Как решать уравнения квадратные 9 класс: Квадратные уравнения 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Алгебра 7-9 классы. 20. Решение квадратных уравнений

Подробности

Категория: Алгебра 7-9 классы

 

ФОРМУЛЫ КОРНЕЙ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дано квадратное уравнение Применим к квадратному трехчлену те же преобразования, которые мы выполняли ранее, когда доказывали теорему о том, что графиком функции с является парабола.

Имеем

 

Обычно выражение обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения (или дискриминантом квадратного трехчлена ).

Таким образом,

Значит, квадратное уравнение можно переписать в виде

и далее

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

 

Теорема 1

Если D <0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Здесь а = 2, b = 4, с = 7,

Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

 

Теорема 2

Если D = О, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

 

Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид Значит,   единственный корень уравнения.

 Замечание 1. Помните ли вы, что абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции ? Почему именно это значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения ? «Ларчик» открывается просто: если D = 0, то, как мы установили ранее,

Графиком же функции является парабола с вершиной в точке (см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.

 

Пример 2. Решить уравнение

4х² — 20х + 25 = 0.

Решение. Здесь а = 4, b = -20, с = 25, D = b² — 4ас  = (-20)² — 4 • 4 • 25 = 400 — 400  = 0.

Так как D = 0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле

 Значит, .

Ответ: 2,5.

 

Замечание 2. Обратите внимание, что 4х² — 20х +25 — полный квадрат: 4Х² — 20х + 25 = (2х — 5)². Если бы мы это заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2х — 5)² = 0, значит, 2х — 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще, если D = 0, то ах² + bх + с =
— это мы отметили ранее в замечании 1.

 

Теорема 3. Если D > О, то квадратное уравнение ах² + bх  + с = О имеет два корня, которые находятся по формулам

 

 Доказательство. Перепишем квадратное уравнение в виде (1)

Положим   тогда уравнение (1) примет вид

По условию, D > О, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что

Ho , таким образом, задача свелась к решению двух уравнений:

Из первого уравнения находим

Из второго уравнения находим

Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:

Замечание 3. в математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к различным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

 

Пример 3. Решить уравнение Зх² + 8x — 11 = 0. Решение. Здесь а = 3, b = 8, с =  —11,

D = b² — 4ас = 8² — 4 • 3 • (—11) = 64 4- 132 = 196.

Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (3)

Ответ: 1,

Фактически мы с вами выработали следующее правило:

 

Квадратные уравнения.

9 класс — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Квадратные уравнения.

Презентация
Учитель математики:
Шевцова С.К.

2. Квадратное уравнение.

ах² + bх + с = 0,
х – переменная,
а, b, с– числа,
а≠0

3. Неполное квадратное уравнение.

с = 0, ах ² + bх = 0,
х (ах + b) = 0,
х = 0 или х = – b/a.

4. Неполное квадратное уравнение.

b = 0, ах ²+ с = 0,
х ² = – c/a;
– c/a ≥ 0, x 1,2 =±√‾-c/a,
– c/a< 0, корней нет.

5. Неполное квадратное уравнение.

b = 0, c = 0, ах ²= 0,
х ² = 0,
x = 0.

6. Квадратное уравнение ах² + bх + с = 0

D = b ² – 4ac;
D > 0, x 1, 2 =(-b ± √‾D): 2a
D = 0, x1,2 = – b/2a;
D < 0, корней нет

7. Квадратное уравнение с чётным коэффициентом в = 2k.

аx ² + 2kx + c = 0,
D1 = k ² – ac;
D1 > 0, x 1, 2 = (- k ± √‾ D1): a;
D1 = 0, x1,2 = – k/a;
D1< 0, корней нет.

8. Приведённое квадратное уравнение.

x² + px + q = 0, по теореме Виета,
если х1, х2 – корни уравнения,
то х1 + х2 = –р, х1 · х2 = q

9. Приведённое квадратное уравнение.

x² + px + q = 0, если p = 2k, то
Р со знаком взяв обратным
И на 2 его разделим
И от корня аккуратно знаком минус плюс отделим
А под корнем очень кстати
Половина р в квадрате минус q,
И вот решенье небольшого уравненья!
х1,2 = — р/2 ± √‾(p/2)² — q

10. Решение уравнения методом разложения его левой части на множители.

ах² + bх + с = 0,
Р(х) = 0, р1(х) · р2(х) = 0
Пример: 4х² + 2х + 1 = 0,
(2х + 1)² = 0,
2х + 1= 0,
2х = -1,
х = -1/2.

11. Решение квадратного уравнения , используя свойства коэффициентов.

ах² + bх + с = 0,
Если a + b + c = 0, то
x1 = 1, x2 = c/a

12. Решение квадратного уравнения , используя свойства коэффициентов.

ах² + bх + с = 0,
Если a — b + c = 0, то
x1 = -1, x2 = -c/a

13. Графический способ решения квадратных уравнений.

ах² + bх + с = 0,
ах² = — bх — с
,
Построим графики функций y = ах² ( парабола) и
y = — bх – с (прямая) в одной системе координат.

14. Биквадратное уравнение 4 ах + bх² + с = 0, а ≠ 0, х -переменная, а, b, с– числа,

Метод введения новой переменной.
Пусть х²= у, у ≥ 0,
тогда решаем ау ² + bу + c = 0
относительно переменной у,
а затем из уравнения х² = у
находим значение х

15. Спасибо!

English     Русский Правила

куллабов

регистр Логин

Найдите свой запрос

Обзор

Уравнение типа ax2+ bx + c = 0, где a≠ 0, которое содержит только одну переменную и ‘2’ в его высшей степени, называется квадратным уравнением.

В любом квадратном уравнении есть два значения переменной.

• Примечание
• То, что нужно запомнить
• Видео
• Упражнение
• Контрольный опрос
92 -4ac}}{2a} $$

Квадратные уравнения бывают двух типов

i. Чистое квадратное уравнение:

Квадратное уравнение формы ax ² + c = 0, где отсутствует средний член, содержащий степень 1, известно как чистое квадратное уравнение.

напр. х ² = 9 или, х ² — 9 = 0
т. е. ax ² + с = 0 (а ≠ о, с = 0)

ii. Измененное квадратное уравнение:

Стандартная форма квадратного уравнения известна как искаженное квадратное уравнение.

ax ² + bx + c = 0 — это квадратное уравнение.

напр. x ² — 9x — 15 = 0
т. е. ax ² + bx + c = 0 ( a ≠ o, b ≠ o)

Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение представляет собой уравнение второй степени с одной переменной . Таким образом, мы получаем два решения переменной, содержащейся в этом уравнении. Решение квадратного уравнения известно как корни. Следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Решение корней, полученных из квадратного уравнения, должно удовлетворять уравнению. Существует три основных метода решения квадратного уравнения:

1. Метод факторизации
2. Завершение квадратным методом
3. Используя формулу

а) Решение квадратного уравнения методом факторизации:

В этом методе квадратное уравнение ax ² + bx+ c = 0 факторизуется и выражается как произведение двух линейных множителей. Опять же, два линейных фактора также решаются, чтобы получить решение уравнения. корни, полученные из уравнения, должны удовлетворять заданному квадратному уравнению. 92-4ac}}{2a}\) и найти два корня данного квадратного уравнения.

 

Что нужно помнить

• Включает все отношения, установившиеся между людьми.
• В обществе может быть более одного сообщества. Сообщество меньше, чем общество.
• Это сеть социальных отношений, которую нельзя увидеть или потрогать.
• общие интересы и общие цели не нужны обществу.

Видео по квадратному уравнению

Вопросы и ответы

Здесь

x ² — 7x + 6 = 0

или, x ² — 7x = -6

или, x ² — 2.x.(7/2) + (7/ 2) ² = (7/2) ² — 6

или (х — 7/2) ² = 14/2 — 6

или (х — 7/2) ² = 7 — 6

или, (х — 7/2) ² = (±1) ²

Избегая квадрата с обеих сторон, мы получаем

x — 7/2 = ±1

или, x = 7/2±1

Теперь, взяв знак +ve , получаем

х = 7/2 + 1 = 7+2/2 = 9/2 = 4,5

Теперь, взяв знак -ve, получаем

х = 7/2 — 1 = 7-2/2 = 5/2 = 2,5

∴ x = 4,5 или 2,5

Следовательно, два корня квадратного уравнения x ² — 4x + 6 = 0 равны 2,5 и 4,5.

Здесь

x ² — 7x + 6 = 0

или, x ² — 7x = -6

или, x ² — 2.x.(7/2) + ( 7/ 2) ² = (7/2) ² — 6

или (х — 7/2) ² = 14/2 — 6

или (х — 7/2) ² = 7 — 6

или, (x — 7/2) ² = (±1) ²

Исключая квадрат с обеих сторон, получаем

x — 7/2 = ±1

или, x = 7/2±1

Теперь, взяв знак +ve, получаем

х = 7/2 + 1 = 7+2/2 = 9/2 = 4,5

Теперь, взяв знак -ve, получаем

х = 7/2 — 1 = 7-2/2 = 5/ 2 = 2,5

∴ x = 4,5 или 2,5

Следовательно, два корня квадратного уравнения x ² — 4x + 6 = 0 равны 2,5 и 4,5.

Здесь, х ² — 8х + 12 = 0

или, х ² — (6 + 2)х + 12 = 0

или, х ² — 6х — 2х + 12 = 0

или, х (х — 6) -2 (х — 6) = 0

или, (х — 6) (х — 2) = 0

∴ х — 6 = 0

или, х = 6

Опять же, x — 2 = 0

или, x = 2

∴ x = 2 и 6

Теперь проверка,

Когда x = 2

L. H.S. = x ² — 8x + 12

= 2 ² — 8*2 + 12

= 4 — 16 +12

= 0

= R.H.S доказано, что верно

Снова, когда х = 6 ,

Л.Х.С. = х ² — 8x + 12

= 6 ^{2 —} 8*6 + 12

= 36 — 48 + 12

= 0

= R.H.S. доказано, что верно

∴ x = 2 и 6 удовлетворяют уравнению. Следовательно, два корня квадратного уравнения x ² — 8x +12 = 0 равны 2 и 6.

Здесь, сравнивая уравнение x ² — 8x + 12 = 0 с ax ² — bx + c = 0,

Получаем, a = 1, b = -8 и c = 12,92 — 4*1*12)}{2*1}\)

= \(\frac{(8) ±\sqrt(64 — 48)}{2}\)

=\(\frac{( 8) ±\sqrt(16)}{2}\)

=\(\frac{8± 4 }{2}\)

Теперь, взяв знак +ve, получаем

x =\(\frac {8 + 4}{2}\)

= 6

Снова со знаком -ve получаем

x =\(\frac{8 — 4}{2}\)

= 2

∴ 2 или 6

Теперь проверка,

Когда x = 2,

L. H.S. = х ² — 8х + 12

= 2 ² — 8*2 + 12

= 4 — 16 +12

= 0 = П.С. доказано, что верно

Когда x = 6,

Л.Х.С. = x ² — 8x + 12

= 6 ² — 8*6 + 12

= 36 — 48 + 12

= 0 = R.H.S. доказано, что верно

∴ x = 2 и 6 оба удовлетворяют уравнению.

Здесь, х ² — 5х + 20 = 0

или, х ² — 5х = -6

или, (х) ² — 5х = -6

или, (х) ² — 2.х.(5/2) + (5/2) ² = (5/2) ² -6

или, (х — 5/2) ² = 25/4 — 6

или, (х — 5/2) ² = 25 — 24/4

или, (х — 5/2) ² = 1/4

или, (x — 5/2) ² = (± 1/2) ²

Избегая квадратов с обеих сторон,

x — 5/ 2 =±1/2

x = 5/2± 1/2

Теперь, взяв знак +ve, получаем

x = 5+1/2 = 3

Принимая знак -ve, получаем

x = 5-1/2 = 2

∴ x = 3 или 2

Теперь проверка,

При x = 2,

Л. Х.С. = x ² — 5x + 6

= 2 ² — 5*2 + 6

= 4 — 10 + 6

= 0 = R.H.S. доказано, что верно.

Когда x = 3,

L.H.S. = x ² — 5x + 6

= 3 ² — 5*3 + 6

= 9 — 15 + 6

= 0 = RHS доказано, что верно

∴ x = 2 и 3 оба удовлетворяют уравнению.

Здесь (x — 1) (x + 4) = 0

Либо x — 1 = 0…………(i)

, либо x + 4 = 0. ………..(ii)

Теперь, из уравнения (i),

x — 1 = 0

или, x = 1

Опять же, из уравнения (ii),

х + 4 = 0

или, х = -4

∴ х = 1 и -4.

Здесь (x — 3 ) (x + 2) = 0

Либо x — 3 = 0…………(i)

Или x + 2 = 0…………(ii)

Теперь из уравнения (i)

x — 3 = 0

или x = 3

Теперь из уравнения ( ii),

х + 2 = 0

или, х = -2

∴ х = 3 или -2

Здесь, х ² — 49 = 0

или, х ² — (7) ² = 0

или, (x + 7) (x — 7) = 0

Либо, x + 7 = 0 . ……………(i)

Или, x — 7 = 0 ………………….(ii)

Теперь из уравнения (i)

или, x + 7 = 0

или, x = -7

Теперь из уравнения (ii)

или x — 7 = 0

или x = 7

∴ x =±7 оба удовлетворяют уравнению.

Здесь, сравнивая уравнение 3x ² — 5x — 2 = 0 с осью 92 — 4*3*-2)}{2*3}\)

= \(\frac{(5) ±\sqrt(25 + 24)}{6}\)

= \(\frac{ 5 ±\sqrt(49)}{6}\)

= \(\frac{5 ± 7}{6}\)

Теперь, взяв знак +ve, получаем

x = \(\frac{ 5 + 7}{6}\)

= 2

Снова со знаком -ve получаем

x = \(\frac{5 — 7}{6}\)

= \(\frac { -1} {3}\)

∴ x = 2 или \(\frac {-1} {3}\)

Теперь проверка,

Когда x = 2

L.H.S. = 3x ² — 5x — 2

= 3*2 ² — 5 * 2 — 2

= 12 — 10 — 2

= 0 = R.H.S, что верно

Когда x =\(\frac {-1} {3}\ )

L. H.S. x = 3x ² — 5x — 2

= 3*(\(\frac {-1} {3}\)) ² — 5\(\frac {-1} {3}\) — 2

= 1 +\(\frac {5} {3}\) — 2

= 0 = R.H.S, что верно

∴ x = 2 и \(\frac {-1} {3}\) оба удовлетворять уравнению.

Здесь х = х ² — 7х + 12 = 0

или, х ² — (4 + 3)х + 12 = 0

или, х ² -4х -3х + 12 = 0

или, x(x — 4) -3(x — 4) = 0

или, (x — 4) (x — 3) = 0

Либо, x — 4 = 0

∴x = 4

Или, x — 3 = 0

∴x = 3

Теперь проверка,

Когда, x = 4

L.H.S. = х ² — 7х + 12 = 0

= 4 ² — 7*4 + 12

= 16 — 28 + 12

= 0 = R.H.S, что верно

Когда x = 3

L.H.S = x ² — 7x + 12

= 3 ² — 7*3 + 12 9 0003

= 9 — 21 + 12

= 0 = RHS, что верно

∴ x = 4 и 3 оба удовлетворяют уравнению.

Здесь х ² — 25 = 0

или, х ² — (5) ² = 0

или, (х + 5) (х — 5) = 0

Либо, х + 5 = 0……………..(i)

Или, х — 5 = 0………… ……..(ii)

Теперь из уравнения (i),

или, x + 5 = 0

или, x = -5

Теперь из уравнения (ii),

или, x — 5 = 0

или, x = 5

∴ x =±5 оба удовлетворяют уравнению.

Здесь, х ² — 15х + 36 = 0

или, х ² — (12 + 3)х + 36 = 0

или, х ² — 12х — 3х + 36 = 0

или, х (х — 12) -3 (х — 12) = 0

или, (х — 12) (х — 3) = 0

∴ x — 12 = 0

или, x = 12

Опять же, x — 3 = 0

или, x = 3

∴ x = 12 и 3

Теперь проверка ,

Когда х = 12

Л.Х.С. = x ² — 15x + 36

= 12 ² — 8*12 + 36

= 144 — 180 + 36

= 0

= R. H .S доказано, что верно

Снова, когда x = 3,

L.H.S. = x ² — 8x + 12

= 3 ^{2 —} 8*3 + 36

= 9 — 45 + 36

= 0

= R.H.S. доказано, что верно

∴ x = 3 и 12 удовлетворяют уравнению. Следовательно, два корня квадратного уравнения x ² — 8x +12 = 0 равны 3 и 12.

Здесь, сравнивая уравнение x ² — 15x + 36 = 0 с осью 92 — 4*1*36)}{2*1}\)

= \(\frac{(15) ±\sqrt(225 — 144)}{2}\)

=\(\frac{( 15) ±\sqrt(81)}{2}\)

=\(\frac{15 ± 9 }{2}\)

Теперь, взяв знак +ve, получаем

x =\(\frac {15 + 9}{2}\)

= 12

Снова со знаком -ve получаем

x =\(\frac{15 — 9}{2}\)

= 3

∴ 3 или 12

Теперь проверка,

Когда x = 3,

L.H.S. = х ² — 15х + 36

= 3 ² — 15*3 + 36

= 9 — 45 +36

= 0 = П. С. доказано, что верно

Когда x = 12,

Л.Х.С. = x ² — 15x + 36

= 12 ² — 15*12 + 36

= 144 — 180 + 36

= 0 = R.H.S. доказано, что верно

∴ x = 3 и 12 оба удовлетворяют уравнению.

Здесь (2x — 5 ) (x + 3) = 0

Либо, 2x — 5 = 0……………(i)

Или, x + 3 = 0………….(ii)

Теперь из уравнения (i)

2x — 5 = 0

или, x = 5/2

Теперь из уравнения (ii)

x + 3 = 0

или, x = -3

∴ x = 5/2 или -3

Теперь проверка

при x = 5 /2

L.H.S = (2x — 5) (x +3)

= (2*5/2 — 5) (5/2 + 3)

= 0 = R.H.S доказано, что верно

при x = -3

L.H.S = (2x — 5) (x + 3)

= (2*-3 — 5) (-3 + 3)

= 0 = RHS доказано, что верно

∴ 5/2 и -3 оба удовлетворяют уравнению.

Здесь

x ² — 100 = 0

или, x ² — 10 ² = 0

или, (x — 10) (x + 10) = 0

Либо, х — 10 = 0. ………..(i)

Или, x + 10 = 0…………(ii)

Теперь ,

х — 10 = 0

или, х = 10

Опять же,

x + 10 = 0

или, x = -10

∴x = ±10

Теперь проверка

, когда x = 10

L.H.S = x 90 027 2 — 100

= 10 ² — 100

= 0 = R.H.S доказано, что верно 27 2 — 100

= 0 = правая сторона доказано, что верно

^{∴ Следовательно, x = 10 и -10 оба удовлетворяют уравнению.}

© 2019-20 Куллабс. Все права защищены.

Урок 10 | Квадратичные функции и решения | 9 класс Математика

Цель

---

Решение квадратных уравнений методом факторизации. Сравните решения в различных представлениях (график, уравнение и таблица).

Общие базовые стандарты

---

Основные стандарты

Основные стандарты, рассмотренные в этом уроке

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

• F. IF.C.8.A — Используйте процесс факторизации и завершения квадрата квадратичной функции, чтобы показать нули, экстремальные значения и симметрию графика, и интерпретируйте их с точки зрения контекста.

• F.IF.C.9 — Сравните свойства двух функций, каждая из которых представлена ​​по-разному (алгебраически, графически, численно в таблицах или словесными описаниями). Например, дан график одной квадратичной функции и алгебраическое выражение для другой, скажем, которая имеет больший максимум.

Критерии успеха

Основные понятия, которые учащиеся должны продемонстрировать или понять для достижения цели урока

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

---

1. Определение корней квадратного уравнения из уравнения, графика и таблицы значений.
2. Используйте эффективные методы факторизации квадратных уравнений для выявления корней.
3. Сравните решения квадратных уравнений, показанные разными способами.

Fishtank Plus

Разблокируйте функции, чтобы оптимизировать время подготовки, планировать увлекательные уроки и следить за успеваемостью учащихся.

Проблемы с якорем

Задания, предназначенные для изучения ключевых моментов урока, и наводящие вопросы, помогающие ученикам понять

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

---

Проблема 1

Каждый из наборов A и B включает квадратичную функцию, представленную в виде уравнения, графика и таблицы.

Определите, совпадают ли все три представления в каждом наборе. Если нет, объясните, как бы вы изменили одно или несколько представлений, чтобы они совпадали.

Наводящие вопросы

Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы получить доступ к наводящим вопросам для этой основной задачи.

Проблема 2

Решение какой из приведенных ниже квадратичных функций имеет наибольшее положительное значение $$x$$?

Наводящие вопросы

Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы получить доступ к наводящим вопросам для этой основной проблемы.

No related posts.