Как решать системы уравнений методом гаусса: Как решить методом Гаусса СЛАУ (систему линейных уравнений). Правила, примеры

следующий → ← предыдущая

Практически во всех областях численного моделирования используются линейные и полиномиальные уравнения. Но область анализа линейных систем уравнений — это то место, где они наиболее естественно используются в технике. Конструкции, упругие вещества, тепловые потоки, электромагнетизм, электрические цепи и многое другое подпадают под общую категорию линейных систем.

При моделировании линейных систем генерируются математические уравнения вида Ax = b, где x — входная матрица, а b — вектор отклика системы. Внутренние свойства системы отражаются в A, называемой матрицей коэффициентов, независимой от входного вектора. Если ввод изменен, система линейных уравнений, которую мы хотим оценить, по-прежнему будет содержать точную матрицу коэффициентов A, но отдельный вектор отклика b.

Методы решения систем линейных уравнений

Наряду с итерационными процедурами существуют так называемые прямые подходы, которые мы здесь обсуждать не будем. Объединяет их стремление преобразовать исходные уравнения в систему, эквивалентную по свойствам исходной системе, но более простую для решения.

Мы можем использовать три основные операции для достижения этого преобразования:

• Числовое значение определителя A меняет знак, когда две строки матрицы A меняются местами;
• Числовое значение определителя A умножается на тот же скаляр, на который умножается строка матрицы A;
• Определитель A останется неизменным, если мы заменим строку A на строку, полученную путем присоединения этой строки к какой-либо другой строке, масштабируемой скаляром;

Эти процедуры, конечно, не влияют на решения системы, которые остаются неизменными, но могут влиять на матрицу коэффициентов A и ее определитель.

Три основных прямых способа решения собраны в следующей таблице:

Метод исключения Гаусса

Сокращение строк — это еще одно название исключения Гаусса. Это линейный алгебраический метод решения линейной системы уравнений. По сути, матрица коэффициентов подвергается ряду процессов. Это действия, которые задействованы:

1. Мы можем поменять местами две строки
2. Масштабирование строки путем ее умножения с помощью масштабатора
3. Добавление строки к другой строке матрицы

Эти процедуры выполняются до тех пор, пока необходимо заполнить нижнюю левую часть матрицы коэффициентов нулями.

Алгоритм исключения Гаусса в Python

Что касается ручного процесса, есть два возможных подхода: первый заключается в том, что строки преобразуются путем вычитания, а не суммирования, а другой заключается в том, что преобразованные строки не заменяются исходными строками матрицы A, а только компоненты характерны для верхней треугольной матрицы. В действительности на вычисление решений не влияют элементы, не принадлежащие U (модифицированная матрица).

Код

# Программа на Python для поиска решения системы линейных уравнений с использованием метода исключения Гаусса.

Вывод:

 3
3 4 -1
5 -2 1
2 -2 1
8 4 1
['8', '4', '1']
3 | 4 | -1 | 8 |
5 | -2 | 1 | 4 |
2 | -2 | 1 | 1 |

Результат: 1 2 3
 

Если мы дадим набор уравнений, не имеющих решения, вывод будет следующим:

Выход

 3
1 1 1
0 1 -3
2 1 5
2 1 0
['2', '1', '0']
1 | 1 | 1 | 2 |
0 | 1 | -3 | 1 |
2 | 1 | 5 | 0 |  -------------------------------------------------- -------------------------
ZeroDivisionError Traceback (последний последний вызов)
 в
 75
 76 # Вычисление решения матрицы
---> 77 x = gauss_elem(A_mat)
 78
 79# Печать результата  ________________________________________
3 кадра
________________________________________
/usr/lib/Python3.
No related posts.
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя * 
Email * 
Сайт