 3 = х/у . х/у. х/у = х 3 /у 3 |
Мы можем использовать закон и просто решить, и мы также можем решить то же самое выражение без закона, который включает в себя несколько шагов.
Дробные показатели степени Правило
Согласно правилу дробных показателей, a 1/n = n √a. т. е. когда у нас есть дробный показатель, это приводит к радикалам. Например, a 1/2 = √a, a 1/3 = ∛a и т. д. Это правило дополнительно расширяется для комплексных дробных показателей, таких как m/n . Используя степень степенного правила показателей (которое мы изучали в одном из предыдущих разделов),
a m/n = (a m ) 1/n
Теперь, используя дробное правила степени, эта дробная степень превращается в радикал.
a m/n = n √(a m )
Это также используется как альтернативная форма правила дробных показателей.
Таким образом, это правило определяется двумя способами:
- a 1/n = n √a
- а м/н = н √(а м )
Таблица правил экспоненты
Объясненные выше правила экспоненты можно обобщить в таблице, как показано ниже.
| Имя экспонента Правила | Правило |
|---|---|
| Правило нулевого порядка | а 0 = 1 |
| Правило экспоненты идентичности | 1 = |
| Правило продукта | a м × a n = a m+n |
| Правило частных | а м /а н = а м-н |
| Отрицательные степени Правило | а -м = 1/а м ; (а/б) -м = (б/а) м |
| Сила силы Правило | (а м ) н = а мн |
| Сила продукта Правило | (ab) м = а м б м |
| Правило степени частного | (a/b) м = a м /b м |
Советы по правилам экспоненты:
- Если дробь имеет отрицательный показатель степени, то мы берем обратную дробь, чтобы показатель степени был положительным, т.
е. (a/b) -m = (b /а) м - Мы можем преобразовать радикал в показатель степени, используя следующее правило: a 1/n = n √a
е. (a/b) -m = (b /а) м ☛ Статьи по теме
- Экспоненциальные уравнения
- Иррациональные Показатели
- Калькулятор правил экспоненты
Примеры правил экспоненты
Пример 1: Упростите выражение, используя законы экспоненты: 10 -3 × 10 4
Решение:
Согласно правилам экспоненты, чтобы умножить два выражения с одинаковым основанием, мы сложите показатели, а основание останется прежним. Это означает, 10 -3 × 10 4 = 10 (-3 + 4) = 10 1 = 10
Ответ: 10
Пример 2: Упростите заданное выражение и выберите правильный вариант, используя законы показателей: 10 15 ÷ 10 7
(A) 10 8
(B) 10 22
(B) 10 22
99936(B) 10 22
39(B) 10 22
(B) 10 22
(B) 10 22
(B) 10.
Решение: Согласно правилам экспоненты, когда мы делим два выражения с одинаковым основанием, мы вычитаем экспоненты. Это означает, 10 15 /10 7 = 10 15 — 7 = 10 8 .
Следовательно, правильный вариант (а) 10 8
Ответ: Вариант (а)
Пример 3: Используя правила экспоненты, укажите, верны или нет следующие утверждения.
(a) Если дробь имеет отрицательный показатель степени, то мы берем обратную дробь, чтобы показатель степени был положительным, т. е. (a/b) -m = (b/a) m
(b) 672 0 = 0
Решение:
дробь, чтобы показатель степени был положительным, т. е. (a/b) -m = (b/a) m
(b) False, согласно нулевому правилу показателей степени, любое число в нулевой степени равно всегда равно 1. Итак, 672 0 = 1
Ответ: (a) Верно (b) Ложно
Решение: перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Хотите создать прочную основу в математике?
Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними.
Испытайте Cuemath и приступайте к работе.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по правилам экспоненты
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о правилах экспонента
Что такое экспоненциальные правила в математике?
Правила экспоненты — это те законы, которые используются для упрощения выражений с экспонентами. Эти законы также помогают упростить выражения, в которых в качестве показателей используются десятичные дроби, дроби, иррациональные числа и отрицательные целые числа. Например, если нам нужно решить 34 5 × 34 7 , мы можем использовать правило экспоненты, которое гласит: × 34 7 = 34 5 + 7 = 34 12 . Несколько правил экспонент перечислены ниже:
- Правило произведения: a m × a n = a m+n ;
- Частное правило: a m /a n = a m-n ;
- Правило отрицательных показателей: a -m = 1/a m ;
- Сила силы Правило: (a m ) n = a mn .
Что такое 8 законов показателей?
8 законов показателей могут быть перечислены следующим образом:
- Закон нулевой степени: a 0 = 1
- Закон экспоненты тождества: a 1 = a
- Закон произведения: a m × a n = a m+n
- Частный закон: a m /a n = a m-n
- Закон отрицательных показателей: a -m = 1/a m
- Сила Силы: (a m ) n = a mn
- Сила продукта: (ab) м = а м б м
- Степень частного: (a/b) m = a m /b m
Какова цель правил экспоненты?
Назначение правил экспоненты — упростить экспоненциальные выражения за меньшее количество шагов. Например, без использования правил экспоненты выражение 2 3 × 2 5 записывается как (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 2 8 .
Теперь, с помощью экспоненциальных правил, это можно упростить всего за два шага, как 2 3 × 2 5 = 2 (3 + 5) = 2 8 .
Как доказать законы экспонент?
Законы экспоненты можно легко доказать, расширив члены. Экспоненциальное выражение расширяется путем записи основания столько раз, сколько значение мощности. Показатель формы a n записывается как a × a × a × a × a × …. n раз. Далее, при умножении мы можем получить окончательное значение показателя степени. Например, решим 4 2 × 4 4 . Используя «закон произведения» показателей степени, который гласит: . Это можно расширить и проверить как (4 × 4) × (4 × 4 × 4 × 4) = 4096. Мы знаем, что значение 4 6 также равно 4096. Следовательно, правила экспоненты можно доказать, разложив заданные условия.
Каковы правила экспоненты при одинаковых основаниях?
При одинаковых основаниях применимы все законы показателей степени.
Например, чтобы решить 3 12 ÷ 3 4 , мы можем применить «Правило частного» для показателей степени, в котором степени вычитаются. Итак, 3 12 ÷ 3 4 станет 3 12-4 = 3 8 . Точно так же, чтобы решить 4 9 × 4 4 , мы применяем «правило произведения» показателей степени, в котором степени складываются. Это приведет к 4 9+4 = 4 13 .
Каковы правила экспоненты, когда основания разные?
Когда основания и степени разные, то каждое слагаемое решается отдельно и тогда переходим к дальнейшему расчету. Например, добавим 4 2 + 2 5 = (4 × 4) + (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 16 + 32 = 48. Этот процесс применим к сложению, вычитанию, умножению и делению. В другом примере, если перемножаются выражения с разными основаниями и разными степенями, каждый член оценивается отдельно, а затем перемножается. Например, 10 3 × 6 2 = 1000 × 36 = 36000.