Как решать ряды числовые ряды: Числовые ряды, их суммы, сходимость, примеры

Как решать задачи, где надо продолжить числовой ряд в 4-5 классе. Задачи с решениями онлайн

Сразу отметим, что единой универсальной методики для решения задач на числовые ряды нет. Закономерности, по которым числа следуют друг за другом, могут быть самыми разными, и научиться быстро решать такого рода задачи можно только путём практики — прорешав большое количество других задач на ряды.

Рассмотрим самые простые случаи.

Надо продолжить ряд

1) 2 4 6 8 …

В этом случае всё просто — каждое следующее число на 2 больше предыдущего (т.е. это ряд чётных чисел, или арифметическая прогрессия с шагом 2), поэтому следующее число будет 10

2) 4 8 16 32 …

Тут каждое следующее число в 2 раза больше предыдущего (геометрическая прогрессия), поэтому следующим будет число 64

3) 6 11 17 24 …

Этот случай уже чуть сложнее. В этом числовом ряду разница между соседними числами на 1 больше, чем разница между предыдущими

11 — 6 = 5
17 — 11 = 6
24 -17 = 7

Как видим, шаг (разница) между соседними числами каждый раз увеличивается на 1.
Соответственно, после 24 будет число, которое на 8 больше, то есть 32

Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС

Пример 1

Ряд: 18 10 6 4 …

Взглянув на этот ряд, можно достаточно быстро понять, что разница между соседними числами с каждым шагом сокращается в 2 раза

18 – 10 = 8
10 — 6 = 4 (8:4 = 2)
6 – 4 = 2 (4:2 = 2)

Следовательно, следующий шаг — это 2:2 = 1, то есть число будет 4-1 = 3

Пример 2

Ряд: 7 15 31 63

Этот ряд противоположен предыдущему. Тут разница между соседними числами с каждым шагом увеличивается в 2 раза

15 – 7 = 8
31 – 15 = 16 (16:8 = 2)
63 – 31 = 32 (32:16 = 2)

Следующий шаг будет 32∙2 = 64, соответственно, следующее число будет 63 + 64 = 127

Ответ: 127

Пример 3
Ряд: 2 4 8 10 20 22 44 46 92 94

Взглянем на этот ряд подробнее.

4 – 2 = 2
8:4 = 2
10 – 8 =2
20:10 = 2

То есть одно число на 2 больше предыдущего, а следующее — в 2 раза больше предыдущего.
Далее опять — на 2 больше, и потом в два раза больше.

Следующие числа в этом ряду:

22 – 20 = 2
44:22 = 2
46 – 44 = 2
92:46 = 2
94 – 92 = 2

Соответственно, следующее число будет в 2 раза больше, чем 94. Т.е. это будет 94∙2 = 188

Ответ: 188

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из

вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

Пример 4
Ряд: 1 2 3 5 7 11 13 17 19

В этом ряду бесполезно искать закономерности, насколько соседние числа отличаются друг от друга. Все числа в этом ряду — простые, то есть без остатка делятся только на 1 и на само себя. Соответственно, следующим в ряду будет следующее после 19 простое число, то есть 23.
После того, как вы поняли, что это ряд простых чисел, то вы поняли, почему иные закономерности в этом ряду искать бесполезно — ведь математики до сих пор не нашли закона, по которому распределяются простые числа, и как можно по формуле (а не путём перебора) найти следующее простое число, зная предыдущие.

Ответ: 23

7.4. Положительные числовые ряды. Достаточные признаки сходимости

Определение. Числовой ряд (1.1) называется положительным, если все его слагаемые

An – положительные числа. Частичная сумма Sn = а1+ а2 + …+ аN такого ряда при любом значении N тоже, естественно, положительна, причем с увеличением номера N она монотонно возрастает. Следовательно, имеются всего две возможности:

1)

2) где S – некоторое положительное число.

В первом случае ряд расходится, во втором сходится. Какая из этих двух возможностей реализуется, зависит, очевидно, от поведения слагаемых ряда при N® ∞. Если эти слагаемые стремятся к нулю, причем делают это достаточно быстро, то ряд будет сходиться. А если они не стремятся к нулю, или стремятся к нему, но недостаточно быстро, то ряд будет расходиться.

Например, у гармонического ряда (1.16) слагаемые хоть и убывают, стремясь к нулю, но делают это довольно медленно. Поэтому гармонический ряд оказался расходящимся. А вот у положительного ряда (1.6) слагаемые стремятся к нулю гораздо быстрее, поэтому он оказался сходящимся.

Еще пример. Ряд вида

(1.18)

Называется Обобщенным гармоническим рядом (при это будет обычный гармонический ряд). Если исследовать его на сходимость – расходимость аналогично тому, как исследовался гармонический ряд (1.16) (с помощью рисунка, подобного рисунку 7.1), то можно установить (попробуйте это сделать самостоятельно), что обобщенный гармонический ряд расходится при (его сумма ) и сходится при (его сумма S – конечное положительное число). И это понятно: при слагаемое обобщенного гармонического ряда убывают медленнее слагаемых гармонического ряда. А так как гармонический ряд расходится (скорость убывания его слагаемых недостаточна для сходимости), то тем более при будет расходиться и обобщенный гармонический ряд (1.18). А при слагаемые ряда (1.18) будут, очевидно, убывать быстрее, чем слагаемые гармонического ряда (1.16). И этой возросшей скорости убывания оказывается достаточно для сходимости ряда (1.18).

Можно эти соображения изложить строже, в виде так называемого Признака сравнения положительных числовых рядов.

Его суть в следующем. Пусть

(1.19)

(1.20)

— два произвольных положительных числовых ряда. И пусть для всех N=1,2,… . То есть (1.20) – ряд с бóльшими членами, чем ряд (1.19). Тогда очевидно, что:

1) Если ряд с бóльшими членами сходится, то и ряд с меньшими членами сходится.

2) Если ряд с меньшими членами расходится (его сумма равна +∞), то и ряд с бóльшими членами тоже расходится (его сумма тем более равна +∞).

3) Если ряд с бóльшими членами сходится (его сумма равна +∞), то про ряд с меньшими членами ничего сказать нельзя.

4) Если ряд с меньшими членами сходится (его сумма – число), то про ряд с бóльшими членами ничего сказать нельзя.

Замечание 1. В формулировке всех четырех пунктов признака сравнения можно условие , с помощью которого сравниваются ряды и которое должно выполняться для всех N=1,2,3,…, заменить на это же условие , справедливое не для всех N, а лишь начиная с некоторого номера N, то есть для N>N, ибо отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

Замечание 2. Признак сравнения положительных числовых рядов допускает обобщение. А именно, если существует конечный и отличный от нуля предел

, (1.21)

То есть если

при (1.22)

(Bn эквивалентны Lan при ), то положительные числовые ряды (1.19) и (1.20) сходятся или расходятся одновременно. Данное замечание оставим без доказательства.

Пример 5. Ряд

(1.23)

Расходится (его сумма равна +∞). Действительно, сравнивая этот ряд с гармоническим (1.16), слагаемые которого меньше слагаемых ряда (1.23) для всех N>1, сразу приходим к этому выводу на основании пункта 2 признака сравнения. Его расходимость следует и из того, что это – обобщенный гармонический ряд (1.18) при .

Пример 6. Ряд

(1.24)

— это положительный ряд с меньшим для всех N>1 слагаемыми, чем ряд

(1.25)

Но ряд (1.25) представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Такой ряд, согласно (1.15), сходится и имеет сумму S=1. Но тогда сходится и меньший ряд (1.24), причем его сумма .

Пример 7. Ряд — положительный числовой ряд, у которого слагаемые

при .

Но ряд расходится в силу (1.17). Значит, в соответствии с (1.22), расходится и данный ряд со слагаемыми An.

Признак Даламбера. Этот признак состоит в следующем. Пусть — положительный числовой ряд. Найдем предел Q отношения последующего члена ряда к предыдущему:

(1.26)

Французский математик и механик 19-го века Даламбер доказал, что при Q<1 ряд Сходится; при Q>1 он расходится; при Q=1 вопрос о сходимости — расходимости ряда остается открытым. Доказательство признака Даламбера опускаем.

Пример 8. Исследовать на сходимость – расходимость положительный числовой ряд .

Решение. Применим к этому ряду признак Даламбера. Для этого по формуле (1.26) вычислим Q:

Так как , то данный ряд сходится.

Интегральный признак Коши. Этот признак состоит в следующем. Если члены An положительного ряда монотонно убывают, то этот ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно. Здесь — непрерывная монотонно убывающая функция, принимающая при X = N значения An членов ряда.

Доказательство интегрального признака Коши, как и признака Даламбера, опустим. Это доказательство, кстати, использует в принципе ту же геометрическую идею, что была применена при доказательстве расходимости гармонического ряда (1.16).

Пример 9. Исследуем на сходимость – расходимость обобщенный гармонический ряд (1.18). При мы получаем гармонический ряд (1.16), который, как мы доказали, расходится. При ряд (1.18) тем более будет расходиться, так как его члены больше членов гармонического ряда. Осталось исследовать случай . Применим к ряду (1.18) при интегральный признак Коши. Для этого вычислим несобственный интеграл

.

В результате получили конечное число . Таким образом, сходится. Но тогда, по интегральному признаку Коши, сходится и ряд (1.18). То есть

(1.27)

< Предыдущая		Следующая >

Советы и рекомендации по решению вопросов числового ряда

Вопросы по числовому ряду распространены на большинстве экзаменов на управленческие способности. Эти вопросы основаны на числовых последовательностях, которые следуют логическому правилу/образцу, основанному на элементарных арифметических понятиях. Дается конкретный ряд, из которого необходимо проанализировать закономерность. Затем вас попросят предсказать следующее число в последовательности, следуя тому же правилу. Как правило, есть три типа вопросов, задаваемых из числового ряда:

Предлагаемое действие

БЕСПЛАТНЫЕ живые мастер-классы от нашего Звездного факультета с более чем 20-летним опытом. Зарегистрируйтесь сейчас

1. Дан числовой ряд, в котором число поставлено неправильно. Вас просят определить этот конкретный неправильный номер.
2. Дан числовой ряд, в котором отсутствует определенное число. Вам необходимо найти этот недостающий номер.
3. За полным числовым рядом следует неполный числовой ряд. Вам нужно решить этот неполный числовой ряд по тому же шаблону, по которому дан полный числовой ряд.

Различные типы числовых рядов:

Наиболее распространенные шаблоны, за которыми следуют числовые ряды:

• Серии, состоящие из идеальных квадратов:

Ряд, основанный на идеальных квадратах, в большинстве случаев основан на идеальных квадратах чисел в определенном порядке, и, как правило, в этом типе ряда отсутствует одно из чисел.

Пример: 324, 361, 400, 441,?

Сол: 324 = 18 ² , 361 = 19 ² , 400 = 20 ² , 441 = 21 ² , 484 = 22 ²

• Серия Perfect Cube:

Он основан на кубах чисел в определенном порядке, и в ряду отсутствует одно из чисел.

Пример: 512, 729, 1000,?

Sol:8 ³ , 9 ³ , 10 ³ , 11 ³

• Геометрический ряд: 90 012

Он основан либо на убывании, либо на возрастании чисел, и каждое последующее число получается путем деления или умножения предыдущего числа на определенное число.

Пример: 4, 36, 324, 2916?

Sol:4 x 9 = 36, 36 x 9 = 324, 324 x 9 = 2916, 2916 x 9 = 26244.

• Арифметический ряд:

Он состоит из ряда, в котором следующий член получается путем прибавления/вычитания постоянного числа к его предыдущему члену. Пример: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, в которых число, которое нужно добавить, чтобы получить новое число, равно 5.

• Двухступенчатая серия:

В двухступенчатом арифметическом ряду разности последовательных чисел сами образуют арифметический ряд.

Пример: 1, 3, 6, 10, 15…..
Sol:3 — 1 = 2, 6 — 3 = 3, 10 — 6 = 4, 15 — 10 = 5….
Сейчас , мы получаем арифметическую последовательность 2, 3, 4, 5 ……
Следовательно, 6 будет добавлено к последнему заданному числу, поэтому ответ будет 15 + 6 = 21

• Смешанный ряд :

Этот конкретный тип серии может иметь более одного рисунка, объединенного в одну серию, или он может быть создан в соответствии с любым из неортодоксальных правил.

Пример: 10, 22, 46, 94, 190, ?

Sol:

10 x 2 = 20 +2 = 22,

22 x 2 = 44 + 2 = 46,

46 x 2 = 92 + 2 = 94,

94 x 2 = 188 + 2 = 190,

190 x 2 = 380 + 2 = 382.

Таким образом, пропущенное число 382.

БЕСПЛАТНЫЕ электронные книги

Получите доступ к тщательно подобранным электронным книгам академическими экспертами, чтобы взломать конкурсные экзамены. Загрузить сейчас

• Арифметико-геометрическая серия:

Как следует из названия, арифметико-геометрический ряд образован своеобразным сочетанием арифметического и геометрического рядов. Важным свойством арифметико-геометрического ряда является то, что различия последовательных членов находятся в геометрической последовательности.

Пример: 1, 4, 8, 11, 22, 25, ?
Sol : Серия Тип +3 , × 2 (т. е. арифметическое и геометрическое смешение)
1 + 3 = 4, 4 × 2 = 8, 8 + 3 = 11, 11 × 2 = 22, 22 + 3 = 25, 25 × 2 = 50

Геометрико-арифметический ряд является обратным арифметико-геометрическому ряду. Различия наводящих терминов находятся в арифметическом ряду.
Пример: 1, 2, 6, 36, 44, 440, ?
Sol :Series Type — × 2, + 4, × 6, +8 , × 10
1 × 2 = 2, 2 + 4 = 6, 6 × 6 = 36, 36+ 8 = 44, 44 × 10 = 440 , 440 + 12 = 452

• Двойная/альтернативная серия:

Как следует из названия серии, серия этого типа может состоять из двух серий, объединенных в одну серию. Чередующиеся члены этого ряда могут сами по себе образовывать независимый ряд.
Пример: 3, 4, 8, 10, 13, 16 ? ?
Sol: Как видим, образованы два ряда

Ряд 1 : 3, 8, 13 с общей разностью 5

Ряд 2 : 4, 10, 16 с общей разностью 6

Итак, следующие два члена ряда должны быть 18 и 22 соответственно.

Советы и рекомендации для серии чисел

Советы и рекомендации – серия Perfect Square

Состоит из идеального квадрата некоторых чисел, расположенных в определенном порядке, с одним пропущенным числом. Теперь нам нужно найти закономерность, которой следует серия, и соответствующим образом заполнить пробел, найдя это число.

Вопрос 1.

100,121,144,__, 196

Решение:

Этот ряд состоит из полного квадрата последовательных чисел 10, 11, 12, 13

Следовательно, 169 будет пустым.

Советы и рекомендации – серия Perfect Cube

Он состоит из кубика чисел, расположенных в определенном порядке.

Вопрос 1.

9,64, 125, __, 343

Решение:

Этот ряд состоит из ряда чисел с совершенными кубами, равными (3 x 3 x 3), (4 x 4 x 4) , (5 х 5 х 5), (6 х 6 х 6), (7 х 7 х 7)

Следовательно, число 216 будет пустым, поскольку последовательность соответствует тенденции кубов чисел в последовательном порядке.

Советы, хитрости и ярлыки. Серия рационов

Этот тип серии состоит из чисел, расположенных в последовательном порядке (в соответствии с определенной тенденцией, т. е. возрастающей или убывающей). Теперь все, что нам нужно сделать, это проследить эту тенденцию (которая может быть *, /, +, -) каждого числа ряда с фиксированным числом), найдя пропорциональную разницу между числами ряда.

Вопрос 1.

3, 6, 9, 12, __, 18, 21

Решение:

Здесь ряд следует возрастающей тенденции, в которой к каждому числу ряда добавляется три.

3

6 (3+3)

9 (6+3)

12 (9+3)

15 (12+3)

18 (15+3)

9 0002 21 (18+3 )

Советы, приемы и ярлыки.

Арифметические ряды

В последовательностях такого типа каждое число находится с помощью ( + , -) каждого члена с помощью постоянного числа.

Формула A S = {a, a+d, a +2d….}

Где a= первый член ряда

d = общая разность

Вопрос 1.

3, 6, 9 , 12

Решение:

Здесь a = 3 (первый член ряда)

d = 3

900 02 Отсюда получаем:

3 + 3 = 6

6 + 3 = 9

9 + 3 = 12

12 + 3 = 15

Подсказки и хитрости и ярлыки — Геометрическая серия

В таком роде последовательностей каждый номер можно найти ( *, /) каждый член постоянным числом.

Формула G S= {a, ar, ar ² , ar ³ ,….}

Где a= первый член ряда

R= коэффициент или разность между членами, также известная как обыкновенное отношение.

Вопрос 1.

1, 2, 4, 8, 16, 32

Решение:

Здесь a = 1 (первый член ряда)

r = 2 (стандартное число, которое умножается на последовательное номер серии)

Отсюда получаем:

1

1 х 2

1 х 2 ²

1 x 2 ³ , ….